資源簡介

5.2　函數(shù)的表示方法
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)的表示方法
1.若函數(shù)f(x)和g(x)分別由下表給出,滿足g(f(x))=2的x值是(　　)
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
g(x) 2 1 4 3
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.函數(shù)y=g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示,函數(shù)y=f(x)的圖象是如圖所示的曲線ABC,則g(f(3)-1)的值為(　　)
x 1 2 3
g(x) 2 023 0 -2 023
A.2 023　　　　B.0　　　　
C.-1　　　　D.-2 023
3.下圖中的文物叫作“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿,其身流線自若、紋理分明,展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時(shí)30秒注滿.設(shè)注水過程中,壺中水面高度為h,注水時(shí)間為t,則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
4.某條公共汽車路線收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象如圖(1)所示,由于目前本條路線虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖(2)、圖(3),則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A.圖(1)中的點(diǎn)A表示當(dāng)乘客量為0時(shí),虧損1.5個(gè)單位
B.圖(1)中的點(diǎn)B表示當(dāng)乘客量為3時(shí),既不虧損也不盈利
C.圖(2)的建議為降低成本,提高票價(jià)
D.圖(3)的建議為保持成本,提高票價(jià)
題組二　函數(shù)解析式的求法
5.已知函數(shù)f(-2)=x-4+5,則f(x)的解析式為(　　)
A.f(x)=x2+1(x≥0)　　　　B.f(x)=x2+1(x≥-2)
C.f(x)=x2(x≥0)　　　　D.f(x)=x2(x≥-2)
6.若g(x)=1-2x, f(g(x))=(x≠0),則f 等于(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.15　　　　D.30
7.已知f(x)是一次函數(shù),若f(f(x))=4x+9,則f(x)的解析式為　　　　.
8.已知f(x)是二次函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,則f(x)=　　　　.
題組三　分段函數(shù)
9.(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)=則f(1)=(　　)
A.1　　　　B.0　　　　C.-1　　　　D.-2
10.已知函數(shù)f(x)=若f(f(0))=-2,則實(shí)數(shù)a=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
11.已知函數(shù)f(x)=則f(x)的值域?yàn)?　　)
A.[0,2]　　　　B.(0,+∞)
C.　　　　D.
12.已知f(x)=若f(a)<-3,則a的取值范圍為(　　)
A.(-3,+∞)　　　　B.[-3,+∞)
C.(-∞,-3)　　　　D.(-∞,-3]
13.(教材習(xí)題改編)學(xué)校宿舍與辦公室相距a m.某同學(xué)有重要材料要交給老師,從宿舍出發(fā),先勻速跑步3 min來到辦公室,停留2 min,然后勻速步行10 min返回宿舍.在這個(gè)過程中,這位同學(xué)行進(jìn)的速度v(t)(單位:m/min)和行走的路程s(t)(單位:m)都是時(shí)間t的函數(shù),則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的(　　)
A.①②　　　　B.③④　　　　C.①④　　　　D.②③
14.函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的值域是　　　　.
15.某小組4位同學(xué)準(zhǔn)備從學(xué)校打車到距離學(xué)校30千米的地方參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).已知出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)為11元(乘車不超過3千米);行駛超過3千米且不超過10千米時(shí),每千米車費(fèi)為2.2元;行駛超過10千米時(shí),每千米車費(fèi)為2.8元.
(1)寫出車費(fèi)f(x)(單位:元)與路程x(單位:千米)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了節(jié)省開支,他們?cè)O(shè)計(jì)了三種乘車方案:
①不換車:乘一輛出租車行30千米;
②分兩段乘車:先乘一輛車,行15千米后,換乘另一輛車,再行15千米;
③分三段乘車:每乘10千米后,換乘一輛車.
