資源簡介

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密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
)
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姓名 班級 考號
密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
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第4章　指數與對數
全卷滿分150分　　考試用時120分鐘
一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.下列等式中正確的是(　　)
A.=a　　　　B.2-log23=
C.=(-5　　　　D.=
2. 已知3a=4,b=log3,則a+b=(　　)
A.9　　　　B.2　　　　C.　　　　D.-2
3.已知任何一個正實數N都可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此時lg N=n+lg a(0≤lg a<1).當n>0時,N是(n+1)位數,則22 022是　　　　位數(參考數據:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.607　　　　B.608
C.609　　　　D.610
4.若實數m,n滿足2m=3n=6,則下列關系中正確的是(　　)
A.+=1　　　　B.+=2　　　　C.+=2　　　　D.+=
5.已知x>0,y>0,lg 4x+lg 2y=lg 8,則+的最小值是(　　)
A.3　　　　B.
C.　　　　D.9
6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且關于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有兩個相等的實數根,則△ABC的形狀是(　　)
A.銳角三角形　　　　B.直角三角形　　　　
C.鈍角三角形　　　　D.等腰三角形
7.信號在傳輸介質中傳播時,將會有一部分能量轉化為熱能或被傳輸介質吸收,從而導致信號強度不斷減弱,這種現象稱為衰減.在試驗環境下,超聲波在某種介質的傳播過程中,我們可以用P(s)=P0e-Ks來描述聲壓P(s)(單位:帕斯卡)隨傳播距離s(單位:米)的變化規律,其中P0為聲壓的初始值,常數K為試驗參數.若試驗中聲壓初始值為900帕斯卡,傳播5米時的聲壓降低為400帕斯卡,據此可得試驗參數K的估計值為(參考數據:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10)(　　)
A.0.162　　　　B.0.164
C.0.166　　　　D.0.168
8.若“ x∈(0,m),x>”為假命題,則m的最大值為(　　)
A.14　　　　B.15　　　　C.16　　　　D.17
二、多項選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.下列計算中不正確的是(　　)
A.=　　　　B.=1
C.若a+a-1=4,則+=　　　　D.lg x2=(lg x)2
10.音樂是由不同頻率的聲音組成的,若音1(do)的頻率為f,則簡譜中七個音1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(sol),6(la),7(si)的頻率分別是f,f, f,f,f, f, f,其中相鄰兩個音的頻率的比值(后一個音比前一個音)是一個音到另一個音的音階,上述音階只有兩個不同的值,分別記為α,β(α>β),α稱為全音,β稱為半音,則下列關系式成立的是(參考數據:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.α=2β　　　　B.α=β2
C.|lg α-lg β|>0.01　　　　D.|lg α-2lg β|<0.01
11.若n∈N*,不等式(nx-6)ln≥0恒成立,則實數x可取的值有　　(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.8++2 0240=　　　　　.
13.若x+x-1=3,則=　　　　　.
14.已知某種放射性元素在有機體體液內的濃度c(Bq/L)與時間t(年)近似滿足關系式:c=k·at(k,a為大于0的常數,且a≠1),當c=時,t=10;當c=時,t=20.則當這種放射性元素在有機體體液內的濃度c=時,大約需要　　　　年.(結果精確到整數,參考數據:log23≈1.58,log25≈2.32)
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)求下列各式的值:
(1)log9-+(lg 2)2+lg 5×lg 20;
(2)80.25×+(×)6+;
(3)+lo8-lg+lg 25-lg-ln.
16.(15分)(1)已知2x+2-x=3,求8x+8-x的值;
(2)已知a=-,b=,求÷的值.
17.(15分)已知m=2log3x,n=log5(x-1).
(1)若3m-5n=3,求x的值;
(2)當x=4時,用含m,n的式子表示log1520.
18.(17分)解方程:
(1)log(5x)+(log5x)2=1;
(2)log3(3x-1)·log3=2.
