資源簡介

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密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
)
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姓名 班級 考號
密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線
密 封 線 內 不 要 答 題
)
全書綜合測評
全卷滿分150分　　考試用時120分鐘
一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合M=,P=xx=±90°,k∈Z,則集合M,P之間的關系為(　　)
A.M=P 　　　　B.M P　　　　C.P M　　　　D.M∩P=
2.若“x>2a2-3”是“1≤x≤4”的必要不充分條件,則實數a的取值范圍是(　　)
A.[-,]　　　　B.(-,)　　　　C.(-1,1)　　　　D.[-1,1]
3.已知a=ln 3,b=sin ,c=,則a,b,c的大小關系是(　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>b>a　　　　D.c>a>b
4.北京時間2023年2月10日0時16分,經過約7小時的出艙活動,神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協同,圓滿完成出艙活動全部既定任務.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭,火箭在發射時會產生巨大的噪聲,已知聲音的聲強級d(x)(單位:dB)與聲強x(單位:W/m2)滿足關系式:d(x)=10lg.若某人說話時的聲強級約為60 dB,且火箭發射時的聲強與此人說話時的聲強的比值約為107.8,則火箭發射時的聲強級約為(　　)
A.125 dB　　　　B.132 dB　　　　C.138 dB　　　　D.156 dB
5.函數f(x)=2xlog3|x|-2x+的部分圖象大致為(　　)
　　　　
　　　　
6.已知奇函數f(x)在R上單調遞增,正數m,n滿足f +f(n-1)=0,則2m+的最小值為(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.2+2　　　　D.3+2
7.已知函數f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1, f(3x+1)=-f(-3x+1),則f(k)=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1
8.已知函數f(x)=sin(ωx+φ),為f(x)圖象的一個對稱中心,直線x=為f(x)圖象的一條對稱軸,且f(x)在上單調遞減,記滿足條件的所有ω的值的和為S,則S=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
二、多項選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.已知實數a,b,c,則下列結論正確的是(　　)
A.若ac2>bc2,則a>b　　　　
B.若a>b,則a2>b2
C.若aab　　　　
D.若a>b>1,則a->b-
10. 函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,將函數f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長或縮短為原來的倍(k>0),得到g(x)的圖象,則下列說法正確的是(　　)
A.若k=2,則g(x)的最小正周期為π
B.若k=,則為g(x)的圖象的一個對稱中心
C.若g為偶函數,則k的最小值為1
D.f(x)的單調遞增區間為,m∈Z
11.已知函數f(x)=則下列結論正確的是(　　)
A.函數f(x)為增函數
B. x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1
C.若f(x)<在x∈[n,+∞)上恒成立,則自然數n的最小值為2
D.若關于x的方程2m[f(x)]2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三個不同的實數根,則-8≤m<-4
三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
12.已知tan(5π+α)=2,則的值為　　　　.
13.函數y=loga(x+2)-3(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則+的最小值為　　　　.
14. 已知函數f(x)和g(x)的定義域分別為D1和D2,若對任意的x0∈D1,都恰有n個不同的實數x1,x2,x3,…,xn∈D2,使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2,3,…,n,n∈N*),則稱g(x)為f(x)的“n重覆蓋函數”.
(1)若函數g(x)=cos x(0(2)若g(x)=為f(x)=lo的“2重覆蓋函數”,記實數a的最大值為M,則sin[(M+1)π]=　　　　.
四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)設全集U=R,函數f(x)=log3(-x2+6x-5)的定義域為集合A,集合B={x|2-a(1)當a=1時,求 U(A∩B);
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實數a的取值范圍.
16.(15分)已知函數f(x)=x2-ax-a,g(x)=(a+1)x2-(1+2a)x-a+1(a∈R).
(1)若f(x)在區間[0,2]上的最大值為2,求實數a的值;
(2)當a>0時,求不等式f(x)>g(x)的解集.
17.(15分)已知函數f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)試判斷函數f(x)的奇偶性;
(2)當a=2時,求函數f(x)的值域;
(3)若g(x)=x-2, x1∈[-4,4], x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,求實數a的取值范圍.
18.(17分)已知函數f(x)=是定義在R上的奇函數.
(1)求實數a的值;
(2)解關于x的不等式f(x2+2x-3)+f(1-3x)<0;
(3)是否存在實數k,使得函數f(x)在區間[m,n]上的取值范圍是 若存在,求出實數k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
19.(17分)已知函數f(x)=ax(a>0,且a≠1),點P在其圖象上.
(1)若函數g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)有最小值,求實數m的取值范圍;
(2)設函數h(x)=若存在非零實數x0,使得h(-x0)=h(x0),求實數λ的取值范圍.
