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本章復習提升
易混易錯練
易錯點1　忽略集合中元素的含義致錯
1.(多選題)已知集合A={y|y=x2+1},B={(x,y)|y=x2+1},下列關系正確的是　　(　　)
A.A=B　　　　 B.(1,2)∈A
C.1 B　　　　D.2∈A
2.已知集合A={4,5,6,7},B={6,7,8},若全集U=A∪B,則 U(A∩B)等于(　　)
A.{6,7}　　　　B.{4,5,6,7,8}
C.{4,5,8}　　　D.
易錯點2　忽略集合中元素的互異性致錯
3.已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},A∪B=A,則實數(shù)a的取值集合為(　　)
A.{2}　　　　B.{-1,2}　　　　
C.{1,2}　　　D.{0,2}
4.設集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},則A∪B=　　　　.
易錯點3　忽略對空集的討論致錯
5.設A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.若B A,則實數(shù)a的取值集合為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.已知全集U=R,集合A={x|a+1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤5}.
(1)當a=3時,求( UA)∩B;
(2)若　　　　,求實數(shù)a的取值范圍.
在①A∩B=A;②A∪B=B;③A∩B= 這三個條件中任選一個,補充到本題第(2)問的橫線處,并按照你的選擇求解問題(2).
易錯點4　忽略對端點值的取舍致錯
7.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B A,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
8.設U=R,A={x|2-a(1)若a=2,求A∩( UB);
(2)若a>0且A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若A∩B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
思想方法練
一、分類討論思想在集合問題中的應用
1.已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且僅有一個元素,那么a的可能取值為(　　)
A.-1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.0
2.已知集合A={x|1B={x|2mA.m≥　　　　B.0≤m<
C.m≤0　　　　D.m≥0
3.含有三個實數(shù)的集合可以表示為,也可以表示為{a2,a+b,0},則a2 023+b2 024的值為　　　　.
4.已知集合P={x|x2+4x=0},Q={x|x2-4mx-m2+1=0}.
(1)若1∈Q,求實數(shù)m的值;
(2)若P∪Q=P,求實數(shù)m的取值范圍.
二、數(shù)形結合思想在集合問題中的應用
5.某校高二(1)班共有學生50人,每名學生要從物理、化學、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇三門課程進行學習.已知選擇物理、化學、生物的學生各有至少20人,這三門課程都不選的有10人,這三門課程都選的有10人,在這三門課程中選擇任意兩門課程的都至少有13人,在物理、化學、生物中單獨選物理、化學中一門的學生都至少有6人,那么同時選擇物理和化學這兩門課程的學生人數(shù)至多為(　　)
A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19
6.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若( RA)∪B=R,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù)a,使( RA)∪B=R且A∩B= 若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
三、轉化與化歸思想在集合問題中的應用
7.設集合A={x|a≤x≤a+4},B={x|x<-1或x>5},若A∩B≠ ,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.
8.已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1},集合B={x|1≤x≤6}.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
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易混易錯練
1.CD　易知A={y|y=x2+1}={y|y≥1}是數(shù)集,B={(x,y)|y=x2+1}是點集,所以A≠B,(1,2)∈B,1 B,2∈A.故選CD.
易錯警示　本題中集合A,B的代表元素不同,集合A是由函數(shù)值y構成的集合,集合B是由函數(shù)y=x2+1的圖象上的點構成的集合,解題時要正確理解集合中元素的意義.
C　易得全集U=A∪B={4,5,6,7,8},A∩B={6,7},所以 U(A∩B)=
{4,5,8}.
易錯警示　全集是相對于我們研究的問題而言的,不是固定不變的,如在整數(shù)范圍內研究問題,全集是Z;在實數(shù)范圍內研究問題,全集是R.
3.A　由A∪B=A知B A.
