資源簡介

2.2　充分條件、必要條件、充要條件
基礎過關練
題組一　充分條件、必要條件、充要條件的判斷
1.《三國演義》中經典的戰役赤壁之戰是中國歷史上以弱勝強的著名戰役之一,東漢建安十三年(公元208年),曹操率二十萬眾順江而下,周瑜、程普各自督領一萬五千精兵,與劉備軍一起逆江而上,相遇赤壁,最后用火攻大敗曹軍.第49回“欲破曹公,宜用火攻;萬事俱備,只欠東風”,你認為“東風”是“赤壁之戰東吳打敗曹操”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.若p:-2A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.如圖所示,下列四個電路圖中,條件p:“燈泡L亮”;條件q:“開關S閉合”,則p是q的充分不必要條件的電路圖是(　　)
　　　　
　　　　
4.(多選題)下列命題為真命題的是(　　)
A.“A∩B≠ ”是“A B”的必要不充分條件
B.“x或y為有理數”是“xy為有理數”的既不充分也不必要條件
C.“A∪B=A”是“B A”的充分不必要條件
D.“a2+b2+c2=ab+bc+ca”的充要條件是“a=b=c”
題組二　充分條件、必要條件、充要條件的探究與證明
5.(教材習題改編)下列選項中,使|x-1|<2成立的一個必要不充分條件是(　　)
A.-1C.06.已知U為全集,集合A,B為U的兩個子集,則“A ( UB)”的充要條件是　　(　　)
A.B ( UA)　　　　B.A B
C.B A　　　　 D.( UA) B
7.若a,b都是實數,試從①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中選出滿足下列條件的式子,用序號填空:
(1)“a,b都不為0”的充分條件是　　　　;
(2)“a,b至少有一個為0”的充要條件是　　　　.
8.證明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件是ac<0.
題組三　利用充分條件、必要條件、充要條件求參數的值(取值范圍)
9.已知“x<-4-a,或x>4-a”的必要不充分條件是“x≤-3或x≥2”,則實數a的最大值為(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
10.已知A=[-1,3],B=[2m-1,m+5],若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,則實數m的取值范圍為(　　)
A. 　　　　 B.(-2,0]
C.[-2,0]　　　　D.[-2,0)
11.已知集合A={x|x2-4=0},
B={x|ax-2=0},若x∈A是x∈B的必要不充分條件,則實數a的所有可能取值構成的集合為　　　　.
12.已知集合P={x|3a-10≤x<2a+1},Q={x||2x-3|≤7}.
(1)當a=2時,求P∩( RQ);
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分條件,求實數a的取值范圍.
13.已知命題p:“關于x的方程x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0有兩個大于1的實根”為真命題.
(1)求實數m的取值范圍;
(2)命題q:3-a14.已知P={x|1≤x≤4},
S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要條件 若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(2)是否存在m∈R,使x∈P是x∈S的必要條件 若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
2.2　充分條件、必要條件、充要條件
基礎過關練
1.B　由題意分析出有“東風”不一定能“打敗曹操”,但要想“打敗曹操”必須借助“東風”.故選B.
2.B　因為-2所以p是q的必要不充分條件.故選B.
3.C　對于A,當燈泡L亮時,可能是開關S單獨閉合或開關S1單獨閉合或開關S,S1同時閉合,
當開關S閉合時,必有燈泡L亮,故p是q的必要不充分條件;
對于B,因為開關S和燈泡L串聯,所以燈泡L亮時,必有開關S閉合,開關S閉合時,必有燈泡L亮,故p是q的充要條件;
對于C,若燈泡L亮,則開關S1和S都閉合,
當開關S閉合S1打開時,燈泡L不亮,故p是q的充分不必要條件;
對于D,燈泡L亮,與開關S閉合無關,故p是q的既不充分也不必要條件.故選C.
4.BD　當A= 時,滿足A B,但A∩B= ,故A為假命題;x或y為有理數時,xy可能為有理數,也可能為無理數(例如:x=1,y=),xy為有理數時,x,y可能均為無理數(例如:x=y=),也可能x或y為有理數,所以“x或y為有理數”是“xy為有理數”的既不充分也不必要條件,故B為真命題;A∪B=A等價于B A,所以“A∪B=A”是“B A”的充要條件,故C為假命題;a2+b2+c2=ab+bc+ca (a2+c2)+(b2+c2)+(a2+b2)=2ab+2bc+2ca (a-c)2+(b-c)2+(a-b)2=0 a=b=c,故D為真命題.
