資源簡介

3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的證明　3.2.2　基本不等式的應用
基礎過關練
題組一　對基本不等式的理解
1.下列條件中,不能使+≥2成立的有(　　)
A.ab>0　　　　B.ab<0
C.a>0,b>0　　　　D.a<0,b<0
2.不等式a2+≥4中,等號成立的條件是(　　)
A.a=2　　　　B.a=±2
C.a=　　　　D.a=±
3.(多選題)下列不等式一定成立的是(　　)
A.3x+≥
B.3x2+≥
C.3(x2+1)+>
D.3(x2-1)+≥
題組二　利用基本不等式比較大小
4.已知實數a,b,c滿足c-b=a+-2,c+b=2a2+2a+,且a>0,則a,b,c的大小關系是(　　)
A.b>c>a　　　　B.c>b>a
C.a>c>b　　　　D.c>a>b
5.已知a,b,x,y都是正實數,且+=1,x2+y2=8,則ab與xy的大小關系是　　　　.
6.某商店出售的某種飲料需分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價 %,若p,q>0,且p≠q,則提價較多的方案是　　　　.
題組三　利用基本不等式求最值
7.若x<,則y=3x+1+有(　　)
A.最大值0　　　　B.最小值9
C.最大值-3　　　　D.最小值-3
8.已知x>0,y>0,x+4y=xy,則+的最小值為(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
9.已知010.若正數x,y,z滿足x+y=xy,x+y+3=xyz,則z的最大值是　　　　.
題組四　利用基本不等式證明不等式
11.已知a>0,b>0,且a-b=2,求證:a+≥5.
12.設a,b,c均為正數,且a+b+c=1.證明:
(1)++≥9;
(2)ab+bc+ac≤;
(3)a2+b2+c2≥.
題組五　利用基本不等式解決實際問題
13.某單位要建造一間背面靠墻的房屋,其地面面積為48 m2,房屋正面每平方米的造價為1 200元(包含門窗),房屋側面每平方米的造價為800元,屋頂的造價為5 800元.如果墻高為3 m,且不計房屋背面和地面的費用,則房屋的最低總造價是(　　)
A.57 600元　　　　B.63 400元　　　　
C.69 200元　　　　D.57 600元
14.某人要買房,隨著樓層的升高,上下樓耗費的精力增多,因此不滿意度升高.當住第n層樓時,上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新,嘈雜音較小,環境較為安靜,因此隨著樓層的升高,環境不滿意度降低.設住第n層樓時,環境不滿意度為,則此人選第　　　　層樓時,不滿意度最低.
15.第19屆亞運會的吉祥物是一套名為“江南憶”的三個機器人模型,三個吉祥物分別取名“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”.某公益團隊聯系亞運會組委會計劃舉辦一場吉祥物紀念品展銷會,成套出售“江南憶”,將所獲利潤全部用于體育設施建設.據市場調查:每套吉祥物紀念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分,其中固定價格為60元,浮動價格=(單位:元,其中銷售量單位:萬套).而當每套吉祥物售價定為x元時,銷售量為(30-0.2x)萬套.注:利潤=(售價-供貨價格)×銷售量(不計其他成本).
(1)每套吉祥物紀念品售價為125元時,能獲得的總利潤是多少萬元
(2)每套吉祥物紀念品的售價為多少元時,每套吉祥物紀念品的利潤最大 并求出最大利潤.
能力提升練
題組一　利用基本不等式求最值(范圍)
1.若x>0,y>1,則+的最小值為(　　)
A.1　　　　B.4　　　　
C.8　　　　D.12
2.設0A.32　　　　B.16　　　　
C.8　　　　D.4
3.設x>y>z,n∈N,且+≥恒成立,則n的最大值為(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
4.(多選題)已知a,b均為正數,且滿足a≥+,b≥+,則下列結論正確的是(　　)
A.a+b≥4　　　　B.ab≥3
C.<　　　　D.a2+b2≥3+2
5.已知正數x,y滿足x+4y=xy,若不等式x+4y≥m2-6m恒成立,則實數m的取值范圍為　　　　.
6.命題“ x>a,關于x的不等式2x+<2成立”為假命題,則實數a的取值范圍是　　　　.
7.已知實數x,y,且x+y+2xy=7.