問:哪一種方案最省錢
能力提升練
題組一　函數(shù)的表示方法及其應(yīng)用
1.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表,則各班推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù),如[π]=3,[4]=4)可表示為(　　)
A.y=　　　　B.y=
C.y=　　　　D.y=
2.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,點(diǎn)P是斜邊AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過點(diǎn)P作PQ⊥AB,垂足為P,交邊AC(或邊CB)于點(diǎn)Q,設(shè)AP=x(0A　　　　B
C　　　　D
3.已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
g(x) 3 2 1
滿足f(g(x))題組二　函數(shù)解析式的求法
4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且滿足f(x)+2f =5x+,則f(x)的最小值為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.2
5.下圖中所表示的函數(shù)的解析式為(　　)
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
6.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且-3A.a=-2　　　　B.b=1
C.07.(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)=x3f ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),若f(x)+f(y)+xy=f(x+y),則下列說法正確的是(　　)
A.f(0)=0　　　　B.f(3)=3
C.f(x)-f(-x)=x　　　　D.f(x)=
8.f(x)是R上的函數(shù),且滿足f(0)=1,并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),則f(x)的解析式為　　　　　　.
題組三　分段函數(shù)及其應(yīng)用
9.(多選題)如圖所示,函數(shù)f(x)的圖象由兩條線段組成,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的是(　　)
A.f(2)>f(0)
B.f(f(1))=3
C.f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4]
D. a>0,不等式f(x)≤a的解集為
10.已知函數(shù)f(x)=滿足f(f(a))=1的a的值有(　　)
A.1個(gè)　　　　B.2個(gè)　　　　
C.3個(gè)　　　　D.4個(gè)
11.已知f(x)=x2-1,g(x)=則函數(shù)y=f(x)·g(x)的值域?yàn)?　　)
A.[-1,+∞)　　　　B.[0,+∞)
C.(-∞,-1]　　　　D.(-∞,0]
12.已知函數(shù)f(x)=若f(x)的值域?yàn)閇-2,2],則實(shí)數(shù)c的值是　　　　.
13.已知λ∈R,函數(shù)f(x)=當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0的解集是　　　　.若函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有2個(gè)交點(diǎn),則λ的取值范圍是　　　　　　.
14.快遞行業(yè)的發(fā)展使得網(wǎng)絡(luò)購物越來越便利,根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),某條快遞線路運(yùn)行時(shí),發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)滿足4≤t≤15,t∈N,平均每趟快遞車輛的載件量p(t)(單位:個(gè))與發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)近似地滿足p(t)=其中t∈N.
(1)若平均每趟快遞車輛的載件量不超過1 500個(gè),求發(fā)車時(shí)間間隔;
(2)若平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益q(t)=-80(單位:元),問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí),平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大 并求出最大凈收益.
答案與分層梯度式解析
5.2　函數(shù)的表示方法
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　由g(f(x))=2,得f(x)=1,則x=4.故選D.
2.A　由題圖可知, f(3)=2,則g(f(3)-1)=g(2-1)=g(1)=2 023.故選A.
3.A　由題圖知,“垂鱗紋圓壺”中間粗,兩端細(xì),所以在注水速度恒定的情況下,水的高度開始增加得快,后來增加得慢,最后又增加得快.故選A.
4.C　由題圖(1)知,顯然A,B正確;對(duì)于C,由題圖(2)知,兩直線平行,所以票價(jià)不變,直線向上平移,說明當(dāng)乘客量為0時(shí),收支差額變大了,即支出變少了,所以題圖(2)的建議為降低成本,票價(jià)不變,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由題圖(3)知,當(dāng)乘客量為0時(shí),支出不變,所以成本不變,直線的傾斜角變大了,即每增加一位乘客,收支差額的增加值變大了,所以票價(jià)提高了,所以題圖(3)的建議為保持成本,提高票價(jià),故D正確.故選C.
5.B　解法一(配湊法):f(-2)=(-2)2+1,所以f(x)=x2+1(x≥-2).故選B.
