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密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
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姓名 班級 考號
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第5章　函數概念與性質
全卷滿分150分　　考試用時120分鐘
一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.函數f(x)=+(x-1)0的定義域為(　　)
A.　　　　B.∪(1,+∞)
C.∪(1,+∞)　　　　D.
2.函數y=1-x+的值域為(　　)
A.　　　　B.[0,+∞)　　　　C.　　　　D.
3.函數f(x)=的圖象大致為(　　)
A　　　　B
C　　　　D
4.已知f(x)是定義域為R的奇函數,當x<0時, f(x)=x3+x2,則f(2)=(　　)
A.-12　　　　B.-4　　　　C.4　　　　D.12
5.若函數f(x),g(x)滿足f(x)-2f =3x-,且f(x)+g(x)=2x+6,則f(2)+g(-1)=(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
6.已知函數f(x)=在R上單調遞增,則實數a的取值范圍為(　　)
A.[-5,0)　　　　B.(-∞,-2]　　　　C.[-5,-2]　　　　D.(-∞,0)
7.已知函數f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數,且f(-1)=0,若對于任意兩個實數x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,不等式 >0恒成立,則不等式xf(x)>0的解集為(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)　　　　D.(-1,0)∪(0,1)
8.定義在R上的奇函數f(x)滿足f(1+x)=f(1-x)恒成立,若f(1)=2,則f(20)+f(21)+f(22)的值為(　　)
A.6　　　　B.4　　　　
C.2　　　　D.0
二、多項選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.已知函數f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數,且其定義域為[m-1,2m],則(　　)
A.m=3
B.n=0
C.函數f(x)的定義域為
D.函數f(x)的最大值為
10.已知函數f(x)=則下列說法正確的是(　　)
A.f(f(-1))=3
B.函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,0)∪(2,+∞)
C.若f(a)>3,則實數a的取值范圍是(-∞,-3)∪(1,3)
D.若方程f(x)=b有三個解,則實數b的取值范圍是(0,4)
11.已知f(x)的定義域為R, f(x+1)為奇函數, f(x+2)為偶函數,若對任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有>0,則下列結論正確的是　　(　　)
A.f(x)是偶函數　　　　
B.f(2 023)=0
C.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱　　　　
D.f 三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.若函數f(2x-1)的定義域為[-1,1],則函數y=的定義域為　　　　.
13.寫出一個同時具有下列性質的函數:　　　　.
①f(x)=f(4-x);
②f(3)=2;
③任取x1,x2∈(2,+∞),x1≠x2,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0.
14.已知定義在區間[-2 023,2 023]上的函數f(x)滿足:對于任意的x1,x2∈[-2 023,2 023],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 024,且當x>0時,有f(x)>2 024,若f(x)的最大值為M,最小值為N,則M+N的值為　　　　.
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知定義在區間(-1,1)上的函數f(x)=為奇函數.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)判斷并證明函數f(x)在區間(-1,1)上的單調性.
16.(15分)已知函數f(x)是R上的奇函數,且當x>0時, f(x)=x2-3x.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數f(x)的圖象,并求不等式(x-1)f(x)>0的解集.
17.(15分)已知M={x∈R|x≠0且x≠1}, fn(x)(n=1,2,…)是定義在M上的一系列函數,滿足f1(x)=x, fi+1(x)=fi(i∈N*).
(1)求f3(x), f4(x)的解析式;
(2)若g(x)為定義在M上的函數,且g(x)+g=1+x.
①求g(x)的解析式;
②若方程(2x-1-m)[2x(x-1)g(x)+3x2+x+1]+8x2+4x+2=0有且僅有一個實數根,求實數m的取值范圍.
18.(17分)已知函數f(x)=+.
(1)求函數f(x)的定義域和值域;
(2)設F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)(a<0),求F(x)的最大值g(a);
(3)對于(2)中的g(a),若-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,求實數m的取值范圍.
19.(17分)設a,b∈R,若函數f(x)對定義域內的任意一個實數x都滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則函數f(x)的圖象關于點(a,b)對稱;反之,若函數f(x)的圖象關于點(a,b)對稱,則函數f(x)對定義域內的任意一個實數x都滿足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函數g(x)=.
(1)證明:函數g(x)的圖象關于點(-1,5)對稱;
(2)已知函數h(x)的圖象關于點(1,2)對稱,當x∈[0,1]時,h(x)=x2-mx+m+1.若對任意的x1∈[0,2],總存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,求實數m的取值范圍.
答案全解全析
1.C　要使函數f(x)=+(x-1)0有意義,
則需解得x>,且x≠1,
所以函數f(x)的定義域為∪(1,+∞).故選C.
2.C　令t=(t≥0),則x=,
將函數y=1-x+轉化為g(t)=1++t=+t+=,
則g(t)在[0,+∞)上單調遞增,
當t=0時,g(t)取得最小值,為,
所以函數y=1-x+的值域為.故選C.
