資源簡介

1.3　交集、并集
基礎過關練
題組一　交集的運算
已知集合A={x|-≤x≤},
B={1,2,3,4},則A∩B=(　　)
A.{1}　　　 B.{1,2}
C.{-2,-1,1,2}　　　　D.{-2,-1,0,1,2,3,4}
2.(教材習題改編)已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={-2,-1,0,3,4},則A∩B中的元素個數為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.甲、乙、丙三位同學被問到是否去過淮安方特、龍宮大白鯨世界、西游樂園三個景點時,甲說:我去過的景點比乙多,但沒去過淮安方特;乙說:我沒去過龍宮大白鯨世界;丙說:我們三個人去過同一個景點.則乙一定去過的景點是　　　　 .
題組二　并集的運算
已知集合A={x|x2-3x=0},
B={1,2,3},則A∪B=(　　)
A.{3}　　　　 B.{1,2,3}
C.{0,1,2}　　　　D.{0,1,2,3}
5.已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1A.{x|1C.{x|1≤x≤3}　　　　D.{x|06.已知集合A={x|y=},B={y|y=x2-4x+5},則A∪B=　　　　.
題組三　集合的綜合運算
7.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},則( UA)∩B等于(　　)
A.{-1}　　　　B.{0,1}
C.{-1,2,3}　　D.{-1,0,1,3}
8.已知全集 U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0A.{x|x<2}　　　　B.{x|1C.{x|19.(教材習題改編)如圖,U為全集,M,P,S是U的三個子集,則陰影部分所表示的集合是(　　)
A.(M∩P)∩S　　　　 B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( US)　 D.(M∩P)∪( US)
題組四　利用集合運算解參數問題
10.設全集U={2,3,m2+m-4},集合A={m,2}, UA={3},則m=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.±2　　　　D.-4
11.已知集合A={x|ax≤1},B={2,},若A∪B=A,則實數a的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.(0,2)　　　　D.
12.已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|-113.集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax+b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},則ab=　　　　.
能力提升練
題組一　集合的綜合運算
1.(多選題)已知集合U,A,B的關系如圖所示,則下列結論正確的是(　　)
A.A∩B=B
B.B∩( UA)=
C. U(A∪B)= U(A∩B)
D.若U為自然數集,A={1,2,3,4},B={1,3,4},則A∩( UB)={2}
2.已知集合A中有10個元素,B中有6個元素,全集U有18個元素,A∩B≠ .設集合( UA)∩( UB)中有x(x∈N*)個元素,則x的取值范圍是(　　)
A.{x|3≤x≤8,x∈N*}
B.{x|2≤x≤8,x∈N*}
C.{x|8≤x≤12,x∈N*}
D.{x|10≤x≤15,x∈N*}
3.設U={0,1,2,3,4},A與B是U的兩個子集,若A∩B={1,2},則稱(A,B)為一個“理想配集”,那么符合此條件的“理想配集”(規定:當A≠B時,(A,B)與(B,A)是兩個不同的“理想配集”)的個數是(　　)
A.25　　　　B.26　　　　
C.27　　　　D.28
4.(教材習題改編)某校高中部舉行數學、物理、化學三科競賽,參賽學生中至少參加一科競賽的有:數學807人,物理738人,化學437人;至少參加其中兩科的有:數學和物理593人,數學和化學371人,物理和化學267人;三科都參加的有213人.則該校參加競賽的學生總人數為　　　　.
題組二　集合運算中的參數問題
5.已知集合A={x|00},若(A∪B) C,則實數m的取值范圍為(　　)
A.{m|-2≤m≤1}　　　　B.
C.　　　　D.
6.已知U=R,集合A={x|-6≤2x-2≤0},B={x|-m≤x≤m}.若A∩( UB)≠ ,則實數m的取值范圍為　　　　.
7.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-bx+2=0}.
(1)若A∪B=A,求a的取值集合;
(2)若A∩C=C,求b的取值集合.
8.已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若( RA)∪B= RA,求實數m的取值范圍;
(2)若( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,求實數m的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.3　交集、并集
基礎過關練
1.B
2.B　由集合A的描述知:x是除以3余數為1的整數,
顯然-1 A,0 A,3 A,而-2∈A,4∈A,
所以A∩B={-2,4},有2個元素.故選B.