解法二(換元法):令t=-2,則t≥-2,x=(t+2)2,
所以f(t)=(t+2)2-4(t+2)+5=t2+1,
所以f(x)=x2+1(x≥-2).故選B.
6.C　解法一:易知f(1-2x)=(x≠0),
令t=1-2x(x≠0),則t≠1,x=,
所以f(t)==(t≠1),
所以f ==15.故選C.
解法二:易知f(1-2x)=(x≠0),令1-2x=,
則x=,所以f ==15.故選C.
7.答案　f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9
解析　依題意,設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+(k+1)b(k≠0),
又因?yàn)閒(f(x))=4x+9,所以
解得或
所以f(x)的解析式為f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9.
8.答案　x2-2x-1
解析　設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c, f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,所以f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c,
又f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,所以解得所以f(x)=x2-2x-1.
9.B　∵f(x)=∴f(1)=f(-1)=(-1)2-1=0.故選B.
10.B　由題知f(0)=1, f(1)=1-a,∵f(f(0))=-2,∴f(1)=1-a=-2,∴a=3.
故選B.
11.C　當(dāng)x<0時(shí),-∈(0,+∞);當(dāng)0≤x≤2時(shí),x2-x=-∈,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?故選C.
12.C　(分a≤-2,-2已知f(x)=
①當(dāng)a≤-2時(shí), f(a)=a,
由f(a)<-3,得a<-3;
②當(dāng)-2由f(a)<-3,得a+1<-3,解得a<-4,此時(shí)不等式無解;
③當(dāng)a≥4時(shí), f(a)=3a,
由f(a)<-3,得3a<-3,解得a<-1,此時(shí)不等式無解.
綜上,a的取值范圍是(-∞,-3).故選C.
13.A　根據(jù)題意,得v(t)=且s(t)=
由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知,其圖象分別為①②.故選A.
14.答案　[-3,3]
解析　由y=|x+1|-|x-2|=
當(dāng)-1≤x≤2時(shí),y=2x-1單調(diào)遞增,所以-3≤y≤3,
故函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的值域?yàn)閇-3,3].
15.解析　(1)由題意得,當(dāng)0當(dāng)3當(dāng)x>10時(shí), f(x)=11+(10-3)×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6.
所以f(x)=
(2)方案①: f(30)=2.8×30-1.6=82.4(元);
方案②:2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8(元);
方案③:3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2(元).
因?yàn)?2.4>80.8>79.2,所以方案③最省錢.
能力提升練
1.B　因?yàn)楦靼嗝?0人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表,所以當(dāng)余數(shù)為7,8,9時(shí)可增選一名代表,即x要進(jìn)一位,故最小應(yīng)加3,因此利用取整函數(shù)可表示為y=.故選B.
2.D　過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D,因?yàn)椤螦CB=90°,∠A=30°,AB=16,所以∠B=60°,BC=8,所以BD=BC=4,AD=AB-BD=12.
如圖1,當(dāng)0如圖2,當(dāng)12圖1　　圖2
3.答案　{1,3}
解析　當(dāng)x=1時(shí), f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,故f(g(1))當(dāng)x=2時(shí), f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,故f(g(2))>g(f(2)),不滿足要求;
當(dāng)x=3時(shí), f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,故f(g(3))故滿足f(g(x))4.D　因?yàn)閒(x)+2f =5x+①,
所以f +2f(x)=+4x②,
②×2-①,得f(x)=x+,
又x∈(0,+∞),
所以f(x)=x+≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時(shí)取等號(hào),
所以f(x)的最小值為2.故選D.
5.B　當(dāng)0≤x≤1時(shí),設(shè)y=kx,由題中圖象過點(diǎn),得k=,所以y=x,0≤x≤1;
當(dāng)1所以y=-x+3,16.AD　由題意,設(shè)f(-1)=f(1)=f(2)=m,
則-1,1,2是方程f(x)-m=0的3個(gè)根,
又f(x)=x3+ax2+bx+c,
所以f(x)-m=(x+1)(x-1)(x-2),
即f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)+m,且-3所以f(x)=x3-2x2-x+m+2,
故a=-2,b=-1,c=m+2,故A正確,B錯(cuò)誤;
由-3故C錯(cuò)誤,D正確.故選AD.
