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本章復習提升
易混易錯練
易錯點1　不能正確使用不等式的性質致錯
1.若a,b,c∈R,則下列命題正確的是(　　)
A.若a>b,c>d,則a-c>b-d
B.若a>b,則<
C.若a>b,則a3>b3
D.若a>b,則ac2>bc2
2.已知實數a,c滿足-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,則9a-c的取值范圍是　　　　.
易錯點2　忽略基本不等式的應用條件致錯
3.(多選題)下列結論正確的是(　　)
A.函數y=的最小值是2
B.若a,b∈R且ab>0,則+≥2
C.若x∈R,則x2+3+的最小值為3
D.函數y=2+x+(x<0)的最大值為0
4.(多選題)已知a>0,b>0,a2+b=1,則下列結論正確的是(　　)
A.a的最大值為　　　　B.a+≤
C.b+2a的最大值為2　　　　D.+≥9
易錯點3　忽略二次項系數的符號致錯
5.不等式-x2+3x+18<0的解集為(　　)
A.{x|x>6或x<-3}　　　　B.{x|-3C.{x|x>3或x<-6}　　　　D.{x|-66.已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2A.　　　　B.
C.　　　　D.
易錯點4　解含參數的不等式時分類不全面致錯
7.若關于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不是空集,則實數a的取值范圍為(　　)
A.　　　　
B.
C.(-∞,-2)∪　　　　
D.(-∞,-2]∪
8.已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3}.
(1)若a>0,且不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且僅有10個整數解,求a的取值范圍;
(2)若a為非零實數,解關于x的不等式ax2+(b-1)x+5<0.
思想方法練
一、函數與方程思想在解不等式中的應用
1.已知關于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|10的解集是　　　　.
2.關于x的不等式x2-mx+m+2>0對-2≤x≤4恒成立,則m的取值范圍為　　　　　　　.
二、分類討論思想在解不等式中的應用
3.關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集不可能是(　　)
A. 　　　　B.{x|x>1}
C.　　　　D.
4.已知函數y=mx2-mx-1.
(1)若對于一切實數x,y<0恒成立,求m的取值范圍;
(2)解不等式:y<(m+1)x-3.
三、數形結合思想在三個“二次”問題中的應用
5.已知關于x的方程x2-2x+a=0.當a為何值時:
(1)方程的一個根大于1,另一個根小于1
(2)方程的一個根大于-1且小于1,另一個根大于2且小于3
(3)方程的兩個根都大于0
6.已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)當x∈R時不等式恒成立,求實數m的取值范圍;
(2)當x∈{x|1≤x≤3}時不等式恒成立,求實數m的取值范圍.
四、轉化與化歸思想在解不等式中的應用
7.若關于x的不等式x2+mx+1≤0在08.設函數y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集為{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax對任意x>0恒成立,求實數a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
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易混易錯練
1.C　對于A,當a=4,b=2,c=3,d=-3時,滿足a>b,c>d,此時a-c=1,b-d=5,可得a-c對于B,若a>b,則b-a<0,所以-=,其中ab的符號不確定,故B錯誤;
對于C,若a>b,則a-b>0,所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)>0,所以a3>b3,故C正確;
對于D,若a>b,當c=0時,ac2=bc2,故D錯誤.
故選C.
易錯警示　運用不等式性質解決問題時,一要注意不等號的方向,同向不等式才能傳遞;二要注意不等式性質成立的條件,同向且為正數的不等式才可以相乘,不等式兩邊同乘正數、負數不等號方向不同等.
2.答案　[-1,20]
解析　設9a-c=m(a-c)+n(4a-c),即9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,
∴解得
∴9a-c=-(a-c)+(4a-c).
∵-4≤a-c≤-1,∴≤-(a-c)≤①,
∵-1≤4a-c≤5,∴-≤(4a-c)≤②,
①+②,得-1≤9a-c≤20,
即9a-c的取值范圍是[-1,20].
易錯警示　利用幾個代數式的范圍求某一個代數式的范圍時,不可多次將不等式相加,否則容易擴大范圍.可以使用整體代換的思想或用待定系數法求解取值范圍問題.
3.BD　對于A,當x<0時,y<0,故A錯誤;對于B,當ab>0時,>0,>0,所以+≥2,當且僅當a=b=1或a=b=-1時取等號,故B正確;對于C,x2+3+=x2+2++1≥3,當且僅當x2+2=時取等號,但x2+2=無解,故C錯誤;對于D,當x<0時,x+≤-2,當且僅當x=-1時取等號,故函數y=2+x+(x<0)的最大值為0,故D正確.故選BD.
