資源簡介

3.3　從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程　
3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
基礎過關練
題組一　二次函數的零點及其應用
1.設x1,x2是函數y=6x2-x-2的兩個零點,則+的值為(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.　　　　D.-
2.(多選題)關于函數y=mx2-4x-m+5的零點,下列說法正確的是(　　)
A.當m=0時,該函數只有一個零點
B.當m=1時,該函數只有一個零點
C.當m=-1時,該函數沒有零點
D.當m=2時,該函數有兩個零點
3.(教材習題改編)函數y=(x-1)(x2-3)的零點是　　　　.
4.若函數y=x2+mx+4m2-3的兩個零點分別為x1,x2,且滿足x1+x2=x1x2,則m的值為　　　　.
題組二　一元二次不等式的解法
5.“|x|<3”是“x2A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
6.不等式x(x+2)A.
B.∪(1,+∞)
C.
D.(-∞,-1)∪
7.若0A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.不等式ax2-(a+2)x+2>0(a<0)的解集為(　　)
A.　　　　B.
C.∪[1,+∞)　　　　D.∪(1,+∞)
9.(教材習題改編)求下列不等式的解集:
(1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0;
(5)-1題組三　三個“二次”之間的關系
10.(教材習題改編)若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集為{x|x≠m},則m+k=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.-2　　　　D.2
11.甲、乙兩人分別解關于x的不等式x2+mx+n<0.甲抄錯了常數m,得到解集為(1,6);乙抄錯了常數n,得到解集為(1,4).如果甲、乙兩人解不等式的過程都是正確的,則原不等式的解集為(　　)
A.(2,3)　　　　B.(1,6)　　　　
C.(-2,3)　　　　D.(-3,-2)
12.已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于(-1,0),(2,0)兩點,則關于x的不等式cx2+x-b>0的解集為(　　)
A.
B.∪(1,+∞)
C.
D.(-∞,-1)∪
題組四　一元二次不等式的恒(能)成立問題
13.(教材習題改編)若關于x的不等式x+2+a2-a-2≥0恒成立,則實數a的取值范圍是(　　)
A.≤a≤　　　　
B.-1≤a≤2
C.a≤或a≥　　　　
D.a≤-1或a≥2
14.(多選題) x∈R,關于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一個必要不充分條件是(　　)
A.0-1
C.015.已知命題p:對任意實數x,不等式mx2-2x+>0都成立,命題q:關于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根.若命題p,q有且只有一個是真命題,則實數m的取值范圍為　　　　　　.
題組五　一元二次不等式的實際應用問題
16.某商店銷售一種亞運會紀念章,每枚紀念章的最低售價為15元,若每枚紀念章按最低售價銷售,每天能賣出45枚,每枚紀念章售價每提高1元,日銷售量將減少3枚,為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入,則這批紀念章的銷售單價x(單位:元)的取值范圍是(　　)
A.(10,20)　　　　B.[15,20)
C.(16,20)　　　　D.[15,25)
17.某市有一塊三角形荒地,如圖所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=200米,現市政府要在荒地中開辟一塊矩形綠地ADEF,其中點D,E,F分別在線段AB,BC,CA上,若要求綠地的面積不少于7 500平方米,則AD的長度(單位:米)的取值范圍是(　　)
A.[40,160]　　　　B.[50,150]
C.[55,145]　　　　D.[60,140]
18.某服裝公司生產的襯衫每件定價160元,在某城市年銷售10萬件.現該公司計劃在該市招收代理來銷售襯衫,以降低管理和營銷成本.已知代理商要收取的代理費為總銷售金額的r%(每100元銷售額收取r元),且r為正整數.為確保單件襯衫的利潤保持不變,服裝公司將每件襯衫價格提高到元,但提價后每年的銷售量會減少0.62r萬件.若為了確保代理商每年收取的代理費不少于65萬元,則正整數r的取值集合為　　　　.