答案全解全析
1.B　因為M=={x|x=(2k±1)·45°,k∈Z},
所以集合M中的元素是45°的奇數倍,
因為P=={x|x=(k±2)·45°,k∈Z},
所以集合P中的元素是45°的整數倍,所以M P.故選B.
2.B　因為“x>2a2-3”是“1≤x≤4”的必要不充分條件,
所以2a2-3<1,即a2<2,解得-3.B　因為函數y=ln x在(0,+∞)上單調遞增,3>e,所以a=ln 3>ln e=1.b=sin=-sin =-<0.因為函數y=3x在R上單調遞增,-<0,所以0<<30=1,即0c>b.故選B.
4.C　設此人說話時的聲強為x1 W/m2,
則火箭發射時的聲強約為107.8x1W/m2,且60=10lg,解得x1=10-6,
則火箭發射時的聲強約為107.8×10-6=101.8(W/m2),
將其代入d(x)=10lg,得d(101.8)=10lg=138,
故火箭發射時的聲強級約為138 dB,故選C.
5.B　因為f(x)=2xlog3|x|-2x+的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱,且f(-x)=-2xlog3|x|+2x-=-f(x),
所以函數f(x)為奇函數,圖象關于原點對稱,故排除C,D,
f(1)=-2+1=-1<0,故排除A.故選B.
6.D　由題意得f =-f(n-1)=f(-n+1),所以=-n+1,即+n=1,
所以2m+==3+2mn+≥3+2=3+2,當且僅當=2mn且+n=1,即m=1+,n=-1時,等號成立,所以2m+的最小值為3+2.故選D.
7.D　令x=0,則f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),又f(x)的定義域為R,關于原點對稱,故f(x)為偶函數.
因為f(3x+1)=-f(-3x+1),所以令x=0,則f(1)=-f(1),所以f(1)=0,
又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,
所以f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱,則f(2)=-f(0)=-1.
因為f(x+1)+f(-x+1)=0,所以f(x+2)=-f(-x),又f(x)為偶函數,
所以f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期為4,
故f(3)=f(-1)=f(1)=0, f(4)=f(0)=1,
故f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1,故選D.
8.A　由題意,得+=+kT(k∈Z)或+=+kT(k∈Z),
∴=·(k∈Z)或=·(k∈Z),
∴ω=(1+4k)(k∈Z)或ω=(3+4k)(k∈Z).
∵f(x)在上單調遞減,
∴-≤,∴≤·,∴ω≤2.
①當ω=(1+4k)(k∈Z)時,取k=0,得ω=,
∵直線x=為f(x)圖象的一條對稱軸,
∴×+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z),
又|φ|≤,∴φ=,
∴f(x)=sin,當x∈時,x+∈,滿足f(x)在上單調遞減,
∴ω=符合題意;
取k=1,得ω=2,易知φ=,
∴f(x)=sin,當x∈時,2x+∈,滿足f(x)在上單調遞減,∴ω=2符合題意;
當k≤-1,k∈Z時,ω<0,不符合題意;
當k≥2,k∈Z時,ω>2,也不符合題意.
②當ω=(3+4k)(k∈Z)時,取k=0,得ω=,
∵直線x=為f(x)圖象的一條對稱軸,
∴×+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z),
又|φ|≤,∴φ=,∴f(x)=sin,
當x∈時,x+∈,
此時f(x)在上單調遞增,不符合題意;
當k≤-1,k∈Z時,ω<0,不符合題意;
當k≥1,k∈Z時,ω>2,也不符合題意.
綜上,ω=或ω=2.所以S=+2=.故選A.
9.ACD　對于A,若ac2>bc2,則c2>0,由不等式的基本性質可得a>b,故A正確;
對于B,若a>b,不妨取a=1,b=-1,則a2=b2,故B錯誤;
對于C,若aab,故C正確;
對于D,因為a>b>1,所ab>1,a-b>0,
則-=a-b+=a-b-=>0,
所以a->b-,故D正確.故選ACD.
10.BCD　由題圖可得A=2.由f(x)的圖象過點(0,1),得2sin φ=1,
∴sin φ=.又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.根據函數f(x)的圖象關于直線x=對稱及“五點作圖法”可得ω·+=,解得ω=2,故f(x)=2sin.將f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長或縮短為原來的倍(k>0),得到g(x)的圖象,則g(x)=2sin.
對于A,當k=2時,g(x)=2sin,則g(x)的最小正周期T==,故A錯誤;
對于B,當k=時,g(x)=2sin,由g=0,得點是g(x)的圖象的一個對稱中心,故B正確;
對于C,由題意得,g=2sin,因為g是偶函數,所以+=+nπ,n∈Z,所以k=1+3n,n∈Z,又k>0,所以k的最小值為1,故C正確;
對于D,由2mπ-≤2x+≤2mπ+,m∈Z,得mπ-≤x≤mπ+,m∈Z,所以f(x)的單調遞增區間為,m∈Z,故D正確.故選BCD.
