資源簡介

(共17張PPT)
1.2 子集、全集、補集
知識點 1 子集、真子集
必備知識 清單破
子集 真子集
定義 如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若a∈A,則a∈B),那么集合A稱為集合B的子集 如果A B,并且A≠B,那么集合A稱為集合B的真子集
記法 A B或B A A B或B A
讀法 “集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” “A真包含于B”或“B真包含A”
圖示
性質 (1)任何一個集合是它本身的子集,即A A; (2)空集是任何集合的子集,即 A; (3)對于集合A,B,C,若A B且B C,則A C (1)空集是任何非空集合的真子集;
(2)對于集合A,B,C,若A B且B C,則A C
子集 真子集
或
1.全集
　　如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,全集
通常記作U.
2.補集
知識點 2 補集、全集
定義 文字語言 設A S,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集
符號語言 SA={x|x∈S,且x A}
圖形語言
性質 SS= ; S =S; S( SA)=A 1.任何集合都有真子集嗎
2.若a∈A,能判斷集合{a}是集合A的真子集嗎
3.已知集合B A,則由元素a A能否得到a B
4.根據研究問題的不同,能不能指定不同的集合作為全集
知識辨析
1.不是.空集沒有真子集.
2.不能.當A中僅含一個元素a時,A={a},{a}不是A的真子集.
3.能.由Venn圖可知,若元素a不在集合A中,則元素a不在集合A的子集中.
4.能.全集是一個相對概念,因研究問題的不同而變化,如在實數范圍內解不等式時,全集為實
數集R,而在整數范圍內解不等式時,全集為整數集Z.
一語破的
判斷集合間關系的方法
(1)列舉法:對于能用列舉法表示的集合,先用列舉法將兩個(或多個)集合表示出來,再通過對
比兩個(或多個)集合中的元素來判斷其關系.
(2)元素特征法:確定集合的代表元素是什么,弄清楚集合中元素的特征,再利用集合中元素的
特征判斷.
(3)數形結合法:利用數軸或Venn圖.一般不等式的解集之間的關系適合用數軸判斷.
關鍵能力 定點破
定點 1 集合間關系的判斷
判斷下列集合間的關系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};
(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};
(3)A={x|x是文學作品},B={x|x是散文},C={x|x是敘事散文};
(4)M= x x=m+ ,m∈Z ,N= x x= - ,n∈Z ,P= x x= + ,k∈Z .
典例
(1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)A={x|0<2x-1<1}= ,B={x|1<3x+1<4}={x|0用數軸表示集合A,B,如圖所示:

由圖可知A B.
(3)畫出Venn圖,可知C B A.
解析：

(4)解法一(元素特征法):
M= = x x= ,m∈Z = ,
N= x x= - ,n∈Z = x x= ,n∈Z = x x= ,n∈Z ,
P= x x= + ,k∈∈Z ,
∴M N=P.
解法二(列舉法):
M= ,
N= ,
P= ,
∴M N=P.

1.假設集合A中含有n(n∈N*)個元素,則
(1)A的子集個數是2n;
(2)A的非空子集個數是2n-1;
(3)A的真子集個數是2n-1;
(4)A的非空真子集個數是2n-2.
2.含有限制條件的子集問題,一般可根據條件列出所有適合題意的子集,采用列舉法解決.特
別地,設有限集合A,B中分別含有m個,n個元素(m,n∈N*,m≤n),且A C B,則符合條件的有限
集C的個數為2n-m.
定點 2 探究集合的子集個數
(1)若集合A {1,2,3},且A中至少含有一個奇數,則這樣的集合A有 (　 )
A.3個　 B.4個　 C.5個　 D.6個
(2)若{1,2} A {1,2,3,4,5},則滿足這一關系的集合A的個數為　　　 .
典例
(1)采用列舉法(分類的標準為A中只含1不含3,A中只含3不含1,A中既含1又含3)逐
一列出符合題意的集合A,數出A的個數.
