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第3章　不等式
3.1　不等式的基本性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　用不等式(組)表示不等關(guān)系
1.下列說法正確的是(　　)
A.某人的月收入為x元,則其不高于2 000元可表示為“x<2 000”
B.若小明的身高為x cm,小華的身高為y cm,則小明比小華矮可表示為“x>y”
C.某變量x至少是a可表示為“x≥a”
D.某變量y不超過a可表示為“y≥a”
2.已知某學(xué)生共有10元,打算購買單價分別為0.6元和0.7元的鉛筆和練習(xí)本,根據(jù)需要,鉛筆至少買7支,練習(xí)本至少買6本,設(shè)買鉛筆x支,練習(xí)本y本,則滿足條件的不等式組為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.某雜志以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本,據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售量就相應(yīng)減少2 000本.設(shè)提價后該雜志的單價為x元,則用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元為　　　　　　　　.
題組二　實數(shù)(代數(shù)式)的大小比較
4.(教材習(xí)題改編)P=a(4a+7)+4,Q=(2a+1)(a+2),則(　　)
A.P>Q
B.P=Q
C.PD.P與Q的大小與a有關(guān)
5.已知c>1,且x=-,y=-,則x,y的大小關(guān)系是(　　)
A.x>y　　　　
B.x=y
C.xD.x,y的大小關(guān)系隨c而定
6.設(shè)P=,Q=+,R=-3,則P,Q,R的大小關(guān)系是(　　)
A.P>Q>R　　　　B.Q>R>P
C.R>P>Q　　　　D.Q>P>R
7.甲、乙兩人同時從寢室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半時間步行,一半時間跑步,如果兩人步行速度、跑步速度均相同,步行速度小于跑步速度,那么下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.甲先到教室　　　　B.乙先到教室
C.兩個人同時到教室　　　　D.誰先到教室不確定
8.“高質(zhì)量發(fā)展”已逐漸成為人們的共識.發(fā)展的同時更要重視生態(tài)環(huán)境的保護(hù),2020年起,某政府對環(huán)保不達(dá)標(biāo)的養(yǎng)雞場進(jìn)行限期整改或勒令關(guān)閉.一段時間內(nèi),雞蛋的價格起伏較大(不同周價格不同).假設(shè)第一周、第二周雞蛋的價格分別為x,y(單位:元/kg),甲、乙兩人的購買方式不同:甲每周購買4 kg雞蛋,乙每周購買12元雞蛋.
(1)若x=8,y=12,分別求甲、乙兩周購買雞蛋的平均價格;
(2)判斷甲、乙兩人誰的購買方式更實惠(平均價格低視為實惠),并說明理由.
題組三　不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用
9.若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式中一定成立的是(　　)
A.<
B.a2>b2
C.-a+c<-b+c
D.若a>b>c>0,則<
10.設(shè)a,b,c為實數(shù),且a0,則下列不等式一定成立的是(　　)
A.<　　　　B.>
C.<　　　　D.>
11.已知a,b∈R,下列四個條件中,使“a>b”成立的必要不充分條件是(　　)
①a>b-1;②a>b+1;③|a|>b;④a>|b|.
A.②③　　　　B.①④　　　　C.①③　　　　D.②④
12.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.若a>b,c<0,則a2c>b2c
B.若a>b,c<0,則a3cC.若aab>b2
D.若a>b>0,則>
13.若a>b>0,c|c|,求證:<.
題組四　求代數(shù)式的取值范圍
14.若實數(shù)x,y滿足:-2A.(0,5)　　　　B.(-1,6)　　　　
C.(-4,9)　　　　D.(-2,2)
15.已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],則4a-2b的取值范圍是(　　)
A.[1,5]　　　　B.[2,7]
C.[1,6]　　　　D.[0,9]
16.已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,則ab的最大值為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.4
17.已知30答案與分層梯度式解析
3.1　不等式的基本性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　對于A,應(yīng)為x≤2 000,故A錯誤;對于B,x,y應(yīng)滿足x2.C
3.答案　x≥20
解析　若提價后該雜志的單價為x元,則銷售量為萬本,則提價后銷售的總收入為x萬元,所以不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以用不等式表示為x≥20.
4.A　因為P-Q=a(4a+7)+4-(2a+1)(a+2)=2a2+2a+2=2+>0,所以P>Q.
故選A.
5.C　由題意得x>0,y>0,則==<1,所以x6.D　由題意,得P-Q=-(+)=-,
因為=+5-=-=,=7=,而<,所以P-Q<0,所以P因為=,()2=11=,而>,
所以P-R>0,所以P>R,
綜上,Q>P>R.故選D.
