資源簡介

綜合拔高練
高考真題練
考點1　指數式與對數式的恒等變形
1.(2021天津,7)若2a=5b=10,則+=(　　)
A.-1　　　　B.lg 7　　　　C.1　　　　D.log710
2.(2022天津,6)化簡(2log43+log83)(log32+log92)的值為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
3.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,則4a-3b=(　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.　　　　D.
考點2　指數、對數的實際應用
4.(多選題)(2023新課標Ⅰ,10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×lg,其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:
聲源 與聲源的距離/m 聲壓級/dB
燃油汽車 10 60~90
混合動力汽車 10 50~60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則(　　)
A.p1≥p2　　　　B.p2>10p3
C.p3=100p0　　　　D.p1≤100p2
5.(2020全國Ⅲ理,4)Logistic模型是常用數學模型之一,可應用于流行病學領域.有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K為最大確診病例數.當I(t*)=0.95K時,標志著已初步遏制疫情,則t*約為(ln 19≈3)(　　)
A.60　　　　B.63　　　　C.66　　　　D.69
6.(2021全國甲理,4)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據,五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lg V.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據約為(≈1.259)(　　)
A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6
高考模擬練
應用實踐
1.已知=16,則a+log2a=(　　)
A.11或-　　　　B.11或-
C.12或-　　　　D.10或-
2.若實數a,b,c滿足6a=12ac=3,3b-ab=5a-ab,則a,b,c的大小關系是　　(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>c>a
C.c>a>b　　　　D.c>b>a
3.血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比,即血液中血氧的濃度,它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般不低于95%,在95%以下為供氧不足.在環境模擬實驗室的某段時間內,可以用指數模型:S(t)=S0eKt描述血氧飽和度S(t)(單位:%)隨給氧時間t(單位:時)的變化規律,其中S0為初始血氧飽和度,K為參數.已知S0=60,給氧1小時后,血氧飽和度為80.若使血氧飽和度達到正常值,則給氧時間至少還需要(參考數據:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 19≈2.94)(　　)
A.約0.54小時　　　　B.約0.64小時
C.約0.74小時　　　　D.約0.84小時
4.把不超過x的最大整數記作[x],如:[0.3]=0,[3.7]=3,[-2.8]=-3.若實數a,b滿足3a=5b,且+=1,則[2ab]=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
5.(多選題)已知正數x,y,z滿足3x=5y=15z,則下列說法中正確的是(　　)
A.x+y>z　　　　B.3x>5y>15z
C.+=　　　　D.xy>4z2
6.設a>0,b>0,若4a+b=ab-4,則log2(a-1)·log2(b-4)的最大值為　　　　.
7.若關于x的方程log2-log2[(a-4)x+2a-5]=0有且僅有一個解,求實數a的取值范圍.
遷移創新
8.(1)計算+的值;
(2)因為210=1 024∈(103,104),所以210的位數為4(一個自然數數位的個數,叫作位數),試判斷2 0222 023的位數;(參考數據:lg 2 022=3.306)
(3)圍棋和魔方都是能鍛煉思維的益智游戲,圍棋復雜度的上限約為M=3361,二階魔方復雜度的上限約為N=560×38,甲、乙兩名同學都估算了的近似值,甲認為是10160,乙認為是10165.現有一種定義:若實數x,y滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m,試判斷哪名同學的近似值更接近,并說明理由.(參考數據:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
答案與分層梯度式解析
綜合拔高練
高考真題練
1.C　∵2a=10,∴a=log210,則=lg 2,同理可得=lg 5,∴+=lg 2+lg 5=1.
2.B　原式==log23×log32=2.故選B.
3.C　由log83=b,得8b=23b=3,所以4a-3b====.故選C.
4.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵-=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,∴≥1,∴p1≥p2,故A正確;
∵-=20×lg ≥10,∴lg ≥,∴≥,∴p2≥p3,故B錯誤;
∵=20×lg =40,∴=100,∴p3=100p0,故C正確;
∵-=20×lg≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正確.故選ACD.
5.C　I(t*)==0.95K,整理可得=19,兩邊取自然對數得0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈66,故選C.
6.C　將L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1=≈≈0.8,
∴其視力的小數記錄法的數據約為0.8.故選C.
高考模擬練
1.A　由=16,等號兩邊取以4為底的對數,得log4=log416,即=lo()9=,
所以log4a=或log4a=-.
當log4a=時,a==23=8,
所以a+log2a=8+log28=11;
當log4a=-時,a==,
所以a+log2a=+log2=-.
綜上,a+log2a=11或-.故選A.