3.D　易知函數f(x)=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱,且f(-x)===f(x),所以函數f(x)為偶函數,其圖象關于y軸對稱,故排除B,C;
當x>0時, f(x)==x-,又y=x在(0,+∞)上單調遞增,y=在(0,+∞)上單調遞減,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增,故D符合.
故選D.
4.C　因為f(x)是定義域為R的奇函數,且當x<0時, f(x)=x3+x2,
所以f(2)=-f(-2)=-[(-2)3+(-2)2]=4.故選C.
5.C　f(x)-2f =3x-①,令x=,則f -2f(x)=-4x②,由①②,解得f(x)=,所以f(2)==3, f(-1)==-1,因為f(x)+g(x)=2x+6,所以f(-1)+g(-1)=-2+6=4,
所以g(-1)=4-f(-1)=4+1=5,所以f(2)+g(-1)=8.故選C.
6.C　由題意,得解得-5≤a≤-2,
所以實數a的取值范圍為[-5,-2].故選C.
7.B　由題意得, f(x)在(0,+∞)上單調遞增,因為f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數, f(-1)=0,所以f(x)在(-∞,0)上也單調遞增, f(1)=-f(-1)=0,所以當-11時, f(x)>0;當x<-1或01或x<-1時,xf(x)>0,所以不等式xf(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).故選B.
8.C　∵定義在R上的奇函數f(x)滿足f(1+x)=f(1-x)恒成立,
∴f(0)=0, f(2+x)=f(-x)=-f(x),
∴f(4+x)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)的值每4個為一組重復出現,
∴f(20)=f(5×4+0)=f(0)=0, f(21)=f(5×4+1)=f(1)=2, f(22)=f(5×4+2)=f(2)=-f(0)=0,
∴f(20)+f(21)+f(22)=2.故選C.
9.BCD　因為函數f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數,所以函數f(x)的定義域關于原點對稱,所以m-1+2m=0,解得m=,所以f(x)的定義域為,故A錯誤,C正確.
因為函數f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x),即mx2-nx+3m+n=mx2+nx+3m+n,解得n=0,故B正確.
由上述分析得f(x)=x2+1,x∈,所以當x=±時,f(x)取得最大值,為,故D正確.故選BCD.
10.ACD　f(f(-1))=f(1)=3,故A正確.
作出函數f(x)的圖象,如圖所示:
由圖可知,函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,0)和(2,+∞),故B錯誤.
當a<0時, f(a)=-a>3,解得a<-3;當a≥0時, f(a)=-a(a-4)>3,解得13,則實數a的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,3),故C正確.
由圖可知,若方程f(x)=b有三個解,則011.ABC　因為f(x+1)為奇函數, f(x+2)為偶函數,
所以f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,同時也關于直線x=2對稱,故C正確;
因為f(1+x)=-f(1-x), f(2+x)=f(2-x), f(1)=0,
所以f(2+x)=f(2-x)=f(1+1-x)=-f[1-(1-x)]=-f(x),
所以f(x+4)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的值每4個為一組重復出現.
f(-1)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=0,
f(2 023)=f(4×506-1)=f(-1)=0,故B正確;
因為f(x)的定義域為R,且f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f[2-(2-x)]=f(x),所以f(x)是偶函數,故A正確;
對任意的x1,x2∈(1,2),x1≠x2,都有 >0,即1又f =f , f =f =f =f ,2>>>1,
所以f >f ,所以f >f ,故D錯誤.
故選ABC.
12.答案　(1,2]
解析　因為f(2x-1)的定義域為[-1,1],即x∈[-1,1],所以2x-1∈[-3,1],即函數f(x)的定義域為[-3,1],
所以y=的定義域為不等式組的解集,
解此不等式組得1所以函數y=的定義域為(1,2].
13.答案　f(x)=x2-4x+5(答案不唯一)
解析　由題意得f(x)的圖象的對稱軸為直線x=2,且f(x)在(2,+∞)上單調遞增,故可設f(x)=(x-2)2+m,由f(3)=2,得(3-2)2+m=2,解得m=1,故f(x)=(x-2)2+1=x2-4x+5.(答案不唯一)
14.答案　4 048
解析　令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)-2 024,所以f(0)=2 024,
令x1=-x2,得f(0)=f(-x2)+f(x2)-2 024=2 024,所以f(-x2)+f(x2)=4 048,
令g(x)=f(x)-2 024,則g(x)max=M-2 024,g(x)min=N-2 024,
因為g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4 048=0,且g(x)的定義域關于原點對稱,所以g(x)是奇函數,
所以g(x)max+g(x)min=0,即M-2 024+N-2 024=0,所以M+N=4 048.