3.答案　西游樂園
信息提取　(1)甲去過龍宮大白鯨世界、西游樂園;(2)乙去過淮安方特或西游樂園;(3)三個人去過同一個景點.
數學建模　本題以甲、乙、丙三位同學是否去過淮安方特、龍宮大白鯨世界、西游樂園三個景點為背景,構建“集合思想”來判斷乙一定去過的景點. 先從乙說的推斷,可以推出乙可能去過淮安方特或西游樂園,再從甲說的推斷,可以推出甲去過龍宮大白鯨世界和西游樂園,則乙只能去過淮安方特和西游樂園中的一個,最后結合丙說的,利用集合交集的思想,即可推斷出乙一定去過西游樂園.
解析　根據甲、乙、丙三位同學的說法,可推斷出乙一定去過西游樂園.
4.D　因為A={x|x2-3x=0}={0,3},B={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.故選D.
5.B　在數軸上表示出集合A,B,如圖:
所以A∪B={x|0≤x<4}.故選B.
6.答案　{x|x≥-1}
解析　由題意得,x+1≥0,解得x≥-1,
故A={x|x≥-1},
y=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1,故B={y|y≥1},
故A∪B={x|x≥-1}.
7.A　由已知,得 UA={-1,3},所以( UA)∩B={-1}.
故選A.
8.D　因為A={x|x≥2},所以 UA={x|x<2},
因為B={x|0所以( UA)∩B={x|19.C　題圖中的陰影部分是M∩P的子集,不屬于集合S,而屬于集合S的補集,即是 US的子集,則陰影部分所表示的集合是(M∩P)∩ US.故選C.
10.A　因為A={m,2}, UA={3},
所以全集U=( UA)∪A={2,3,m}={2,3,m2+m-4},
所以m=m2+m-4,解得m=±2,
當m=2時,集合A中的元素不滿足互異性,舍去;
當m=-2時,集合A={-2,2}, UA={3},U={-2,2,3},滿足題意.
綜上所述,m=-2.故選A.
易錯警示　本題易忽略“集合中的元素具有互異性”這一隱含條件,所以在求出m的值之后需要代到具體集合中驗證是否滿足元素之間的互異性.
11.D　因為A∪B=A,所以B A.
當a=0時,ax≤1的解集為R,顯然有B A;
當a>0時,ax≤1的解集為,由B A得≥2,所以 0當a<0時,ax≤1的解集為,顯然有B A.綜上,a≤.故選D.
12.答案　a≤-4或a≥5
解析　易得A≠ ,所以要使A∩B= ,需滿足a+3≤-1或a≥5,解得a≤-4或a≥5.
13.答案　30
解析　因為集合A={x|x2-8x+15=0}={3,5},A∪B={2,3,5},A∩B={3},所以B={2,3},
即2,3為方程x2-ax+b=0的兩個實數根,
所以2+3=a,2×3=b,即a=5,b=6,所以ab=30.
能力提升練
1.ABD　對于A,由題圖可知,B A,所以A∩B=B,故A正確;
對于B,由題圖可知,B∩( UA)= ,故B正確;
對于C,由題圖可知,A∪B=A,A∩B=B,且 UA≠ UB,故 U(A∪B)≠ U(A∩B),故C錯誤;
對于D,若U為自然數集,A={1,2,3,4},B={1,3,4},則A∩( UB)={2},故D正確.
2.A　因為集合A中有10個元素,B中有6個元素,A∩B≠ ,
所以A∩B中至少有1個元素,至多有6個元素,
所以A∪B中至多有15個元素,至少有10個元素,
因為集合( UA)∩( UB)= U(A∪B)中有x個元素,所以18-15≤x≤18-10,且x∈N*,即3≤x≤8,x∈N*,
即x的取值范圍是{x|3≤x≤8,x∈N*}.故選A.
