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密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
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姓名 班級 考號
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第7章　三角函數
全卷滿分150分　　考試用時120分鐘
一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.在平面直角坐標系中,點P的坐標為(tan 2 025°,sin 2 025°),則點P位于　　(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
2.已知a=tan,b=cos,c=sin,則a,b,c的大小關系是(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>a>c　　　　C.b>c>a　　　　D.c>a>b
3.已知定義在R上的函數f(x)=則f 的值是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
4.將函數f(x)=2sin的圖象向右平移φ個單位長度得到函數g(x)的圖象,若函數g(x)為偶函數,則φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.用尺規作圖畫出正五角星,作法如下:以任意一點為圓心,1為半徑畫圓O,在圓O內作互相垂直的直徑AB和CD.取線段OB的中點E,以E為圓心,EC長為半徑作弧,交OA于F.以C為圓心,CF長為半徑作弧交圓O于N,G兩點,再以N為圓心,CF長為半徑作弧交圓O于另一點M,以G為圓心,CF長為半徑作弧交圓O于另一點H,連接CM,CH,GN,GM,NH,得到如圖所示的正五角星,則圖中扇形OAN的面積為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6. 已知函數f(x)=acos ωx(a≠0,ω>0),若將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到函數g(x)的圖象,若關于x的方程g(x)=0在上有且僅有兩個不相等的實數根,則實數ω的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
7. 已知函數f(x)的定義域為R,y=2f(x)-sin x是偶函數,y=f(x)-cos x是奇函數,則[f(x)]2+=(　　)
A.5　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
8.設函數f(x)=Asin(ωx+φ)在區間上單調,且f=f=-f,當x=時, f(x)取到最大值2,若將函數f(x)的圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍得到函數g(x)的圖象,則不等式g(x)>1的解集為(　　)
A.,k∈Z　　　　B.,k∈Z
C.,k∈Z　　　　D.,k∈Z
二、多項選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.已知θ∈,sin θ+cos θ=,則下列結論正確的有(　　)
A.θ∈　　　　B.cos θ=
C.tan θ=-　　　　D.cos θ-sin θ=
10.已知函數f(x)=sin+cos,下列說法中正確的是(　　)
A. f(x)=sin　　　　
B.函數f(x)的最大值為
C.函數f(x)的周期是π　　　　
D. f(x)在上單調遞增
11.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π,將其圖象向右平移個單位長度后得到一個偶函數的圖象,則下列說法正確的是(　　)
A.函數f(x)的圖象關于點中心對稱
B.函數f(x)在上單調遞增
C.當x∈時,函數f(x)的最大值為
D.函數g(x)=f(x)-在上恰有3個不同的零點
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.已知角α的終邊上有一點P的坐標是(m,2m),m≠0,則=　　　　　.
13.如圖,摩天輪的半徑為50 m,圓心O距地面的高度為60 m.已知摩天輪按逆時針方向勻速轉動,每15 min轉動一圈.游客在摩天輪的艙位轉到距離地面最近的位置進艙,則游客進艙5 min時他距離地面的高度為　　　　m.
14.已知函數f(x)=2sin(ω>0),若 x∈R,都有f(x)≤恒成立,且f(x)在上單調,則ω的取值集合為　　　　　.
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知f(α)=.
(1)化簡f(α);
(2)若f(α)=2,分別求和4sin2α-3sin αcos α的值.
16.(15分)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式及f(x)圖象的對稱中心;
(2)若f =,求cos的值;
(3)先將f(x)的圖象的縱坐標縮短為原來的,橫坐標不變,得到函數g(x)的圖象,再將g(x)的圖象向右平移個單位長度,得到h(x)的圖象,求函數y=h(x)在x∈上的單調遞減區間.
17.(15分)筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具,明朝科學家徐光啟所著的《農政全書》中描繪了筒車的工作原理,因其經濟又環保,至今還在農業生產中使用.下圖是筒車的示意圖,筒車的半徑r=4 m,軸心O距離水面2 m,筒車上均勻分布了12個盛水筒.已知該筒車按逆時針方向勻速旋轉,2 min轉動一圈,且當筒車上的某個盛水筒P從水中浮現時(圖中點P0)開始計算時間.
(1)將點P到水面的距離z(單位:m,在水面下,z為負數)表示為時間t(單位:min)的函數;
(2)已知盛水筒Q與盛水筒P相鄰,Q位于P的逆時針方向一側.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距離水面的高度相等,求時間t.
18.(17分)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若關于x的方程+2asin-2a+2=0在上有解,求實數a的取值范圍.
19.(17分)對于函數y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及實數m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,則稱函數f(x)與g(x)具有“m關聯”性質.