解題模板　比較兩式大小時,若兩式不好直接比較,可對兩式進(jìn)行相同的變形,如比較含有根式的兩式的大小時,可先對兩式平方,再比較不同部分的大小.
7.B　設(shè)甲、乙兩人同時從寢室到教室的時間分別為t1,t2,寢室到教室的距離為s,兩人步行速度、跑步速度分別為x,y,且0則t1=+,s=x·+y· t2=,
所以t1-t2=+-==·,
因為00,
所以t1-t2>0,即t1>t2,因此乙先到教室.故選B.
8.解析　(1)根據(jù)題意,得甲兩周購買雞蛋的平均價格為=10(元/kg);乙兩周購買雞蛋的平均價格為=(元/kg).
(2)乙的購買方式更實惠.理由如下:
由題意知,甲兩周購買雞蛋的平均價格為=(元/kg);乙兩周購買雞蛋的平均價格為=(元/kg).
因為x>0,y>0,x≠y,
所以-==>0,
即>,所以乙的購買方式更實惠.
9.C　當(dāng)a=1,b=-1時,<,a2>b2顯然不成立,故A、B錯誤;
因為a>b,所以-a<-b,即-a+c<-b+c成立,故C正確;
因為a>b>c>0,所以b-a<0,b+c>0,
所以-==<0,即>,故D錯誤.
故選C.
10.A　對于A,-==,
因為a0,所以b-a>0,c-a>0,
所以<0,即<,故A正確;
對于B,當(dāng)a=-2,b=-1,c=1時,=<=,故B錯誤;
對于C,因為a0,所以>,所以>,故C錯誤;
對于D,因為a0,所以a2>b2>0,所以<,所以<,故D錯誤.
故選A.
11.C　a>b成立的必要不充分條件滿足:可由a>b推出,但推不出a>b.
對于①,若a>b,則a>b>b-1,即a>b a>b-1;另一方面,若a>b-1,不妨取a=b=2,則a=b,即a>b-1 /　a>b.所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分條件,故①滿足題意.
對于②,若a>b,不妨取a=2,b=1,則a=b+1,即a>b /　a>b+1,故②不滿足題意.
對于③,若a>b,則|a|≥a>b,即|a|>b,即a>b |a|>b;另一方面,若|a|>b,不妨取a=-2,b=1,則ab /　a>b.所以“|a|>b”是“a>b”的必要不充分條件,故③滿足題意.
對于④,若a>b,不妨取a=1,b=-1,則a=|b|,即a>b /　a>|b|,故④不滿足題意.
故選C.
12.BCD　對于A,當(dāng)a=1,b=0,c=-1時,a2c=-1,b2c=0,即a2c>b2c不成立,故A錯誤.
對于B,因為a3c-b3c=(a3-b3)c,當(dāng)a>b,c<0時,a3-b3>0,故(a3-b3)c<0,即a3c對于C,a2-ab=a(a-b),當(dāng)a0,故a2>ab,ab-b2=b(a-b),當(dāng)a0,故ab>b2,所以a2>ab>b2,故C正確.
對于D,-=,若a>b>0,則a+1>0,a-b>0,所以>0,即>,故D正確.
故選BCD.
13.證明　因為c-d>0,又因為a>b>0,
所以a-c>b-d>0,所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<.因為a>b,d>c,所以a+d>b+c.因為|b|>|c|,所以b+c>0,所以0所以<.
解題模板　證明不等式時,先觀察不等號左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,再利用不等式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行證明.
14.B　由0因此-1所以x+2y的取值范圍為(-1,6).故選B.
15.B　設(shè)4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,則解得
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),
又a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],
所以3(a-b)∈[0,3],所以4a-2b∈[2,7].故選B.
16.A　因為1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,所以1≤(a-b)2≤4,9≤(a+b)2≤16,所以-4≤-(a-b)2≤-1,
所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15,即5≤4ab≤15,所以≤ab≤,則ab的最大值為.故選A.
17.答案　(-18,10);
解析　由16又3013(共15張PPT)
　　性質(zhì)1:若a>b,則b　　性質(zhì)2:若a>b,b>c,則a>c.
　　性質(zhì)3:若a>b,則a+c>b+c.
　　性質(zhì)4:若a>b,c>0,則ac>bc;若a>b,c<0,則ac　　性質(zhì)5:若a>b,c>d,則a+c>b+d.
　　性質(zhì)6:若a>b>0,c>d>0,則ac>bd.
　　特別地,若a>b>0,則an>bn(n∈N*).
