資源簡介

2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
基礎過關練
題組一　含有量詞的命題的否定
1.已知命題p: x∈R,x2-2x+a+6>0,則命題p的否定是(　　)
A. x∈R,x2-2x+a+6<0
B. x∈R,x2-2x+a+6>0
C. x∈R,x2-2x+a+6≤0
D. x∈R,x2-2x+a+6≤0
2.哥德巴赫猜想是世界近代三大數學難題之一,即所謂的“1+1”問題.哥德巴赫猜想的內容是“每一個大于2的偶數都能寫成兩個質數之和”,則該猜想的否定為(　　)
A.每一個小于2的偶數都不能寫成兩個質數之和
B.存在一個小于2的偶數不能寫成兩個質數之和
C.每一個大于2的偶數都不能寫成兩個質數之和
D.存在一個大于2的偶數不能寫成兩個質數之和
3.若命題p: x∈R,<0,則 p:　　　　　　　　.
題組二　含有量詞命題的否定的真假判斷
4.(多選題)下列命題的否定是真命題的是(　　)
A. x∈Z,5x+1=0
B.菱形都是平行四邊形
C. a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0沒有實數根
D.四邊形ABCD的內角和等于360°
5.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.命題“ x∈R,x2>x”的否定是假命題
B.命題“ m∈N,∈N”的否定是假命題
C.命題“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的否定是真命題
D.命題“至少有一個整數n,使n2+n為奇數”的否定是真命題
題組三　含有量詞命題的否定中的參數問題
6.已知命題p: x∈R,x2+2x-a>0,若p的否定為真命題,則實數a的取值范圍是(　　)
A.a>-1　　　　B.a<-1　　　　C.a≥-1　　　　D.a≤-1
7.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命題“ m∈R,A∩B≠ ”為假命題,則實數a的取值范圍為(　　)
A.(-∞,3)　　　　B.(-∞,4)
C.(1,5)　　　　D.(0,4)
8.已知命題p: x∈[1,4],x2≥a,命題q:{a|-29.已知命題p:方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負實數根;命題q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根.
(1)若命題 p為真命題,求實數m的取值范圍;
(2)若命題p,q中有一個為真命題,一個為假命題,求實數m的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
基礎過關練
1.D
2.D　根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題
破題關鍵,知A,C錯誤;哥德巴赫猜想的否定為“存在一個大于2的偶數不能寫成兩個質數之和”.故選D.
3.答案　 x∈R,>0或x=2易錯警示　寫命題的否定時,要注意式子本身的意義,如:<0的反面不是≥0.
4.AC　原命題是真命題等價于命題的否定為假命題
破題關鍵.對于A,當5x+1=0時,x=- Z,則原命題為假命題,所以其否定為真命題;
對于B,原命題為真命題,所以其否定為假命題;
對于C,由Δ=a2+4>0,可得原命題為假命題,所以其否定為真命題;
對于D,原命題為真命題,所以其否定為假命題.
故選AC.
5.BD　對于A,命題的否定為“ x∈R,x2≤x”,顯然為真命題(取x=0檢驗即可),故A中說法錯誤;
對于B,命題的否定為“ m∈N, N”,當m=0時,=1∈N,所以命題的否定是假命題,故B中說法正確;
對于C,因為命題“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”為真命題,所以此命題的否定為假命題,故C中說法錯誤;
對于D,命題的否定為“ n∈Z,n2+n為偶數”,由于n2+n=n(n+1)是偶數,所以命題的否定是真命題,故D中說法正確.故選BD.
方法技巧　命題的否定的真假判斷,可以“先判斷,再否定”,也可以“先否定,再判斷”,視情況合理選擇.
6.C　命題p的否定為 x∈R,x2+2x-a≤0,因為p的否定為真命題,所以Δ=4+4a≥0,解得a≥-1.故選C.
7.A　命題“ m∈R,A∩B≠ ”為假命題,則其否定“ m∈R,A∩B= ”為真命題.
當a<0時,集合A= ,此時A∩B= .
當a≥0時,因為m2+3>0,所以由 m∈R,A∩B= ,得a又m2+3≥3,所以0≤a<3.
綜上,實數a的取值范圍為(-∞,3).