(2)可用列舉法確定集合A,得到集合A的個數,也可用公式求解.
思路點撥：
D
7
(1)∵A {1,2,3},且A中至少含有一個奇數,∴A中必含有1或3.
當A中只含1不含3時,A={1},{1,2};
當A中只含3不含1時,A={3},{3,2};
當A中既含1又含3時,A={1,3},{1,2,3}.因此符合題意的集合A共有6個,故選D.
(2)解法一:∵{1,2} A {1,2,3,4,5},
∴集合A中除了含有1,2兩個元素以外,至少還含有3,4,5中的一個,
因此滿足條件的集合A為{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7
個.
解法二:{1,2}中含有2個元素,{1,2,3,4,5}中含有5個元素,且{1,2} A {1,2,3,4,5},因此集合A
的個數為25-2-1=7.
解析：
1.若集合是有限集,則根據集合間的關系,列出方程(組)求解,解題時還要注意考慮集合中元素
的互異性.
2.若集合是用不等式描述的,則通常借助數軸進行分析,將各個集合在數軸上表示出來,以形
定數,注意實心圓點與空心圓圈,還要注意驗證端點值是否符合題意.
3.涉及“A B”或“A B”的問題,若集合A中含有參數,通常要分A= 和A≠ 兩種情況進
行討論,其中A= 的情況容易被忽略,應引起足夠的重視.
定點 3 已知集合間的關系求參數的值(或范圍)
(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B A,求實數m的取值集合;
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B A,求實數m的取值范圍.
典例
分別根據集合間的關系列出關系式,求出參數的值或取值范圍.
思路點撥：
(1)由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,
∴集合A={1,3}.
①當B= 時,m=0,滿足B A.
②當B≠ 時,m≠0,B={x|mx-3=0}= ,
∵B A,
∴ =1或 =3,
解得m=3或m=1.
綜上可知,實數m的取值集合為{0,1,3}.
(2)①當B≠ 時,如圖所示:
解析：

∴ 或
解得2≤m≤3.
②當B= 時,m+1>2m-1,解得m<2.
綜上,實數m的取值范圍是{m|m≤3}.1.2　子集、全集、補集
基礎過關練
題組一　子集
1.(教材習題改編)設集合M={x|1≤x≤2},N={x|x<3},則集合M和集合N的關系是(　　)
A.N∈M　　　　B.M∈N　　　　
C.M N　　　　D.N M
2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},
B={x|0≤x≤5,x∈N},則滿足條件A C B的集合C的個數為(　　)
A.15　　　　B.16　　　　
C.7　　　　 D.8
已知集合A={0,1},
B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則集合B的子集共有　　　　個.
題組二　真子集
4.(多選題)下列說法中,正確的有　　(　　)
A.空集是任何集合的真子集
B.若A B Z,B C Z,則A C Z
C.任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集
D.如果不屬于B的元素一定不屬于A,則A B
5.已知集合A=,集合 B=y∈N*,y∈A,則集合B的真子集的個數為(　　)
A.7　　　　 B.8　　　　
C.15　　　　D.16
已知集合M滿足{1,2}
M {1,2,3,4,5},則所有滿足條件的集合M的個數是(　　)
A.5　　　　B.6
C.7　　　　D.8
題組三　全集與補集
7.已知全集U={x|-2A.{x|-1B.{x|-2C.{x|-1≤x<1}
D.{x|-28.已知集合U={x|x<0},
UA={x|2023+x≤0},則A=(　　)
A.{x|x>-2 023}　　　　 B.{x|x≥-2 023}
C.{x|-2 0239.設全集U={(x,y)|y=x+1},集合M=,那么 UM=　　　　.
