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第4章　指數(shù)與對數(shù)
4.1　指數(shù)
4.1.1　根式　　4.1.2　指數(shù)冪的拓展
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　根式的概念與性質(zhì)
1.若正數(shù)x,y滿足x3=8,y4=81,則x+y=(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7
2.化簡:+=(　　)
A.0　　　　B.2π-8
C.2π-8或0　　　　D.8-2π
3.若=,則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.R　　　　B.{2}　　　　
C.(2,+∞)　　　　D.(-∞,2]
4.已知實數(shù)a滿足等式=,求實數(shù)a的值.
題組二　根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化
5.已知a>0,將表示成有理指數(shù)冪,其結(jié)果是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.下列各式中一定成立的是　　(　　)
A.=n7　　　　B.=
C.=　　　　D.=
7.下列各式正確的是(　　)
A.=　　　　
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)　　　　
D.=a(n>1,n∈N*)
題組三　利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡或求值
8.已知2a=5,8b=3,則2a-3b的值為(　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.　　　　D.
9.下列式子中錯誤的是　　(　　)
A.(27a3÷0.3a-1=10a2(a≠0)
B.(-)÷(+)=-(a,b>0)
C.[(2+3)2(2-3)2=-1
D.=(a>0)
10.已知a>0,b>0,則=(　　)
A.ab3　　　　B.b-3　　　　C.ab-3　　　　D.a2b-5
11.化簡:--+=　　　　 .
12.解方程:
(1)x-3=;(2)=.
13.化簡:
(1)0.008 -×81-0.25+-10×0.02;
(2)(a,b>0);
(3)·(a,b>0).
題組四　條件求值問題
14.若x+x-1=3,則=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
15.已知5m=2,5n=3,則54m-3n的值為　　　　.
16.已知,是方程x2-5x+3=0的兩個不相等的實數(shù)根,則的值為　　　　 .
17.(教材習題改編)已知+=4,求下列各式的值.
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2;
(3).
答案與分層梯度式解析
4.1　指數(shù)
4.1.1　根式　　4.1.2　指數(shù)冪的拓展
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　由題意得x==2,y==3,所以x+y=2+3=5.故選C.
易錯警示　正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù),任意實數(shù)的奇次方根只有一個.
2.A　原式=|π-4|+(π-4)=4-π+π-4=0,故選A.
3.D　易知=≥0,所以≥0,即2-a≥0,解得a≤2.故選D.
4.解析　由題意得,≥0,所以≥1,故≥1.設(shè)=t,則a=t3(t≥1),
∵=,∴=t,
∴1+=t2,∴=t2-1,
∴1+t3=,∴1+t3=t4-2t2+1,
∴t4-t3-2t2=0,∴t2(t2-t-2)=0,
即t2(t-2)(t+1)=0,
解得t=2或t=0(舍)或t=-1(舍).
∴=t=2,∴a=8.
5.C　∵a>0,∴=====.故選C.
6.D　對于A,=n7m-7,故A錯誤;
對于B,==,故B錯誤;
對于C,當x=1,y=2時,===,=,而≠,故C錯誤;
對于D,=====,故D正確.故選D.
7.D　=-2,===2,故A錯誤;
=|3-π|=π-3,故B錯誤;
∵n>1,n∈N*,∴當n為奇數(shù)時,=a;當n為偶數(shù)時,=|a|,故C錯誤;
=a(n>1,n∈N*)成立,故D正確.故選D.
8.D　∵8b=3,∴=23b=3,∴2a-3b==.故選D.
9.C　對于A,原式=[(3a)3÷0.3a-1=3a×a=10a2(a≠0),故A正確;
對于B,原式===-(a,b>0),故B正確;
對于C,原式=[(2+3)2(3-2)2=[(2+3)2[(3-2)2=(2+3)(3-2)=1,故C錯誤;
對于D,原式=====(a>0),故D正確.故選C.
10.C　====ab-3.故選C.
11.答案　19
解析　--+=-1-+=+2-1-(-2)+16=19.
12.解析　(1)∵x-3==2-3,∴x=2.
(2)∵=,∴=(=[(32=,
∴x=3.
13.解析　(1)原式=-(3×1)-1×-10×(0.33=-×-10×0.3=--3=0.
(2)原式==·
=.
(3)原式=·=·=.
14.A　將x+x-1=3的等號的兩邊平方,得x2+x-2+2=9,則x2+x-2=7,所以===.故選A.
15.答案　
解析　54m-3n=54m·5-3n=·=24×3-3=.
16.答案　22
解析　由根與系數(shù)的關(guān)系得+=5,=3,所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
17.解析　(1)將+=4的等號的兩邊平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14.
(2)將a+a-1=14的等號的兩邊平方,得a2+a-2+2=196,所以a2+a-2=194.
(3)因為+=()3+()3,所以==a+a-1-1=14-1=13.
解題模板　在條件求值問題中,將結(jié)論根據(jù)條件進行適當變形,利用整體代入求值;在與一元二次方程的兩根有關(guān)的問題中,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,利用整體代入求解.
10(共13張PPT)
1.n次方根
(1)定義:如果xn=a(n>1,n∈N*),那么稱x為a的n次方根.