7.AC　在f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中,令x=y=0,
則f(0)=0,故A正確;
令y=-x,則f(x)+f(-x)-x2=f(0)=0,即f(x)+f(-x)=x2①,
所以f +f =,即f =-f ,又f(x)=x3f ,所以f(x)=x3=x-x3f =x+f(-x),即f(x)-f(-x)=x(x≠0)②,
又f(0)=0也符合上式,故C正確;
聯(lián)立①②,解得f(x)=,故D錯(cuò)誤;
f(3)=6,故B錯(cuò)誤.
故選AC.
8.答案　f(x)=x2+x+1
解析　令x=0,則f(-y)=f(0)-y(-y+1),
∵f(0)=1,∴f(-y)=1-y(-y+1)=y2-y+1=(-y)2+(-y)+1,∴f(x)=x2+x+1.
9.BC　由題圖可知,函數(shù)f(x)為分段函數(shù),其圖象過點(diǎn)(0,3),(1,0),(4,3),
當(dāng)0≤x<1時(shí),設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),
將(0,3),(1,0)代入f(x)=kx+b,得
解得所以f(x)=-3x+3;
當(dāng)1≤x≤4時(shí),設(shè)f(x)=mx+n(m≠0),
將(1,0),(4,3)代入f(x)=mx+n,得
解得所以f(x)=x-1.
故f(x)=
對(duì)于A, f(2)=1對(duì)于B, f(f(1))=f(0)=3,故B正確;
對(duì)于C,因?yàn)閒(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4],
所以當(dāng)0≤x<1時(shí), f(x)=2(1-x)-x+1=-3x+3,
當(dāng)1≤x≤4時(shí), f(x)=2(x-1)-x+1=x-1,故C正確;
對(duì)于D,由題意知,f =f(2)=a,因?yàn)閒 =2, f(2)=1,所以f ≠f(2),所以不存在a>0,使得不等式f(x)≤a的解集為,故D錯(cuò)誤.
故選BC.
10.B　根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=
當(dāng)x≤0時(shí), f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,
當(dāng)x>0時(shí), f(x)=-x2<0,
若f(f(a))=1,必有f(a)≤0,
則f(f(a))=[f(a)+1]2=1,解得f(a)=0或f(a)=-2,
若f(a)=0,必有a≤0,
則f(a)=(a+1)2=0,解得a=-1,
若f(a)=-2,必有a>0,
則f(a)=-a2=-2,解得a=(負(fù)值舍去),
故a=-1或a=.故選B.
11.D　當(dāng)f(x)>0時(shí),x2-1>0,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),此時(shí)g(x)=-1,
所以y=-(x2-1)=1-x2,因?yàn)閤∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以y∈(-∞,0);
當(dāng)f(x)=0時(shí),x2-1=0,解得x=±1,此時(shí)g(x)=0,所以y=0;
當(dāng)f(x)<0時(shí),x2-1<0,解得x∈(-1,1),此時(shí)g(x)=1,
所以y=x2-1,因?yàn)閤∈(-1,1),所以y∈[-1,0).
綜上可知,y∈(-∞,0].故選D.
12.答案　-
解析　若c>0,則當(dāng)0若c=0,則當(dāng)x<0時(shí), f(x)=-∈(0,+∞),不滿足題意;
若c<0,則當(dāng)x≤c時(shí),0<-≤-,即f(x)∈,
當(dāng)c當(dāng)x=2時(shí), f(2)=2-4=-2,
令f(c)=-2,則c-c2=-2,解得c=-1或c=2(舍去),
令f(c)=0,則c-c2=0,解得c=0或c=1,
作出y=f(x)的大致圖象,如圖,
因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇-2,2],所以-=2,解得c=-,經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意.