5.B　由|x-1|<2解得-1對于A,“-1對于B,因為(-1,3) (-3,3),所以“-3對于C,因為(0,3) (-1,3),所以“0對于D,因為(0,4) (-1,3),所以“0解題模板　探求充分條件、必要條件問題時,應明確“條件”與“結論”及尋找“結論”的什么條件,其解題的通法是先推導出“結論”的充要條件,將充要條件“放大”,即得“結論”的必要不充分條件,將充要條件“縮小”,即得“結論”的充分不必要條件.
6.A　因為A ( UB),所以A,B的關系如圖,
由圖可知B,C,D錯誤,A正確.
故選A.
7.答案　(1)④　(2)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一個為0;
②a+b=0 a,b互為相反數,則a,b可能都為0,也可能一正一負;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同號且都不為0.
8.證明　充分性(由ac<0推證方程有一個正根和一個負根):
∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac>0,∴方程一定有兩個不相等的實數根,
不妨設為x1,x2(x1≠x2),則x1x2=<0,
∴方程的兩個根異號,即一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根.
必要性(由方程有一個正根和一個負根推證ac<0):
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根,不妨設為x1,x2(x1≠x2),
∴由根與系數的關系得x1x2=<0,即ac<0,此時Δ=b2-4ac>0,滿足方程有兩個不相等的實數根.
綜上,一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件是ac<0.
9.D　由題意,得解得-1≤a≤2,檢驗符合題意,所以實數a的最大值為2.故選D.
10.C　由已知,得A B,
則或解得-2≤m≤0.
11.答案　{-1,0,1}
解析　依題意,A={x|x2-4=0}={2,-2},
當a=0時,B= ,滿足x∈A是x∈B的必要不充分條件;當a≠0時,B=,
因為x∈A是x∈B的必要不充分條件,
所以=2或=-2,解得a=1或a=-1.
綜上所述,實數a的所有可能取值構成的集合為{-1,0,1}.
12.解析　(1)當a=2時,P={x|-4≤x<5},
∵Q={x||2x-3|≤7}={x|-2≤x≤5},
∴ RQ={x|x<-2或x>5},
故P∩( RQ)={x|-4≤x<5}∩{x|x<-2或x>5}={x|-4≤x<-2}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分條件,
則Q是P的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P={x|3a-10≤x<2a+1},
∴解得2故實數a的取值范圍是.
13.解析　(1)因為命題p為真命題,x2-(3m-2)x+2m2-m-3=x2-(3m-2)x+(2m-3)(m+1)=[x-(2m-3)][x-(m+1)]=0,
所以2m-3>1且m+1>1,解得m>2.
(2)存在.
令A={m|m>2},B={m|3-a若p是q的必要不充分條件,
則B是A的真子集.
若B= ,則3-a≥3+a a≤0;
若B≠ ,則解得0綜上,存在a≤1使得p是q的必要不充分條件.
14.解析　(1)不存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要條件.理由如下:
要使x∈P是x∈S的充要條件,
則P=S,即此方程組無解,
所以不存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要條件.
(2)存在.
要使x∈P是x∈S的必要條件,則S P.
①當S= 時,1-m>1+m,解得m<0;
②當S≠ 時,1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,則有解得m≤0,所以m=0.
綜上,當m≤0時,x∈P是x∈S的必要條件.
11第2章　常用邏輯用語
2.1　命題、定理、定義
基礎過關練
題組一　命題的概念及結構
1.下列語句中:①-1<2;②x>1;③x2-1=0有一個根為0;④高一年級的學生;⑤今天天氣好熱啊!⑥有最小的質數嗎 其中為命題的是(　　)
A.①②③　　　　B.①④⑤
C.②③⑥　　　　D.①③
2.命題“在三角形中,大邊對大角”改寫成“若p,則q”的形式為(　　)
A.在三角形中,若一邊較大,則其所對角較大
B.在三角形中,若一角較大,則其所對邊較大
C.若某平面圖形是三角形,則其大邊對大角
D.若某平面圖形是三角形,則其大角對大邊
3. 命題“有兩個角互余的三角形是直角三角形”的條件是　　　　　　,結論是　　　　　.