(1)若f(x)=sin x與g(x)=cos 2x具有“m關聯”性質,求m的取值范圍;
(2)已知a>0, f(x)是定義在R上的奇函數,且滿足:
①在[0,2a]上,當且僅當x=時, f(x)取得最大值1;
②對任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0.
求證:y1=sin πx+f(x)與y2=cos πx-f(x)不具有“4關聯”性質.
答案全解全析
1.D　tan 2 025°=tan(11×180°+45°)=tan 45°>0,sin 2 025°=sin(5×360°+225°)=sin 225°<0,∴點P位于第四象限.故選D.
2.B　a=tan=-tan=-tan=-,b=cos=cos6π-=cos=, c=sin=-sin=-sin=-,
因為>->-,所以b>a>c.故選B.
3.C　f =f =f =f =f =f =cos=cos=.故選C.
4.A　由題意得g(x)=f(x-φ)=2sin=2cos=2cos是偶函數,
所以φ+=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,
又0≤φ≤,所以k=1,φ=.故選A.
5.A　如圖,連接OG,OM,OH,則∠CON==72°,
又∠AOC=90°,所以∠AON=90°-72°=18°,
所以扇形OAN的面積S==.故選A.
6.B　由題意得,g(x)=acos=acos,
∵x∈,∴ωx+∈,
∵方程g(x)=0在上有且僅有兩個不相等的實數根,
∴ω+∈,解得≤ω<4,
即實數ω的取值范圍是,故選B.
7.D　因為函數f(x)的定義域為R,y=2f(x)-sin x是偶函數,y=f(x)-cos x是奇函數,
所以2f(-x)-sin(-x)=2f(x)-sin x,即f(x)-f(-x)=sin x,①
f(-x)-cos(-x)=-f(x)+cos x,即f(x)+f(-x)=2cos x,②
聯立①②可得f(x)=(sin x+2cos x),
所以f ==(cos x-2sin x),
因此[f(x)]2+=(sin x+2cos x)2+(cos x-2sin x)2=(sin2x+4sin xcos x+4cos2x)+(cos2x-4sin xcos x+4sin2x)=.
故選D.
8.A　∵f(x)在區間上單調,∴≥-=,即T≥,
∴≥,即0<ω≤3.
∵f =f ,∴直線x=是函數f(x)圖象的一條對稱軸.
∵f =-f ,∴是函數f(x)圖象的一個對稱中心.
∵T≥,∴x=和是函數f(x)圖象相鄰的對稱軸和對稱中心,∴×=-,又ω>0,∴ω=2.
∵函數f(x)的最大值為2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
∵當x=時, f(x)取到最大值2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
根據題意可知g(x)=2sin,
∵g(x)>1,∴2sin>1,即sin>,
∴+2kπ∴不等式g(x)>1的解集是,k∈Z.故選A.
9.ACD　sin θ+cos θ=,等號兩邊分別平方,得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,因為sin2θ+cos2θ=1,所以2sin θcos θ=-<0,
因為θ∈,所以θ∈,sin θ<0,cos θ>0,
因為(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,cos θ-sin θ>0,
所以cos θ-sin θ=,
結合sin θ+cos θ=,解得sin θ=-,cos θ=,
所以tan θ==-.故選ACD.
10.BD　∵cos=cos=cos-+x=sin,
∴f(x)=sin,故A不正確;函數f(x)的最大值是,故B正確;函數的周期是2π,故C不正確;當x∈-,時,x+∈, ,∴函數f(x)在區間-,上單調遞增,故D正確.故選BD.
11.ABD　由題意得ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),將其圖象向右平移個單位長度,得到函數f=sin2+φ=sin2x-+φ的圖象.因為f為偶函數,所以-+φ=kπ+,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.
對于A,f =sin=0,故A正確.
對于B,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,當k=0時,-≤x≤,因為 ,所以函數f(x)在上單調遞增,故B正確.
對于C,當x∈時,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以函數f(x)的最大值為1,故C錯誤.
對于D,令g(x)=f(x)-=sin-=0,得2x-=2kπ+,k∈Z或2x-=2kπ+,k∈Z,所以x=kπ+,k∈Z或x=kπ+,k∈Z,所以函數g(x)=f(x)-在上的零點為x=,x=,x=,共3個,故D正確.
故選ABD.
12.答案　-3
解析　由角α的終邊上有一點P的坐標是(m,2m),可得tan α=2,
則====-3.