(1)當x,y均為正數時,x+y的最小值為　　　　;
(2)當x,y均為整數時,x+y的最小值為　　　　.
8.已知正實數a,b滿足a2+2b2=4.
(1)求a2+2b的最大值;
(2)求的最小值.
題組二　利用基本不等式證明不等式
9.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
(1)++≥8;
(2)≥9.
10.已知a,b,c均為正實數.
(1)求證:++≥3;
(2)若a+b+c=3,證明:++≥.
題組三　利用基本不等式解決實際問題
11.某品牌手機為了打開市場,促進銷售,準備對其特定型號的產品降價,有四種降價方案:①先降價a%,再降價b%;②先降價%,再降價a%;③先降價%,再降價%;④一次性降價(a+b)%.其中a>b>0,則最終降價幅度最小的方案是(　　)
A.①　　　　B.②　　　　C.③　　　　D.④
12.我國后漢時期的數學家趙爽通過弦圖利用出入相補法證明了勾股定理,在我國歷史上還有多人通過出入相補法證明過勾股定理.我國清末數學家華蘅芳證明勾股定理時構造的圖形如圖所示,△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,分別以AB,BC,AC為邊向外作3個正方形,點D在直線AC上,∠ABD=90°,記△ABC的周長與面積分別為l,S,則的最大值為　　　　　.
13.某廠家擬舉行某產品的促銷活動,經調查測算,該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x(萬件)與年促銷費用m(m≥0,單位:萬元)滿足x=4-(k為常數),如果不搞促銷活動,那么該產品的年銷售量只能是2萬件.已知生產該產品的固定投入為8萬元,每生產1萬件該產品需要再投入16萬元,廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍此處每件產品的年平均成本按元來計算.
(1)將該產品的年利潤y(萬元)表示為年促銷費用m的函數;
(2)當年促銷費用為多少萬元時,該廠家的年利潤最大 最大年利潤是多少
答案與分層梯度式解析
3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的證明 3.2.2　基本不等式的應用
基礎過關練
1.B　根據基本不等式的條件知>0,>0,故a,b同號.故選B.
2.D　該不等式等號成立的條件為a2=,即a=±,故選D.
3.BC　對于A,x可能是負數,不成立;對于B,由基本不等式可知,3x2+≥,當且僅當3x2=,即x4=時取等號,故成立;對于C,易知x2+1>1,所以3(x2+1)+≥,當且僅當3(x2+1)=時取等號,但3(x2+1)=無解,所以3(x2+1)+>;對于D,x2-1可能是負數,不成立.故選BC.
4.B　因為a>0,所以c-b=a+-2≥2-2=2-2>0,故c>b.
c+b=2a2+2a+,c-b=a+-2,
兩式相減得,2b=2a2+2a+-a-+2=2a2+a+2,
所以b=a2+a+1,
所以b-a=a2-a+1=+>0,故b>a,所以c>b>a.故選B.
5.答案　ab≥xy
解析　因為ab=ab·=a+b≥2,當且僅當a=b=2時等號成立,所以ab≥4.因為xy≤=4,當且僅當x=y=2時等號成立,所以ab≥xy.
6.答案　乙
解析　不妨設原價為1,則按方案甲提價后的價格為(1+p%)(1+q%),按方案乙提價后的價格為,
易知≤=1+,當且僅當1+p%=1+q%,即p=q時等號成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提價較多的方案是乙.
7.C　因為x<,所以3x-2<0,y=3x+1+=3x-2++3=-+3≤-2+3=-3,
當且僅當-(3x-2)=,即x=-時取等號.
故選C.
8.D　由x>0,y>0,x+4y=xy,得+=1,
所以+=x+y++=x+y+1=(x+y)·+1=4+++1+1≥6+2=10,
當且僅當x=6,y=3時取等號.故選D.
解題模板　求含二次分式(分子是二次式,分母是一次式)的函數的最大(小)值時,常將一次式看成一個整體,將原來函數表達式中的分子按照一次式的形式進行配湊,分離常數,轉化為可利用基本不等式求最大(小)值的形式.
9.答案　2
解析　因為0由基本不等式可得≤=2,
當且僅當x=4-x,即x=2時,等號成立.
故的最大值為2.
10.答案　
解析　由題意,得xy=x+y≥2,所以xy≥4,當且僅當x=y=2時等號成立,所以z==1+≤1+=,故z的最大值是.