題組四　集合關系中的參數問題
10.已知集合A={x|xA.a≤1　　　　B.a<1　　　　
C.a≥2　　　　D.a>2
11.已知集合A={x|x>2},B={x|x<2m},且 RB A,則實數m的取值范圍是(　　)
A.m>1　　　　B.m≥1
C.m<1　　　　D.m≤1
12.(多選題)已知集合A={2,3,a2-3},B={3,2a},若B A,則實數a的值可以是(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-3　　　　D.3
13.已知集合A={1,2},B={x|mx=1,m∈R},若B A,則實數m可能的取值為　　　　.
能力提升練
題組一　子集、真子集
1.集合M={x|x=5k-2,k∈Z},集合P={x|x=5n+3,n∈Z},集合S={x|x=10m+3,m∈Z}之間的關系是(　　)
A.S P M　　　　B.S=P M
C.S P=M　　　　D.P=M S
2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},若A是U的子集,且同時滿足:①若x∈A,則2x A;②若x∈ UA,則2x UA.則集合A的個數為(　　)
A.8　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.24
題組二　集合關系中的參數問題
3.若一個集合是另一個集合的子集,則稱兩個集合構成“鯨吞”;若兩個集合有公共元素且互不為對方的子集,則稱兩個集合構成“蠶食”.對于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若這兩個集合構成“鯨吞”或“蠶食”,則a的取值集合為　　(　　)
A.　　　　B.
C.{0,2}　　　　 D.
4.(多選題)已知集合A={x|-1≤x≤7},B={x|a+2≤x≤2a-1},使B A成立的實數a的取值集合為M,則M的真子集可以是(　　)
A.{a|a≤4}　　　　 B.{a|a≤3}
C.{a|35.已知集合A={x|x≥1或x≤-1},集合B={x∈R|1A.-2≤a≤1　　　　 B. -1≤a≤1
C. a≤-2或a≥1　　　　D. a≤-1或a≥1
6.已知A={x|-1B={x|m≤x<3m+1}.若B RA,則實數m的取值范圍為　　　　.
7.已知全集U=R,集合M={x|x<0或x>4},N={x|m-1≤x≤3m+1}.
(1)若 UN=M,求m的值;
(2)若N M,求m的取值范圍.
8.已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求實數a的取值范圍;
(2)若N={x|x2+x=0}且M N,求實數a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.2　子集、全集、補集
基礎過關練
1.C
2.B　由題得,集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|0≤x≤5,x∈N}={0,1,2,3,4,5},
則滿足A C B的集合C的個數即為集合{0,3,4,5}的子集的個數,
因為集合{0,3,4,5}的子集的個數為24=16,
所以滿足A C B的集合C的個數為16.故選B.
3.答案　8
解析　由題意可知,當x=0,y=0時,x-y=0∈A,(0,0)為B中元素;當x=0,y=1時,x-y=-1 A,(0,1)不為B中元素;當x=1,y=0時,x-y=1∈A,(1,0)為B中元素;當x=1,y=1時,x-y=0∈A,(1,1)為B中元素,
所以B={(0,0),(1,0),(1,1)},
所以集合B的子集共有23=8個.
4.BD　空集不是空集的真子集,故A錯誤;因為A B,B C,所以A B C,即A C,故B正確;空集沒有真子集,故C錯誤;因為不屬于B的元素一定不屬于A,所以A中的元素都在B中或A為空集,所以A B,故D正確.
5.C　因為A={x|06.B　由題意知,M中必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一個,
∴集合M的個數等價于集合{3,4,5}的非空真子集的個數,為23-2=6.故選B.
7.B
8.C　由題得 UA={x|2 023+x≤0}={x|x≤-2 023},
又U={x|x<0},所以A={x|-2 0239.答案　{(2,3)}
解析　由全集U={(x,y)|y=x+1},可得集合U表示直線y=x+1上的點構成的集合,
由=1,可得y=x+1且x≠2,所以集合M表示直線y=x+1上除去點(2,3)之外的點構成的集合,所以 UM={(2,3)}.
10.C　因為A={x|x11.A　因為B={x|x<2m},所以 RB={x|x≥2m},
又A={x|x>2}, RB A,所以2m>2,即m>1.故選A.
