資源簡(jiǎn)介

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1.集合的概念
　　一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.集合中的每一個(gè)對(duì)
象稱為該集合的元素,簡(jiǎn)稱元.
　　集合常用大寫(xiě)拉丁字母表示,如集合A,B,…,集合的元素常用小寫(xiě)拉丁字母表示,如a,b,….
2.集合中元素的特性
(1)確定性:集合中的元素必須是確定的.
(2)無(wú)序性:集合中的元素并無(wú)先后順序,即任何兩個(gè)元素都可以交換順序.
(3)互異性:集合中的元素一定是不同的.
1.1 集合的概念與表示
必備知識(shí) 清單破
知識(shí)點(diǎn) 1 元素與集合的相關(guān)概念
3.元素與集合的關(guān)系
　　屬于(用符號(hào)“∈”表示)或不屬于(用符號(hào)“ ”或“ ”表示).
4.集合相等
　　如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元
素),那么稱這兩個(gè)集合相等.
1.常用數(shù)集及其記法
知識(shí)點(diǎn) 2 集合的表示與分類
非負(fù)整數(shù)集 (或自然數(shù)集) 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
N N*或N+ Z Q R
2.集合的表示方法
(1)列舉法:將集合的元素一一列舉出來(lái),并置于花括號(hào)“{}”內(nèi).
(2)描述法:將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來(lái),寫(xiě)成{x|p(x)}的形式.
　　為了直觀地表示集合,我們常畫(huà)一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合,稱為Venn
圖.
3.集合的分類
　　含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.
　　含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.
　　不含任何元素的集合稱為空集,記作 .
1.參加2023年杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)曲棍球比賽項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員可以組成一個(gè)集合嗎 參加2023
年杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)的高水平運(yùn)動(dòng)員可以組成一個(gè)集合嗎
2.由方程x2-4=0和x-2=0的根組成的集合中有幾個(gè)元素
3.集合{x|x>0}與{y|y>0}是相等集合嗎
4.已知下列三個(gè)集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},它們是不是相同的集合
5. 和{ }表示的意義相同嗎
知識(shí)辨析
1.參加2023年杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)曲棍球比賽項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員是確定的,具有確定性,可以組成集
合.“高水平”無(wú)確定的標(biāo)準(zhǔn),故高水平運(yùn)動(dòng)員不具有確定性,不可以組成集合.
2.2個(gè).方程x2-4=0的根為x=±2,方程x-2=0的根為x=2,根據(jù)集合中元素的互異性知,集合中有2個(gè)
元素.
3.是.集合{x|x>0}與{y|y>0}的代表元素雖然不同,但都表示大于零的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合,故是相
等集合.
4.不是.集合A表示函數(shù)y=x2+1中自變量x的取值范圍,為R;集合B表示函數(shù)y=x2+1中因變量y的
取值范圍,為{y|y≥1};集合C是由坐標(biāo)平面內(nèi)滿足y=x2+1的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的點(diǎn)集.
5.不相同. 是不含任何元素的集合,而集合{ }中含有一個(gè)元素 .
一語(yǔ)破的
1.確定性的應(yīng)用
(1)判斷一組對(duì)象是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn).
(2)元素在集合中,元素就滿足集合的限制條件;元素不在集合中,元素就不滿足集合的限制條
件.由此可以列出關(guān)系式,進(jìn)而得到參數(shù)的值或取值范圍.
2.互異性的應(yīng)用
　　互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn),看看所求的集合中的元素是否互不相同.
3.無(wú)序性的應(yīng)用
　　無(wú)序性是分類討論思想的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn).若給出元素屬于某集合,則它可能等于集合中的任
一元素;若給出兩集合相等,則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 集合中元素特性的應(yīng)用
典例 已知集合A中有三個(gè)元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三個(gè)元素:0,1,x.
(1)若x2∈B,求實(shí)數(shù)x的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,x,使A=B 若存在,求出實(shí)數(shù)a,x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
思路點(diǎn)撥：(1)根據(jù)確定性列出關(guān)于x的方程,并求出x的值,再結(jié)合集合中元素的互異性檢驗(yàn)x
的值是否滿足題意.
(2)因?yàn)锽中有0,而A中a2+1>0,所以集合A中另外兩個(gè)元素中必有0,分別令A(yù)中另外兩個(gè)元素
為0,求得a的值,代入驗(yàn)證A是否等于B即可.
解析： (1)由x2∈B,得x2=0或x2=1或x2=x,解得x=0或x=±1.
由集合中元素的互異性,
可知x≠0,x≠1,故x=-1.
(2)不存在.理由如下:顯然a2+1≠0.
