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專題強化練1　利用基本不等式求最值(范圍)
　45分鐘
1.若命題“對任意x∈(0,+∞),2x+-m>0恒成立”為假命題,則m的取值范圍為(　　)
A.{m|m>2}　　　　B.{m|m≥2}
C.{m|m≤2}　　　　D.{m|m<2}
2.已知a>0,b>0,且a+2b=ab,則a+b的最小值是(　　)
A.4　　　　B.3+2　　　　C.16　　　　D.32
3.已知x+y=1,x>0,y>0,則+的最小值為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
4.(多選題)已知a,b為正數,且2a+b=4,則下列說法正確的是(　　)
A.+有最大值2
B.a2+b2有最小值
C.+有最小值
D.ab有最小值2
5.已知正實數a,b滿足a+b=,則+的最小值是(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.已知a>0,b>0,且ab=1,不等式++≥4恒成立,則正實數m的取值范圍是　　　　.
7.已知正實數x,y滿足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,則x+y的最小值為　　　　.
8.海倫公式亦叫海倫-秦九韶公式,相傳最早是由古希臘數學家阿基米德得出的,而這個公式最早出現在海倫的著作《測地術》中,所以被稱為海倫公式,它是利用三角形三條邊的長直接求三角形面積的公式,其面積S=,其中a,b,c分別是三角形的三邊長,p=.已知把一根長為10 cm的木棒截成三段構成一個三角形,若其中有一段的長度為3 cm,則該三角形的最大面積為　　　　cm2.
9.如圖,P是矩形ABCD的對角線BD上一點,且點P不與點B,D重合,過P作PM⊥AB,PN⊥AD,分別交AB,AD于M,N兩點.
(1)當AB=3,AD=2時,設PM=x(x>0),PN=y(y>0),找出x、y的關系式,求四邊形AMPN面積的最大值,并指出此時P點的位置;
(2)當矩形ABCD的面積為6時,四邊形AMPN的面積是否有最大值 若有,求出最大值;若沒有,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
專題強化練1　利用基本不等式求最值(范圍)
1.B　由題意得,命題“存在x∈(0,+∞),2x+-m≤0恒成立”為真命題解題技巧,
即2x+≤m,x∈(0,+∞).
又因為2x+≥2=2,當且僅當2x=,即x=時取等號,所以m≥2.故選B.
2.B　由a+2b=ab,得+=1,又因為a>0,b>0,
所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,當且僅當=,即b=1+,a=2+時取等號.故選B.
3.B　因為x+y=1,x>0,y>0,
所以+=+=+=+=++≥+2=,
當且僅當=,即x=,y=時取等號.
故選B.
4.AB　由a>0,b>0,且2a+b=4,可知0對于A,因為≤+=2a+b=4,當且僅當2a=b,即a=1,b=2時,等號成立,
所以+≤2,當且僅當2a=b=2時,等號成立,即+有最大值,為2,故A正確;
對于B,因為2a+b=4,所以b=4-2a,所以a2+b2=a2+(4-2a)2=5a2-16a+16=5+,
根據二次函數的性質,得當a=時,a2+b2取得最小值,為,故B正確;
對于C,+=×(2a+b)=+×≥+=,當且僅當=,即a=4-2,b=4-4時取等號,
所以+有最小值,為,故C錯誤;
對于D,2ab≤=4,當且僅當2a=b,即a=1,b=2時,等號成立,
所以ab≤2,所以ab有最大值,為2,故D錯誤.
故選AB.
5.B　因為正實數a,b滿足a+b=,所以4a2+4b2=25-8ab,所以+=+=+·[(2a+2)+(2b+1)]=2a2+++2b2=-4ab++≥×-4ab+2=×=,當且僅當=時,等號成立,故+的最小值為.故選B.
6.答案　[8,+∞)
解析　因為a>0,b>0,且ab=1,所以++=+=+,又++≥4,所以m≥4(a+b)-,設x=a+b,則x≥2=2,則m≥4x-x2=-(x-4)2+8,所以m≥=8.
7.答案　
解析　因為x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,
因為(x+3y-1)(2x+y-1)=1,
所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,
(積(x+3y-1)(2x+y-1)為定值,求和x+y的最小值,關鍵是將x+y用x+3y-1和2x+y-1表示,然后利用基本不等式求解)
x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+
≥2+=,當且僅當(x+3y-1)=(2x+y-1),即即時取等號,所以x+y的最小值為.
8.答案　
解析　依題意得p==5,不妨令a=3 cm,
則b+c=7 cm,其中0則S=≤×= cm2,當且僅當5-b=5-c,即b=c=時取等號,
所以該三角形的最大面積為 cm2.
9.解析　(1)在矩形ABCD中,PM⊥AB,PN⊥AD,
所以PM∥AD,PN∥AB,因為AB=3,AD=2,
所以=,= ,所以+=1,
因為x>0,y>0,所以+≥2=2,
當且僅當=,即x=1,y=時取等號,
又+=1,所以2≤1,所以xy≤,
此時P是BD的中點,
故當P是BD的中點時,四邊形AMPN的面積取得最大值,為.
(2)由題知,AB·AD=6,由(1)可知+=1,
因為x>0,y>0,所以+≥2=2,當且僅當=,即x=AD,y=AB時取等號,
又+=1,所以2≤1,所以xy≤,
此時P是BD的中點,
故當P是BD的中點時,四邊形AMPN的面積取得最大值,為.
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