能力提升練
題組一　含參數的一元二次不等式的解法
1.若關于x的不等式ax+b≤0的解集為{x|x≥-1},則關于x的不等式>0的解集為(　　)
A.{x|x<-1或x>2}　　　　B.{x|-2C.{x|x<-2或x>1}　　　　D.{x|-12.若關于x的不等式(ax-1)2A.-B.-C.-≤a<-或D.-≤a<-或≤a<
題組二　三個“二次”之間的關系
3.對于問題“已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,4),解關于x的不等式ax2-bx+c>0”,給出一種解法:由ax2+bx+c>0的解集為(-2,4),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集為(-4,2),即關于x的不等式ax2-bx+c>0的解集為(-4,2),類比上述解法,若關于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集為(1,4)∪(8,+∞),則關于x的不等式+++d>0的解集為(　　)
A.(2,8)∪(16,+∞)
B.∪
C.(1,2)∪(4,+∞)
D.∪
4.(多選題)已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(t>0),則下列說法正確的是(　　)
A.abc<0
B.2a+b<0
C.(4a+2b+c)≤0
D.設關于x的方程ax+b+c=0的解分別為x1,x2,則x1+x2>t+
5.若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的兩個不相等實數根都是負數,則實數k的取值范圍為　　　　　　　　.
題組三　一元二次不等式中的恒(能)成立問題
6.若不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1對任意實數x均成立,則實數m的取值范圍是(　　)
A.-2C.m<-2或m>2　　　　D.m<-2
7.若不等式<0對一切x∈R恒成立,則實數k的取值范圍為(　　)
A.(-3,0)
B.(-∞,-3)∪(0,+∞)
C.(-3,0]
D.(-∞,-3)∪[0,+∞)
8.當x>0時,關于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,則b+的最小值為　　　　.
答案與分層梯度式解析
3.3　從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
基礎過關練
1.D　根據題意,得x1,x2是方程6x2-x-2=0的兩個不相等的實數根,
所以x1+x2=,x1x2=-,所以+==-.
故選D.
易錯警示　二次函數的零點是實數,而不是點,并且不是所有的二次函數都有零點.
2.AB　當m=0時,函數y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此時方程只有一個實數根,即函數只有一個零點,故A正確;
當m=1時,函數y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因為Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有兩個相等的實數根,即函數只有一個零點,故B正確;
當m=-1時,函數y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因為Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有兩個不相等的實數根,即函數有兩個零點,故C錯誤;
當m=2時,函數y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因為Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程無實數根,即函數無零點,故D錯誤.故選AB.
3.答案　1和±
解析　令(x-1)(x2-3)=0,解得x=1或x=±,
所以函數y=(x-1)(x2-3)的零點是1和±.
4.答案　
解析　根據題意,得方程x2+mx+4m2-3=0的兩個不相等的實數根分別為x1,x2,
則Δ=m2-4(4m2-3)>0,
所以-又x1+x2=-m,x1x2=4m2-3,x1+x2=x1x2,
所以-m=4m2-3,即4m2+m-3=0,
解得m=-1或m=,
又-5.B　解析　由|x|<3,解得-3由x2因為{x|0所以“|x|<3”是“x2故選B.
6.A　將x(x+2)所以不等式x(x+2)故選A.
7.D　因為0m,
所以(x-m)<0的解集為.
故選D.
8.B　原不等式可轉化為-ax2+(a+2)x-2<0,
即-a(x-1)<0,
因為a<0,所以<1,
所以故選B.
9.解析　(1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得(2)原不等式可化為3x2-6x+2≥0,設方程3x2-6x+2=0的兩根分別為x1,x2,則x1=1+,x2=1-,結合函數y=3x2-6x+2的圖象(圖略),可得原不等式的解集為xx≤1-或 x≥1+.
(3)原不等式可化為(2x+1)2>0,所以原不等式的解集為.
(4)原不等式可化為x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,所以原不等式的解集為 .
(5)原不等式等價于
即
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1.
所以原不等式的解集為{x|-3≤x<-2或010.C　由題意可得函數y=kx2-2x+k的圖象開口向下,且與x軸只有1個公共點破題關鍵,∴解得k=-1,∴不等式為-x2-2x-1<0,即x2+2x+1>0,其解集為{x|x≠-1},∴m=-1,∴m+k=-2.故選C.
