資源簡介

考 前 必 背
一、集合
元素與集合 集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性
集合間的 基本關系 相等:如果兩個集合所含的元素完全相同,那么稱這兩個集合相等
子集:若對任意a∈A,都有a∈B,則A B(或B A)
真子集:若A B,且A≠B,則A B(或B A)
集合的基本 運算 補集: UA={x|x∈U,且x A},A B UA UB
交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A B A∩B=A
并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B},A B A∪B=B
二、充分條件與必要條件
推出關系 由p能推出q,記作p q 由p不能推出q,記作p /q
條件關系 p是q的充分條件 p不是q的充分條件
q是p的必要條件 q不是p的必要條件
三、充要條件
如果p q,且q p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱為p是q的充要條件,也稱q的充要條件是p.
四、從集合的角度理解充分條件、必要條件
如果集合A={x|x滿足條件p},集合B={x|x滿足條件q},則有:
1.若A B,則p q,即p是q的充分條件;
2.若A B,則q p,即p是q的必要條件;
3.若A=B,則p q,即p是q的充要條件;
4.若A B且B A,則p是q的既不充分又不必要條件.
五、全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞 全稱量詞命題 全稱量詞命題 的真假判斷
“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學中稱為全稱量詞,通常用符號“ x”表示“對任意x” 含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”可用符號簡記為“ x∈M,p(x)” 全真為真,一假為假
六、存在量詞與存在量詞命題
存在量詞 存在量詞命題 存在量詞命題 的真假判斷
“存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學中稱為存在量詞,通常用符號“ x”表示“存在x” 含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符號簡記為“ x∈M,p(x)” 一真為真,全假為假
七、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
命題的類型 命題的符號表示 命題的否定 的符號表示 命題的否定 的類型
全稱量詞命題 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 存在量詞命題
存在量詞命題 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 全稱量詞命題
八、不等式的基本性質
性質1:若a>b,則b性質2:若a>b,b>c,則a>c.
性質3:若a>b,則a+c>b+c.
性質4:若a>b,c>0,則ac>bc;若a>b,c<0,則ac性質5:若a>b,c>d,則a+c>b+d.
性質6:若a>b>0,c>d>0,則ac>bd.
九、基本不等式
如果a,b是正數,那么≤(當且僅當a=b時,等號成立).
十、二次函數與一元二次方程、不等式
設一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個實數解為x1,x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,則不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的實數解的情況如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c 的圖象
ax2+bx+c=0 的解 有兩個相異 的實數解 x1,2= (x1ax2+bx+c>0 的解集 (-∞,x1)∪ (x2,+∞) ∪ R
ax2+bx+c<0 的解集 (x1,x2)
十一、指數與對數
1.正數的分數指數冪
概念 =(a>0,m,n∈N*,n>1) ==(a>0,m,n∈N*,n>1)
運算性質 asat=as+t,(as)t=ast,(ab)t=atbt,其中s,t∈Q,a>0,b>0
2.對數的概念與運算(a>0,a≠1,M>0,N>0)
概念 如果ab=N(a>0,a≠1),那么就稱b是以a為底N的對數,記作logaN=b,其中,a叫作對數的底數,N叫作真數
常用對數 以10為底的對數稱為常用對數,對數log10N簡記為lg N
自然對數 以e(e=2.718 28…)為底的對數稱為自然對數,正數N的自然對數logeN一般簡記為ln N
性質 loga1=0;logaa=1;=N;logaab=b(b∈R)
運算性質 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R)
換底公式 logaN=(c>0,c≠1)
換底公式 的推論 ①logab·logba=1;②lobn=logab(b>0,b≠1,m∈R,n∈R,m≠0)
十二、函數的概念及其表示
函數 一般地,給定兩個非空實數集合A和B,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的每一個實數x,在集合B中都有唯一的實數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自變量,集合A叫作函數的定義域
表示方法 列表法、解析法和圖象法
十三、函數的單調性與奇偶性
1.函數的單調性
增函數 減函數
一般地,設函數y=f(x)的定義域為A,區間I A.如果對于區間I內的任意兩個值x1,x2
當x1f(x2),那么稱y=f(x)在區間I上單調遞減,I稱為y=f(x)的減區間
2.函數的最大(小)值
一般地,設y=f(x)的定義域為A.
(1)最大值:如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最大值,記為ymax=f(x0);
(2)最小值:如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值,記為ymin=f(x0).
3.函數的奇偶性
一般地,設函數y=f(x)的定義域為A.
(1)偶函數:如果對于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么稱函數y=f(x)是偶函數.
(2)奇函數:如果對于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=-f(x),那么稱函數y=f(x)是奇函數.
十四、冪函數
概念 一般地,我們把形如y=xα的函數稱為冪函數,其中x是自變量,α是常數
常見五種 冪函數的 圖象
性質 冪函數在(0,+∞)上都有定義
當α>0時,圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調遞增
當α<0時,圖象都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調遞減
十五、指數函數
概念 一般地,函數y=ax(a>0,a≠1)叫作指數函數,它的定義域是R
底數的 范圍 a>1 0圖象
性質 定義域:R;值域:(0,+∞)
圖象過定點(0,1),即x=0時,y=1
增函數; 當x>0時,y>1; 當x<0時,01; 當x>0時,0十六、對數函數
概念 一般地,函數y=logax(a>0,a≠1)叫作對數函數,它的定義域是(0,+∞)
底數的 范圍 a>1 0圖象
性質 定義域:(0,+∞);值域:R
圖象過定點(1,0),即x=1時,y=0
增函數; 當x>1時,y>0; 當01時,y<0; 當00
十七、三角函數
1.同角三角函數的基本關系式
(1)sin2α+cos2α=1.
(2)tan α=.
(3)常見變形:
①(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α.
②(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
③(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2.
④(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α.
2.誘導公式
記憶口訣:奇變偶不變,符號看象限.
公式一:
sin(α+2kπ)=sin α(k∈Z),cos(α+2kπ)=cos α(k∈Z),tan(α+2kπ)=tan α(k∈Z).
公式二:
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
公式三:
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
公式四:
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
公式五:
sin=cos α,cos=sin α.
公式六:
sin=cos α,cos=-sin α.
3.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質
函數 y=sin x y=cos x y=tan x
圖象
定義域 R
值域 [-1,1] R
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
周期性 最小正周期T=2π 最小正周期T=π
遞增 區間 [2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)
遞減 區間 [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 無
對稱 軸 直線x=kπ+(k∈Z) 直線x=kπ(k∈Z) 無
對稱 中心 (kπ,0)(k∈Z) (k∈Z)
4.三角函數的圖象變換
由函數y=sin x的圖象通過變換得到函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種方法:
十八、函數與方程
1.函數的零點
概念 一般地,我們把使函數y=f(x)的值為0的實數x稱為函數y=f(x)的零點
等價關系 方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有交點
函數零點 存在定理 一般地,若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且f(a)f(b)<0,則函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點
2.二分法
(1)二分法的概念:
對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法稱為二分法.
(2)用二分法求方程的一個近似解的步驟:
①方程f(x)=0的解②函數f(x)的零點③確定f(x)的零點x0∈(a,b)④取a,b的平均數c=⑤確定f(x)的零點x0∈(a1,b1)⑥an,bn的近似值都為m⑦方程的一個近似解為m.

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