11.證明　由a>0,b>0,a-b=2,得a=b+2,
所以a+=b+2+=(b+1)++1
≥2+1=5,
當且僅當a=b+2,b+1=,即b=1,a=3時等號成立,
所以a+≥5.
12.證明　(1)因為a,b,c均為正數,且a+b+c=1,所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9,當且僅當a=b=c=時,等號成立.
(2)因為a,b,c均為正數,所以a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”),b2+c2≥2bc(當且僅當b=c時取“=”),c2+a2≥2ca(當且僅當a=c時取“=”),
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(當且僅當a=b=c時取“=”).由題設得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,
即ab+bc+ac≤.
(3)由(2)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),
所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥當且僅當a=b=c=時取“=”.
解題模板　證明不等式時,要觀察待證不等式的結構特征,若不能直接使用基本不等式,則要結合左、右兩邊的結構特征進行拆項、變形、配湊等,使之滿足使用基本不等式的條件.
13.B　設房屋地面的長為x m,寬為y m,總造價為z元,則xy=48,即y=,
所以z=3x×1 200+6y×800+5 800=3 600x++5 800≥2+5 800=63 400,
當且僅當3 600x=,即x=8時取等號,此時z有最小值,且房屋的最低總造價為63 400元.
故選B.
14.答案　3
解析　由題意可知,當住第n層樓時,不滿意度為n+,因為n>0,且n∈N*,所以n+≥2=6,當且僅當n=,即n=3時,等號成立,
故當此人選第3層樓時,不滿意度最低.
15.解析　(1)當每套吉祥物紀念品售價為125元時,銷售量為30-0.2×125=5(萬套),
供貨價格為60+=61(元),
故獲得的總利潤為5×(125-61)=320(萬元).
(2)當每套吉祥物紀念品的售價為x元時,銷售量為(30-0.2x)萬套,
供貨價格為元,
又x>0,30-0.2x>0,所以0所以每套吉祥物紀念品的利潤為元,
x-60-=-+90≤-2+90=80,
當且僅當150-x=,即x=145時取等號.
所以每套吉祥物紀念品的售價為145元時,每套吉祥物紀念品的利潤最大,且最大利潤是80元.
能力提升練
1.C　設+=t,則4y2-(4+tx)y+x4+tx=0,
由Δ≥0,得[-(4+tx)]2-16(x4+tx)≥0,
即(tx-4)2≥16x4,
則tx-4≥4x2,即t≥4x+≥2=8,當且僅當4x=,即x=1時,等號成立.故選C.
2.B　t=+=+=(4m+1-4m)=8++
≥8+2=16,
當且僅當=,即m=時,等號成立.
故選B.
3.B　因為x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0,
+≥恒成立,等價于n≤(x-z)恒成立
破題關鍵,
因為x-z=(x-y)+(y-z),
所以(x-z)=[(x-y)+(y-z)]
=2++≥2+2=4,
當且僅當=,即x-y=y-z時等號成立,
所以要使n≤(x-z)恒成立,則需n≤4(n∈N),所以n的最大值為4.故選B.
4.ACD　對于A,由a≥+,b≥+,得a+b≥+++=4,
則(a+b)2≥4(a+b)=4≥4=16,
當且僅當=,即a=b時取等號,所以a+b≥4,故A正確;
對于B,因為a≥+,所以ab≥+2,
因為b≥+,所以ab≥3+,
故2ab≥5++≥5+2=5+2,
所以ab≥+,
當且僅當=,即b=a時取等號,
又+<3,故B錯誤;
對于C,因為a≥+>,所以a>1,所以<1,
因為b≥+>,所以b>,所以<,
所以+<1+,即<,所以<,故C正確;
對于D,因為a≥+,所以a2≥1+,
因為b≥+,所以b2≥+2,
所以a2+b2≥3++≥3+2=3+2,
當且僅當=,即a=b時取等號,故D正確.
故選ACD.
5.答案　[-2,8]
解析　因為正數x,y滿足x+4y=xy,所以+=1,
則x+4y=(x+4y)=++8≥2+8=16,
當且僅當=,即x=8,y=2時等號成立,
所以x+4y的最小值為16,
若不等式x+4y≥m2-6m恒成立,則m2-6m≤16,
解得-2≤m≤8,即實數m的取值范圍為[-2,8].
