資源簡介

綜合拔高練
高考真題練
考點1　集合的運算
1.(2023全國甲文,1)設全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則N∪ UM=(　　)
A.{2,3,5}　　　　 B.{1,3,4}
C.{1,2,4,5}　　　　D.{2,3,4,5}
2.(2023北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},則M∩N=(　　)
A.{x|-2≤x<1}　　　　B.{x|-2C.{x|x≥-2}　　　　 D.{x|x<1}
3.(2023全國乙理,2)設全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N)　　　　B.N∪ UM
C. U(M∩N)　　　　D.M∪ UN
4.(2023全國甲理,1)設全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},則 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}　　　　
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　　
D.
5.(2022全國甲理,3)設全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},則 U(A∪B)=(　　)
A.{1,3}　　　　B.{0,3}　　　　C.{-2,1}　　　　D.{-2,0}
6.(2022新高考Ⅰ,1)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},則M∩N=(　　)
A.{x|0≤x<2}　　　　 B.
C.{x|3≤x<16}　　　　D.
考點2　集合的運算的應用
7.(2023新課標Ⅱ,2)設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,則a=(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.　　　　D.-1
8.(2020全國Ⅰ理,2)設集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=　　(　　)
A.-4　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.4
9.(2020全國Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個數(shù)為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
10.(2020浙江,10)設集合S,T,S N*,T N*,S,T中至少有2個元素,且S,T滿足:①對于任意的x,y∈S,若x≠y,則xy∈T;②對于任意的x,y∈T,若xA.若S有4個元素,則S∪T有7個元素
B.若S有4個元素,則S∪T有6個元素
C.若S有3個元素,則S∪T有5個元素
D.若S有3個元素,則S∪T有4個元素
高考模擬練
應用實踐
1.已知集合A=,B=,下列描述正確的是(　　)
A.A∩B=A　　　　 B.A∩B=B
C.A∩B= 　　　　D.以上選項都不對
2.若集合M={x|(m+1)x2-mx+m-1=0}恰有1個真子集,則m的取值是　　(　　)
A.-1　　　　 B.　　　　
C.±　　　　D.±或-1
3.設集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},定義集合S={(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab},則集合S中元素的個數(shù)是(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
4.經(jīng)調查,杭州第19屆亞運會中球類、田徑類、游泳類比賽深受學生喜愛.小明統(tǒng)計了其所在班級50名同學觀看球類、田徑類、游泳類比賽情況,每人至少觀看過其中一類比賽,有15人觀看過這三類比賽,有18人沒觀看過球類比賽,有20人沒觀看過田徑類比賽,有16人沒觀看過游泳類比賽,因不慎將觀看過其中兩類比賽的人的數(shù)據(jù)丟失,將其記為m,則由上述可推斷出m=(　　)
A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19
5.(多選題)用C(M)表示非空集合M中的元素個數(shù).對于集合A,B,定義A*B=若A={0,1},B={x|(x2-ax)(x2+ax+2)=0},設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S,則下列選項正確的是(　　)
A.C(B)可能為1,2,3,4
B.若A*B=0,則a的取值范圍為(-2,2)
C.若A*B=1,則C(S)=3
D.若A*B=2,則a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞)
6.已知全集U={x|x=3n,1≤n≤5且n∈N},A={x|x2-px+27=0,p∈N},B={x|x2-15x+q=0,q∈N},且A∪( UB)={3,9,12,15},則p+q=　　　　.
7.當兩個集合中有一個集合為另一個集合的子集時,稱兩個集合之間構成“全食”;當兩個集合有公共元素,但互不為對方的子集時,稱兩個集合之間構成“偏食”.對于集合A=,B={x|x2=a},若A與B構成“全食”,則a的取值范圍是　　　　　　;若A與B構成“偏食”,則a的值是　　　　.
8.已知集合A={x|-2≤x≤5},
B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∪B=A,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當x∈Z時,求A的非空真子集的個數(shù);
(3)若A∩B= ,求實數(shù)m的取值范圍.
