資源簡介

本章復習提升
易混易錯練
易錯點1　混淆充分條件與必要條件致錯
1.若“|x-2m|<1”的一個充分不必要條件為“1A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.命題“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命題的一個必要不充分條件是 (　　)
A.0≤m≤3　　　　B.1≤m≤2
C.1≤m≤3　　　　D.-13.如果甲是乙的充要條件,丙是乙的充分不必要條件,那么丙是甲的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.求證:關于x的方程x2+3x-m=0有兩個負實數根的充要條件是-≤m<0.
易錯點2　對含有量詞的命題的否定不準確致錯
5.命題“ x∈R,x2-2x+4≤0”的否定為(　　)
A. x∈R,x2-2x+4≥0
B. x∈R,x2-2x+4>0
C. x R,x2-2x+4≥0
D. x R,x2-2x+4>0
6.命題“ x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0”為假命題,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-2)∪[2,+∞)　　　　B.(-2,2)
C.(-2,2]　　　　D.R
7.已知命題p: x∈[1,2],x≤a2+1,命題q: x∈[1,2],一次函數y=x+a圖象上的對應點在x軸下方.
(1)若命題p的否定為真命題,求實數a的取值范圍;
(2)若命題p為真命題,命題q的否定也為真命題,求實數a的取值范圍.
思想方法練
一、分類討論思想在常用邏輯用語問題中的應用
1.設集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-1=0}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件,則實數a的取值集合為　　　　.
2.已知p:x<-3或x>1,q:x<3m+1或x>m+2.若p是q的充分不必要條件,則實數m的取值范圍為　　　　　.
3.已知命題p:對任意x∈R,x2-2mx-3m>0恒成立;命題q:存在x∈R,x2+4mx+1<0成立.
(1)若命題p為真命題,求實數m的取值范圍;
(2)若命題p,q中恰有一個為真命題,求實數m的取值范圍.
二、轉化與化歸思想在常用邏輯用語問題中的應用
4.已知命題“ x∈[-2,2],-x2+3x+a≤0”為假命題,則實數a的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.(10,+∞)
C.(-∞,10)　　　　D.(-2,+∞)
5.已知集合A={x|x<-1或x>2},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,則實數a的取值范圍為　　　　　　　.
6.設a∈R,命題p: x∈,x2-a>0,命題q: x∈R,x2+ax+1>0.
(1)若命題p是真命題,求實數a的取值范圍;
(2)若命題 p與q至少有一個為假命題,求實數a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
本章復習提升
易混易錯練
1.C　由|x-2m|<1,得2m-1由題意可得{x|1所以或解得≤m≤1.
故選C.
易錯警示　解決與充分條件、必要條件有關的問題時,如果不能正確區分誰是條件,誰是結論,那么就會將集合間的包含關系倒置,從而出現錯誤.
2.D　因為命題“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命題,所以m2-3m≤(-x2)max,-1≤x≤,則m2-3m≤0,解得0≤m≤3.要求命題“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命題的一個必要不充分條件,設滿足題意的m的取值集合為M,則{m|0≤m≤3} M,結合選項可知選D.
3.A　因為甲是乙的充要條件,所以乙 甲,又因為丙是乙的充分不必要條件,所以丙 乙,乙 /丙.根據傳遞性可知丙 乙 甲,即丙 甲,下面判斷丙是不是甲的必要條件,假設丙是甲的必要條件,則甲 丙,又結合乙 甲,得乙 丙,與乙 /丙矛盾,所以甲 /丙,所以丙是甲的充分不必要條件.
4.證明　充分性:
因為-≤m<0,所以Δ=9+4m≥0,所以x2+3x-m=0有實數根,設兩個根分別為x1,x2,由根與系數的關系知x1x2=-m>0,所以x1與x2同號.
又x1+x2=-3<0,所以x1,x2同為負實數根.
必要性:
因為x2+3x-m=0有兩個負實數根,
所以解得-≤m<0.
綜上可知,關于x的方程x2+3x-m=0有兩個負實數根的充要條件是-≤m<0.
5.B　命題“ x∈R,x2-2x+4≤0”的否定為“ x∈R,x2-2x+4>0”.故選B.
易錯警示　全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,注意在否定的過程中不能只否定結論,而忘記改變量詞,也不能只改變量詞,而忘記否定結論.
6.D　因為命題“ x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0”為假命題,所以 x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4<0為真命題,
當a=2時,-4<0,成立;
當a>2時,Δ=4(a-2)2+16(a-2)>0,所以a>2;
當a<2時,成立.
綜上,a∈R.故選D.
7.解析　(1)易知命題p的否定為 x∈[1,2],x>a2+1,∴a2+1<2,∴-1(2)若命題p為真命題,則a2+1≥2,即a≥1或a≤-1.
命題q的否定為 x∈[1,2],一次函數y=x+a圖象上的對應點在x軸上或在x軸上方,若其為真命題,則1+a≥0,即a≥-1.
綜上,實數a的取值范圍為[1,+∞)∪{-1}.
思想方法練
1.答案　
解析　A={x|x2-5x+6=0}={2,3}.由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件,得B A.
需要對B= 和B≠ 分類討論,體現了分類討論思想.
當B= 時,a=0.
當B≠ 時,若B={2},則a=;若B={3},則a=.綜上,實數a的取值集合是.
2.答案　m-≤m≤-1或m>
解析　設A={x|x<-3或x>1},B={x|x<3m+1或x>m+2}.
若p是q的充分不必要條件,則A是B的真子集.
對集合B是不是R進行討論.
①當B=R時,滿足題意,則3m+1>m+2,解得m>.
②當B≠R時,3m+1≤m+2,解得m≤.
若A是B的真子集,則或解得-≤m≤-1.
綜上所述,實數m的取值范圍是m-≤m≤-1或m>.
3.解析　(1)若命題p為真命題,則4m2+12m<0,解得-3(2)若命題q為真命題,則16m2-4>0,解得m<-或m>.
∵命題p,q中恰有一個為真命題,∴命題p,q一真一假.
命題p,q一真一假,需要分p真q假、p假q真兩種情況討論求解.
①當p真q假時,解得-≤m<0;
②當p假q真時,
解得m≤-3或m>.
綜上所述,實數m的取值范圍為(-∞,-3]∪∪.
思想方法　分類討論又稱邏輯劃分,分類討論的關鍵是邏輯劃分標準的確定.本章中常涉及命題真假的討論以及由集合之間的關系求參數的取值范圍時對集合的討論.
4.A　易得原命題的否定為“ x∈[-2,2],-x2+3x+a>0”,是真命題,
將全稱量詞命題轉化為存在量詞命題求解.
等價于當x∈[-2,2]時,a>,所以a>-.故選A.
5.答案　(-∞,-4)∪(1,3]
解析　因為“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,
所以B A.
將必要不充分條件轉化為集合A,B之間的關系.
又B≠ ,所以或
解得a<-4或16.解析　(1)命題p: x∈,x2-a>0為真命題,等價于a將與存在量詞有關的問題轉化為有解問題.
所以在x∈上,a<(x2)max,所以a<1.
(2)若命題q: x∈R,x2+ax+1>0為真命題,則Δ=a2-4<0,解得-2若命題 p與q至少有一個為假命題,
則命題 p與q不能同時為真命題.
將至少有一個為假命題的問題轉化為都為真命題的問題求解,再求其補集.
當命題 p與q同時為真命題時,
解得1≤a<2,
所以命題 p與q至少有一個為假命題時,a<1或a≥2.
思想方法　轉化與化歸能把同一種數學意義的內容從一種數學語言形式等價轉化為另一種數學語言形式,從而使復雜問題簡單化.本章主要體現在充分條件、必要條件、充要條件與集合之間關系的等價轉化以及命題的真假與相關知識的轉化,即利用集合、方程、不等式等知識求解參數的值或取值范圍.
13

展開更多......

收起↑