6.答案　[0,+∞)
解析　依題意,命題“ x>a,關于x的不等式2x+≥2成立”,
當x>a時,2x+=2(x-a)++2a≥2×+2a=2a+2,
當且僅當2(x-a)=,即x=a+時取等號,
因此2a+2≥2,解得a≥0,
所以實數a的取值范圍是[0,+∞).
7.答案　(1)-1　(2)-9
解析　(1)因為x,y均為正數時,x+y+2xy=7,
所以x+y+2xy=7≤x+y+2,當且僅當x=y=時取等號,
即(x+y)2+2(x+y)-14≥0,
解得x+y≥-1或x+y≤--1,
因為x,y均為正數,所以x+y≥-1,
所以x+y的最小值為-1.
(2)由x+y+2xy=7可得(2x+1)(2y+1)=15.
因為x,y均為整數,所以2x+1,2y+1為整數,
則2x+1=1,2y+1=15,解得x=0,y=7,所以x+y=7,
2x+1=3,2y+1=5,解得x=1,y=2,所以x+y=3,
2x+1=5,2y+1=3,解得x=2,y=1,所以x+y=3,
2x+1=15,2y+1=1,解得x=7,y=0,所以x+y=7,
2x+1=-1,2y+1=-15,解得x=-1,y=-8,所以x+y=-9,
2x+1=-3,2y+1=-5,解得x=-2,y=-3,所以x+y=-5,
2x+1=-5,2y+1=-3,解得x=-3,y=-2,所以x+y=-5,
2x+1=-15,2y+1=-1,解得x=-8,y=-1,所以x+y=-9,
故x+y的最小值為-9.
8.解析　(1)因為a2+2b2=4,所以a2=4-2b2,
因為a,b為正實數,所以4-2b2>0,解得0則a2+2b=-2b2+2b+4=-2+,
根據二次函數的性質,得當b=時,a2+2b取得最大值,為.
(2)因為a,b為正實數,所以a2+2b2≥2=2ab,當且僅當a2=2b2時取等號,
又a2+2b2=4,所以2ab≤4,所以0則=8ab++=8ab+≥12,當且僅當ab=時取等號,
所以的最小值為12.
9.證明　(1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴++=++=2,
又+=+=2++≥2+2=4,當且僅當a=b=時等號成立,∴++≥8.
(2)證法一:∵a+b=1,
∴1+=1+=2+,同理,1+=2+,
又a>0,b>0,
∴==5+2≥5+4=9,當且僅當a=b=時等號成立,
∴≥9.
證法二:=1+++.
由(1)知,++≥8,
故=1+++≥9,當且僅當a=b=時,等號成立.
10.證明　(1)因為a,b,c均為正實數,
所以+≥2(當且僅當a=2b時,等號成立),
+≥2(當且僅當a=3c時,等號成立),
+≥2(當且僅當2b=3c時,等號成立),
以上三式相加,得++≥6(當且僅當a=2b=3c時,等號成立),
所以++≥3(當且僅當a=2b=3c時,等號成立),
即++≥3(當且僅當a=2b=3c時,等號成立).
(2)由題可得(a+b)+(b+c)+(c+a)=6,
則左邊=++
=3++++++
≥3+2+2+2==右邊,當且僅當=,=,=,a+b+c=3,即a=b=c=1時取“=”.
故++≥成立.
11.C　設原價為單位1,
對于①,降價后的價格為(1-a%)(1-b%);
對于②,降價后的價格為(1-a%),
對于③,降價后的價格為;
對于④,降價后的價格為一次性降價1-(a+b)%.
則(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%>1-(a+b)%.
因為a>b>0,所以(1-a%)(1-b%)<=.
因為a>b>0,所以%>%,1-%<1-%,
(1-a%)<.
綜上所述,最終降價幅度最小的方案是③.
故選C.
12.答案　
解析　設BC=a,AC=b,則AB=,
由∠ABD=∠ACB=90°,∠DAB=∠BAC,可得Rt△ABD∽Rt△ACB,
所以=,所以AC·AD=AB2=a2+b2,
所以=
≤=,
當且僅當a=b時取等號,所以的最大值為.
13.解析　(1)由題意知,當m=0時,x=2,則2=4-k,解得k=2,∴x=4-.