11.BCD　當x∈[1,2)時,x-1∈[0,1),所以f(x-1)=,
又f(x)=f(x-1),所以當x∈[1,2)時, f(x)=;
當x∈[2,3)時,x-1∈[1,2),所以f(x-1)=,
又f(x)=f(x-1),所以當x∈[2,3)時, f(x)=;
當x∈[3,4)時,x-1∈[2,3),所以f(x-1)=,
又f(x)=f(x-1),所以當x∈[3,4)時, f(x)=;
由此可知,當x∈[n,n+1)時, f(x)=,
作出函數y=f(x)的部分圖象,如圖①所示:
圖①
由圖①可知,函數f(x)不是增函數,故A錯誤;
易知f(x)∈[0,1),所以 x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1,故B正確;
在同一平面直角坐標系中作出函數y=f(x)的圖象和直線y=,如圖②所示:
圖②
由圖②可知,當x∈[2,+∞)時, f(x)<恒成立,所以自然數n的最小值為2,故C正確;
令t=f(x),則t∈[0,1),方程2m[f(x)]2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)等價于2mt2+(m+2)t+1=0(m∈R),即(mt+1)(2t+1)=0,解得t=-或t=-(舍去),在同一平面直角坐標系中作出函數y=f(x)的圖象,直線y=和直線y=,如圖③所示:
圖③
由圖③可知,當-∈,即-8≤m<-4時,關于x的方程2m[f(x)]2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三個不同的實數根,故D正確.故選BCD.
12.答案　3
解析　由tan(5π+α)=2,得tan α=2,
所以===3.
13.答案　5
解析　對于函數y=loga(x+2)-3,令x+2=1,可得x=-1,y=-3,可知A(-1,-3),
因為點A(-1,-3)在直線mx+ny+1=0上,所以-m-3n+1=0,即m+3n=1,
則+=+=++3,因為mn>0,所以>0,>0,
所以+=++3≥2+3=5,
當且僅當=,即m=n=時,等號成立,所以+的最小值為5.
14.答案　(1)4　(2)-
解析　(1)因為2x>0,所以2x+1>1 0<<1 0<<2,
因為2x-1<2x+1,所以f(x)=<1,
又因為f(x)==1->1-2=-1,所以-1因為g(x)=cos x(0作出函數f(x)與g(x)在(0,4π)內的大致圖象,如圖所示:
因為g(4π)=cos 4π=1,而函數f(x)在(0,4π)上單調遞增,且-1所以f(4π)<1,由此可知方程f(x)=g(x)在(0,4π)內有4個解,
所以g(x)是f(x)在(0,4π)的“4重覆蓋函數”,故n=4.
(2)f(x)=lo=lo的定義域為(0,+∞),
則對任意的x0∈(0,+∞),都有2個不同的實數x1,x2∈R,
使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2),
因為x>0,所以2x>1,
所以2x+1>2 0<< 0<<1,
所以0<1-<1,所以f(x)=lo∈(0,+∞),
即g(xi)=f(x0)=lo∈(0,+∞),即對任意的k>0,g(x)=k有2個實數根,
當x>1時,g(x)=log2x=k有一個根,故只需x≤1時,g(x)=k有且僅有1個根,即ax2+(2a-3)x+1=k在(-∞,1]上有且僅有一個根,
當a=0時,ax2+(2a-3)x+1=-3x+1≥-2,符合題意;
當a>0時,需滿足g(1)=a+2a-3+1≤0,解得0當a<0時,y=ax2+(2a-3)x+1的圖象開口向下,y=ax2+(2a-3)x+1有最大值,不能滿足對任意的k>0,
g(x)=k有且僅有1個根,故不成立.
綜上,實數a的取值范圍是,故M=,
故sin[(M+1)π]=sin=-.
15.解析　(1)由題意得,-x2+6x-5>0,解得1則A∩B={x|1所以 U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}.(6分)
(2)由(1)知,A={x|1由“x∈A”是“x∈B”的充分條件,得A B,(9分)
所以解得a≥2.
綜上,實數a的取值范圍是{a|a≥2}.(13分)
16.解析　(1)函數f(x)=x2-ax-a的圖象的對稱軸為直線x=,
當≤1,即a≤2時, f(x)max=f(2)=4-3a=2,解得a=;(3分)
當>1,即a>2時, f(x)max=f(0)=-a=2,解得a=-2,不滿足a>2.
綜上,a=.(7分)
(2)由題知,g(x)-f(x)=ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0,而a>0,
因此不等式為(x-1)<0,(10分)
當<1,即a>1時,不等式(x-1)<0的解集為;
當=1,即a=1時,不等式(x-1)<0的解集為 ;
當>1,即0所以當a>1時,原不等式的解集為;
當a=1時,原不等式的解集為 ;
當017.解析　(1)易知函數f(x)的定義域為R,關于原點對稱,
因為f(-x)=loga=loga=f(x),所以函數f(x)是偶函數.(2分)
(2)當a=2時, f(x)=log2.
