資源簡介

4.2　對數
4.2.1　對數的概念　4.2.2　對數的運算性質
基礎過關練
題組一　對數的概念與性質
1.下列說法:
①只有正數有對數;
②任何一個指數式都可以化成對數式;
③以5為底25的對數等于±2;
④=-5成立.
其中正確的個數為(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.(多選題)下列指數式與對數式互化正確的是(　　)
A.=m與lom=e(m>0)
B.10x=6與lg 6=x
C.2=與lo27=-
D.=3與log93=
題組二　對數的運算性質
3.我們知道,任何一個正數N可以用科學記數法表示成N=a×10n(1≤a<10,n為正整數),此時lg N=n+lg a(0≤lg a<1),當n>0時,稱N的位數是n+1.根據以上信息可知360的位數是(lg 3≈0.477 12)(　　)
A.27　　　　B.28　　　　C.29　　　　D.30
4.(多選題)已知a=lg 2,b=lg 3,則(　　)
A.a+b=lg 6　　　　B.=log34
C.2+=log212　　　　D.b-a=lg
5.一個10位正整數a的16次方根為正整數b,則b=(　　)
(參考數據:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.7
6.計算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2=　　　　.
7.已知x>0,y>0,若-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,則lg的取值范圍是　　　　　　.
8.已知a>0,a≠1,x,y為正實數,loga=,則=　　　　.
9.已知a=log3-,b=log38×log2,c=,求a+b+c的值.
題組三　換底公式的運用
10.計算:lg 2×log810=(　　)
A.3　　　　B.log310　　　　C.　　　　D.lg 3
11.設a=log36,b=log520,則log215用a,b表示為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.已知3a=4b=6,則+的值為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
13.荀子《勸學》中說:“不積跬步,無以至千里;不積小流,無以成江海.”所以說學習是日積月累的過程,每天進步一點點,前進不止一小點.我們可以把(1+1%)365看成每天的“進步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.783 4,而把(1-1%)365看成每天的“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.025 5,這樣,一年后的“進步”率是“退步”率的≈1 481倍,那么當“進步”率是“退步”率的5倍時,大約經過(參考數據:lg 101≈2.004 3,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)(　　)
A.70天　　　　B.80天　　　　C.90天　　　　D.100天
14.已知a=lg 2,10b=3,則log185=　　　　.(用a,b表示)
15.(1)已知a,b,c均為正數,且3a=4b=6c,求+-的值;
(2)若60a=3,60b=5,求的值.
題組四　對數的實際應用
16.盡管目前人們還無法準確預報地震,但科學家通過研究,已經對地震有所了解,例如,地震時釋放的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震級M之間的關系為lg E=4.8+1.5M,里氏8.0級地震釋放的能量是里氏6.0級地震釋放能量的(　　)
A.6倍　　　　B.102倍　　　　C.103倍　　　　D.106倍
17.星載激光束與潛艇通信傳輸中會發生信號能量衰減.已知一星載激光通信系統在近海水下某深度的能量估算公式為Er=Ep×10-7,其中Ep是激光器輸出的單脈沖能量,Er是水下潛艇接收到的光脈沖能量,S為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積(單位:km2,光斑面積與衛星高度有關).若水下潛艇光學天線接收到信號能量衰減Γ滿足:Γ=10lg(單位:dB).當衛星達到一定高度時,該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75 km2,則此時Γ的大小約為(參考數據:lg 2≈0.301)(　　)
A.-76.02　　　　B.-83.98　　　　
C.-93.01　　　　D.-96.02
18.為了提高資源利用率,全國掀起了垃圾分類的熱潮,垃圾分類已經成為新時代的要求.假設某地2022年全年用于垃圾分類的資金為500萬元,在此基礎上,每年投入的資金比上一年增長20%,則該市用于垃圾分類的資金開始不低于1 600萬元的年份是(參考數據:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.2027年　　　　B.2028年 C.2029年　　　　D.2030年
答案與分層梯度式解析
4.2　對數
4.2.1　對數的概念 4.2.2　對數的運算性質
基礎過關練
1.B　對于①,由對數的概念知,負數和0沒有對數,故①正確;對于②,指數式(-1)2=1沒有相應的對數式,故②錯誤;對于③,以5為底25的對數等于2,故③錯誤;對于④,負數沒有對數,所以log3(-5)無意義,故④錯誤.故選B.
2.BD　=m化成對數式應為logem=,即ln m=,故A錯誤;10x=6可化為lg 6=x,故B正確;2=化成對數式應為log27=-,故C錯誤;=3可化為log93=,故D正確.故選BD.
