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密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
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姓名 班級 考號
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第2章　常用邏輯用語
全卷滿分150分　　考試用時120分鐘
一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.下列是存在量詞命題且是假命題的是(　　)
A. x∈Z,x2>2　　　　B. x∈R,x2>0
C. x,y∈R,x2+y2<0　　　　D. x∈R,x2∈N
2.命題“ x∈R,x+2≤0”的否定是(　　)
A. x∈R,x+2>0　　　　B. x∈R,x+2≤0
C. x∈R,x+2>0　　　　D. x R,x+2>0
3.“|a|>|b|”是“a>b”的(　　)
A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件
C.充要條件　　　　D.既不充分又不必要條件
4.已知命題p: x∈R,x2-x-m=0,若p是真命題,則實數m的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
5.對任意實數a,b,c,在下列命題中,真命題是(　　)
A.“ac2>bc2”是“a>b”的必要條件
B.“ac2=bc2”是“a=b”的必要條件
C.“ac2=bc2”是“a=b”的充分條件
D.“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分條件
6.命題“ x∈[1,2],x2-a≤0”是真命題的一個必要不充分條件是(　　)
A.a>4　　　　B.a≥4　　　　C.a<1　　　　D.a≥1
7.已知關于x的方程x2+ax+b=0,給出下列四個命題:
甲:x=1是該方程的根;乙:x=3是該方程的根;丙:該方程兩根之和為2;丁:該方程兩根異號.
如果只有一個命題是假命題,則該命題是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
8.已知命題p: x∈[1,2],x2-a≥0,命題q: x∈R,x2+2ax+4=0.若命題 p和命題q都是真命題,則實數a的取值范圍是(　　)
A.a≤-2或a=1　　　　B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1　　　　D.a≥2
二、多項選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.已知命題p: x∈R,ax2-x+1=0,若p為真命題,則實數a的值可以是(　　)
A.-　　　　B.0　　　　C.　　　　D.
10.下列說法正確的是(　　)
A.“對任意一個無理數x,x2也是無理數”是真命題
B.“xy>0”是“x+y>0”的充要條件
C.命題“ x∈R,x2+1=0”的否定是“ x∈R,x2+1≠0”
D.若“111.設全集為U,在下列選項中,是B A的充要條件的有(　　)
A.A∪B=A　　　　B.A∩B=A
C.( UA) ( UB)　　　　D.A∪( UB)=U
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.若命題“ x∈R,x2+4x+m=0”為假命題,則實數m的取值范圍是　　　　.
13.已知p:x2+x-6=0,q:mx+1=0,且q是p的充分不必要條件,則實數m的取值集合是　　　　.
14.已知命題p:方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根,若p為真命題的一個必要不充分條件為a≤m+1,則實數m的取值范圍是　　　　　.
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知集合A={x|m-1(1)求實數a的取值集合B;
(2)在(1)的條件下,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,求實數m的取值范圍.
16.(15分)設命題p:x2+(2m-4)x+m=0有兩個不相等的實數根,命題q:對任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立.
(1)若命題p為真命題,求實數m的取值范圍;
(2)若命題p,q一真一假,求實數m的取值范圍.
17.(15分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax+1=0}.
(1)求集合A的真子集;
(2)若　　　　,求實數a的取值集合.
從以下兩個條件中任選一個補充在橫線上,并進行解答.
①“x∈B”是“x∈A”的充分條件;②A∪B=A.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
18. (17分)設全集U=R,集合A=.
(1)當命題“ x∈R,x2-3x+a2=0”為真命題時,實數a的取值集合為B,求A∩B;
(2)已知集合C=(2-a,1+2a),若“x∈A”是“x∈C”的充分不必要條件,求實數a的取值范圍.
19.(17分)設a,b,c分別為△ABC的三邊BC,AC,AB的長,求證:關于x的方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共實數根的充要條件是∠A=90°.
答案全解全析
1.C
2.A　 x∈R,x+2≤0的否定為 x∈R,x+2>0.故選A.
3.D　設a=-2,b=0,此時滿足|a|>|b|,但不滿足a>b,充分性不成立,
設a=2,b=-3,此時滿足a>b,但不滿足|a|>|b|,必要性不成立,
故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要條件.故選D.
4.C　因為“ x∈R,x2-x-m=0”是真命題,所以方程x2-x-m=0有實數根,則Δ=(-1)2-4×(-m)≥0,解得m≥-.故選C.
5.B　對于A,若c=0,則a>b /ac2>bc2,∴“ac2>bc2”不是“a>b”的必要條件,故A錯誤;
對于B,a=b ac2=bc2,∴“ac2=bc2”是“a=b”的必要條件,故B正確;
對于C,若c=0,則ac2=bc2 /a=b,∴“ac2=bc2”不是“a=b”的充分條件,故C錯誤;
對于D,當c=0時,ac2=bc2,即ac2≥bc2成立,此時不一定有a≥b成立,
故“ac2≥bc2”不是“a≥b”的充分條件,故D錯誤.
故選B.
6.D　若“ x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題,則a≥x2,
又x∈[1,2],∴a≥4.
對于A,B,可以推出“ x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題,是充分條件;
對于C,“a<1”是“ x∈[1,2],x2-a≤0”的既不充分又不必要條件.
故選D.
7.A　若甲是假命題,則乙、丙、丁是真命題,則關于x的方程x2+ax+b=0的一個根為3,又兩根之和為2,所以該方程的另一個根為-1,兩根異號,符合題意;
若乙是假命題,則甲、丙、丁是真命題,則關于x的方程x2+ax+b=0的一個根為x=1,又兩根之和為2,所以該方程的另一個根也為1,兩根同號,不符合題意;
若丙是假命題,則甲、乙、丁是真命題,則關于x的方程x2+ax+b=0的兩根分別為1和3,兩根同號,不符合題意;
若丁是假命題,則甲、乙、丙是真命題,則關于x的方程x2+ax+b=0的兩根分別為1和3,所以兩根之和為4,不符合題意.