8.答案　a=1或a≤-2
解析　命題p: x∈[1,4],x2≥a是真命題,則在x∈[1,4]上,a≤(x2)min,所以a≤1;
命題 q:{a|a≤-2或a≥1}.
故所求實數a的取值范圍為a=1或a≤-2.
9.解析　(1)若方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負實數根,則解得m>2.
因為命題 p為真命題,
所以實數m的取值范圍為(-∞,2].
(2)若方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根,
則Δ=16(m-2)2-16<0,解得1若p為真命題,q為假命題,則
解得m≥3;
若p為假命題,q為真命題,則
解得1綜上,m∈(1,2]∪[3,+∞).
82.3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
基礎過關練
題組一　全稱量詞命題與存在量詞命題
1.(多選題)下列命題中,與“ x∈R,x2>3”表述的內容相同的是(　　)
A.能找到一個x∈R,使得x2>3成立
B.對有些x∈R,使得x2>3成立
C.任選一個x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一個x∈R,使得x2>3成立
2.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并用量詞符號“ ”或“ ”表述下列命題.
(1)對任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立;
(2)對所有實數a,b,方程ax+b=0恰有一個解;
(3)有些整數既能被2整除,又能被3整除;
(4)某個四邊形不是平行四邊形.
題組二　全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
3.下列命題中為真命題的是　　(　　)
A.p1: x∈R,x2+1<0
B.p2: x∈R,x+|x|>0
C.p3: x∈Z,|x|∈N
D.p4: x∈R,x2-7x+15=0
4.(多選題)下列四個命題中,為假命題的是(　　)
A. x∈R,x+≥2　　　　B. x∈R,x2-x>5
C. x∈R,|x+1|<0　　　　D. x∈R,|x|+x≥0
5.指出下列命題中哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷其真假.
(1)對任意一個無理數x,x2也是無理數;
(2)對任意實數a,b,若a>b,則<;
(3)對任意一個實數x,都有|x|+2≥2;
(4)平面內存在兩條相交直線垂直于同一條直線.
題組三　全稱量詞命題與存在量詞命題的參數問題
6.(教材習題改編)若命題p:“ x∈(2,3),3x2-a>0”是真命題,則實數a的取值范圍為(　　)
A.a>27　　　　B.a≤12
C.a<12　　　　D.a≥27
7.若命題“ x∈R,使得x2-2x+m=0”是真命題,則實數m的取值范圍是(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.[1,+∞)
C.(-∞,1)　　　　D.(-∞,1]
8.命題“ x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題的一個必要不充分條件是(　　)
A.a≥3　　　　B.a≥4
C.a≤3　　　　D.a≥5
9.若命題“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1<0”是假命題,則實數a的取值范圍是　　　　.
答案與分層梯度式解析
2.3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
基礎過關練
1.ABD　C選項是全稱量詞命題,A,B,D選項符合題意,故選ABD.
2.解析　(1)全稱量詞命題,表示為 x∈{x|x>-1},3x+4>0.
(2)全稱量詞命題,表示為 a,b∈R,方程ax+b=0恰有一個解.
(3)存在量詞命題,表示為 x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除.
(4)存在量詞命題,表示為 x∈{y|y是四邊形},x不是平行四邊形.
方法總結　判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法:判斷的關鍵是看量詞.因為某些全稱量詞命題的量詞可能省略,所以要根據命題表達的意義判斷,同時要會用相應的量詞符號正確表達命題.存在量詞命題的存在量詞一般不能省略.
3.C　對于A, x∈R,x2+1≥1>0,故p1是假命題;
對于B,當x=0時,x+|x|=0,故p2是假命題;
對于C, x∈Z,|x|∈N,故p3是真命題;
對于D,方程x2-7x+15=0中Δ=(-7)2-4×1×15<0,此方程無解,故p4是假命題.故選C.
4.AC　對于A,當x<0時,該命題顯然不成立,故A中命題是假命題;
對于B,取x=10,顯然該不等式成立,故B中命題是真命題;
對于C,|x+1|≥0恒成立,故C中命題是假命題;
對于D,|x|+x≥0恒成立,故D中命題是真命題.
故選AC.