∵每件產品的銷售價格為1.5×(元),
∴y=1.5x×-8-16x-m=36--m(m≥0).
(2)∵當m≥0時,m+1>0,
∴y=37--(m+1)≤37-2=37-8=29,當且僅當=m+1,即m=3時等號成立,
即m=3時,ymax=29.
故當年促銷費用為3萬元時,該廠家的年利潤最大,最大年利潤是29萬元.
28(共18張PPT)
3.2 氧基本不等式 ≤ (a,b≥0)
知識點 1 兩個重要不等式
必備知識 清單破
不等式 變形 等號成立的條件 注意
a2+b2≥2ab ab≤ , ab≤ 當且僅當a=b時,等號成立 a,b∈R
基本不等式: ≤ a+b≥2 當且僅當a=b時,等號成立 a,b≥0
1.對于正數a,b
(1)和a+b為定值s時,積ab有最大值,當且僅當a=b= 時取得最大值;
(2)積ab為定值p時,和a+b有最小值,當且僅當a=b= 時取得最小值.
2.在應用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件
　　一正——各項均為正數.
　　二定——和或積為定值.
　　三相等——等號成立的條件.
知識點 2 基本不等式與最值
　基本不等式鏈
已知a,b為正實數,則 ≥ ≥ ≥ (當且僅當a=b時,等號成立),其中
稱為平方平均數, 稱為算術平均數, 稱為幾何平均數, 稱為調和平均數.
知識拓展
1.若a>0,b>0且a≠b,則a+b與2 的大小關系是什么
2.已知m>0,n>0,且mn=81,則m+n有最大值還是最小值
3.能否運用基本不等式求出y=x+ 的最小值
4.在同一個解題過程中多次應用基本不等式求最值有什么限制條件嗎
知識辨析
1.a+b>2 .若a>0,b>0,則a+b≥2 ,但a≠b,所以等號不成立,因此a+b>2 .
2.有最小值.由m>0,n>0,mn=81得m+n≥2 =18,當且僅當m=n=9時取等號,因此m+n有最小
值18.
3.不能.運用基本不等式求y的最大(小)值時,不僅要求有定值,還要求正值與等號成立.若x>0,
則能求出y=x+ 的最小值;若x<0,則能求出y=x+ 的最大值.
4.在同一個解題過程中多次應用基本不等式求最值時,要注意各不等式取等號時條件是否一
致,若不能同時取等號,則多次應用基本不等式是求不出最值的,此時要對原式進行適當拆分
或合并,達到取等號的條件.
一語破的
利用基本不等式求最值的注意事項
(1)一正:各項必須都是正值.
　　若各項都是負數,則可以整體提出負號,化為正數,再用基本不等式求最值;若有些項為正
數,有些項為負數,則不可以用基本不等式求最值.
(2)二定:各項之和或各項之積為定值.
　　解決利用基本不等式求最值問題的關鍵是湊出“和”或“積”為定值,常見的湊項技巧
如下:
①拆(裂項、拆項):對分子的次數不低于分母次數的分式進行整式分離——分離成整式與
“真分式”的和,再根據分式中分母的情況對整式進行拆項,為應用基本不等式湊定值創造
條件.
關鍵能力 定點破
定點 1 利用基本不等式求無附加條件的最值
②并(分組并項):分組后,各組可以單獨應用基本不等式或先對一組應用基本不等式,再在組
與組之間應用基本不等式得出最值.
③配(配式、配系數):根據題設條件采取合理配式、配系數的方法,使配式與待求式相乘后可
以應用基本不等式得出定值,或配以恰當的系數后,積式中的各項之和為定值.
(3)三相等:必須驗證取等號時條件是否成立,若等號不成立,則不能用基本不等式求最大(小)
值.
(1)當x<0時,求 +4x的最大值;
(2)當x>0時,求x+ 的最小值.
典例
思路點撥 (1)由x<0得 >0,-4x>0,將所求式變形后,利用基本不等式求出最大值.
(2)將所求式變形后,利用 × =1及基本不等式求出最小值.
解析 (1)∵x<0,∴-x>0,∴ >0,-4x>0,
則 +(-4x)≥2 =8 ,
當且僅當 =-4x,即x=- 時取等號,
∴ +4x≤-8 ,
∴當x<0時, +4x的最大值為-8 .