綜上,甲為假命題.故選A.
8.D　若“ x∈[1,2],x2-a≥0”為真命題,則在x∈[1,2]上,a≤(x2)min,∴a≤1.
若“ x∈R,x2+2ax+4=0”為真命題,則Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.
∵命題 p和命題q都是真命題,∴即a≥2.故選D.
9.ABC　∵ x∈R,ax2-x+1=0為真命題,∴方程ax2-x+1=0有實數根,
當a=0時,x=1符合題意;
當a≠0時,由方程ax2-x+1=0有實數根,得Δ=(-1)2-4a≥0,∴a≤.
結合選項知,實數a的值可以是-,0,.故選ABC.
10.CD　x=是無理數,x2=2是有理數,故A錯誤;
當x=-1,y=-2時,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要條件,故B錯誤;
命題“ x∈R,x2+1=0”的否定是“ x∈R,x2+1≠0”,故C正確;
若“111.ACD　如圖①所示,A中,若A∪B=A,則B A;反過來,若B A,則A∪B=A,故互為充要條件.C中,若( UA) ( UB),則B A;反過來,若B A,則( UA) ( UB),故互為充要條件.D中,若A∪( UB)=U,則( UA) ( UB),故B A;反過來,若B A,則( UA) ( UB),故A∪( UB)=U,故互為充要條件.B中,如圖②所示,若A∩B=A,則A B,推不出B A,故錯誤.故選ACD.
　　
12.答案　(4,+∞)
解析　由題意得命題“ x∈R,x2+4x+m≠0”為真命題,則Δ=16-4m<0,解得m>4.
13.答案　
解析　由題意得{x|mx+1=0} {x|x2+x-6=0}={2,-3}.
當m=0時,{x|mx+1=0}= ,滿足題意;
當m≠0時,{x|mx+1=0}=,則-=2或-=-3,解得m=-或m=.
綜上,實數m的取值集合是.
14.答案　m>0
解析　若p為真命題,則對于方程ax2+2x+1=0,當a=0時,2x+1=0,解得x=-,符合題意;
當a≠0時,設方程ax2+2x+1=0的兩個根分別為x1,x2,
若a<0,則Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0,
此時方程ax2+2x+1=0有一個正根和一個負根,符合題意;
若a>0,則由Δ=4-4a=0,得a=1,
此時方程為x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,所以x=-1,符合題意;
由Δ=4-4a>0,得00,
此時方程ax2+2x+1=0有兩個負根,符合題意.
綜上所述,p為真命題時,a的取值范圍是(-∞,1].
若p為真命題的一個必要不充分條件為a≤m+1,
則m+1>1,解得m>0.
15.解析　(1)由命題“ x∈R,x2+ax+1<0”是真命題,得a2-4>0,解得a<-2或a>2,
所以實數a的取值集合B={a|a<-2或a>2}.(5分)
(2)顯然A≠ ,由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,得A B,(8分)
則m+1≤-2或m-1≥2,解得m≤-3或m≥3,
所以實數m的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞).(13分)
16.解析　(1)若命題p為真命題,則對于方程x2+(2m-4)x+m=0,Δ=(2m-4)2-4m=4(m-1)(m-4)>0,解得m>4或m<1,
∴實數m的取值范圍為{m|m>4或m<1}.(3分)
(2)由(1)知,若命題p為真命題,則m>4或m<1.
若命題q為真命題,則對任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立等價于當2≤x≤3時,(x-2)2≥m2-9恒成立,(6分)
當x=2時,y=(x-2)2取得最小值0,所以0≥m2-9,即m2≤9,解得-3≤m≤3.(8分)
當p真q假時,解得m<-3或m>4;(11分)
當p假q真時,解得1≤m≤3.(14分)
綜上,實數m的取值范圍為{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}.(15分)
17.解析　(1)A={x|x2-5x+6=0}={2,3},(2分)
所以集合A的真子集有 ,{2},{3}.(5分)
(2)選①,因為“x∈B”是“x∈A”的充分條件,所以B A,(7分)
當a=0時,B= ,符合題意;(8分)
當a≠0時,B={x|ax+1=0}=,(10分)
因為B A,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},所以-=2或-=3,
所以a=-或a=-.(14分)
綜上所述,實數a的取值集合為.(15分)
選②,因為A∪B=A,所以B A,(7分)
下列解析同選①.(15分)
18.解析　(1)依題意,知方程x2-3x+a2=0有解,
則Δ=(-3)2-4a2≥0恒成立,解得-≤a≤,
所以集合B=,(3分)
又因為A=={x|(2x-2)(x-5)<0}={x|1所以A∩B=.(7分)
(2)因為“x∈A”是“x∈C”的充分不必要條件,所以A C,(10分)
由(1)知A={x|1又C=(2-a,1+2a),
所以解得a≥2.
所以實數a的取值范圍為[2,+∞).(17分)
19.證明　必要性:設方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共實數根x0,則+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,(3分)
兩式相減并整理,得(a-c)x0+b2=0.(5分)
∵b≠0,∴a-c≠0,∴x0=,將x0=代入+2ax0+b2=0中,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.必要性成立.(7分)
充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,∴b2=a2-c2.①(9分)
將①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(11分)
將①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(13分)
故兩方程有公共實數根x=-(a+c).充分性成立.(15分)
∴關于x的方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共實數根的充要條件是∠A=90°.(17分)

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