19.(17分)北京時間2023年12月15日21時41分,我國在海南文昌航天發射場用長征五號遙六運載火箭成功將遙感四十一號衛星順利送入預定軌道,發射任務獲得圓滿成功.據了解,在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下,可以用公式v=v1+v0·ln計算火箭的最大速度v(單位:米/秒),其中v0(單位:米/秒)是噴流相對速度(即噴流相對火箭箭體噴出的速度,由火箭發動機的性能決定,運動過程中可視為常數),v1是指火箭的初始速度(單級火箭初始速度視為0,二級火箭v1視為上一飛行階段火箭的最大速度),在每個飛行階段中,m(單位:噸)是火箭消耗的推進劑的質量,M(單位:噸)是指火箭在該階段的總質量(含推進劑),稱為總質比.已知A型火箭是一枚單級火箭,B型火箭是一枚二級火箭,它們的噴流相對速度均為1 000米/秒.(參考數據:ln 10≈2.3,2.718(1)B型火箭飛行時會經歷兩個飛行階段,先點燃一級助推器,待一級助推器燃料耗盡后將其拋掉,再點燃二級火箭進入第二階段,B型火箭的總質量為12噸,其中一級助推器總質量為7噸,裝載了6噸推進劑,二級火箭總質量為5噸,裝載了4噸推進劑,求理想狀態下B型火箭的最大速度;
(2)A型火箭只有一個飛行階段,經過技術改進后其噴流相對速度提高到了原來的倍,總質比變為原來的,若要使A型火箭在理想狀態下的最大速度至少增加500米/秒,求在技術改進前總質比的最小整數值.
答案全解全析
1.D　對于A,當n為奇數時,=a,當n為偶數時,=|a|,故A錯誤;對于B,2-log23=log24-log23=log2≠,故B錯誤;對于C,=≠(-5,故C錯誤;對于D,=(2=(=(=,故D正確.故選D.
2.B　因為3a=4,所以log34=a,因為b=log3,所以a+b=log34+log3=log39=2.故選B.
3.C　因為lg 22 022=2 022lg 2≈2 022×0.301 0=608.622=608+0.622,符合lg N=n+lg a的形式,且608>0,所以22 022是609位數.故選C.
4.A　因為2m=3n=6,所以m=log26,n=log36,
由換底公式得=log62,=log63,
所以+=log62+log63=1.
易知B,C,D中關系式均不成立,故選A.
5.A　∵x>0,y>0,lg 4x+lg 2y=lg 8,∴lg(4x×2y)=lg 8,即22x×2y=8=23,即2x+y=3,
∴+=(2x+y)=≥=3,當且僅當即時取等號,∴+的最小值是3.故選A.
6.B　由題意可知,a>0,b>0,c>0,
因為關于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有兩個相等的實數根,
所以Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,即lg(c2-b2)-2lg a=0,即lg=0,所以=1,所以c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.故選B.
7.B　由題意知400=900e-5K,兩邊同除以100后取自然對數,得ln 4=ln 9-5K,所以K==≈==0.164,故選B.
8.B　因為“ x∈(0,m),x>”為假命題,
所以“ x∈(0,m),x≤”為真命題.
因為===5×5lg 3×3lg 2,
設5lg 3=t(t>0),所以log5t==lg 3,所以=lg 5,
所以log3t=lg 5,所以t=3lg 5,所以5lg 3=3lg 5,
所以=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15,
即 x∈(0,m),x≤15,
所以09.ABD　對于A,當x<0時,=,故A中計算不正確;
對于B,=≠1,故B中計算不正確;
對于C,若a+a-1=4,則=a+a-1+2=6,
又a+a-1=4>0,故a>0,
所以+>0,則+=,故C中計算正確;
對于D,只有x=1時,2lg x=(lg x)2成立,故D中計算不正確.
故選ABD.
10.CD　由題意可知,從音1到音7,相鄰兩個音的頻率的比值分別為,,,,,,所以α=,β=.易知α≠2β,α≠β2,故A,B錯誤.
對于C,|lg α-lg β|==|lg 32-lg 23-lg 28+lg 35|=|7lg 3-11lg 2|≈|7×0.477 1-11×0.301 0|=0.028 7>0.01,故C正確.