4.ABD　因為a>0,b>0,a2+b=1,所以a≤=,當且僅當=a=時取“=”,即a的最大值為,故A正確;
因為a>0,b>0,a2+b=1,所以a=,0a+=+=
=≤=,
當且僅當=,即a=,b=時取“=”,故B正確;
因為a>0,b>0,a2+b=1,所以b=1-a2(0因為a>0,b>0,a2+b=1,所以+=(b+a2)·=5++≥5+2=9,
當且僅當=,即a2=2b=時取“=”,故D正確.
故選ABD.
5.A　不等式-x2+3x+18<0可化為x2-3x-18>0,
即(x-6)(x+3)>0,解得x>6或x<-3,
所以不等式的解集為{x|x>6或x<-3}.故選A.
易錯警示　解一元二次不等式時要注意二次項系數是不是正數,若不是,則先化為正數再求解.
6.A　由題意可知,2,3是關于x的方程ax2+bx+c=0的兩個實數根,且a<0,
則解得b=-5a,c=6a,
則不等式bx2+ax+c<0可化為-5ax2+ax+6a<0,
即5x2-x-6<0,所以(5x-6)(x+1)<0,解得-1所以不等式bx2+ax+c<0的解集為.故選A.
易錯警示　解一元二次不等式時要注意二次項系數是不是正數,若不是,則先化為正數再求解.
7.C?、佼攁2-4=0,即a=±2時,
若a=2,則不等式為4x-1≥0,解得x≥,則不等式的解集為,滿足題意;
若a=-2,則不等式為-1≥0,則不等式的解集為 ,不符合題意.
②當a2-4≠0,即a≠±2時,
若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,則解得-28.解析　(1)因為a>0,不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3},
所以ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3},且ax2+bx+c≥2的解集為R,
所以方程ax2+bx+c=3的兩個根為2和3,故化簡得b=-5a,c=6a+3,
又ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+3≥2的解集為R,即ax2-5ax+6a+1≥0恒成立,
所以Δ=25a2-4a(6a+1)≤0,所以0不等式ax2+(b-3)x-c≤0等價于ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0,即(x+1)(ax-6a-3)≤0,
所以-1≤x≤6+,
由題意得8≤6+<9,解得1綜上所述,a的取值范圍為.
(2)若a>0,由(1)得b=-5a,則不等式ax2+(b-1)x+5<0可化為ax2+(-5a-1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,
當0當a=時,不等式(ax-1)(x-5)<0的解集為 ,
當若a<0,不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3}等價于ax2+bx+c≥2的解集為{x|2≤x≤3}且ax2+bx+c≤3的解集為R,
所以方程ax2+bx+c-2=0的兩個根為2和3,
則2+3=-,2×3=,所以b=-5a,c=2+6a,
所以不等式ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+2≤3恒成立,
故Δ=25a2-4a(6a-1)≤0,
所以-4≤a<0,
不等式ax2+(b-1)x+5<0可化為ax2+(-5a-1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,解得x<或x>5,
綜上所述,當-4≤a<0時,不等式ax2+(b-1)x+5<0的解集為;
當0當a=時,不等式ax2+(b-1)x+5<0的解集為 ;
當易錯警示　對于含參數的一元二次不等式問題,要注意分類討論:①二次項系數是不是0;②兩根的大小關系能否確定;③分類討論要做到“既不重復又不遺漏”.
思想方法練
1.答案　
解析　由不等式的解集得到相應方程的根,利用根與系數的關系列方程組,進而求解.
因為關于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|1所以a>0,且1和3是方程ax2+bx+c=0的兩個根,
由根與系數的關系,得
所以b=-4a,c=3a,
則不等式cx2-bx+a>0可化為3ax2+4ax+a>0,
即3x2+4x+1>0,解得x>-或x<-1,
所以不等式cx2-bx+a>0的解集是.
2.答案　{m|2-2解析　設函數y=x2-mx+m+2,易知其圖象開口向上,對稱軸為直線x=,
設出不等式對應的函數,根據函數圖象的特點,列出滿足條件的關系式求解.
①當≤-2,即m≤-4時,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,又∵m≤-4,∴無解;
②當-2<<4,即-40,解得2-2③當≥4,即m≥8時,有42-m×4+m+2>0,解得m<6,又∵m≥8,∴無解.
綜上所述,m的取值范圍為{m|2-2思想方法　函數與方程思想在本章中的體現
(1)利用函數圖象討論方程解的個數及分布情況,討論不等式的解集的情況;
(2)利用函數解決代數中有關取值范圍的問題,以及函數在實際問題中的應用;
(3)利用方程解決與函數有關的問題.
3.D　二次項系數含有參數,對二次項系數是不是0進行分類討論.
當a=0時,原不等式為-x+1<0,解得x>1,原不等式的解集為{x|x>1};
當a≠0時,原不等式可化為(ax-1)(x-1)<0,
對應的一元二次方程的兩根和1的大小關系不確定,需分類討論.
