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專題強化練2　 三個“二次”的綜合應用
　　45分鐘
1.若關于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+1>0的解集為R,則實數m的取值范圍為(　　)
A.[1,5)　　　　B.(5,+∞)
C.(1,5]　　　　D.[1,5]
2.已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,1)∪(3,+∞),則不等式bx2+ax+c≥0的解集是(　　)
A.　　　　
B.
C.∪[1,+∞)　　　　
D.(-∞,-1]∪
3.已知關于x的一元二次不等式kx2-2x+1<0的解集為(m,n),則4m+n-3的最小值是(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.6
4.若關于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3個整數,則實數a的取值范圍為(　　)
A.{a|-3≤a<-2}
B.{a|-3≤a<-2或4C.{a|-3D.{a|-3≤a≤-2或4≤a≤5}
5.(多選題)已知關于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集為{x|x≤-2或x≥3},則下列說法正確的是(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集為{x|x>-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集為或
6.(多選題)已知函數y=ax2+bx-3,則下列結論正確的是(　　)
A.關于x的不等式ax2+bx-3<0的解集可以是{x|x>3}
B.關于x的不等式ax2+bx-3>0的解集可以是
C.函數y=ax2+bx-3的圖象與x軸正半軸可以有2個交點
D.“關于x的方程ax2+bx-3=0有一個正根和一個負根”的充要條件是“a>0”
7.已知函數y=m2x2+(m-1)x+1.
(1)若該函數只有一個零點,求實數m的值;
(2)若 x∈R,不等式m2x2+(m-1)x+1>x2-3恒成立,求實數m的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
專題強化練2　三個“二次”的綜合應用
1.A　當m=1時,1>0,符合題意;
當m≠1時,解得1綜上所述,實數m的取值范圍是[1,5).故選A.
2.B　∵關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,1)∪(3,+∞),
∴1和3是方程ax2+bx+c=0的兩個實數根,且a>0.
則解得
∴不等式bx2+ax+c≥0等價于-4ax2+ax+3a≥0(a>0),即4x2-x-3≤0,解得-≤x≤1,
∴不等式bx2+ax+c≥0的解集是.故選B.
3.A　根據題意,得m和n是方程kx2-2x+1=0的兩個實數根,且k>0,
所以m+n=,mn=,
所以=+=2,且m>0,n>0,
所以4m+n=·(4m+n)·=·≥=×(5+4)=,
當且僅當n=2m,即n=,m=時等號成立,
所以4m+n-3的最小值為-3=.故選A.
4.B　x2-(a+3)x+2a+2<0 (x-2)(x-a-1)<0.
當a=1時,不等式(x-2)2<0的解集為空集,不符合題意.
當a>1時,不等式(x-2)(x-a-1)<0的解集為{x|2要使關于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3個整數,只需滿足解得4當a<1時,不等式(x-2)(x-a-1)<0的解集為{x|a+1要使關于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3個整數,只需滿足解得-3≤a<-2.
綜上,實數a的取值范圍為{a|-3≤a<-2,或45.BC　依題意,得關于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集為{x|x≤-2或x≥3},所以a<0,故A錯誤;
即
所以bx+c=-ax-6a>0,所以x+6>0,所以x>-6,
所以不等式bx+c>0的解集為{x|x>-6},故B正確;
a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故C正確;
cx2-bx+a=-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1<0,即(2x-1)(3x+1)<0,解得-故選BC.
6.BCD　對于A,若不等式ax2+bx-3<0的解集是{x|x>3},則a=0且3b-3=0,解得b=1,而當a=0,b=1時,不等式ax2+bx-3<0即x-3<0,解得x<3,與x>3矛盾,故A錯誤.
對于B,取a=-1,b=0,此時不等式化為-x2-3>0,解集為 ,故B正確.
對于C,函數y=ax2+bx-3的圖象與x軸正半軸有2個交點,即ax2+bx-3=0有2個正實數根,取a=-1,b=4,此時y=-x2+4x-3,令y=0,則-x2+4x-3=0,解得x=1或x=3,故C正確.
對于D,若關于x的方程ax2+bx-3=0有一個正根和一個負根,則解得a>0,則Δ=b2+12a>0,故關于x的方程ax2+bx-3=0有兩個不相等的實數根x1,x2,且x1x2=-<0,即關于x的方程ax2+bx-3=0有一個正根和一個負根.
所以 “關于x的方程ax2+bx-3=0有一個正根和一個負根”的充要條件是“a>0”,故D正確.故選BCD.
7.解析　(1)當m=0時,y=-x+1,此時函數只有一個零點1,滿足題意;
當m≠0時,需滿足Δ=0,即(m-1)2-4m2=0,解得m=-1或m=.綜上,m=0或m=-1或m=.
(2)不等式m2x2+(m-1)x+1>x2-3,
即(m2-1)x2+(m-1)x+4>0.
當m=1時,4>0,滿足題意;
當m=-1時,不等式為-2x+4>0,解得x<2,不滿足題意;
當m2-1≠0,即m≠±1時,需滿足解得m<-或m>1.
綜上,實數m的取值范圍為m<-或m≥1.
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