13.答案　(1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析　當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0等價(jià)于或解得2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集為(1,4).
易知函數(shù)y=x-4(x∈R)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,函數(shù)y=x2-4x+3(x∈R)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3.
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x-4和y=x2-4x+3的圖象(圖略),要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有2個(gè)交點(diǎn),則只能有以下兩種情形:①兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3,此時(shí)λ>4;②兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,4,此時(shí)1<λ≤3.
綜上,λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).
14.解析　(1)當(dāng)9≤t≤15時(shí),p(t)=1 800>1 500,不滿足題意,舍去.
當(dāng)4≤t<9時(shí),令1 800-15(9-t)2≤1 500,即t2-18t+61≥0,解得t≥9+2(舍去)或t≤9-2.
因?yàn)?≤t<9且t∈N,所以t=4.
所以發(fā)車時(shí)間間隔為4分鐘.
(2)由題意得q(t)=
當(dāng)4≤t<9時(shí),q(t)≤-2+1 540=280,當(dāng)且僅當(dāng)90t=,即t=7時(shí),等號(hào)成立.
當(dāng)9≤t≤15時(shí),q(t)≤-80=240.
因?yàn)?80>240,所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為7分鐘時(shí),平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大,最大凈收益為280元.
26(共28張PPT)
1.函數(shù)的概念
　　一般地,給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B,如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)
數(shù)x,在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記
作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自變量,集合A叫作函數(shù)的定義域,集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域.
2.函數(shù)的三要素
　　一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.
　　如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,定義域相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù).
5.1 函數(shù)的概念和圖象 5.2 函數(shù)的表示方法
知識(shí)點(diǎn) 1 函數(shù)的概念
必備知識(shí) 清單破
1.列表法:用列表來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.
2.解析法:用等式來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.
3.圖象法:用圖象表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.
知識(shí)點(diǎn) 2 函數(shù)的表示方法
　　在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)叫作分段函數(shù).
知識(shí)點(diǎn) 3 分段函數(shù)
1.函數(shù)的定義域和值域是否一定是無限集
2.根據(jù)函數(shù)的概念,任何一個(gè)自變量x是否都有唯一的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng) 任何一個(gè)函數(shù)值y是
否都有唯一的自變量x與之對(duì)應(yīng)
3.在函數(shù)的概念中,集合B與函數(shù)的值域是否相等 它和值域有什么關(guān)系
4.函數(shù)f(x)=|x2-1|與函數(shù)g(t)= 是同一個(gè)函數(shù)嗎
5.任何函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖象法這三種方法表示嗎
6.如何確定分段函數(shù)的定義域和值域
知識(shí)辨析
1.不一定.函數(shù)的定義域和值域也可能是有限集,如f(x)=1,x∈{1,2,3}.
2.任何一個(gè)自變量x都有唯一的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng),但是函數(shù)值y不一定有唯一的自變量x與之
對(duì)應(yīng).如f(x)=x2中,函數(shù)值4有2、-2與之對(duì)應(yīng).函數(shù)中x,y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)
一”,不能“一對(duì)多”.
3.不一定相等.在函數(shù)的概念中,函數(shù)的值域是集合{y|y=f(x),x∈A},即函數(shù)的值域是集合B的
子集.
4.是.函數(shù)f(x)與g(t)的定義域均為R,且g(t)= =|t2-1|,所以函數(shù)f(x)與g(t)的定義域和對(duì)應(yīng)
關(guān)系均相同,是同一個(gè)函數(shù).兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)與自變量用什么字母表示無關(guān).
5.不是.如函數(shù)f(x)= 無法用列表法表示,也無法用圖象法表示.
6.分段函數(shù)的定義域是每一段自變量取值范圍的并集,值域也是每一段函數(shù)值取值范圍的并集.