遷移創(chuàng)新
9.對于非空有限整數(shù)集X,m∈N*,定義Xm={xm|x∈X},對于非空有限整數(shù)集Y,n∈Z,Y n={x+n|x∈Y},現(xiàn)有兩個非空有限整數(shù)集A,B,已知A 1 B且B2 (-4) A.
(1)當A={-3,0}時,求集合B;
(2)證明:A {-3,-2,0,1}.
答案與分層梯度式解析
綜合拔高練
高考真題練
1.A　因為U={1,2,3,4,5},M={1,4},
所以 UM={2,3,5},又因為N={2,5},
所以N∪ UM={2,3,5}.故選A.
2.A　由題意知M={x|x≥-2},N={x|x<1},
則M∩N={x|-2≤x<1}.
A　由題意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1 UM={x|x≥1}, UN={x|x≤-1或x≥2},則 U(M∪N)={x|x≥2},
U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},N∪ UM={x|x>-1},M∪ UN={x|x<1或x≥2},故選A.
4.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故選A.
考題溯源　分析近幾年全國各地高考試題可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)常可以見到課題例題、習題的影子,來源于課本,而又高于課本.本題以除以3的余數(shù)問題為載體,考查集合的表示方法及集合的運算,屬于課程學習情境.題中集合M中元素的共同特征可歸納為:3的整數(shù)倍加1;集合N中元素的共同特征可歸納為:3的整數(shù)倍加2,所以 U(A∪B)表示能被3整除的整數(shù)的集合.對比教材P8T6:“已知A={x|x=3k+1,k∈Z},問:-1,5,7三個數(shù)中,哪些數(shù)是A的元素”,其考查的本質是相同的,只是從形式和內容上進行了一定的拓展.
5.D　由B={x|x2-4x+3=0}得B={1,3},又A={-1,2},所以A∪B={-1,1,
2,3},又U={-2,-1,0,1,2,3},所以 U(A∪B)={-2,0}.
6.D　由題意可知,M={x|0≤x<16},N=,故M∩N={x|0≤x<16}∩=.故選D.
高考風向　集合作為高中數(shù)學的預備知識內容,高考考查趨勢趨于穩(wěn)定性和基礎性,新高考Ⅰ卷2021年,2022年,新課標Ⅰ卷2023年都設置在單選題的第1題,考查的知識點都是集合的交集運算,因此集合間的基本運算屬于高頻考點.此類型題難度小,屬于基礎題目,主要考查運算求解能力、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).解題時,可以借助數(shù)軸和Venn圖分析,掌握集合的基本關系與基本運算,突出數(shù)形結合思想.
7.B　∵A B,∴0∈B.
當a-2=0,即a=2時,A={0,-2},B={1,0,2},不滿足A B,舍去;當2a-2=0,即a=1時,A={0,-1},B={-1,0,1},滿足A B.
綜上,a=1,故選B.
8.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=,
又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-=1,∴a=-2.
故選B.
C　由得或或或所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的個數(shù)為4,
故選C.
10.A　對于A,B,令S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},∴S∪T={2,4,8,16,32,64,128},有7個元素,∴A正確,B錯誤;對于C,令S={1,2,4},T={2,4,8},∴S∪T={1,2,4,8},有4個元素,∴C錯誤;對于D,令S={2,4,8},T={8,16,32},∴S∪T={2,4,8,16,32},有5個元素,∴D錯誤.故選A.
高考模擬練
1.A　因為A==,
B==,
所以A B,所以A∩B=A.故選A.
2.D　因為集合M={x|(m+1)x2-mx+m-1=0}恰有1個真子集,所以集合M有且只有一個元素.
當m+1=0,即m=-1時,M={x|x-2=0}={2},符合題意;
當m+1≠0,即m≠-1時,關于x的方程(m+1)x2-mx+m-1=0有兩個相等的實數(shù)根,
則Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)=4-3m2=0,
解得m=±.
綜上所述,m=-1或m=±.故選D.
3.C　∵集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},a∈A,b∈B,
∴a可取1,2,3,b可取0,1,2,4.