15.解析　(1)由題意知, f(0)=0,得a=0,
故函數f(x)的解析式為f(x)=(-1(2)函數f(x)=在區間(-1,1)上單調遞增.(6分)
證明如下:任取x1,x2∈(-1,1),且x1因為-10,(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,(11分)
所以f(x)=在區間(-1,1)上單調遞增.(13分)
16.解析　(1)當x<0時,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,
因為f(x)為R上的奇函數,所以f(x)=-f(-x)=-x2-3x(x<0),(3分)
所以f(x)=(7分)
(2)由(1)可得f(x)的圖象如圖所示:
(9分)
不等式(x-1)f(x)>0可轉化為或(12分)
所以或
解得x>3或x<-3或0綜上所述,不等式(x-1)f(x)>0的解集為(-∞,-3)∪(0,1)∪(3,+∞).(15分)
17.解析　(1)由題意知f2(x)=1-, f3(x)=f2=, f4(x)=f3=x.(2分)
(2)①利用(1)中的結論,用替換x兩次,
得(4分)
消去g,g,可得g(x)=(x≠0,x≠1).(8分)
②由①及題意可得方程(2x-1-m)(x3+2x2+x)+8x2+4x+2=0有且僅有一個實數根,整理,得m==有且僅有一個實數根,(10分)
令t=x+,則x2+=t2-2.
∵x≠0,且x≠1,且當x=-1時,方程不成立,即-1不是方程的根,
∴t∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴m===2-5在(-∞,-2)∪(2,+∞)上有且僅有一個實數根.(12分)
令λ=t+2,則λ∈(-∞,0)∪(4,+∞),m=2-5,
即=λ+在(-∞,0)∪(4,+∞)上有且僅有一個實數根.
畫出y=λ+,λ∈(-∞,0)∪(4,+∞)的圖象,如圖所示:
由圖可知=-2或>,解得m=-5-4或m>.(15分)
18.解析　(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,
∴函數f(x)的定義域為[-1,1].(1分)
∵[f(x)]2=(+)2=2+2,且∈[0,1],
∴[f(x)]2=(+)2∈[2,4],
∴f(x)=+∈[,2],
∴函數f(x)的值域為[,2].(3分)
(2)F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)=a++,
令t=f(x)=+,則t∈[,2],=t2-1,(4分)
∴a++=a+t=at2+t-a,t∈[,2],(6分)
令φ(t)=at2+t-a,t∈[,2],則g(a)為函數φ(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值.
易得函數y=φ(t),t∈[,2]的圖象是開口向下的拋物線的一段,且圖象的對稱軸為直線t=-.
①若-∈(0,],即a≤-,則g(a)=φ()=;(9分)
②若-∈(,2),即-③若-∈[2,+∞),即-≤a<0,則g(a)=φ(2)=a+2.(11分)
綜上,g(a)=(12分)
(3)由(2)易得g(a)min=.
要使-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,
則-m2+2nm+≤g(a)min=在n∈[-1,1]上恒成立,(14分)
所以m2-2nm≥0在n∈[-1,1]上恒成立.
令h(n)=m2-2nm,n∈[-1,1],
若m=0,則h(n)=0≥0對任意n∈[-1,1]恒成立;
若m≠0,則有或
所以m≥2或m≤-2.
綜上,實數m的取值范圍是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).(17分)
19.解析　(1)證明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∴g(-2-x)=,(2分)
∴g(x)+g(-2-x)=+=10,(5分)
即對任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函數g(x)的圖象關于點(-1,5)對稱.(7分)
(2)g(x)==5-,
易知g(x)在上單調遞增,
∴g(x)在x∈上的值域為[-1,4].
記函數y=h(x),x∈[0,2]的值域為A.
若對任意的x1∈[0,2],總存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,則A [-1,4].(10分)
∵當x∈[0,1]時,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函數h(x)的圖象過對稱中心(1,2).
①當≤0,即m≤0時,函數h(x)在[0,1]上單調遞增.由對稱性知,h(x)在[1,2]上單調遞增,
∴函數h(x)在[0,2]上單調遞增.
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,則A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得解得m≥-1,
又m≤0,∴-1≤m≤0.(12分)
②當0<<1,即0結合對稱性,知A=[h(2),h(0)]或A=.∵0∴h(2)=3-m∈(1,3).易知當m∈(0,2)時,h=-+m+1∈(1,2).又h+h=4,
∴h∈(2,3),∴當0③當≥1,即m≥2時,函數h(x)在[0,1]上單調遞減.由對稱性知,h(x)在[1,2]上單調遞減,∴函數h(x)在[0,2]上單調遞減.
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,
∴h(2)=3-m,則A=[3-m,m+1].
由A [-1,4],得解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(16分)
綜上可知,實數m的取值范圍為[-1,3].(17分)

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