5.解析　(1)全稱量詞命題,假命題.如:是無理數,但()2=2是有理數,所以該命題是假命題.
(2)全稱量詞命題,假命題.當a=1,b=-1時,滿足a>b,此時=1,=-1,>,所以該命題為假命題.
(3)全稱量詞命題,真命題.對任意一個實數x,都有|x|≥0,則|x|+2≥2,故該命題是真命題.
(4)存在量詞命題,假命題.因為平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行,所以平面內不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線,所以該命題是假命題.
6.B　因為命題p:“ x∈(2,3),3x2-a>0”為真命題,
所以a<3x2在x∈(2,3)上恒成立,
當x∈(2,3)時,12<3x2<27,所以a≤12.故選B.
7.D　由題意可知“ x∈R,使得x2-2x+m=0”成立,即方程x2-2x+m=0有實數解,所以Δ=4-4m≥0,所以m≤1.故選D.
8.A　因為命題“ x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題,
所以a≥x2對任意x∈[1,2]恒成立,
所以a≥(x2)max,所以a≥4,
所以命題“ x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題的充要條件為a≥4.
對于A,a≥3 /a≥4,a≥4 a≥3,所以a≥3是a≥4的必要不充分條件;
對于C,a≤3 /a≥4,a≥4 /a≤3,所以a≤3是a≥4的既不充分也不必要條件;
對于D,a≥5 a≥4,a≥4 /a≥5,所以a≥5是a≥4的充分不必要條件.故選A.
9.答案　[-4,0]
解析　因為命題“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1<0”是假命題,
所以“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1≥0”是真命題,
則Δ=(a+2)2-4=a2+4a≤0,解得-4≤a≤0,
所以實數a的取值范圍是[-4,0].
9(共16張PPT)
2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題
知識點 1 全稱量詞與全稱量詞命題
必備知識 清單破
全稱 量詞 “所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學中稱為全稱量詞,通常用符號“ x”表示“對任意x”
全稱量 詞命題 含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題.一般形式可表示為 x∈M,p(x)
知識點 2 存在量詞與存在量詞命題
存在 量詞 “存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學中稱為存在量詞,通常用符號“ x”表示“存在x”
存在量 詞命題 含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.一般形式可表示為 x∈M,p(x)
1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
知識點 3 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
類型 符號表示 否定的符號表示 命題的否定的類型
全稱量詞命題 x∈M,p(x) x∈M, p(x) 存在量詞命題
存在量詞命題 x∈M,p(x) x∈M, p(x) 全稱量詞命題
2.命題否定的真假
　　對一個命題進行否定,就得到了一個新的命題,這兩個命題不能同時為真,也不能同時為
假,即它們的關系是“一真一假”或“此假彼真”.
1.“三角形內角和是180°”是全稱量詞命題還是存在量詞命題
2.在全稱量詞命題和存在量詞命題中,量詞是否可以省略
3.命題“菱形的對角線互相垂直平分”的否定是什么 真假性呢
4.一個存在量詞命題可以包含多個變量嗎
知識辨析
1.全稱量詞命題.量詞“所有”省略了.
2.存在量詞命題中,量詞不能省略;有些全稱量詞命題的量詞在不影響理解題意的情況下可以
省略.
3.“菱形的對角線互相垂直平分”是指“菱形的對角線互相垂直且互相平分”,其否定為
“菱形的對角線不互相垂直或不互相平分”.易知原命題為真命題,所以其否定為假命題.
4.可以.如 a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2.
一語破的
1.要判定全稱量詞命題“ x∈M,p(x)成立”是真命題,需要對集合M中每個元素x驗證p(x)成
立.但要判定該命題是假命題,只要能找出集合M中的一個x=x0,使p(x)不成立即可.要判定存在
量詞命題“ x∈M,p(x)成立”是真命題,只需在集合M中找到一個x=x0,使p(x)成立即可;否則,
這一命題就是假命題.
2.命題與命題的否定的真假性相反.當命題的否定的真假不易判斷時,可以通過判斷原命題的
真假來得出命題的否定的真假.