題組二　命題真假的判斷
4.已知命題:“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題,給出下列命題,其中真命題的個數是(　　)
①M中的元素都不是P中的元素;
②M中有不屬于P中的元素;
③M中有P中的元素;
④M中的元素不都是P中的元素.
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
5.(多選題)下列命題為真命題的是　　(　　)
A.所有平行四邊形的對角線互相平分
B.若x,y是無理數,則xy一定是有理數
C.若m<1,則關于x的方程x2+2x+m=0有兩個負根
D.相似三角形的周長比等于對應邊的比
6.(教材習題改編)把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷命題的真假.
(1)能被6整除的數一定是偶數;
(2)當+|b+2|=0時,a=1,b=-2;
(3)已知x,y為正整數,當y=x2時,y=1,x=1.
題組三　根據命題的真假求參數的取值范圍
7.已知命題p:方程x2-2x-a=0沒有實數根;命題q:-4A.(-4,1)　　　　 B.(-3,2]
C.(-4,-1)　　　　D.[2,+∞)
8.已知命題“若19.命題p:對于任意x∈R,x2+1>a,命題q:a2-4>0,若p和q一真一假,則實數a的取值范圍為　　　　　　　.
10.已知A={x|5x-1>a},B={x|x>1},請確定實數a的取值范圍,使得由A,B構造的命題“若p,則q”為真命題.
答案與分層梯度式解析
2.1　命題、定理、定義
基礎過關練
1.D　命題是能判斷真假的陳述句破題關鍵.⑤⑥不是陳述句,故不是命題,②④無法判斷真假,故不是命題,①③是陳述句且可以判斷真假,故是命題.故選D.
2.A
3.答案　一個三角形中有兩個角互余;這個三角形是直角三角形
4.B　根據命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題,可得M不是P的子集破題關鍵.
對于①,集合M雖然不是所有元素都在集合P中,但是可能有屬于P中的元素,因此①是假命題;
對于②,因為M不是P的子集,所以必定有不屬于P中的元素,故②是真命題;同理不能確定M中的元素有沒有P中的元素,故③是假命題;
對于④,由子集的定義可得,既然M不是P的子集,那么M中必定有一些不屬于P中的元素,因此M中的元素不都是P中的元素,故④是真命題.故選B.
5.AD　易知A,D均為真命題;當x=,y=時,xy=,是無理數,故B為假命題;
由關于x的方程x2+2x+m=0有兩個負根,得解得06.解析　(1)若一個數能被6整除,則這個數一定是偶數.真命題.
(2)若+|b+2|=0,則a=1且b=-2.真命題.
(3)已知x,y為正整數,若y=x2,則y=1且x=1.假命題.
方法總結　把一個命題改寫成“若p,則q”的形式,首先要確定命題的條件和結論,若條件和結論比較隱晦,則要補充完整,有時一個條件有多個結論,有時一個結論需多個條件,還要注意有的命題改寫形式不唯一.
7.C　當p為真命題時,4+4a<0,解得a<-1;當q是真命題時,-48.答案　
解析　設A={x|1由題知,A B,則解得≤m≤1,
故m的取值范圍是.
9.答案　[-2,1)∪(2,+∞)
解析　若p為真命題,則a<1;
若q為真命題,則a2>4,即a>2或a<-2.
由p和q一真一假,知當p為真,q為假時,所以-2≤a<1;
當p為假,q為真時,所以a>2.
綜上所述,實數a的取值范圍是[-2,1)∪(2,+∞).
10.解析　令A為p,B為q,則命題“若p,則q”為“若5x-1>a,則x>1”,由命題為真命題可得≥1,解得a≥4.故當a≥4時,“若5x-1>a,則x>1”是真命題.
令B為p,A為q,則命題“若p,則q”為“若x>1,則5x-1>a”,由命題為真命題可得≤1,解得a≤4.故當a≤4時,“若x>1,則5x-1>a”是真命題.
6(共11張PPT)
　　在數學中,我們將可判斷真假的陳述句叫作命題.許多命題可表示為“如果p,那么q”或
“若p,則q”的形式,其中p叫作命題的條件,q叫作命題的結論.
2.1 命題、定理、定義
知識點 1 命題
必備知識 清單破
2.2 充分條件、必要條件、充要條件
1.如果“p q”,那么稱p是q的充分條件,也稱q是p的必要條件,可以理解為若p成立,則q一定
成立,反過來,若q不成立,則p一定不成立.