11.A　依題意,由甲求得的解集得n=1×6=6,由乙求得的解集得-m=1+4=5,解得m=-5,
于是不等式x2+mx+n<0即x2-5x+6<0,解得212.A　由題意,設x2+bx+c=0的兩根分別為x1,x2,則x1=-1,x2=2,
所以由根與系數的關系,得
解得
此時cx2+x-b=-2x2+x+1=(2x+1)(-x+1)>0,解得-13.D　因為關于x的不等式x+2+a2-a-2≥0恒成立,所以a2-a-2≥-x-2,則a2-a-2≥(-x-2)max,
令=t,t≥0,則-x-2=-t2-2t=-(t+1)2+1,
當t=0時,-x-2取得最大值,且最大值為0,
所以a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2.故選D.
14.BD　∵ x∈R,關于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0設所求的必要不充分條件對應的集合是N,則M N,對比選項可知,選項B,D均符合題意.
15.答案　(1,2]∪[3,+∞)
解析　命題p為真命題時,需滿足解得m>2.
命題q為真命題時,需滿足Δ=16(m-2)2-16<0,解得1∵命題p、q中有且只有一個是真命題,
∴當p真q假時,m>2且m∈(-∞,1]∪[3,+∞),即實數m的取值范圍是m≥3;
當p假q真時,m≤2且1綜上,實數m的取值范圍為(1,2]∪[3,+∞).
16.B　由題意,得x[45-3(x-15)]>600,
即x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,
解得10又∵每枚紀念章的最低售價為15元,∴15≤x<20.
故選B.
17.B　在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,所以△ABC為等腰直角三角形,
設AD=x米,則EF=FC=AD=x米,FA=(200-x)米,
依題意,得x(200-x)≥7 500,解得50≤x≤150.
故AD的長度(單位:米)的取值范圍是[50,150].
故選B.
18.答案　{7,8,9,10}
解析　由題意,得(10-0.62r)··r%≥65且r∈N*,
所以496r2-8 325r+32 500≤0且0令496r2-8 325r+32 500=0,則Δ=(-8 325)2-4×496×32 500=4 825 625,
所以方程的兩根分別為r1=≈6.177 7,r2=≈10.606 6,
綜上,可得7≤r≤10,r∈N*,
所以正整數r的取值集合為{7,8,9,10}.
能力提升練
1.D　因為關于x的不等式ax+b≤0的解集為{x|x≥-1},所以關于x的方程ax+b=0的解為x=-1,且a<0,所以-a+b=0,即b=a,
故不等式>0即>0,等價于<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1因此不等式>0的解集為{x|-12.B　∵不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
(結合二次函數圖象,當不等式小于0,且恰有2個整數解時,二次項系數大于0)
當a>1時,不等式的解集為,易知∈,∴2個整數解分別為1,2,∴2<≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得≤a<;
當a<-1時,不等式的解集為,易知∈,∴2個整數解分別為-1,-2,∴-3≤<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-綜上,實數a的取值范圍是-3.B　若關于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集為(1,4)∪(8,+∞),
即解不等式ax3+bx2+cx+d>0可得18,
由+++d>0得a·+b·+c·+d>0,
所以1<<4或>8,所以<2x<1或0<2x<,解得所以關于x的不等式+++d>0的解集為∪.故選B.
4.ABD　因為不等式ax2+bx+c<0的解集為(t>0),所以和t為方程ax2+bx+c=0的兩個根,且a>0,t>1,則所以b=-a,a=c>0,
又+t>2=2,所以b<-2a<0,
所以abc<0,2a+b<0,故A、B正確;
而(4a+2b+c)=·=a2≥0,故C錯誤;
因為關于x的方程ax+b+c=0的解分別為x1,x2,
令=m(m≥0),即x=m2,
所以關于m的方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上有兩個解m1,m2,
結合題意,可得方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上的兩個解為和t,所以
所以x1+x2=+=(m1+m2)2-2m1m2=-2××t=-2,
又-2-=-,且+t>2,
所以->0,即-2>+t,
所以x1+x2>t+,故D正確.