(2)∵x>0,∴x+ > ,
∴x+ =x+ =x+ + - ≥2× - = ,
當且僅當x+ = ,即x= 時,等號成立,故x+ 的最小值為 .
名師點睛 在利用基本不等式求最值的過程中,常需要把數、式合理地拆成兩項(多項)或恒
等變形配湊成適當的數、式,以便于利用基本不等式求解.
　　利用基本不等式求有限制條件的最值常見的解法是換(常值代換、變量代換),首先對條
件變形,以進行代換,再構造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均
為正數),求 + 的最小值”和 “已知 + =m(a,b,x,y均為正數),求x+y的最小值”兩種類型.
定點 2 利用基本不等式求有限制條件的最值
思路點撥 (1)將4x+9y-xy=0變形為 + =1,進行“1”的代換,運用基本不等式求解.
(2)條件中的運算是“和”,用算術平均數,選項A是倒數和,用調和平均數,選項B是積,用幾何
平均數,選項C、D可用平方平均數.
(1)已知x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,則x+y的最小值為 (　 )
A.25　 B.18　 C.13　 D.12
(2)(多選)設正實數x,y滿足x+y=2,則下列說法正確的是 (　 )
A. + 的最小值為2
B.xy的最小值為1
C. + 的最大值為4
D.x2+y2的最小值為2
典例
A
AD
解析 (1)∵x>0,y>0,4x+9y-xy=0,
∴ + =1,則x+y=(x+y) =13+ + ≥13+2 =25,
當且僅當 = ,即x=15,y=10時取等號,
∴x+y的最小值為25.故選A.
(2)∵x+y=2,∴ =1,
∵x>0,y>0,∴ ≤ =1,∴ + ≥2,當且僅當x=y=1時,等號成立,∴ + 的最小值為2,
故A正確;
∵x>0,y>0,∴x+y≥2 ,又x+y=2,∴2 ≤2,∴xy≤1,當且僅當x=y=1時,等號成立,∴xy的最
大值為1,故B錯誤;
∵ ≤ =1,∴ + ≤2,當且僅當x=y=1時,等號成立,∴ + 的最大值
為2,故C錯誤;
由 ≤ 得x2+y2≥ =2,當且僅當x=y=1時,等號成立,∴x2+y2的最小值為2,故D
正確.故選AD.
1.利用基本不等式證明不等式的關鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式,通過將
“和”式轉化為“積”式或將“積”式轉化為“和”式,達到放縮的效果.證明不等式常用
的變形技巧:
(1)拆分、配湊:將所要證明的不等式先拆分成幾部分,再利用基本不等式證明.
(2)常值代換:利用已知的條件或將已知條件變形得到含“常值”的式子,將“常值”代入后
再利用基本不等式證明.
2.多次運用基本不等式時,需要注意兩點:一是不等號方向要一致,二是等號要能同時取到.
定點 3 利用基本不等式證明不等式
(1)已知a,b,c均為正實數,求證: + + ≥a+b+c;
(2)已知x,y為正實數,且滿足x+y=1,證明: + ≥ .
典例
思路點撥 (1)由基本不等式得 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,再利用不等式的性質證明不
等式.
(2)先利用“乘1法”轉化,使用基本不等式證得 + ≥4,再利用基本不等式 ≤ (a,b
≥0)的變形形式a2+b2≥ (當且僅當a=b時,等號成立)證得 + ≥ .
證明 (1)∵a,b,c均為正實數,∴利用基本不等式可得 +b≥2a(當且僅當a=b時,等號成立),
+c≥2b(當且僅當b=c時,等號成立), +a≥2c(當且僅當a=c時,等號成立),
∴ + + +a+b+c≥2a+2b+2c,即 + + ≥a+b+c,當且僅當a=b=c時,等號成立.
(2)因為 + =(x+y) =2+ + ≥4,當且僅當x=y= 時取等號,所以 + ≥
= ≥ = ,當且僅當x=y= 時取等號.
名師點睛 利用基本不等式證明不等式時,要先觀察題中要證明的不等式的結構特征,若不
能直接使用基本不等式證明,則考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等,使之達到能使用基
本不等式的形式;若題目中還有已知條件,應注意已知條件和所證不等式之間的聯系.

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