2.D　解法一:∵6a=12ac=3,∴a=log63,ac=log123,
∴c==log126,1-a=log62,
又3b-ab=5a-ab,∴=5a-ab,即=,∴61-a=,∴-1=log561-a=(1-a)log56=log62×log56=log52,∴=log510,∴b=log105,
a=log63=log6=1-log62=1-,
b=log105=log10=1-log102=1-,
c=log126=log12=1-log122=1-,
∵-<-<-,∴a解法二:同解法一,得a=log63,c=log126,b=log105,∴1-a=log62,1-c=log122,1-b=log102,
∵log62>log102>log122,∴1-a>1-b>1-c,∴a故選D.
3.B　因為S0=60,S(t)=S0eKt,
所以當t=1時,S(1)=60eK=80,解得K=ln=ln 8-ln 6,
要使血氧飽和度達到正常值,需S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化簡,得Kt≥ln=ln 19-ln 12,
所以t≥=
=≈≈1.64.
因為已經給氧1小時,所以給氧時間至少還需要約0.64小時.故選B.
4.D　設3a=5b=k(k>0),則a=log3k,b=log5k,
因為+=1,所以logk3+logk5=logk15=1,
所以k=15,
所以ab=log315×log515=(log33+log35)×(log55+log53)=2+log35+log53=2+log35+.
因為1所以4<2+log35+<,即4所以8<2ab<9,所以[2ab]=8.故選D.
5.AD　令3x=5y=15z=t(t>1),則x=log3t,y=log5t,z=log15t.對于A,=+=+=+=2+>2+2=4>+,所以x+y>z,故A正確;對于B,=5logt3=logt243,=3logt5=logt125,因為t>1,所以> 3x<5y,故B錯誤;對于C,+=+=logt3+logt5=logt3≠,故C錯誤;對于D,=·=×==2+>2+2=4,所以xy>4z2,故D正確.故選AD.
6.答案　
解析　由題意得a-1>0,b-4>0.
因為4a+b=ab-4,所以ab-4a-b=4,
所以(a-1)(b-4)=8,
則log2(a-1)+log2(b-4)=log2[(a-1)(b-4)]=log28=3,
當0當a-1>1,且b-4>1時,log2(a-1)>0,log2(b-4)>0.
由基本不等式知,log2(a-1)·log2(b-4)≤=,當且僅當log2(a-1)=log2(b-4),即a=1+2,b=4+2時等號成立;
當01時,log2(a-1)·log2(b-4)<0;
當01時,log2(a-1)·log2(b-4)<0;
當a-1=1或b-4=1時,log2(a-1)·log2(b-4)=0.
綜上所述,log2(a-1)·log2(b-4)的最大值為.
7.解析　因為log2-log2[(a-4)x+2a-5]=0,
所以log2=log2[(a-4)x+2a-5],
即+a=(a-4)x+2a-5,①
等號兩邊同乘x,得1+ax=(a-4)x2+2ax-5x,
整理得(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
即[(a-4)x-1](x+1)=0,②
當a=4時,方程②的解為x=-1,此時將x=-1代入①知等式成立,符合要求;
當a=3時,方程②的解為x=-1(二重根),此時將x=-1代入①知等式成立,符合要求;
當a≠3且a≠4時,方程②的解為x=-1或x=,
若x=-1是方程①的解,則+a=a-1>0,即a>1,
若x=是方程①的解,則+a=2a-4>0,即a>2,
則要使方程①有且僅有一個解,則1綜上,實數a的取值范圍是(1,2]∪{3,4}.
8.解析　(1)解法一:=×==+=.
解法二:=log43(log98+log2716)
=lo3(lo23+lo24)=log23
=log23×log32=.
(2)解法一:設10k<2 0222 023<10k+1,k∈N*,
則k∴k<2 023×3.306∵k∈N*,∴k=6 688,∴k+1=6 689,
∴2 0222 023的位數為6 689.
解法二:設2 0222 023=N(N>0),
則2 023lg 2 022=lg N,
∴2 023×3.306=lg N,∴lg N=6 688.038,
∴N=106 688.038=100.038×106 688.
∵1<100.038<10,∴106 688<106 688×100.038<106 689,
故2 0222 023的位數為6 689.
(3)乙同學的近似值更接近.理由如下:
∵M=3361,N=560×38,
∴==,
∴lg=lg 3353-lg 560=353lg 3-lg 7-3lg 2-1≈353×0.48-0.85-0.9-1=166.69,∴≈10166.69,
∵|10165-10166.69|<|10160-10166.69|,
∴乙同學的近似值更接近.
素養評價　本題第(1)問主要考查數學運算的素養,能夠根據所學的對數的知識進行化簡、求值;第(2)問考查邏輯推理、數學運算的素養,能夠在關聯的情境中進行指數式與對數式的互化;第(3)問考查數學抽象、數學運算的素養,能夠根據新定義進行計算、判斷.
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