故選ABD.
5.答案　
解析　設方程kx2+3kx+k-3=0的兩個不相等的實數根分別為x1,x2,
則x1<0,x2<0
所以即
又k≠0,所以k<-或k>3.
6.B　因為不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1對任意實數x均成立,
所以不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0對任意實數x均成立,
當m-2=0,即m=2時,有-3<0恒成立,滿足題意;
當m-2≠0,即m≠2時,
解得-10綜上所述,實數m的取值范圍為-10故選B.
7.C　因為Δ=(-8)2-4×20=-16<0,
所以x2-8x+20>0恒成立,
不等式<0對一切x∈R恒成立等價于2kx2+kx-<0對一切x∈R恒成立破題關鍵.
當k=0時,-<0對一切x∈R恒成立,滿足題意,
當k≠0時,解得-3綜上,k∈(-3,0].故選C.
8.答案　4
解析　易知a≠0.
當a<0時,由x>0可得ax-1<0,所以(ax-1)(x2+bx-4)≥0,即x2+bx-4≤0,易知函數y=x2+bx-4的圖象開口向上,所以x2+bx-4≤0不恒成立,不滿足題意;
當a>0時,若x>,則ax-1>0,若0時,x2+bx-4≥0,當023(共29張PPT)
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)當函數值取零時自變量x
的值,即二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標,也稱為二次函數y=ax2+bx+c(a
≠0)的零點.
3.3 從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
知識點 1 二次函數的零點
必備知識 清單破
1.一元二次不等式的概念
　　只含有一個未知數,并且未知數最高次數是2的整式不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
　 ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a,b,c均為常數,且a≠0).
知識點 2 一元二次不等式
知識點 3 三個“二次”(二次函數、一元二次方程、一元二次不等式)的關系
判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的
根 有兩個相異的實
數根 x1,x2(x1數根 x1=x2=- 沒有實數根
一元二次 不等式的 解集 ax2+bx+c>0(a>0) (-∞,x1)∪(x2,+
∞) ∪ R
ax2+bx+c<0(a>0) (x1,x2)
判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
　　注意:當一元二次不等式的二次項系數為負時,可化為正數再求解.
1.mx2+5x>0一定是一元二次不等式嗎
2.函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點是不是函數圖象與x軸的交點
3.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數根,則不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R嗎
4. <0如何求解 ≤0的解集是什么 <2又如何求解
知識辨析
1.不一定.當m=0時,為一元一次不等式;當m≠0時,為一元二次不等式.
2.不是.函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點是函數圖象與x軸的交點的橫坐標.
3.不一定.方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數根,說明函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸無交點,
當a>0時,圖象在x軸上方,不等式ax2+bx+c>0的解集為R;當a<0時,圖象在x軸下方,不等式ax2+
bx+c>0的解集為 .
4.∵ <0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1為{x|1≤x<2};將 <2移項、通分,并整理,得 >0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等
式 <2的解集為{x|x>3或x<2}.
一語破的
1.解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標準:通過對不等式的變形,使不等號右側為0,左側的二次項系數為正.
(2)判別式:對不等號左側因式分解,若不易分解,則計算其對應方程的判別式.
(3)求實根:求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根.
(4)畫草圖:根據一元二次方程根的情況畫出其對應的二次函數圖象的草圖.
(5)寫解集:根據圖象寫出不等式的解集.
2.解含參數的一元二次不等式
(1)不改變解題步驟.
(2)根據運算的需要進行分類討論:
①討論二次項系數:當二次項系數中含有參數時,應討論二次項系數與0的大小關系,然后將不
關鍵能力 定點破
定點 1 一元二次不等式的解法
等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的形式;
②討論不等式對應方程根的個數:當不等式對應的一元二次方程的根的個數不確定時,討論
判別式Δ與0的關系;
③討論兩根的大小:確定方程有兩根時,要討論兩根的大小關系,從而確定解集的形式.
解關于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
典例
思路點撥 因為二次項的系數a的符號不確定,所以需要對其進行分類討論.