(1)當a=1時,若b=0,則a+b=1,ab=0,a+b>ab成立,數(shù)對(1,0)為S的一個元素;
若b=1,則a+b=2,ab=1,a+b>ab成立,數(shù)對(1,1)為S的一個元素;
若b=2,則a+b=3,ab=2,a+b>ab成立,數(shù)對(1,2)為S的一個元素;
若b=4,則a+b=5,ab=4,a+b>ab成立,數(shù)對(1,4)為S的一個元素.
(2)當a=2時,若b=0,則a+b=2,ab=0,a+b>ab成立,數(shù)對(2,0)為S的一個元素;
若b=1,則a+b=3,ab=2,a+b>ab成立,數(shù)對(2,1)為S的一個元素;
若b=2,則a+b=4,ab=4,a+b>ab不成立,數(shù)對(2,2)不是S的元素;
若b=4,則a+b=6,ab=8,a+b>ab不成立,數(shù)對(2,4)不是S的元素.
(3)當a=3時,若b=0,則a+b=3,ab=0,a+b>ab成立,數(shù)對(3,0)為S的一個元素;
若b=1,則a+b=4,ab=3,a+b>ab成立,數(shù)對(3,1)為S的一個元素;
若b=2,則a+b=5,ab=6,a+b>ab不成立,數(shù)對(3,2)不是S的元素;
若b=4,則a+b=7,ab=12,a+b>ab不成立,數(shù)對(3,4)不是S的元素.
綜上,S的元素有8個,分別為(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1).
故選C.
4.A　設觀看過球類與田徑類比賽的有x人,觀看過球類與游泳類比賽的有y人,觀看過田徑類與游泳類比賽的有z人,則m=x+y+z,
設只觀看過球類、田徑類、游泳類比賽的人數(shù)分別為a,b,c,如圖,
則a+b+c+x+y+z=50-15=35①,
因為有18人沒觀看過球類比賽,有20人沒觀看過田徑類比賽,有16人沒觀看過游泳類比賽,所以b+c+z=18,a+c+y=20,a+b+x=16,
所以2(a+b+c)+x+y+z=54②,由①②得a+b+c=19,則m=x+y+z=16.故選A.
素養(yǎng)評析　研究觀看各項比賽的人數(shù)時,首先將觀看三類比賽的同學用集合表示,由此建立集合元素個數(shù)與已知數(shù)據(jù)間的關系,主要考查數(shù)學抽象;其次借助Venn圖對集合進行劃分,利用條件確定觀看過其中兩類比賽的人數(shù),主要考查直觀想象.
5.ACD　對于集合B,當a=0時,方程x2(x2+2)=0的解為x1=x2=0,則C(B)=1.
當a≠0時,由(x2-ax)(x2+ax+2)=0得x2-ax=0或x2+ax+2=0,其中x2-ax=0的解為x=0或x=a.
若方程x2+ax+2=0有兩個不相等的實數(shù)根,則Δ=a2-8>0,解得a>2或a<-2,此時C(B)=4;
若方程x2+ax+2=0有兩個相等的實數(shù)根,則Δ=a2-8=0,解得a=2或a=-2,此時C(B)=3;
若方程x2+ax+2=0無實數(shù)根,則Δ=a2-8<0,解得-2所以C(B)可能為1,2,3,4,故A正確.
若A*B=0,已知C(A)=2,則C(B)=2,
則a的取值范圍為(-2,0)∪(0,2),故B不正確.
若A*B=1,已知C(A)=2,則C(B)=1或C(B)=3,當C(B)=1時,a=0,當C(B)=3時,a=2或a=-2,此時集合S={-2,0,2},則C(S)=3,故C正確.
若A*B=2,已知C(A)=2,則C(B)=4,
則a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞),故D正確.
故選ACD.
6.答案　66
解析　易知A,B中的元素個數(shù)最多為2,U={3,6,9,12,15}.
對于x2-px+27=0,Δ=p2-108,如有根則可設為x1,x2 (x1≤x2);
對于x2-15x+q=0,Δ=225-4q,如有根則可設為x3,x4 (x3≤x4).
對于Δ=p2-108,分以下情況:
(1)Δ=p2-108=0,解得p=±6,又p∈N,所以不符合題意.