由集合中元素的無(wú)序性,可知a-3=0或2a-1=0.
若a-3=0,則a=3,
此時(shí)A={0,5,10}≠B;
若2a-1=0,則a= ,此時(shí)A= ≠B.
故不存在實(shí)數(shù)a,x,使A=B.
1.方法的選擇
　　當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)較少或元素個(gè)數(shù)多但有規(guī)律時(shí)可考慮用列舉法;當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)多
且有公共屬性或無(wú)限時(shí)可考慮用描述法.
2.用列舉法表示集合時(shí)的省略
　　元素個(gè)數(shù)多或元素個(gè)數(shù)無(wú)限但有規(guī)律時(shí),在不發(fā)生誤解的情況下,可按照規(guī)律列出幾個(gè)
代表元素,其他元素用省略號(hào)表示.如“從1到1 000的所有自然數(shù)”可以表示為{1,2,3,…,1 00
0},“自然數(shù)集N”可以表示為{0,1,2,3,…}.
3.用描述法表示集合時(shí)的注意點(diǎn)
(1)寫(xiě)清楚集合中的代表元素及其范圍,如數(shù)或點(diǎn)等;
(2)除代表元素外的字母,要說(shuō)明其含義或指出其取值范圍;
定點(diǎn) 2 集合的表示
(3)用于描述共同屬性內(nèi)容的語(yǔ)言要力求簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確;
(4)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在“{}”內(nèi),且“{}”內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”等詞語(yǔ).
用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?
(1)在自然數(shù)集內(nèi),小于2 021的奇數(shù)構(gòu)成的集合;
(2)方程(x+1)(x2-2)=0的根構(gòu)成的集合;
(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合;
(4)已知集合A= ,用列舉法表示集合A.
典例
思路點(diǎn)撥： (1)先表示出自然數(shù)集內(nèi)的奇數(shù),再結(jié)合限制條件用描述法表示.
(2)求出方程的根后用列舉法表示.
(3)結(jié)合平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征表示.
(4)由 ∈N先找出8-x的所有可取的值,再結(jié)合x(chóng)∈N得出x的值,最后求代表元素 的值,
進(jìn)而用列舉法表示.
(1)自然數(shù)集內(nèi)的奇數(shù)可以表示為2n+1,n∈N,
故原題用描述法表示為{x|x=2n+1,n∈N且x<2 021}.
(2)解(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=± ,故方程的根構(gòu)成的集合為{-1,- , }.
(3)用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)作為代表元素,用描述法表示此集合為{(x,y)|x<0,且y>0}.
(4)∵ ∈N,
∴8-x可取的值有1,2,4,8,16,
∴x的可能值有7,6,4,0,-8,
又x∈N,∴x可取7,6,4,0,
∴ 可取16,8,4,2,
∴A={2,4,8,16}.
解析：
求解含參數(shù)的集合問(wèn)題的思路
(1)若參數(shù)的取值對(duì)解題有影響,則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類時(shí)要明確分類標(biāo)準(zhǔn),如在方程
ax+b=0中,要討論一次項(xiàng)系數(shù)a是不是0,在方程ax2+bx+c=0中,要討論二次項(xiàng)系數(shù)a是不是0.
(2)利用條件列出含參數(shù)的關(guān)系式,求解可得到參數(shù)的值或取值范圍,要注意利用集合中元素
的特性對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).
定點(diǎn) 3 集合中的參數(shù)問(wèn)題
已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若A中只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若A中有兩個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(4)若A中至多有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(5)若A中至少有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
典例
思路點(diǎn)撥：對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論:a=0 一元一次方程 直接求解;a≠0 一元二次
方程 運(yùn)用判別式Δ求解.
(1)若A= ,則方程ax2-3x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根,
則 解得a> .
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
(2)當(dāng)a=0時(shí),原方程可以化為-3x+1=0,解得x= ,符合題意;
當(dāng)a≠0時(shí),只需Δ=9-4a=0,解得a= .
故實(shí)數(shù)a的值為0或 .
(3)若集合A中有兩個(gè)元素,則方程ax2-3x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
所以
解析：
解得a< 且a≠0.
(4)若集合A中至多有一個(gè)元素,則A= 或A中只有一個(gè)元素.
①當(dāng)A= 時(shí),由(1)得a> ;
②當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí),由(2)得a=0或a= .
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為 a a=0或a≥ .
(5)若集合A中至少有一個(gè)元素,則A中有一個(gè)元素或兩個(gè)元素.