2.如果p q,且q p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱為p是q的充要條件,也稱q的充要條件
是p,記作p q.
知識點 2 充分條件、必要條件與充要條件
1.若p是q的充分條件,則p成立與q成立之間有什么關系
2.p是q的充分條件與q是p的必要條件是不同的邏輯關系嗎
3.p的充分條件與必要條件是不是唯一的
4.在邏輯推理中,p q只能表達成一種說法嗎
知識辨析
1.p成立可以充分保證q成立,但即使q成立,p也未必成立,因為保證q成立的p不是唯一的.
2.不是.是同一個邏輯關系,只是說法不同.
3.不是.如“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”都是“該四邊
形是平行四邊形”的充分條件;“對應邊相等”“對應角相等”“對應邊上的高對應相等”
都是“兩個三角形全等”的必要條件.
4.不是.通常有以下五種說法:(1)“若p,則q”為真命題;(2)p是q的充分條件;(3)q是p的必要條
件;(4)q的一個充分條件是p;(5)p的一個必要條件是q.
一語破的
1.定義法:直接利用定義進行判斷,注意要會舉反例.
2.利用集合間的包含關系進行判斷:滿足條件p和結論q的元素構成的集合分別為A和B,若p是
q的充分條件,則A B;若p是q的必要條件,則B A;若p是q的充要條件,則A=B;若p是q的充分
不必要條件,則A B;若p是q的必要不充分條件,則B A.
3.利用傳遞性進行判斷:充分條件和必要條件具有傳遞性,即由p1 p2 … pn可得p1 pn,充要
條件也具有傳遞性.
關鍵能力 定點破
定點 1 判斷充分、必要、充要條件的方法
給定三個命題p,q,s,若s是p的必要不充分條件,s是q的充分不必要條件,則p是q的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
典例
A
由s是p的必要不充分條件可知p s,s p,由s是q的充分不必要條件可知s q,q s.
因為p s,s q,所以p q(利用傳遞性進行判斷).下面討論p是不是q的必要條件.假設p是q的
必要條件,則有q p,又p s,所以q s,與q s矛盾,所以q p,所以p是q的充分不必要條件.
解析：
1.充要條件的證明
(1)證明p是q的充要條件時,既要證明命題“p q”為真,又要證明“q p”為真,前者證明的
是充分性,后者證明的是必要性.
(2)證明充要條件也可以利用等價轉化法,即把條件和結論進行等價轉化,注意轉化過程中必
須保證前后是能互相推出的.
2.探求充分條件、必要條件的步驟
(1)分清“條件”和“結論”,明確探求的方向;
(2)找到使結論成立的充要條件(一般用集合的方法);
(3)將充要條件對應的范圍擴大,即得結論成立的必要不充分條件;將充要條件對應的范圍縮
小,即得結論成立的充分不必要條件.
定點 2 充分條件、必要條件的證明與探求
求證:關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的充要條件是m≥2.
典例
充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0.
設方程x2+mx+1=0的兩個實根分別為x1,x2,
由根與系數的關系知x1x2=1>0,∴x1,x2同號,又x1+x2=-m≤-2,
∴x1,x2同為負根.充分性成立.
必要性:設方程x2+mx+1=0的兩個實根分別為x1,x2,
則x1,x2均為負數,且x1x2=1,x1+x2=-m,
∴m-2=-(x1+x2)-2=- -2
=- =- ≥0,
證明：
∴m≥2.必要性成立.
綜上,關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的充要條件是m≥2.
利用充分條件、必要條件求解參數問題時,一般結合充分條件、必要條件轉化為集合之
間的關系,然后根據集合之間的關系列出關于參數的方程(組)或不等式(組),進而求解.要注意
對解集的端點值進行檢驗.
定點 3 利用充分條件、必要條件求參數值(或范圍)
已知命題p: ,命題q:{x|-1(1)若存在x∈ ,p為真命題,求實數a的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數a的取值范圍.
典例
(1)當x∈ 時,由 得-1而-2<- <- , < <4,∴-2故實數a的取值范圍是(-2,4).
(2)設集合A= ={x|-1∵p是q的必要不充分條件,∴B A.
當a=0時,A=R,滿足題意;
當a>0時,A= ,∴- ≤-1,且 ≥2,∴0當a<0時,A= ,∴ ≤-1,且- ≥2,∴- ≤a<0.
解析：
綜上,實數a的取值范圍是 .

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