常用的正面敘述詞語和它的否定詞語:
關鍵能力 定點破
定點 1 全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷
原詞語 等于(=) 小于(<) 都是
否定詞語 不等于(≠) 不小于(≥) 不都是
原詞語 至少有一個 至多有一個 至多有n個
否定詞語 一個也沒有 至少有兩個 至少有(n+1)個
寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.
(1) x∈R,|x|=x;
(2)至少有一個二次函數的圖象與x軸沒有交點;
(3)實數的絕對值是正數;
(4) x,y∈Z,使得 x+y=3.
典例
寫出命題的否定:找到命題含有的量詞,變換量詞,否定結論.判斷真假:一是直接
判斷;二是利用命題與命題的否定真假相反進行判斷.
思路點撥：
(1)命題的否定是“ x∈R,|x|≠x”.若x=-1,則|-1|≠-1,所以命題的否定是真命題.
(2)命題的否定是“所有二次函數的圖象與x軸都有交點”.如二次函數y=x2+2x+2,因為x2+2x+
2=(x+1)2+1>0,所以 x∈R,y=x2+2x+2≠0,所以命題的否定是假命題.
(3)命題的否定是“存在一個實數,它的絕對值不是正數”.如0的絕對值是0,所以命題的否定
是真命題.
(4)命題的否定是“ x,y∈Z, x+y≠3”.當x=0,y=3時, x+y=3,所以命題的否定是假命題.
解析：
解決含有量詞的命題中的參數問題的思路
(1)對于全稱量詞命題“ x∈M,a>y(或a為求函數y的最大值(或最小值),即a>ymax(或ay(或a求參的問題,一般為“有解”問題,通常轉化為求函數y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<
ymax).
(2)對于命題p的有些問題,正面解決很難或者很復雜,這時我們可以考慮它的反面,即把與命
題p有關的問題轉化成與命題 p有關的問題,從而把問題簡化,即“正難則反”的方法,也就
是“補集思想”的應用.
定點 2 含有量詞的命題中的參數問題
　已知命題p: x∈R,x2+2x+a≥0,命題q: x∈ ,x2-a≥0.若命題p和q至少有一
個為真命題,求實數a的取值范圍.
典例
本題若從正面解題需分類討論,情況較多,所以可從結論的反面入手,即考慮p,q均
為假命題的情況,然后求其補集.
思路點撥：
命題p和q至少有一個為真命題的否定為命題p和q均為假命題.
當命題p為假命題時,其否定“ x∈R,x2+2x+a<0”為真命題,令y1=x2+2x+a,則(y1)min<0,故a-1<
0,即a<1.
當命題q為假命題時,其否定“ x∈ x 0≤x≤ ,x2-a<0”為真命題,
令y2=x2-a,則(y2)max<0在x∈ 上恒成立,即a>(x2)max在x∈ 上恒成立,故a> .所以當p,q均
為假命題時,實數a的取值范圍為 范圍為 a a≤ 或a≥1 .
解析：
　　邏輯用語是數學語言的重要組成部分,是數學表達與交流的工具.正確使用充分、必要
條件等邏輯用語表達數學對象、進行數學推理,可以提高交流的邏輯性和準確性.
學科素養 情境破
素養 通過充分、必要條件的使用發展邏輯推理的素養
素養解讀
典例呈現
　給出下列三個條件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.請從中選擇一個條件補充到
下面的橫線上并解答.
已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在實數m,使得“x∈P”是“x∈S”的
　　　　　　　 條件 若存在,求出實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
例題
解題思路 若選擇①,即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件,則P S,∴ 解得m>
3,即實數m的取值范圍為{m|m>3}.
若選擇②,即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分條件,則S P.
當S= 時,1-m≥1+m,解得m≤0,滿足要求;
當S≠ 時,則有 無解.
綜上所述,實數m的取值范圍是{m|m≤0}.
若選擇③,即“x∈P”是“x∈S”的充要條件,則P=S,易知無法成立,則不存在實數m,使得“x
∈P”是“x∈S”的充要條件.
　　在解題中要做到能夠辨析哪些條件是充分不必要的,哪些條件是必要不充分的,哪些條
件是充分必要的,哪些條件是既不充分又不必要的,并能用嚴謹的數學語言將充分、必要條
件轉化為集合間的關系,加深對邏輯用語的認識,提升邏輯推理的素養.
思維升華

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