解題模板　指數式與對數式互化,關鍵是弄清各部位的去向,其中a>0且a≠1,N>0.
3.C　lg 360=60×lg 3≈60×0.477 12=28.627 2=28+0.627 2,則360的位數是28+1=29.故選C.
4.ACD　對于A,lg 6=lg 2+lg 3=a+b,故A正確;
對于B,log34===≠,故B錯誤;
對于C,log212=log24+log23=2+=2+,故C正確;
對于D,lg=lg 3-lg 2=b-a,故D正確.
故選ACD.
5.C　由題意,得109≤a<1010,b=,其中a∈N*,b∈N*,所以1≤b=<1,
所以0.562 5=≤lg b<=0.625.
由lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85,得lg 7-lg 2=lg=lg 3.5≈0.55,lg 5=lg=lg 10-lg 2=1-lg 2≈0.7,所以lg 3.56.答案　3
解析　原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2×(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
7.答案　[0,6]
解析　因為x>0,y>0,-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,
所以lg=lg=lg+lg x∈[0,6],
所以lg的取值范圍是[0,6].
8.答案　
解析　∵loga==loga(xy,
∴=,即+=3,等號兩邊同除以,得=3,即+=3,
設=t,則+t=3,故t2-3t+1=0,解得t=,
故=t2==.
9.解析　依題意得,a=log333-2=-2=-,b=×log323×log23=log32×log23=,c==,
所以a+b+c=-++=.
10.C　lg 2×log810=lg 2×=lg 2×=lg 2×=.故選C.
11.D　∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=+=.故選D.
12.A　因為3a=4b=6,所以a=log36,b=log46,
所以+=2log63+log64=log6(32×4)=2.故選A.
13.B　設x天后的“進步”率是“退步”率的5倍,則=5,即=5,所以x=5==≈≈80.
故當“進步”率是“退步”率的5倍時,大約經過80天.故選B.
14.答案　
解析　因為10b=3,所以b=lg 3.因為a=lg 2,lg 2+lg 5=lg 10=1,所以lg 5=1-a,
所以log185===.
方法總結　換底公式在應用時究竟換成以什么為底數要由具體的已知條件來確定,一般情況下換成以10為底的常用對數.
15.解析　(1)設3a=4b=6c=t,則t>1,
所以a=log3t,b=log4t,c=log6t,
所以+-=2logt3+logt4-2logt6=logt=0.
(2)因為60a=3,60b=5,所以a=log603,b=log605,
所以=====log122,因此=1=2.
16.C　設里氏8.0級地震釋放的能量為E1焦耳,里氏6.0級地震釋放的能量為E2焦耳,則lg E1=4.8+1.5×8=16.8,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,所以E1=1016.8,E2=1013.8,故==103.故選C.
17.B　因為Er=Ep×10-7,該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75 km2,
所以=×10-7=×10-7=4×10-9,
則Γ=10lg=10lg(4×10-9)=10lg 4-90=20lg 2-90≈20×0.301-90=-83.98.故選B.
18.C　設經過n年后的投入資金為y萬元,
則y=500(1+20%)n,
令y≥1 600,即500(1+20%)n≥1 600,則1.2n≥,
∴n≥log1.2===
=≈≈6.39,
∴第7年即2029年該市用于垃圾分類的資金開始不低于1 600萬元.
12(共15張PPT)
1.對數的概念
　　如果ab=N(a>0,a≠1),那么就稱b是以a為底N的對數,記作logaN=b,其中,a叫作對數的底數,
N叫作真數.
2.對數式與指數式的關系
　　當a>0,a≠1時,ab=N b=logaN.
3.常用對數與自然對數
以10為底的對數稱為常用對數,對數log10N簡記為lg N;以e(e=2.718 28…)為底的對數稱為自然
對數,對數logeN簡記為ln N.
4.2 對數
知識點 1 對數
必備知識 清單破
4.對數的性質
(1)零和負數沒有對數;
(2)loga1=0(a>0,a≠1);
(3)logaa=1(a>0,a≠1);
(4)logaab=b(a>0,a≠1,b∈R);
(5) =N(a>0,a≠1,N>0).
　　如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga =logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
知識點 2 對數的運算性質
1.換底公式
logaN= ,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.
2.相關結論 (其中a,b均為不等于1的正數)
(1)logab·logba=1;
(2)lo bn= logab(m∈R,n∈R,m≠0).