(2)Δ=p2-108<0,解得-6故x3=6或x4=6,且有所以
此時B={6,9}與B={6}矛盾,不符合題意.
(3)Δ=p2-108>0,解得p>6或p<-6,
則所以
則A={3,9},則{12,15} UB,
①Δ=225-4q=0 q= N,不符合題意;
②Δ=225-4q<0 q>,此時B= ,則A∪( UB)={3,6,9,12,15},不符合題意;
③Δ=225-4q>0 q<,則B={x3,x4},
則所以
綜上,p=12,q=54,p+q=66.
7.答案　{a|a<0或a=1};
解析　若A與B構成“全食”,則B A.
當a<0時,B= ,滿足B A;
當a=0時,B={0},此時A∩B= ,不滿足B A,舍去;
當a>0時,B={-,},
因為A=,
所以要使B A,則B={-1,1},即a=1.
綜上,當A與B構成“全食”時,a的取值范圍是{a|a<0或a=1}.
若A與B構成“偏食”,顯然當a≤0時不滿足題意;
當a>0時,由A∩B≠ ,得B=,即=,解得a=.
所以a的值為.
8.解析　(1)因為A∪B=A,所以B A.
當B= 時,m+1>2m-1,則m<2;
當B≠ 時,根據(jù)題意,得
解得2≤m≤3.
綜上,實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}.
(2)當x∈Z時,A={x|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8個元素,所以A的非空真子集的個數(shù)為28-2=254.
(3)當B= 時,由(1)知m<2;
當B≠ 時,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸:
可得或解得m>4.
綜上,實數(shù)m的取值范圍是{m|m<2或m>4}.
9.解析　(1)因為A={-3,0},B2 (-4) A,
所以B2 (-4)可能為 ,{-3},{0},{-3,0}.
當B2 (-4)= 時,B2= ,不符合題意;
當B2 (-4)={-3}時,B2={1},所以B={1,-1},{1},{-1};
當B2 (-4)={0}時,B2={4},所以B={2,-2},{2},{-2};
當B2 (-4)={0,-3}時,B2={4,1},所以B={1,2,-1,-2},{2,-1,-2},
{2,1,-2},{1,-1,-2},{1,-1,2},{1,2},{-1,2},{-1,-2},{1,-2}.
又A 1={-2,1} B,所以B為{1,-2},{2,1,-2},{1,-1,-2},
{1,2,-1,-2}.
(2)證明:設x∈A,
因為A 1 B,所以x+1∈B,
又B2 (-4) A,所以(x+1)2-4∈A.
取x=-4,則(-4+1)2-4=5∈A,(5+1)2-4=32∈A,……,
無限迭代,而A為有限集,不合題意,舍去,即-4 A;
取x=-3,則(-3+1)2-4=0∈A,(0+1)2-4=-3∈A,
可得集合A為{-3,0};
取x=-2,則(-2+1)2-4=-3∈A,(-3+1)2-4=0∈A,(0+1)2-4=-3∈A,可得集合A為{-3,-2,0};
取x=-1,則(-1+1)2-4=-4∈A,又-4 A,所以-1 A;
取x=0,則(0+1)2-4=-3∈A,(-3+1)2-4=0∈A,可得集合A為{-3,0};
取x=1,則(1+1)2-4=0∈A,(0+1)2-4=-3∈A,
(-3+1)2-4=0∈A,
可得集合A為{-3,0,1};
取x=2,則(2+1)2-4=5∈A,(5+1)2-4=32∈A,……,
無限迭代,而A為有限集,不合題意,舍去,即2 A;
同理當x<-4或x>2,且x∈Z時不符合A為有限集,舍去.
故集合A可以為{-3,0},{-3,-2,0},{-3,0,1},
所以A {-3,-2,0,1}.
素養(yǎng)評析　(1)由集合A={-3,0},B2 (-4) A得B2 (-4)可能為 ,{-3},{0},{-3,0},從而求得集合B,主要考查邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學運算素養(yǎng),達到了水平一;(2)由集合的新定義,逐一取值迭代,由集合的有限性進行檢驗取舍,主要考查邏輯推理素養(yǎng),達到了水平二.
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