資源簡介

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密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
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姓名 班級 考號
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第3章　不等式
全卷滿分150分　　考試用時120分鐘
一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知a>b>0,則下列結論中正確的有(　　)
A.>　　　　B.>
C.若d2.設a,b,m都是正數,且aA.x>y　　　　B.x=y
C.x3.下列函數中,最小值為4的是(　　)
A.y=x+　　　　B.y=+
C.當x<時,y=2x-1+　　　　D.y=4x2+
4.某金店用一桿天平稱黃金,某顧客需要購買20克黃金,他要求先將10克的砝碼放在左盤,將一塊黃金放在右盤使之平衡;然后又將10克的砝碼放入右盤,將另一塊黃金放在左盤使之平衡.若顧客獲得這兩塊黃金,則該顧客實際所得黃金的質量(　　)
A.小于20克　　　　B.不大于20克　　　　C.大于20克　　　　D.不小于20克
5. 已知實數a>1,b>0,滿足a+b=3,則+的最小值為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.已知a∈Z,關于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且僅有3個整數,則a的值不可能是(　　)
A.13　　　　B.14　　　　C.15　　　　D.16
7.已知x+y=1,y>0,x≠0,則+的值不可能是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
8.設實數x,y滿足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,則實數k的最大值為(　　)
A.12　　　　B.24　　　　C.2　　　　D.4
二、多項選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.若a>b>0,c>d>0,則(　　)
A.a-c>b-d　　　　B.a(a+c)>b(b+d)
C.<　　　　D.<
10.已知x,y∈(0,+∞),設M=2x+y,N=xy,則下列四個命題中正確的是(　　)
A.若N=1,則M有最小值
B.若M+N=6,則N有最大值2
C.若M=1,則0D.若M=N,則M有最大值8
11.已知實數x,y滿足x2+y2+xy=4,則(　　)
A.-2≤y≤2　　　　B.-≤x+y≤
C.-4≤x-y≤4　　　　D.≤x2+y2≤8
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.設013.設常數a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,則a的取值范圍為　　　　.
14.若x1,x2,…,x2 024均為正實數,則x1++++…++的最小值為　　　　.
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知正實數a,b,c滿足a2+b2+c2=3.
(1)若a=1,證明:+≥2;
(2)求ab+bc+ca的最大值.
16.(15分)設命題p:對任意的x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命題q:存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立.
(1)若p為真命題,求實數m的取值范圍;
(2)若p,q有且只有一個是真命題,求實數m的取值范圍.
17.(15分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1.
(1)求+的最小值;
(2)是否存在a,b,使得+的值為 并說明理由.
18.(17分)某企業為積極響應國家垃圾分類號召,在科研部門的支持下進行技術創新,新上一個把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產品的項目.已知該企業日加工處理量x(單位:噸)最少為70噸,最多為100噸.日加工處理總成本y(單位:元)與日加工處理量x之間的函數關系可近似地表示為y=x2+40x+3 200,且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產品的售價為100元.
(1)該企業日加工處理量為多少噸時,日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低 此時該企業處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態
(2)為了使該企業可持續發展,政府決定對該企業進行財政補貼,補貼方案共有兩種:
①每日進行定額財政補貼,金額為2 300元;
②根據日加工處理量進行財政補貼,金額為30x元.
如果你是企業的決策者,為了獲得最大利潤,你會選擇哪種補貼方案 為什么
19.(17分)已知函數y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).
(1)若關于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0(m∈R)的解集為 ,求實數m的取值范圍;
(2)若關于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0的解集為D,且{x|-1≤x≤1} D,求實數m的取值范圍.
答案全解全析
1.C　若c=0,則,無意義,故A錯誤;
因為a>b>0,所以0<<,故B錯誤;
若d-c>0,又a>b>0,所以-ad>-cb>0,即ad若a=3,b=2,則ab=9>ba=8,故D錯誤.
故選C.
2.A　因為a0,
因為a>0,b>0,m>0,所以x-y=-=>0,即x>y.故選A.
3.D　對于A,當x=-1時,y=-5,所以y的最小值不為4,故A錯誤;
對于B,y=+≥2=4,
當且僅當=,即x2=-3時等號成立,但x無實數解,故B錯誤;
對于C,當x=0時,y=-,所以y的最小值不為4,故C錯誤;
對于D,y=4x2+≥2=4,當且僅當4x2=,即x=±時,等號成立,所以y的最小值為4,故D正確.