知識點 3 換底公式
1.使對數log(a+1) 有意義的a的取值范圍是什么
2.如何理解ax=N與x=logaN(a>0,且a≠1,N>0)中的a,x,N的關系
3.指數式ax=N是否都能化為對數式
4.在對數概念中,為什么規定a>0,且a≠1呢
5.當M,N同號時,loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1),loga =logaM-logaN(a>0,a≠1)均成立嗎
知識辨析
1.(-1,0)∪(0,4).由 解得-12.對數式和指數式只是通過“底數不變,左右交換”的原則進行了轉化,是a,x,N之間相同關
系的不同表示,因此底數a、指數或對數x、冪或真數N的范圍不變,只有x和N的名稱發生了變
化.
3.不是.需滿足a>0且a≠1,N>0,否則不能轉化.如:(-2)2=4不能化為2=log(-2)4.
4.①若a<0,則當N取某些數值時,logaN不存在,即ax=N不成立,因此規定a不能小于0.
②若a=0,則當N≠0時,logaN不存在,當N=0時,logaN有無數個值,因此規定a≠0.
③若a=1,則當N≠1時,logaN不存在,當N=1時,logaN有無數個值,因此規定a≠1.
一語破的
5.不一定成立.如:loga[(-2)×(-3)]有意義,而loga(-2)和loga(-3)均沒有意義.
1.利用對數的運算性質求值的關鍵是化異為同,先使各項底數相同,再找真數間的關系.
2.同底數的對數式化簡的常用方法
(1)“收”,將同底對數的和(差)“收”成積(商)的對數,即“收”為一個對數式;
(2)“拆”,將積(商)的對數“拆”成兩對數之和(差).
3.在應用換底公式時,要選擇合適的底數,若所給的對數式的底數和真數互不相同,則可以選
擇以10為底數進行換底.
關鍵能力 定點破
定點 1 利用對數的運算性質化簡、求值
計算下列各式的值:
(1) lg - lg +lg ;
(2) ;
(3)(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+(log32+log92)×(log43+log83)+ .
典例
(1)解法一:原式= (5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7+lg 5)= lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5=
lg 2+ lg 5= (lg 2+lg 5)= lg 10= .
解法二:原式=lg -lg 4+lg 7 =lg =lg( × )=lg = .
(2)原式= × =lo ×log 9=lo × log232=- log32×3log23=- .
(3)設m=ln 8,則em=8,所以7ln 8-8ln 7=7m- =7m- =7m-7m=0,
所以(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+(log32+log92)×(log43+log83)+
=(lg 2)2+lg 2×(lg 5+1)+2lg 5+ log32+ log32 +20
=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 2+2lg 5+ log32× ×log23+1=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 2+2lg 5+ +1
解析：
= +1= .
1.在對數式與指數式的互化運算中,要注意靈活應用定義、運算性質,尤其要注意條件和結論
之間的關系.
2.對于連等指數式,可令其等于k(k>0),然后將指數式用對數式表示,再由換底公式將指數的倒
數化為同底的對數,從而解決問題.
定點 2 對數與指數的綜合運用
　已知a,b,c是不等于1的正數,且ax=by=cz, + + =0,求abc的值.
典例
解法一:設ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正數,∴t>0,且t≠1,
∴x=logat,y=logbt,z=logct,
∴ + + = + + =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.
解法二:設ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正數,∴t>0,且t≠1,
∴x= ,y= ,z= ,
∴ + + = + + = .
解析：
∵ + + =0,且lg t≠0,
∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,∴abc=1.
　　數學運算是學生學習數學的一種必備品格和關鍵能力.數學運算是指在明晰運算對象的
基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算
思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等.
學科素養 情境破
素養解讀
素養 通過指數、對數運算發展數學運算的素養
典例呈現
例題 已知a+log220-log25= × -92×8 -(lg 5)0,b=log7(49b-12).
(1)求a,b的值;
(2)若(a+1)c=3,用b,c表示log4918.
解題思路 (1)因為a+log220-log25= × -92×8 -(lg 5)0,
所以a+log2 =3×(23 -92× -1,
所以a+2=12- -1,
所以a+2=8,所以a=6.
因為b=log7(49b-12),所以7b=(7b)2-12,
即(7b-4)(7b+3)=0,
解得7b=4或7b=-3(舍去),
故b=log74.
(2)由(1)知,a=6,b=log74,所以7c=3,
所以c=log73,
所以log4918=lo (32×2)=log73+ log72=log73+ log74=c+ b.
思維升華
　　指數運算和對數運算是互逆運算,在解題過程中,進行互相轉化是解決相關問題的關鍵.
特別在求解較大或者較復雜的指數冪問題時,常利用取對數的方法,將指數運算轉化為對數
運算.在對數運算中經常利用換底公式,將一般對數轉化為自然對數或常用對數來運算.

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