3.C　對子集A分類討論:
若A={1,2},此時集合B可以為{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},
{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4},共8個;
若A={0,1,2},此時集合B可以為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4個;
若A={1,2,3},此時集合B可以為{1,2},{0,1,2},{1,2,4},{0,1,2,4},共4個;
若A={1,2,4},此時集合B可以為{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{0,1,2,3},共4個;
若A={0,1,2,3},此時集合B可以為{1,2},{1,2,4},共2個;
若A={0,1,2,4},此時集合B可以為{1,2},{1,2,3},共2個;
若A={1,2,3,4},此時集合B可以為{1,2},{1,2,0},共2個;
若A={0,1,2,3,4},此時集合B可以為{1,2},共1個.
所以共有8+4+4+4+2+2+2+1=27個.
故選C.
4.答案　964
解析　解法一:只參加物理和數學的人數為593-213=380,
只參加數學和化學的人數為371-213=158
只參加物理和化學的人數為267-213=54,
畫出Venn圖如圖所示:
所以參加競賽的學生總人數為56+91+12+380+158+54+213=964.
解法二:設集合A={x|x為參加數學競賽的學生},集合B={x|x為參加物理競賽的學生},集合C={x|x為參加化學競賽的學生},則card(A)=807,card(B)=738,card(C)=437,card(A∩B)=593,card(B∩C)=267,card(A∩C)=371,card(A∩B∩C)=213,利用容斥原理得,該校參加競賽的學生總人數為card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=807+738+437-593-267-371+213=964.
方法技巧　一般地,用列舉法表示的集合或研究抽象集合之間的關系時,用Venn圖比較簡便,要熟悉集合的交集、并集、補集的Venn圖表示,如圖所示:
①表示A∩B;②表示A∩( UB);③表示B∩( UA);④表示 U(A∪B)=( UA)∩( UB).
教材拓展　把含有有限個元素的集合A叫作有限集,用card(A)來表示有限集合A中元素的個數,如A={a,b,c},則card(A)=3.容斥原理告訴我們,如果被計數的事物有A,B,C三類,那么card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
5.B　易得A∪B={x|-1①當m<0時,集合C=,若(A∪B) C,
則-≥2,解得-≤m<0.
②當m=0時,集合C=R,滿足題意.
③當m>0時,集合C=,若(A∪B) C,
則-≤-1,解得0綜上所述,實數m的取值范圍是.
故選B.
6.答案　(-∞,2)
解析　易得A={x|-2≤x≤1}.
當B= 時,m<0, UB=U,A∩( UB)=A,符合題意;
當B≠ 時,m≥0, UB={x|x<-m或x>m},
由A∩( UB)≠ ,得-m>-2或m<1,所以m<2,所以0≤m<2.
綜上所述,實數m的取值范圍為(-∞,2).
7.解析　(1)解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,于是A={1,2},
解方程x2-ax+(a-1)=0,即(x-1)[x-(a-1)]=0,得x=1或x=a-1.
由A∪B=A,得B A,
當a-1=1,即a=2時,B={1},滿足題意;
當a-1=2,即a=3時,B={1,2},滿足題意.
綜上所述,a的取值集合為{2,3}.
(2)由(1)知,A={1,2},由A∩C=C,得C A,
當C= 時,滿足C A,則方程x2-bx+2=0無解,即Δ=b2-8<0,解得-2當C≠ 時,若集合C中只含有一個元素,即C={1}或C={2},則方程x2-bx+2=0有重根1或2,
即x2-bx+2=(x-1)2或x2-bx+2=(x-2)2恒成立,顯然兩個等式都不恒成立,故無解;
若集合C中含有兩個元素,即C={1,2},則方程x2-bx+2=0有兩個不相等的實數根,分別是x1=1,x2=2,此時b=3.
故b的取值集合是(-2,2)∪{3}.
8.解析　(1)由題意知, RA={x|-3≤x≤7}.
因為( RA)∪B= RA,所以B ( RA).
①當B= 時,滿足B ( RA),則m+1>2m-1,解得m<2;
②當B≠ 時,若B ( RA),則解得2≤m≤4.
綜上所述,m的取值范圍為{m|m≤4}.
(2)因為( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,所以B≠ ,即m+1≤2m-1,解得m≥2,
則m+1≥3,2m-1≥3.