當(dāng)集合A中只有一個(gè)元素時(shí),由(2)得a=0或a= ;
當(dāng)集合A中有兩個(gè)元素時(shí),由(3)得a< 且a≠0.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .第1章　集合
1.1　集合的概念與表示
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　集合的概念與集合中元素的特性
1.下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是(　　)
A.參加杭州亞運(yùn)會(huì)的全體電競(jìng)選手
B.小于的正整數(shù)
C.2025年高考數(shù)學(xué)試題中的所有難題
D.所有無(wú)理數(shù)
2.如果集合M={a,b,c}中的三個(gè)元素是△ABC的三邊長(zhǎng),那么△ABC一定不是　　(　　)
A.銳角三角形　　　　B.直角三角形
C.鈍角三角形　　　　D.等腰三角形
3.下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.我校愛(ài)好足球的同學(xué)組成一個(gè)集合　　　　
B.{1,2,3}是不大于3的自然數(shù)組成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D.數(shù)1,0,5,,,,組成的集合有7個(gè)元素
4. 由a2,2-a,4所構(gòu)成的集合記為A.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得A中只含有一個(gè)元素 若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若A中只含有兩個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的值.
題組二　元素與集合的關(guān)系
5.給出下列關(guān)系:①π∈R;②∈Q;③-3 Z;④|-3| N;⑤0∈ .其中正確的個(gè)數(shù)為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
6.已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x Q},則M=(　　)
A.{1}　　　　B.{2}　　　　
C.{3}　　　　D.{1,2,3}
7.(多選題)已知集合A={a-2,2a2+5a,1+2a},-3∈A,則a的值可能為　　(　　)
A.-1　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.-2
8.已知集合P={x|x2+2ax+a<0},若2 P,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.a>-　　　　B.a≥-
C.a<-　　　　D.a≤-
9.已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},集合B={x|x=3k,k∈Z},集合C={x|x=6k-1,k∈Z},若a∈A,b∈B,c∈C,則(　　)
A.c-b A　　　　B.a-c∈B
C.a+b∈C　　　　D.a+b+c∈B
10.若集合A={x|ax2+2x-1=0}中至多有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　.
11.設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成,且滿足:若x∈A(x≠1且x≠0),則∈A.
(1)若2∈A,試證明A中還有另外兩個(gè)元素;
(2)集合A是不是雙元素集合 說(shuō)明理由.
題組三　集合的表示方法
12.下面用Venn圖表示的集合用描述法表示應(yīng)為　　(　　)
A.{x|1B.{x|1≤x≤5}
C.{x|1≤x≤5,x∈N*}　　　　
D.{x|x∈N*}
13.下列與集合{2 023,1}表示同一集合的是(　　)
A.(2 023,1)
B.{(x,y)|x=2 023,y=1}
C.{x|x2-2 024x+2 023=0}
D.{x=2 023,y=1}
14.已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y|y=|x|,x∈A},則B=(　　)
A.{-1}　　　　 B.{1,2}
C.{0,1,2}　　　　D.{-1,0,1,2}
15.集合A=用列舉法表示為(　　)
A.{-2}　　　　 B.{-2,2}　　　　
C.{-2,2,4}　　　　D.{-2,2,4,5}
16.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?
(1)所有被3除余2的正整數(shù)構(gòu)成的集合;
(2)圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的坐標(biāo)構(gòu)成的集合;
(3)滿足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值構(gòu)成的集合.
題組四　集合相等
17.(教材習(xí)題改編)若{a2,0,-1}={a,b,0},則a2 023+b2 023的值是(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
18.設(shè)集合M={x||x-1|<2,x∈Z},N={y|y=-x2+2x+1,y∈N},則集合M與N的關(guān)系是　　　　.
19.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,則集合A,B之間的關(guān)系為　　　　.
20.已知a,b∈R,集合A={x|ax2+x+1=0},B={x|b2+bx+1=0},若A=B,則ab=　　　　.
答案與分層梯度式解析
1.1　集合的概念與表示
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.C　選項(xiàng)A,B,D中的對(duì)象均是確定的,能構(gòu)成集合.選項(xiàng)C中,難題的標(biāo)準(zhǔn)是不確定的,不能構(gòu)成集合.故選C.
2.D　由集合中元素的互異性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故選D.
3.C　A中說(shuō)法錯(cuò)誤,“愛(ài)好足球的同學(xué)”不滿足集合中元素的確定性,故不能組成一個(gè)集合;B中說(shuō)法錯(cuò)誤,不大于3的自然數(shù)組成的集合為{0,1,2,3};C中說(shuō)法正確;D中說(shuō)法錯(cuò)誤,因?yàn)?,=,所以這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素.
4.解析　(1)存在.
若A中只含有一個(gè)元素,則a2=2-a=4.
由2-a=4,解得a=-2,此時(shí)a2=4,符合題意.