當a>1時,0<<1,原不等式的解集為;
當01,原不等式的解集為;
當a=1時,=1,原不等式的解集為 ;
當a<0時,<1,原不等式的解集為.
綜上,當a=0時,原不等式的解集為{x|x>1};
當a>1時,原不等式的解集為;
當0當a=1時,原不等式的解集為 ;
當a<0時,原不等式的解集為;
故不可能的解集為或.故選D.
4.解析　(1)二次項系數含有參數的一元二次不等式恒成立問題,要分二次項系數為0與不為0兩種情況討論.
當m=0時,y=-1<0恒成立,滿足題意;
當m≠0時,由題意得解得-4綜上所述,m的取值范圍是{m|-4(2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,可化為(mx-1)(x-2)<0.
解二次項系數含有參數的一元二次不等式,首先要對二次項系數為正、為負、為0進行分類討論.
當m=0時,原不等式就是x-2>0,解得x>2.
當m<0時,<2,原不等式可化為(x-2)>0,解得x<或x>2.
當m>0時,原不等式可化為(x-2)<0,
與2都是正數,要對它們的大小進行分類討論.
若m=,則原不等式就是(x-2)2<0,解集為 ;
若02,解原不等式得2若m>,則0<<2,解原不等式得綜上所述,當m<0時,原不等式的解集為;當m=0時,原不等式的解集為{x|x>2};當0時,原不等式的解集為.
思想方法　在本章中,分類討論思想主要應用于解含參數的不等式,有以下幾種情況:
(1)二次項系數含參數且沒有給出具體范圍時,要分二次項系數大于0,等于0,小于0三種情況討論;
(2)對應方程的根無法判斷大小時,要分類討論;
(3)若判別式含參數,則在確定解的情況時需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三種情況進行討論.
5.解析　(1)一元二次方程在某區間內僅有一根,根據根的分布畫出函數圖象,結合圖象確定區間端點函數值的符號.
由方程的一個根大于1,另一個根小于1,結合二次函數y=x2-2x+a的圖象知,當x=1時,函數值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.因此a的取值范圍是{a|a<1}.
(2)由方程的一個根大于-1且小于1,另一個根大于2且小于3,結合二次函數y=x2-2x+a的圖象知,x取-1,3時函數值為正,x取1,2時函數值為負,
即解得-3因此a的取值范圍是{a|-3(3)一元二次方程在某區間內有兩根,根據根的分布畫出函數圖象,結合圖象確定:①區間端點函數值的符號;②判別式的符號;③對稱軸的位置與所給區間的關系.
由方程的兩個根都大于0,結合二次函數y=x2-2x+a的圖象知,判別式不小于0,圖象的對稱軸在y軸右側,且當x=0時,函數值為正,即解得06.解析　(1)①若m=0,則原不等式可化為-1<0,顯然恒成立;
②若m≠0,則不等式mx2-mx-1<0恒成立需滿足解得-4綜上,實數m的取值范圍是{m|-4(2)結合二次函數的圖象分類討論不等式恒成立的條件.
①當m=0時,mx2-mx-1=-1<0,顯然恒成立;
②當m>0時,函數y=mx2-mx-1的圖象開口向上,如圖1,若x∈{x|1≤x≤3}時不等式恒成立,則需滿足解得m<,此時0③當m<0時,函數y=mx2-mx-1的圖象開口向下,如圖2,且函數圖象的對稱軸為直線x=,若x∈{x|1≤x≤3}時不等式恒成立,則需x=1時的函數值為負,m<0符合題意.
綜上,實數m的取值范圍是.
思想方法　數形結合思想在本章中主要體現三個“二次”的應用,在解題時要充分利用二次函數的圖象研究一元二次不等式的解集與一元二次方程的根.
7.答案　m≤-2
解析　當0分離參數,轉化不等式.
若不等式在0則只需m≤,0進一步將不等式有解轉化為求函數的最大(小)值.
又-=-≤-2=-2,當且僅當x=1時,等號成立,所以m≤-2.
8.解析　(1)由題意知,1和4是關于x的方程x2+mx+n=0的兩個根,
由不等式的解集得到對應一元二次方程的根,體現了轉化與化歸思想.
所以-m=1+4=5,n=1×4=4,
所以m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
則x2-5x+4≥ax對任意x>0恒成立,
即a≤x+-5對任意x>0恒成立,
即a≤,x>0.
將恒成立問題轉化為函數的最值問題.
因為x+≥2=4(當且僅當x=2時,等號成立),所以x+-5≥-1,所以=-1,
所以a≤-1.
思想方法　轉化與化歸思想在本章中的應用主要體現在不等式恒(能)成立問題與最值之間的轉化,一元二次不等式與二次方程、二次函數之間的轉化.
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