因為2x>0,=2x+≥2,當且僅當2x=1,即x=0時取等號,
所以f(x)=log2≥log22=1,即函數f(x)的值域為[1,+∞).(5分)
(3)因為 x1∈[-4,4], x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,
所以f(x)在[-4,4]上的最小值減去g(x)在[0,4]上的最小值再加上2后大于或等于0.(7分)
在函數y=g(x)+2=x-2+2(x∈[0,4])中,令t=,則t∈[0,2],原函數等價為h(t)=t2-2t+2,所以y=g(x)+2在[0,4]上的最小值等于h(t)在[0,2]上的最小值.
易知h(t)在[0,1]上單調遞減,在[1,2]上單調遞增,
所以h(t)在[0,2]上的最小值為h(1)=1,
所以[f(x)]min≥1,x∈[-4,4].(9分)
因為f(x)為偶函數,所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4]上的最小值.設v(x)=,則f(x)=logav(x).
任取x1,x2∈[0,4],且x1因為0≤x10,>1,1->0,
所以(-)<0,即v(x1)所以v(x)=在[0,4]上單調遞增.(12分)
當0所以f(x)min=f(4)=loga=loga,
所以loga≥1,解得a≥(舍去).
當a>1時,函數f(x)=logav(x)在[0,4]上單調遞增,
所以f(x)min=f(0)=loga2,所以loga2≥1,解得a≤2,(14分)
又a>1,所以1綜上,實數a的取值范圍為(1,2].(15分)
18.解析　(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數,
∴f(0)=0,即=0,解得a=1.(1分)
此時f(x)=, f(-x)===-f(x),滿足題意,
∴a=1.(3分)
(2)由(1)知, f(x)=.任取x1,x2∈R且x1則f(x1)-f(x2)=-=
=.
∵x10,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)原不等式可化為f(x2+2x-3)<-f(1-3x),即f(x2+2x-3)∴x2+2x-3<3x-1,∴x2-x-2<0,∴-1∴原不等式的解集為{x|-1(3)假設存在實數k,使得函數f(x)在區間[m,n]上的取值范圍是,則即
∴方程2xf(x)=k,即2x·=k有兩個不相等的實數根,
∴方程-(k+1)2x-k=0有兩個不相等的實數根.(13分)
令2x=t,則t>0,故方程t2-(k+1)t-k=0有兩個不相等的正根,
故解得-3+2∴存在實數k,使得函數f(x)在區間[m,n]上的取值范圍是,
此時k的取值范圍為(-3+2,0).(17分)
19.解析　(1)由題意可知, f(-2)=a-2=,因為a>0,且a≠1,所以a=2,
所以f(x)=2x,
則g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)=22xm+(2m-1)2x,(2分)
令s=2x(s>0),則原函數即為y=ms2+(2m-1)s,
當m=0時,函數y=-s在(0,+∞)上無最小值,不符合題意;
當m≠0時,要使得函數y=ms2+(2m-1)s在(0,+∞)上有最小值,
則需所以0故實數m的取值范圍是.(5分)
(2)由(1)知f(x)=2x.
①當0<|x0|≤2時,由h(-x0)=h(x0),得-λ·-4=-λ·-4,得λ==+,
不妨設t=,0由對勾函數的性質可知,函數y=t+在(1,4]上單調遞增,
則λ=t+∈;(9分)
②當2<|x0|<3時,不妨設x0∈(2,3),
由h(-x0)=h(x0),得cos=-λ·-4,得λ=-,
令m(x)=,p(x)=2x-,其中x∈(2,3),任取x1,x2∈(2,3),且2則<<<,易知余弦函數y=cos u在上單調遞減,
所以cos>cos>0,則cos+4>cos+4>0,
因為>>0,所以>>0,
由不等式的基本性質可得>>0,即m(x1)>m(x2),
所以函數m(x)=在(2,3)上單調遞減,
又因為函數y=2x在(2,3)上單調遞增,
所以函數p(x)=2x-在(2,3)上單調遞增,
又p(2)=4-=,p(3)=8-=,
所以當x∈(2,3)時,p(x)∈,即λ∈;(13分)
③當|x0|≥3時,不妨設x0≥3,由h(x0)=h(-x0),可得-λ·-4=2,則λ=-,令q(x)=2x-,x∈[3,+∞),
因為函數y=2x,y=-在[3,+∞)上單調遞增,
所以函數q(x)=2x-在[3,+∞)上單調遞增,
則q(x)≥q(3)=8-=,即λ≥.
綜上所述,實數λ的取值范圍是(2,+∞).(17分)

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