13.答案　85
解析　設在t min時,游客距離地面的高度h=Asin(ωt+φ)+B(A>0),其中-π<φ<π,
則解得則h=60+50sin(ωt+φ),
由摩天輪按逆時針方向勻速轉動,每15 min轉動一圈,可得=15,所以ω=,即h=60+50sin,
當t=0時,60+50sin φ=10,即sin φ=-1,
因為-π<φ<π,所以φ=-,
所以h=60+50sin=60-50cos,
當t=5時,h=60-50cos=60+25=85.
所以游客進艙5 min時他距離地面的高度為85 m.
14.答案　{1,4}
解析　因為 x∈R,都有f(x)≤恒成立,
所以=2=2,即=1,
即ω+=+kπ(k∈Z),
所以ω=1+3k(k∈Z),
又f(x)在上單調,
所以≥-=,所以≥,
又ω>0,所以0<ω≤,又ω=1+3k(k∈Z),所以ω=1或ω=4.
所以ω的取值集合為{1,4}.
15.解析　(1)f(α)=
==-tan α.(5分)
(2)結合(1)知tan α=-2,
所以===3,(9分)
4sin2α-3sin αcos α====.(13分)
16.解析　(1)由題圖可知,A=2,T=-=,因為T==π,
ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(2分)
又函數f(x)的圖象過點,所以2=2sin,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(5分)
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以f(x)圖象的對稱中心為,k∈Z.(7分)
(2)由(1)及題意,得f =2sin=,即sin=.
因為-=,
所以cos=cos=-sin=-.(10分)
(3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(12分)
因為x∈,所以2x∈,
令π≤2x≤,解得≤x≤,
所以函數y=h(x)在x∈上的單調遞減區間為.(15分)
17.解析　(1)以O為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,
設P(x,y),則點P到水面的距離z=y+2,=sin α,其中α是以Ox為始邊,OP為終邊的角,
由點O到水面的距離為2 m,半徑r=4 m,知∠P0Ox=,(2分)
由該筒車按逆時針方向勻速旋轉,2 min轉動一圈,得∠P0OP=×t=πt,則α=πt-,
則y=rsin α=4sin,則z=4sin+2,t≥0.(4分)
(2)由筒車上均勻分布了12個盛水筒,得∠POQ=,
設Q(xQ,yQ),則=sin,由(1)知,α=πt-,(7分)
所以yQ=4sin=4sin πt,又P點的縱坐標y=4sin,所以sin πt=sin,(10分)
則πt=πt-+2kπ或πt=π-+2kπ,k∈Z,解得t=k+,k∈N,
由盛水筒P和Q均在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(13分)
則2kπ-<πt<2kπ+,k∈Z,則t=2k+,k∈Z,
由t>0得t=2k+,k∈N.(15分)
18.解析　(1)由題圖可得A=2,函數f(x)的最小正周期T=4×=π,則ω===2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),(3分)
因為f =2sin=2,所以sin=1,即φ+=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,
又因為|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.(6分)
(2)由+2asin-2a+2=0,可得sin2+2a·sin-2a+2=0,
即sin2-2acos-2a+2=0,
即1-cos2-2acos-2a+2=0,
即cos2+2acos+2a-3=0,其中x∈,(10分)
因為x∈,所以<2x+<π,
令t=cos,則t∈,t2+2at+2a-3=0,
則關于t的方程t2+2at+2a-3=0在上有解,
由t2+2at+2a-3=0可得2a=,(13分)
令s=t+1,s∈,即t=s-1,則2a==-s+2,
令h(s)=-s+2,s∈,
因為函數y=,y=2-s在上均單調遞減,
所以函數h(s)=-s+2在上單調遞減,所以h(s)>h=,
所以2a>,解得a>,
故實數a的取值范圍是.(17分)
19.解析　(1)由題意可知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],則m的取值范圍為[-2,2].(2分)
(2)證明:因為在[0,2a]上,當且僅當x=時, f(x)取得最大值1, f(x)是定義在R上的奇函數,
所以在[-2a,0]上,當且僅當x=-時, f(x)取得最小值-1,(4分)
由對任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的圖象關于點(a,0)對稱,
又f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x),
故2a為函數f(x)的周期,
故f(x)∈[-1,1],
易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1].(8分)
當f(x)=1時,x=+2na,n∈Z,
當sin πx=1時,x=+2k,k∈Z,
若+2na=+2k,則a=,k,n∈Z,
此時y1=sin πx+f(x)=2為最大值;(11分)
當f(x)=-1時,x=-+2pa,p∈Z,
當cos πx=1時,x=2t,t∈Z,
若-+2pa=2t,則a=,t,p∈Z,
此時y2=cos πx-f(x)=2為最大值.(14分)
由于a=≠,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4,
即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,
所以y1=sin πx+f(x)與y2=cos πx-f(x)不具有“4關聯”性質.(17分)

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