3.1 不等式的基本性質(zhì)
知識點(diǎn) 不等式的基本性質(zhì)
必備知識 清單破
1.對任意的x∈R,如何判斷x2與2x-3的大小
2.在應(yīng)用性質(zhì)2時,如果兩個同向不等式中有一個帶等號,而另一個不帶等號,如何傳遞
3.a,b,c為實數(shù),在等式中,若a=b,則ac=bc;在不等式中,由a>b能否得到ac>bc
4.同向不等式相加與相乘的條件是不是一致的
知識辨析
1.利用作差法判斷:x2-(2x-3)=(x-1)2+2>0,所以x2>2x+3.
2.不等關(guān)系能傳遞,等號不能傳遞.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到a>c.
3.不能.在不等式中,若a>b,則當(dāng)c>0時,ac>bc;當(dāng)c=0時,ac=bc;當(dāng)c<0時,ac4.不是.相乘需是正數(shù),即 而相加只需同向,與正、負(fù)和零均無關(guān)系.
一語破的
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 比較實數(shù)(代數(shù)式)的大小
作差比較法 作商比較法
依據(jù) a-b>0 a>b; a-b<0 a0,b>0且 >1 a>b;a>0,b>0
且 <1 a應(yīng)用范圍 作差后可化為積或商的形式 同號兩數(shù)(式)比較大小
步驟 ①作差; ②變形; ③判斷符號; ④下結(jié)論 ①作商;
②變形;
③判斷商與1的大小關(guān)系;
④下結(jié)論
作差比較法 作商比較法
變形 技巧 ①分解因式; ②平方后作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化 按照同類的項進(jìn)行分組
　已知a,b為正實數(shù),試比較 + 與 + 的大小.
典例
解法一(作差法): -( + )
= +
= + =
= .
∵a,b為正實數(shù),∴ + >0, >0,
又( - )2≥0,
∴ ≥0,
∴ + ≥ + .
解析：
解法二(作商法): =
= =
= =1+ ≥1.
∵ + >0, + >0,
∴ + ≥ + .
解法三(平方后作差): -( + )2
= + +2 -(a+b+2 )
= .
∵a>0,b>0,
∴ ≥0,
∴ ≥( + )2,
又 + >0, + >0,
∴ + ≥ + .
名師點(diǎn)睛 作差法是比較大小最常見的方法,其關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是“變形”,整式的變形有因
式分解、配方(二次式),分式可進(jìn)行通分,根式可進(jìn)行有理化等;二是判斷符號,要能利用條件
判斷出各個部分的符號.
　　利用幾個代數(shù)式的取值范圍來確定某個代數(shù)式的取值范圍是一類常見的綜合問題,對于
這類問題要注意“同向不等式的兩邊可以相加”,但這種轉(zhuǎn)化不是等價變形,在一個解題過
程中多次進(jìn)行這種轉(zhuǎn)化后,就有可能擴(kuò)大真實的取值范圍.解決此類問題,可先建立待求范圍
的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,再通過一次不等關(guān)系的運(yùn)算求得待求式的取值范圍.
定點(diǎn) 2 利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍
已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5.
(1)求a,c的取值范圍;
(2)求9a-c的取值范圍.
典例
(1)設(shè)a-c=x,4a-c=y,則-4≤x≤-1,-1≤y≤5,a= ,c= .
由-4≤x≤-1,得1≤-x≤4,4≤-4x≤16,又-1≤y≤5,
所以0≤ ≤3,1≤ ≤7,
即a的取值范圍是0≤a≤3,c的取值范圍是1≤c≤7.
(2)設(shè)9a-c=m(a-c)+n(4a-c),
則9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,
所以 解得
解析：
即9a-c=- (a-c)+ (4a-c).
由-4≤a-c≤-1,得 ≤- (a-c)≤ .
由-1≤4a-c≤5,得- ≤ (4a-c)≤ .
所以-1≤9a-c≤20.
　　利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實質(zhì)就是利用性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形,變形時,一要考
慮已知不等式與未知不等式在運(yùn)算結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系,二要考慮變形要等價,三要注意性質(zhì)使用
的前提條件.
定點(diǎn) 3 利用不等式的性質(zhì)證明不等式
(1)已知a>b,e>f,c>0,求證: f-ac(2)若bc-ad≥0,bd>0,求證: ≤ .
典例
(1)由a>b,c>0可推出-ac<-bc,再與e>f相加,即可得證.
(2)已知不等式是乘積形式,可通過因式分解恒等變形,利用不等式性質(zhì)即可得證.
思路點(diǎn)撥：
(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.
又e>f,∴f-ac(2)∵bc-ad≥0,∴bc≥ad,
∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b),
又bd>0,
∴ ≥ ,即 ≤ .
證明：
易錯警示 應(yīng)用不等式的性質(zhì)解題時,要注意不等式性質(zhì)成立的條件,不要忽視條件或隨意
仿照等式性質(zhì)“構(gòu)造”性質(zhì)與法則.

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