12.ABD　當2a=2,即a=1時,A={2,3,-2},B={3,2},滿足B A.
當2a=a2-3時,解得a=3或a=-1,
當a=3時,A={2,3,6},B={3,6},滿足B A;
當a=-1時,A={2,3,-2},B={3,-2},滿足B A.
綜上,實數a的值可以是1,-1,3.
故選ABD.
13.答案　0,1,
解析　若B= ,則m=0,滿足要求;
若B={1},則m=1;
若B={2},則2m=1,解得m=.
綜上,實數m可能的取值為0,1,.
易錯警示　未知集合B是已知集合A的子集,解題時要考慮B是空集的情況.
能力提升練
C　解法一:∵M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z}
={x|x=5(n+1)-2,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}={x|x=5(2m+1)-2,m∈Z},∴S P=M.故選C.
解法二:將集合M,P,S中的元素分別列舉出來:M={…,-7,-2,3,
8,13,18,23,…},P={…,-7,-2,3,8,13,18,23,…},S={…,-7,3,
13,23,…},∴S P=M.故選C.
B　由題意,當2∈A時,1 A,4 A,當2 A時,{1,4} A,當3∈A時,6 A,當3 A時,6∈A,元素5與7沒有限制,則滿足條件的集合A可以為{2,3},{2,6},{2,3,5},{2,3,7},{2,6,5},{2,6,7},
{2,3,5,7},{2,6,5,7},{1,4,3},{1,4,6},{1,4,3,5},{1,4,3,7},{1,4,6,5},{1,4,6,7},{1,4,3,5,7},{1,4,6,5,7},共16個.故選B.
3.答案　A
信息提取　①“鯨吞”:一個集合是另一個集合的子集;②“蠶食”:兩個集合有公共元素且互不為對方的子集.
數學建模　利用“鯨吞”“蠶食”的定義確定集合A,B間的關系,進而求出實數a的取值集合.
解析　若a=0,則B= ,即B A,此時兩集合構成“鯨吞”;
若a>0,則B=,不滿足B A.
若兩集合構成“蠶食”,則集合A,B有公共元素,但互不為對方的子集,
則=2或-=-1,解得a=或a=2.
綜上可得,a=0或a=或a=2.故選A.
4.BC　當B= 時,a+2>2a-1,解得a<3,滿足題意.
當B≠ 時,如圖所示:
要使B A,需滿足或
所以3≤a≤4.
綜上,集合M={a|a≤4}.
所以集合M的真子集可以是{a|a≤3}或{a|35.B　當a=0時,B= ,滿足B A,
所以a=0符合題意.
當a>0時,B=,
若B A,則≥1或≤-1,
所以0當a<0時,B=,
若B A,則≤-1或≥1(舍),所以-1≤a<0.
綜上,-1≤a≤1.故選B.
6.答案　m>3或m≤-
解析　因為A={x|-13}.
當B= 時,m≥3m+1,解得m≤-,符合題意;
當B≠ 時,因為B RA,
所以或所以m>3.
綜上,實數m的取值范圍為m>3或m≤-.
7.解析　(1)由N={x|m-1≤x≤3m+1},得 UN={x|x3m+1},
因為 UN=M,M={x|x<0或x>4},
所以解得m=1.
(2)當N= 時,m-1>3m+1,解得m<-1;
當N≠ 時,由N M,得或
解得-1≤m<-或m>5.
綜上,m的取值范圍為m<-或m>5.
8.解析　(1)由題意得方程x2+2x-a=0有實數解,
∴Δ=22-4·(-a)≥0,解得a≥-1.
(2)易得N={0,-1}.
當M= 時,Δ=22-4·(-a)<0,解得a<-1.
當M≠ 時,若Δ=0,則a=-1,此時M={-1},滿足M N;若Δ>0,則a>-1,所以要使M N,需滿足無解.
綜上,實數a的取值范圍為{a|a≤-1}.
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