(2)表示:
4.1 指數(shù)
知識點 1 根式
必備知識 清單破
n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范圍
n為奇數(shù) R
n為偶數(shù) ± [0,+∞)
注意:負數(shù)沒有偶次方根;0的n次方根等于0.
2.根式
(1)定義:式子 叫作根式,其中n叫作根指數(shù),a叫作被開方數(shù).
(2)性質(zhì)(其中n>1且n∈N*):
①( )n=a.
②當n為奇數(shù)時, =a;當n為偶數(shù)時, =|a|=
1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪
= (a>0,m,n∈N*,n>1).
2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪
= = (a>0,m,n∈N*,n>1).
3.0的分數(shù)指數(shù)冪
0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.
知識點 2 分數(shù)指數(shù)冪
1.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q).
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q).
(3)(ab)t=atbt(a>0,b>0,t∈Q).
2.無理數(shù)指數(shù)冪
　　當a>0且x是一個無理數(shù)時,ax也是一個確定的實數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指
數(shù)冪同樣適用.
知識點 3 實數(shù)指數(shù)冪
1.實數(shù)a的n次方根可能有幾個
2. = (n>1,n∈N*)一定成立嗎
3.分數(shù)指數(shù)冪 是 個a相乘嗎
4.分數(shù)指數(shù)能約分嗎
5.負數(shù)存在分數(shù)指數(shù)冪嗎
知識辨析
1.當n為大于1的奇數(shù)時,實數(shù)a的n次方根有1個;當n為大于1的偶數(shù)時,正數(shù)a的n次方根有2個,0
的n次方根有1個,負數(shù)沒有偶次方根.
2.不一定. 是實數(shù)a的n次方根的n次冪,其中實數(shù)a的取值由n的奇偶決定,結(jié)果恒等于a;
是實數(shù)an的n次方根,是一個恒有意義的式子,a∈R,不受n的奇偶限制,但這個式子的值受n
的奇偶限制,不一定等于a.
3.不是.分數(shù)指數(shù)冪 只是根式的一種寫法.
4.不能隨意約分.如:(-3 約分后為(-3 = ,而 在實數(shù)范圍內(nèi)是無意義的.
5.存在.在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下,負數(shù)存在分數(shù)指數(shù)冪.
一語破的
1.利用根式的性質(zhì)化簡、求值時的注意點
(1)分清根式是奇次根式還是偶次根式:
①n>1,且n為奇數(shù)時,( )n= =a,a為任意實數(shù);
②n>1,且n為偶數(shù),a≥0時,( )n才有意義,且( )n=a;
③n>1,且n為偶數(shù),a為任意實數(shù)時, 均有意義,且 =|a|.
(2)運算時注意變式、整體代換以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立
方公式等的運用,必要時要進行分類討論.
2.根式與分數(shù)指數(shù)冪化簡、求值的技巧
(1)將根式化為冪的形式,小數(shù)指數(shù)冪化為分數(shù)指數(shù)冪,負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).
(2)底數(shù)是小數(shù)的,要先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,要先化成假分數(shù),然后要盡可能用冪的形式
關(guān)鍵能力 定點破
定點 1 根式與分數(shù)指數(shù)冪的化簡、求值
表示,便于利用指數(shù)冪的運算性質(zhì).
　　注意:化簡的結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既含有分母又含有負指數(shù).
化簡:(1) + -160.75+ ×( )-2;
(2) × (a>0,b>0).
典例
(1)原式= + -(24 + × =- + -8+2=-3.
(2)原式= · · · · = ·a0b0= .
解析：
　　解決指數(shù)冪的條件求值問題時,一般將已知條件或所求代數(shù)式進行恰當變形,從而通過
“整體代換法”求出代數(shù)式的值.整體代換法是數(shù)學變形與計算常用的方法,分析觀察條件
與所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點,靈活運用恒等式是關(guān)鍵.
　　常用的變形公式如下:
(1)a±2 +b=( ± )2;
(2)( + )( - )=a-b;
(3) + =( + )(a- +b);
(4) - =( - )(a+ +b).
定點 2 指數(shù)冪的條件求值問題
已知x+x-1=3,求下列各式的值:
(1) + ;(2)x2+x-2;
(3) + ;(4) .
典例
分析條件與所求式的關(guān)系,利用完全平方公式及立方和公式求解.
思路點撥：
(1)∵x+x-1=3,∴ = +2 + =x+x-1+2=3+2=5,
∴ + =± ,
又由x+x-1=3得x>0,∴ + >0,
∴ + = .
(2)將x+x-1=3兩邊平方,得x2+x-2+2=9,
∴x2+x-2=7.
(3)解法一: + = + =( + )[ - + ]=( + )[(x+x-1)-1]= ×(3-1)=2 .
解法二: = + +2 =x3+x-3+2,
而x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)
解析：
=(x+x-1)[ -3]=3×(32-3)=18,
∴ =20,由x+x-1=3>0得x>0,
∴ + >0,∴ + = =2 .
(4)∵ =x2+x-2-2=5,∴x-x-1=± ,
又x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=3×(7-1)=18,
∴ = =± .

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