解析 (1)當a=0時,原不等式為一元一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2.
(2)當a<0時,設方程ax2-2(a+1)x+4=0的兩根分別為x1,x2,則判別式Δ=4(a-1)2>0,x1=2,x2= ,且 <
2,所以不等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集為 .
(3)當a>0時,設方程ax2-2(a+1)x+4=0的兩根分別為x1,x2,則判別式Δ=4(a-1)2≥0,x1=2,x2= .
①若 <2,則a>1,不等式的解集為 x x< 或x>2 ;
②若 >2,則0 ;
③若 =2,則a=1,不等式的解集為{x|x∈R,且x≠2}.
綜上所述,當a=0時,不等式的解集為{x|x<2};當a<0時,不等式的解集為 ;當a>1時,
不等式的解集為 ;當0 ;當a=1時,不等
式的解集為{x|x∈R,且x≠2}.
名師點睛 對于含參數的“一元二次不等式”,若二次項系數含參數,則先考慮二次項系數
的符號,其次考慮分解因式,再對參數進行討論.若不易分解因式,則可對判別式進行分類討論,
分類要不重不漏.
1.三個“二次”之間的關系
(1)在三個“二次”中,二次函數是主體,研究二次函數問題主要是將問題轉化為一元二次方
程和一元二次不等式的形式來解決.
(2)研究一元二次方程和一元二次不等式時,要將其與相應的二次函數相聯系,通過二次函數
的圖象及性質來解決相關問題.
2.應用三個“二次”之間的關系解題的思路
　　已知以a,b,c為參數的不等式(如ax2+bx+c>0(a≠0))的解集求解其他不等式的解集時,一般
遵循:①根據解集判斷二次項系數的符號和一元二次方程的根;②根據根與系數的關系把b,c
用a表示出來并代入所要解的不等式;③約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.
定點 2 三個“二次”之間的關系
已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(-3,1),則不等式bx2+ax+c<0的解集為 (　 )
A.(1,2)　 B.(-1,2)　
C. 　 D.
典例
D
思路點撥 由不等式ax2+bx+c<0的解集知二次項系數a>0,由ax2+bx+c<0的解集的端點值確
定其對應的一元二次方程的根為1和-3,利用根與系數的關系解決問題.
解析 ∵ax2+bx+c<0的解集是(-3,1),
∴ ∴b=2a,c=-3a,
則不等式bx2+ax+c<0 2ax2+ax-3a<0,
即2x2+x-3<0,解得- ∴不等式bx2+ax+c<0的解集是 .
解決與一元二次不等式恒(能)成立的有關問題的方法
(1)將與一元二次不等式有關的問題轉化為其所對應的二次函數圖象與x軸的交點問題,考慮
二次項系數和對應方程的判別式的符號這兩方面.
(2)將與一元二次不等式有關的問題轉化為其對應的二次函數的最值問題,分離參數后,求相
應二次函數的最值,建立參數與這個最值的關系.
定點 3 一元二次不等式中的恒(能)成立問題
(1)對于任意實數x,y=(5-a)x2-6x+a+5的值恒為正值,則實數a的取值范圍是　　　 ;
(2)已知函數y=x2+mx-1,若對任意x∈[m,m+1],都有y<0成立,則實數m的取值范圍是　　　 .
典例
(-4,4)
思路點撥 (1)y=(5-a)x2-6x+a+5的值恒為正值,即函數為一元二次函數,其圖象開口向上,且和
x軸無交點.
(2)根據圖象知區間[m,m+1]的兩端點對應的函數值均小于0.
解析 (1)由題意可得
解得-4(2)作出函數y=x2+mx-1的圖象(如圖),

對任意x∈[m,m+1],都有y<0,
則有
解得- 利用一元二次不等式解決實際問題的一般步驟
(1)選擇合適的字母表示題目中起關鍵作用的未知量;
(2)根據題中信息構造不等關系或函數模型;
(3)解一元二次不等式;
(4)結合題目的實際意義確定答案.