故選D.
4.D　設天平的左臂長為a,右臂長為b,第一次稱出的黃金的質量為x 克,第二次稱出的黃金的質量為y 克,不妨設a≥b>0,
由杠桿平衡的原理,可得10a=xb,ya=10b,則x=,y=,
則x+y=+≥20=20,當且僅當a=b時,等號成立,
所以顧客實際所得黃金的質量不小于20克.故選D.
5.B　因為a>1,所以a-1>0,又a+b=3,所以(a-1)+b=2,
所以+=[(a-1)+b]=≥=,
當且僅當=,即a=5-2,b=2-2時取等號,
所以+的最小值為.故選B.
6.D　設方程x2-8x+a=0的兩個實數根分別為x1,x2,且x1則x2-8x+a≤0的解集為[x1,x2].
因為y=x2-8x+a的圖象開口向上,對稱軸為直線x=4,所以3個整數解為3,4,5,所以2又x1+x2=8,x1x2=a,
所以解得127.A　因為x+y=1,所以x+y+1=2,
則+=+=++≥+2=
+1,當且僅當y+1=2|x|時,等號成立,
當x>0時,+≥;
當x<0時,+≥.
故結合選項知+的值不可能是.故選A.
8.B　令a=2x-3,b=y-3,因為x>,y>3,所以a>0,b>0,
則k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2轉化為k≤,
即+≥k,
而+=+≥+=12≥24=24,
當且僅當時等號同時成立,所以k≤24.故選B.
9.BCD　對于A,取a=5,b=4,c=3,d=1,則a-c=2,b-d=3,故A錯誤;
對于B,由a>b>0,c>d>0,得a+c>b+d>0,則a(a+c)>b(b+d),故B正確;
對于C,由a>b>0,c>d>0,得ac>bd>0,∵<,∴<,
∴>,∴ac>bd,故C正確;
對于D,==1+,==1+,
∵<,∴<,
又c-d>0,即d-c<0,∴>,∴a+c>b+c,即a>b,故D正確.
故選BCD.
10.BC　對于A,當N=xy=1時,M=2x+y≥2=2,當且僅當2x=y,即x=,y=時,等號成立,所以M的最小值為2,故A錯誤;
對于B,當M+N=2x+y+xy=6 時,6=2x+y+xy≥2+xy,當且僅當2x=y時,等號成立,
令t=,則t>0,結合t2+2t-6≤0,得0對于C,當M=2x+y=1時,1=2x+y≥2,當且僅當2x=y,即y=,x=時,等號成立,
所以0<≤,即0對于D,當2x+y=xy時,+=1,
所以M=2x+y=(2x+y)=++4≥2+4=8,
當且僅當=,即x=2,y=4時取等號,即M有最小值8,故D錯誤.
故選BC.
11.BCD　對于A,由題可知關于x的方程x2+yx+y2-4=0必有實數根,所以Δ=y2-4(y2-4)≥0,解得-≤y≤,故A錯誤;對于B,因為x2+y2+xy=(x+y)2-xy=4,又xy≤,所以≤4,解得-≤x+y≤,當且僅當x=y=時,不等式x+y≤的等號成立,當且僅當x=y=-時,不等式-≤x+y的等號成立,故B正確;對于C,因為x2+y2+xy=(x-y)2+3xy=4,又-xy≤,所以≤4,解得-4≤x-y≤4,當且僅當x=-y=2時,不等式x-y≤4的等號成立,當且僅當x=-y=-2時,不等式-4≤x-y的等號成立,故C正確;對于D,由xy≤可知x2+y2+xy=4≤,即≤x2+y2,當且僅當x=y=±時,等號成立,由x2+y2+xy=4得x2+y2-4=-xy,又-xy≤,所以x2+y2-4≤=,所以≤4,即x2+y2≤8,當且僅當-x=y=±2時,等號成立,所以≤x2+y2≤8,故D正確.故選BCD.
12.答案　(-∞,6+4]
解析　因為0所以+=+=2
=2≥2=2×(3+2)=6+4,當且僅當=,即m=時,等號成立,
所以k≤6+4.