當a+2=3,即a=1時,a2=1,不滿足集合中元素的互異性,舍去;
當a+2=a2,即a=-1或a=2時,
若a=-1,則a2=1,不滿足集合中元素的互異性,舍去;
若a=2,則A={1,3,4},B={1,4},滿足題意.
綜上,a=2.故選A.
4.答案　{-31,-23,-11,5,25}
解析　由A∩B={25}得25∈A,
所以(x-1)2=25或7x-3=25,
解得x=6或x=-4或x=4.
當x=6時,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不滿足題意,舍去;
當x=-4時,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},滿足題意,此時A∪B={-31,-23,-11,5,25};
當x=4時,6x+1=25,B不滿足集合中元素的互異性,舍去.
綜上,A∪B={-31,-23,-11,5,25}.
易錯警示　當集合中的元素含有參數(shù)時,求出參數(shù)的值后,一定要代回檢驗,確保滿足集合中元素的互異性.
5.C　由x2-8x+15=0得x=3或x=5,∴A={3,5}.
當B= 時,a=0,滿足B A;
當B≠ 時,由ax-1=0得x=,即B=,
∵B A,∴=3或=5,解得a=或a=.
綜上所述,實數(shù)a的取值集合為.故選C.
6.解析　(1)當a=3時,A={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7},則 UA={x|x<4或x>7},
又B={x|-2≤x≤5},所以( UA)∩B={x|-2≤x<4}.
(2)選①:A∩B=A.
因為A∩B=A,所以A B.
當A= 時,a+1>2a+1,即a<0,滿足A B;
當A≠ 時,若A B,則解得0≤a≤2.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤2}.
選②:A∪B=B.
因為A∪B=B,所以A B.
當A= 時,a+1>2a+1,即a<0,符合A B;
當A≠ 時,若A B,則解得0≤a≤2.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤2}.
選③:A∩B= .
因為A∩B= ,A={x|a+1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤5},
所以當A= 時,a+1>2a+1,即a<0,符合A∩B= ;
當A≠ 時,若A∩B= ,則或所以a>4.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為{a|a<0或a>4}.
易錯警示　空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此當含參數(shù)的集合是一個確定集合的子集或真子集時,要考慮含參數(shù)的集合是空集的特殊情況.
7.答案　{a|a<-8或a≥3}
解析　易知a+3>a+1,所以B≠ ,利用數(shù)軸表示B A,如圖所示,
或
則a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3,
所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a<-8或a≥3}.
解析　(1)易得 UB=(-∞,-4)∪(3,+∞).當a=2時,A={x|0=(0,4),∴A∩( UB)=(3,4).
(2)由A∪B=A得B A.∵a>0,∴解得a>6,即實數(shù)a的取值范圍為(6,+∞).
(3)由A∩B=A,得A B.
當A= 時,2-a≥2+a,解得a≤0;
當A≠ 時,需滿足解得0綜上,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].
易錯警示　在求集合中參數(shù)的取值范圍時,要特別注意在區(qū)間的端點(邊界)處能否取等號,以免增解或漏解.
思想方法練
1.C　對二次項系數(shù)是不是0進行討論.
當a2-1=0時,a=1或a=-1,
若a=1,則A={x|2x+1=0}=,符合題意;
若a=-1,則A={x|1=0}= ,不符合題意.
當a2-1≠0時,a≠±1,要使集合A中有且僅有一個元素,則需Δ=(a+1)2-4(a2-1)=-3a2+2a+5=0,
解得a=或a=-1(舍去).
綜上,a=1或a=.故選C.
2.D　對集合B是不是 進行討論.
當B= 時,2m≥1-m,解得m≥;
當B≠ 時,需滿足或所以0≤m<.
綜上,實數(shù)m的取值范圍為m≥0.
3.答案　-1
解析　根據(jù)集合中元素的無序性進行分類討論.
由題知,={a2,a+b,0},
顯然a≠0,故=0,則b=0,
此時{a,1,0}={a,a2,0}.