故當(dāng)a=-2時(shí),A中只含有一個(gè)元素.
(2)由題意可知,三個(gè)數(shù)中有且只有兩個(gè)數(shù)相等,即a2=2-a≠4或a2=4≠2-a或2-a=4≠a2.
當(dāng)a2=2-a≠4時(shí),解得a=1;
當(dāng)a2=4≠2-a時(shí),解得a=2;
當(dāng)2-a=4≠a2時(shí),無(wú)解.
綜上,當(dāng)a=1或a=2時(shí),集合A中只含有兩個(gè)元素.
5.A　由元素與集合的關(guān)系知①正確.故選A.
6.A
7.BD　由題意,得-3=a-2或-3=2a2+5a或-3=1+2a,
解得a=-1或a=-或a=-2.
當(dāng)a=-1時(shí),a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互異性,故舍去;
當(dāng)a=-時(shí),a-2=-,2a2+5a=-3,1+2a=-2,滿足題意;
當(dāng)a=-2時(shí),a-2=-4,2a2+5a=-2,1+2a=-3,滿足題意.故選BD.
8.B　由題意得4+4a+a≥0,解得a≥-.故選B.
9.B　由題意設(shè)a=3m-1,b=3n,c=6p-1,m,n,p∈Z,則c-b=6p-1-3n=3(2p-n)-1,即c-b∈A;a-c=3m-1-(6p-1)=3m-6p=3(m-2p),即a-c∈B;a+b=3m-1+3n=3(m+n)-1,當(dāng)m+n不是偶數(shù)時(shí),a+b C;a+b+c=3m-1+3n+6p-1=3(m+n+2p)-2,即a+b+c B.故選B.
10.答案　a≤-1或a=0
解析　當(dāng)a=0時(shí),A={x|2x-1=0}=,符合題意;
當(dāng)a≠0時(shí),Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-1或a=0.
11.解析　(1)證明:由題意得,若2∈A,則=-1∈A,所以 = ∈A,所以=2∈A,
所以集合A中還有另外兩個(gè)元素-1,.
(2)不是.理由如下:若x∈A(x≠1且x≠0),則∈A,所以=1- =∈A,所以 =x∈A,其中x≠,≠,x≠,
所以集合A中包含x,,.因?yàn)閤,,互不相等,所以集合A不是雙元素集合.
12.C　由題圖知,集合是由正整數(shù)1,2,3,4,5組成的,用描述法可表示為{x|1≤x≤5,x∈N*}.故選C.
13.C　選項(xiàng)A不是集合,選項(xiàng)B表示點(diǎn)集,選項(xiàng)D是兩條直線構(gòu)成的集合.
由x2-2 024x+2 023=0,解得x=2 023或x=1,
所以{x|x2-2 024x+2 023=0}={2 023,1},故C正確.
易錯(cuò)警示　在用描述法表示數(shù)集與點(diǎn)集時(shí),數(shù)集的代表元素用一個(gè)字母表示,點(diǎn)集的代表元素用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示.
14.C　因?yàn)閥=|x|,x∈A,所以當(dāng)x=-1或x=1時(shí),y=1;當(dāng)x=0時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=2.因此集合B={0,1,2}.故選C.
15.D　因?yàn)閤∈Z,∈N,所以6-x的取值為1或2或4或8,即x的取值為5或4或2或-2,即A={-2,2,4,5}.故選D.
16.解析　(1){x|x=3n+2,n∈N}.
(2).
(3){x|x=|x|,x∈Z}.
17.B　由題意得a≠0,b≠0,且或所以或?qū)山M解分別代入a2 023+b2 023,得a2 023+b2 023=0.故選B.
18.答案　M=N
解析　由|x-1|<2,解得-1又x∈Z,所以M={0,1,2},
因?yàn)閥=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≤2,且y∈N,
所以N={0,1,2}.所以M=N.
19.答案　A=B
解析　A==…,-,-,-,,,,…,B=xx=k±,k∈Z=…,-,-,-,,,,…,故A=B.
20.答案　0或
解析　當(dāng)b=0時(shí),B={x|1=0}= ,
因?yàn)锳=B,所以A= ,
則a≠0,且Δ=1-4a<0,解得a>,此時(shí)ab=0.
當(dāng)b≠0時(shí),B={x|b2+bx+1=0}=,
由A=B得A中只含有一個(gè)元素,
若a=0,則A={x|x+1=0}={-1},所以=-1,即b2-b+1=0,顯然此方程無(wú)解,故不符合題意;
若a≠0,則Δ=1-4a=0,解得a=,此時(shí)A=={-2},
所以=-2,解得b=1(二重根),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,此時(shí)ab=.綜上可得,ab=0或ab=.
3

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