定點 4 一元二次不等式的實際應用問題
某校計劃靠一面墻(墻足夠長)建一個長方形的植物角,如圖所示,長方形的長(靠墻的一
邊)為18 m,用柵欄圍成四個相同的小長方形區域種植若干種植物.
(1)若每個小長方形區域的面積為24 m2,要使圍成四個區域的柵欄的總長度l(單位:m)最短,則
每個小長方形區域的長和寬分別是多少米 并求所用最短柵欄的長度;
(2)若每個小長方形區域的長為x(x>2)m,寬為長的一半,每米柵欄的價格為5元,區域的重建費
用為每平方米10元,要使總費用y不超過180元,求x的取值范圍.

典例
解析 (1)設每個小長方形區域的長為a(0∵a> ,∴a>2 ,∴2 則l=4a+6× =4a+ ≥2 =48(m),當且僅當4a= ,即a=6時等號成立,此時 =4,
故每個小長方形區域的長和寬分別為6 m和4 m時,所用最短柵欄的長度為48 m.
(2)由題可知,每個小長方形區域的長為x m,則寬為 m,2則四個相同的小長方形區域的面積為4x· =2x2(m2),柵欄的總長度l=4x+6× =7x(m),
∴y=10×2x2+5×7x=20x2+35x,2∴20x2+35x≤180,解得-4≤x≤ ,
又∵2素養解讀
　　三個“二次”中綜合問題解題思路的探究,是以二次函數的圖象為幾何直觀,通過其開
口方向、對稱軸、端點函數值、對應方程的判別式等,對相關一元二次方程(不等式)進行定
量計算,進而解決相關問題.
學科素養 情境破
素養 通過三個“二次”問題發展直觀想象的素養
典例呈現
例題 (多選)已知關于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且aA.不等式a≤x2-4x-6≤b的解集不可能為
B.不等式a≤x2-4x-6≤b的解集可能為{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12}
C.存在實數a,b,使得不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為{x|m≤x≤n}(mD.存在唯一一對實數對(a,b),使得不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為
CD
解題思路 畫出二次函數y=x2-4x-6=(x-2)2-10的圖象,如圖①.

圖①
若b<-10,則不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為 ,故A錯誤.
若a≤-10,b>-10,則不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為{x|m≤x≤n}(m結合圖②可知,若a>-10,則不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式.

因為二次函數y=x2-4x-6的圖象的對稱軸為直線x=2,所以 =2, =2.
因為 =2, =1≠2,故B錯誤.
對于D,如圖③所示,

若不等式的解集為 ,則a≤-10,b>-10,且方程x2-4x-6=b的兩根分別為 ,b,故b2-4b-6
=b,解得b=-1或b=6,又 <2確.
思維升華
　　直觀想象在高中數學中具有以下四個特性:一是經驗性,如本題中函數y=x2-4x-6的圖象
是拋物線(如圖①),由最小值可判斷選項A、C是否正確;二是整體性,由函數圖象可得到性質,
形成網絡清晰、融會貫通的數學知識結構,如由圖象的對稱性可以判斷選項B是否正確;三是
邏輯性,直觀想象素養借助幾何直觀體現事物形態與變化,建立數與形的聯系,其必然表現出
一定的邏輯性,在本題中,解決選項D時,由函數的圖象得到一元二次方程的兩根,進而解決一
元二次不等式的解集問題;四是預見性,直觀想象的結果通常會表現出新的突破,帶有極強的
創造性,直接預測問題的結論,如下面拓展中的問題.
拓展問題　已知關于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a等式的解集為{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}(m1解析 由例題中的圖②可知a>-10,當b=a+1時,隨著a的增大,n1-m1的值越來越小,因此從求n1-
m1的最值入手.
依題意得,x2-4x-6=a的兩根分別為n1,n2,x2-4x-6=a+1的兩根分別為m1,m2,
則n1+n2=4,n1n2=-6-a,m1+m2=4,m1m2=-7-a,
所以n1-n2=- ,m1-m2=- ,
因此n1-m1=
= = ,
結合a>-10可得n1-m1<1.
故不存在實數a,使得當b=a+1時,不等式的解集為{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}(m1式,且n1-m1=1.

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