若a2=1,則a=1或a=-1,
當a=1時,不滿足集合中元素的互異性,舍去;
當a=-1時,滿足題意.
若a2=a,則a=0或a=1,均不滿足集合中元素的互異性,舍去.
綜上,a=-1,b=0,
所以a2 023+b2 024=(-1)2 023+02 024=-1.
4.解析　(1)由1∈Q得1-4m-m2+1=0,即m2+4m-2=0,解得m=-2±.
(2)易得P={0,-4}.由P∪Q=P得Q P.
對集合Q分 ,{0},{-4},{0,-4}進行討論.
當Q= 時,方程x2-4mx-m2+1=0無解,所以Δ=16m2+4m2-4=20m2-4<0,解得-當Q={0}時,方程x2-4mx-m2+1=0有兩個相等的實數(shù)根0,所以無解;
當Q={-4}時,方程x2-4mx-m2+1=0有兩個相等的實數(shù)根-4,所以無解;
當Q={0,-4}時,方程x2-4mx-m2+1=0有兩個不相等的實數(shù)根0,-4,所以解得m=-1.
綜上,實數(shù)m的取值范圍為-思想方法　分類討論思想在集合中有重要的應用,主要是由集合中元素的特性和元素與集合、集合與集合之間的關系引起的討論.
5.C　把50名學生看成一個集合U,
選擇物理課程的人組成集合A,
選擇化學課程的人組成集合B,
選擇生物課程的人組成集合C,
將選擇不同科目的學生視為不同的集合,作出相應的Venn圖,使用數(shù)形結合思想求解.
要使同時選擇物理和化學這兩門課程的學生人數(shù)最多,且滿足物理、化學、生物這三門課程都不選的有10人,這三門課程都選的有10人,
則其他幾個選擇的人數(shù)均為最少,
故只選物理的最少有6人,只選化學的最少有6人,三門課程中只選化學、生物的最少有3人,只選物理、生物的最少有3人,只選生物的最少有4人,作出Venn圖,如圖所示:
所以三門課程中只選物理、化學的至多有8人,所以同時選擇物理和化學這兩門課程的學生人數(shù)至多為10+8=18.故選C.
6.解析　(1)∵A={x|0≤x≤2},
∴ RA={x|x<0或x>2}.
∵( RA)∪B=R,
∴滿足題意的數(shù)軸如圖所示:
∴∴-1≤a≤0.
在數(shù)軸上表示出集合A的補集,利用數(shù)軸可以直觀找到實數(shù)a滿足的條件,從而求出實數(shù)a的取值范圍.
(2)不存在.理由如下:
由(1)知( RA)∪B=R時,-1≤a≤0,
∴a+3∈[2,3],∴A B,與A∩B= 矛盾,
∴不存在滿足條件的實數(shù)a.
思想方法　數(shù)形結合思想在集合問題中的應用主要有兩種:一種是借助數(shù)軸求解,另一種是借助Venn圖求解.
7.答案　{a|a<-1或a>1}
解析　利用補集思想,將求A∩B≠ 時實數(shù)a的取值范圍轉化為求A∩B= 時實數(shù)a的取值范圍,再求其補集.
當A∩B= 時,在數(shù)軸上表示集合A,B,如圖:
則解得-1≤a≤1.
所以當A∩B≠ 時,實數(shù)a的取值范圍為{a|a<-1或a>1}.
8.解析　(1)當a=1時,集合A={x|a-1≤x≤2a+1}={x|0≤x≤3},又B={x|1≤x≤6},所以A∩B={x|1≤x≤3}.
(2)由A∪B=B得A B.
將集合間的運算轉化為兩集合間的關系.
當A= 時,a-1>2a+1,解得a<-2.
當A≠ 時,需滿足解得2≤a≤.
綜上,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2)∪.
思想方法　轉化與化歸思想在集合問題中的應用主要體現(xiàn)在集合運算與集合關系的轉化以及補集思想的應用等方面.
2

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