①當2m-1≤7,即m≤4時,( RA)∩B={x|m+1≤x≤2m-1},故2m-1-(m+1)≥1,所以3≤m≤4;
②當即4③當m+1>7,即m>6時,( RA)∩B= ,不符合題意.
綜上所述,實數m的取值范圍為{m|3≤m≤5}.
20(共18張PPT)
1.3 交集、并集
知識點 1 交集與并集
必備知識 清單破
交集 并集
文字語言 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”) 由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構成的集合,稱為A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”)
符號語言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B}
圖形語言
交集 并集
運算性質 A∩B=B∩A; A∩A=A; A∩ = = ∩A; (A∩B) A; (A∩B) B; A B A∩B=A A∪B=B∪A;
A∪A=A;
A∪ =A= ∪A;
A (A∪B);
B (A∪B);
A B A∪B=B
知識拓展　德·摩根定律
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB);
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
　　設a,b∈R,且a叫作相應區間的端點.
　　在數軸上表示時,閉區間用實心圓點表示,開區間用空心圓圈表示.
知識點 2 區間
1.A∪B中元素個數與A,B中元素個數的和相等嗎
2.當集合A與B沒有公共元素時,A與B就沒有交集嗎
3.區間是數集的另一種表示方法,任何數集都能用區間表示嗎
知識辨析
1.不一定.當A和B有公共元素時,公共元素在A∪B中只能出現一次,故只有A和B無公共元素
時,才相等.
2.不是.當集合A與B沒有公共元素時,不能說A與B沒有交集,而應說A∩B= .因為空集是任何
集合的子集,所以任何兩個集合都存在交集.
3.不是.如集合{0,1}不能用區間表示.
一語破的
1.在進行集合的混合運算時,一般先運算括號內的部分,再根據運算順序依次進行運算.
2.集合的混合運算的分類
(1)有限集(或可以列舉的無限集)的運算,運用列舉法,按照運算的定義進行運算,注意集合中
元素的互異性;
(2)與不等式有關的無限集的運算,借助數軸,按照運算的定義進行運算,注意是否去掉端點值;
(3)抽象集的運算,利用Venn圖,借助直觀圖形,按照運算的定義進行運算.
關鍵能力 定點破
定點 1 集合的混合運算
(1)設全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|x≤-2或x>6},則A∩( UB)=(　 )
A.{x|x<2}　 B.{x|2≤x≤6}
C.{x|-2(2)設全集U=R,A={x|x≤1},B={x|-1
A.{x|x≥1}　 B.{x|1≤x<2}
C.{x|x>1}　 D.{x|1典例
C
D
(1)根據補集和交集運算的定義求解.(2)由題中Venn圖知陰影部分所表示的集合
為( UA)∩B,進而得到結果.
思路點撥：
(1)∵全集U=R,B={x|x≤-2或x>6},∴ UB={x|-2∵A={x|x<2},∴A∩( UB)={x|-2故選C.
(2)題圖中陰影部分表示的集合中的元素在集合B中,但不在集合A中,故該集合為( UA)∩B.
∵全集U=R,A={x|x≤1},
∴ UA={x|x>1},
又B={x|-1∴( UA)∩B={x|1∴題圖中陰影部分對應的集合為{x|1故選D.
解析：
由集合間的運算關系求參的思路
(1)將集合間的運算關系轉化為兩個(或多個)集合之間的關系.若集合中的元素能被一一列
舉,則可用觀察法;若集合與不等式有關,則可用數軸求解.
(2)將集合之間的關系轉化為方程(組)或不等式(組),求解即可.在求解時注意集合中元素的互
異性和空集的特殊性.
定點 2 已知集合間的運算關系求參
已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求實
數a的值及m的取值范圍.
典例
根據A∪B=A,可知B A,求出實數a的值;由A∩C=C,可得C A,則可分為C=A、C
= 、C A(C是非空集合)三種情況討論求解.
思路點撥：
由已知得A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}.
由A∪B=A,得B A,
所以a-1=2或a-1=1.
當a-1=2,即a=3時,A=B,滿足A∪B=A;
當a-1=1,即a=2時,B={1},滿足A∪B=A.
故a=3或a=2.