13.答案　{a|a≤2}
解析　當a>1時,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,
∴a-1≤1,解得a≤2,∴1當a=1時,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合題意;
當a<1時,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤a,恒成立,∴a<1.
綜上,a的取值范圍為{a|a≤2}.
14.答案　4
解析　原式=++…++++x1
≥2++…++++x1
=++…++++x1
≥2+…++++x1
=+…++++x1
≥…≥+x1≥2=4,
當且僅當=xi(i=1,2,3,…,2 024,xi>0),即當x1=x2=…=x2 023=x2 024=2時,等號成立,
故x1++++…++的最小值為4.
15.解析　(1)證明:由a=1,得b2+c2=2,(2分)
則+=(b2+c2)=1++≥2,
當且僅當b=c=1時,等號成立.(6分)
(2)因為ab≤(a2+b2),bc≤(b2+c2),ac≤(a2+c2),當且僅當a=b=c=1時,等號成立,(9分)
所以ab+bc+ac≤a2+b2+c2=3,即ab+bc+ca的最大值為3.(13分)
16.解析　(1)由題意得,在x∈[1,4]上,(x2-4x+2)min≥m2-3m.(2分)
易知當x=2時,y=x2-4x+2取得最小值-2,(3分)
∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2.
故當p為真命題時,實數m的取值范圍是1≤m≤2.(5分)
(2)存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立,
即在x∈上,≥0,(7分)
易知當x=0時,y=x2-x+m-取得最大值,為m-,(8分)
∴m-≥0,解得m≥,
∴當q為真命題時,實數m的取值范圍是m≥.(10分)
由(1)知當p為真命題時,實數m的取值范圍是1≤m≤2.
若p為假命題,q為真命題,則解得m>2;(12分)
若p為真命題,q為假命題,則解得1≤m<.(14分)
綜上所述,1≤m<或m>2.(15分)
17.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)=1,∴a+b=,(2分)
又a+b≥2,(4分)
∴≥2,∴ab≤.(6分)
(1)∵a>0,b>0,∴+≥2=≥4,當且僅當a=b=時取等號.(8分)
(2)不存在.理由如下:∵a>0,b>0,∴+≥2=,當且僅當2a=3b時,等號成立,又ab≤,當且僅當a=b=時,等號成立,∴+>,(12分)
∵<,∴不存在a,b,使得+的值為.(15分)
18.解析　(1)由題意可知,日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本為=++40,x∈[70,100].(2分)
又++40≥2+40=2×40+40=120,當且僅當=,即x=80時,等號成立,(3分)
所以該企業日加工處理量為80噸時,日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低.(4分)
因為100<120,所以此時該企業處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態.(5分)
(2)若該企業采用補貼方案①,設該企業每日獲利為y1元,
由題可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(7分)
因為x∈[70,100],所以當x=70時,企業獲利最大,最大利潤為850元.(9分)
若該企業采用補貼方案②,設該企業每日獲利為y2元,由題可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(12分)
因為x∈[70,100],所以當x=90時,企業獲利最大,最大利潤為850元.(14分)
答案示例1:因為兩種方案所獲最大利潤相同,所以選擇兩種方案均可.(17分)
答案示例2:因為兩種方案所獲最大利潤相同,但補貼方案①只需要企業日加工處理量為70噸即可獲得最大利潤,所以選擇補貼方案①.(17分)
答案示例3:因為兩種方案所獲最大利潤相同,但補貼方案②能夠為社會做出更大的貢獻,所以選擇補貼方案②.(17分)
19.解析　(1)①當m+1=0,即m=-1時,x-2<0,解得x<2,不符合題意,舍去;(2分)
②當m+1≠0,即m≠-1時,需滿足
解得m≥.(4分)
綜上,實數m的取值范圍是.(6分)
(2)由題意得,對任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,即對任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥-x2+1恒成立.(8分)
∵x2-x+1=+>0恒成立,
∴對任意的x∈[-1,1],
m≥=-1+恒成立,
∴m≥,x∈[-1,1].(10分)
設t=2-x,則t∈[1,3],x=2-t,
∴===,(13分)
∵t+≥2,
當且僅當t=時取等號,
∴≤=,當且僅當x=2-時取等號,(15分)
∴當x=2-時,取得最大值,最大值為-1+=,
∴實數m的取值范圍是.(17分)

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