對于D,|lg α-2lg β|==|lg 32-lg 23-2(lg 28-lg 35)|=|12lg 3-19lg 2|≈|12×0.477 1-19×0.301 0|=0.006 2<0.01,故D正確.故選CD.
11.BC　當x=1,n=2時,(n-6)ln n=-4ln 2<0,不等式(nx-6)ln≥0不恒成立,故A錯誤;
當x=2時,原不等式為(2n-6)ln≥0,當n=1,2,3時,原不等式恒成立,當n≥4時,原不等式恒成立,故B正確;
當x=3時,原不等式為(3n-6)ln≥0,當n=1,2,3時,原不等式恒成立,當n≥4時,原不等式恒成立,故C正確;
當x=4時,原不等式為(4n-6)ln≥0,當n=2時,8-6=2,ln<0,
原不等式不成立,故D錯誤.
故選BC.
12.答案　
解析　8++2 0240=++1=-++1=.
13.答案　
解析　將x+x-1=3的等號兩邊同時平方,得x2+x-2+2=9,即x2+x-2=7,
所以===.
14.答案　53
解析　由題意,得解得所以c=×,
當c=時,=×,即=,兩邊同時取以為底的對數,得==log240=3+log25≈3+2.32=5.32應用換底公式:lo===log240,
所以t=5.32×10≈53,
故當這種放射性元素在有機體體液內的濃度c=時,大約需要53年.
15.解析　(1)原式=log93-+(lg 2)2+lg 5×(lg 2+1)=-4+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 5=-+1=-.(4分)
(2)原式=×+(×)6+=2+4×27+=.(8分)
(3)+lo8-lg+lg 25-lg-ln=()2-log223-(lg 5-4lg 2)+2lg 5-3lg 2-=9-3+lg 5+lg 2-=+lg 10=.(13分)
16.解析　(1)8x+8-x=(2x)3+(2-x)3=(2x+2-x)[(2x)2-2x×2-x+(2-x)2]
=3[(2x+2-x)2-3×2x×2-x]=3×(32-3)=18.(7分)
(2)原式=×======.(15分)
17.解析　(1)∵m=2log3x,n=log5(x-1),∴解得x>1,(3分)
∴3m-5n=-=-=x2-x+1,
又3m-5n=3,∴x2-x+1=3,
解得x=-1(舍去)或x=2.故x的值為2.(7分)
(2)當x=4時,m=2log34=4log32,n=log53,
∴=log32,=log35,(10分)
∴log1520=====.(15分)
18.解析　(1)由題知5x>0且5x≠1,即x>0且x≠.(2分)
∵log(5x)==,
∴原方程可化為=(1-log5x)(1+log5x),(4分)
即(1-log5x)·=0,即(1-log5x)·=0,
∴log5x=1或1+log5x=±1,解得x=5或x=1或x=.(8分)
(2)由題知3x-1>0且3x-1->0,即x>0.
∵log3(3x-1)·log3=2,∴log3(3x-1)·log3[3-1(3x-1)]=2,∴log3(3x-1)·[log3(3x-1)+log33-1]=2,
∴log3(3x-1)·[log3(3x-1)-1]=2,(13分)
令t=log3(3x-1),則t2-t-2=0,解得t=2或t=-1,
∴log3(3x-1)=2或log3(3x-1)=-1,
解得x=log310或x=log3.(17分)
19.解析　(1)第一階段:v1=0米/秒,v0=1 000米/秒,M=12噸,m=6噸,
所以最大速度v2=0+1 000ln 2=1 000ln 2(米/秒),(3分)
第二階段:最大速度v3=v2+1 000ln=1 000ln 2+1 000ln 5=1 000ln 10≈1 000×2.3=2 300(米/秒),
因此理想狀態下B型火箭的最大速度為2 300米/秒.(7分)
(2)設=k,
要使A型火箭在理想狀態下的最大速度至少增加500米/秒,
則有1 000××ln-1 000ln k≥500,(10分)
所以3ln-2ln k≥1,
整理,得ln≥1,所以≥e,所以k≥27e.(13分)
因為2.718因此在技術改進前總質比的最小整數值為74.(17分)

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