由A∩C=C,得C A,
所以C=A或C= 或C A(C是非空集合).
當C=A時,m=3;
當C= 時,由Δ=m2-8<0,得-2 當C A(C是非空集合)時,C={1}或{2},
解析：
若C={1},則12-m×1+2=0,解得m=3,
此時C={1,2}≠{1},舍去;
若C={2},則22-m×2+2=0,解得m=3,
此時C={1,2}≠{2},舍去.
故m=3或-2 綜上,a=3或a=2,m=3或-2 方法點撥 解決含參數的集合的子集問題時,一要合理轉化對應集合的關系,二要分子集是
空集和不是空集兩種情況討論,當子集不是空集時,借助數軸列不等式(組)解題,準確對參數
分類是解題的要點.
素養解讀
　　集合是現代數學的基本語言,本質上,集合源于對數量與數量關系的抽象,集合的概念就
是舍去事物的一切物理屬性,得到抽象的數學結構,是數量與數量關系抽象的更高層次.
學科素養 情境破
素養 通過集合知識發展數學抽象、數學運算的素養
典例呈現
已知集合B= ,C={-3,-2,-1},D={x|x2+4tx+3t2=0},且集合D滿足D∩B= ,D
∩C≠ .
(1)求實數t的值;
(2)已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥1),其中ai∈Z(i=1,2,…,k),定義集合S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b
∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A},集合S和T中的元素個數分別為m和n.若對任意的a∈A,總
有-a A,則稱集合A具有性質P.
①集合B∪C與C∪D是否具有性質P 若有,寫出相應的集合S和T;若沒有,請說明理由;
②試判斷m和n的大小關系,并證明你的結論.
典例
信息提取 ①集合D與集合B中無相同元素,集合D與集合C中有相同元素;②集合S:代表元素
(a,b)中的a,b屬于A,且a+b仍屬于A;集合T:代表元素(a,b)中的a,b屬于A,且a-b仍屬于A;③具有
性質P:集合中元素的相反數不屬于該集合.
解題思路 (1)易得B= x∈Z -2≤x≤ ={-2,-1,0},D={x|x2+4tx+3t2=0}={-t,-3t}.
因為D∩B= ,
所以-1 D,-2 D,0 D.
因為C={-3,-2,-1},D∩C≠ ,
所以-3∈D,
所以-t=-3或-3t=-3,解得t=3或t=1.
當t=3時,D={-3,-9},滿足題意;
當t=1時,D={-1,-3},不滿足D∩B= ,舍去.
綜上,t=3.
(2)①由(1)知B∪C={-3,-2,-1,0},C∪D={-9,-3,-2,-1}.
因為0∈(B∪C),-0∈(B∪C),
所以B∪C不具有性質P.
因為C∪D={-9,-3,-2,-1}滿足對任意的a∈(C∪D),總有-a (C∪D),
所以C∪D具有性質P,且集合S={(-1,-2),(-2,-1),(-1,-1)},集合T={(-2,-1),(-3,-2),(-3,-1)}.
②m=n.證明如下:
若(a,b)∈S,則a∈A,b∈A且a+b∈A,從而有(a+b,b)∈T.
若(a,b),(c,d)為S中不同的元素,則a=c,b=d中至少有一個不成立,即a+b=c+d,b=d中至少有一個
不成立,即(a+b,b),(c+d,d)也是T中不同的元素,故m≤n.
若(a,b)∈T,則a∈A,b∈A且a-b∈A,從而有(a-b,b)∈S.
若(a,b),(c,d)為T中不同的元素,則a=c,b=d中至少有一個不成立,即a-b=c-d,b=d中至少有一個
不成立,即(a-b,b),(c-d,d)也是S中不同的元素,故m≥n.
綜上,m=n.
思維升華
　　抽象的過程實際上是對數學概念與數量關系等理解與應用的過程.集合中的新定義問題
能很好地體現數學抽象與數學運算的素養水平,此類問題不是簡單考查集合的概念或性質
(集合中元素的特性、集合的運算性質等),而是以集合為載體,通過定義新概念、新法則、新
運算等,理解符號所代表的數量關系和變化規律,并能運用集合的性質進行符號間的轉化.

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