一語破的
1.已知函數(shù)解析式求定義域
(1)如果函數(shù)解析式是整式,那么在沒有指明它的定義域的情況下,函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.
(2)如果函數(shù)解析式含分式或0次冪,那么函數(shù)的定義域是使分母或指數(shù)冪的底數(shù)不為零的實(shí)
數(shù)的集合.
(3)如果函數(shù)解析式僅含偶次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)
數(shù)的集合.
(4)如果函數(shù)解析式是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意
義的實(shí)數(shù)的集合(即求各部分自變量取值集合的交集).
(5)由實(shí)際背景確定的函數(shù),其定義域不僅要考慮解析式有意義,還要考慮自變量的實(shí)際意義.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 求函數(shù)的定義域
2.求抽象函數(shù)的定義域
(1)求抽象函數(shù)的定義域,要明確以下幾點(diǎn)
①無論什么樣的函數(shù),定義域指的永遠(yuǎn)是自變量的取值范圍.
②相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系所作用對(duì)象的范圍是一致的,即函數(shù)f(t), f(φ(x)), f(h(x))中的t,φ(x),h(x)在對(duì)
應(yīng)關(guān)系f下的取值集合相同.
(2)抽象函數(shù)定義域的求解類型及方法
①已知f(x)的定義域?yàn)锳,求f(φ(x))的定義域,實(shí)質(zhì)是已知φ(x)的取值集合為A,求x的取值集合.
②已知f(φ(x))的定義域?yàn)锽,求f(x)的定義域,實(shí)質(zhì)是已知φ(x)中的x的取值集合為B,求出φ(x)的
取值集合,此集合就是f(x)的定義域.
③已知f(φ(x))的定義域?yàn)镃,求f(g(x))的定義域,實(shí)質(zhì)是已知φ(x)中的x的取值集合為C,求出φ(x)
的取值集合D,再令g(x)的取值集合為D,求出x的取值集合,此集合就是f(g(x))的定義域.
(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇0,2],求y=f(x+1)的定義域;
(2)已知y=f(x+1)的定義域?yàn)閇0,2],求f(x)的定義域;
(3)已知y=f(x+1)的定義域?yàn)閇0,2],求f(x-1)的定義域.
典例
(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇0,2],所以y=f(x+1)中的x+1滿足0≤x+1≤2,解得-1≤x≤1,故y=f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,1].
(2)因?yàn)閥=f(x+1)的定義域?yàn)閇0,2],
所以x滿足0≤x≤2,所以1≤x+1≤3,
故f(x)的定義域?yàn)閇1,3].
(3)設(shè)t=x+1,結(jié)合(2)可得函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)閇1,3],
所以1≤x-1≤3,解得2≤x≤4,所以函數(shù)y=f(x-1)的定義域?yàn)閇2,4].
解析：
1.求函數(shù)值的方法
(1)已知函數(shù)f(x)的解析式時(shí),只需用常數(shù)a替換解析式中的x進(jìn)行計(jì)算即可.
(2)已知函數(shù)f(x)與g(x),求f(g(a))的值,應(yīng)遵循由內(nèi)到外的原則.
　　注意:用來替換解析式中x的常數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值,否則求值無意義.
2.求函數(shù)值域的常用方法
(1)觀察法:對(duì)于一些比較簡單的函數(shù),可根據(jù)其解析式的結(jié)構(gòu)特征通過直接觀察得到值域.
(2)圖象法:畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”直觀得到函數(shù)的值域.
(3)配方法:此方法是求二次函數(shù)值域的基本方法,通常把函數(shù)式通過配方轉(zhuǎn)化為完全平方式
與常量和差的形式.
(4)分離常數(shù)法:主要針對(duì)形如y= (ac≠0,ad≠bc)的函數(shù),常把分子分離成不含自變量的
定點(diǎn) 2 求函數(shù)的值或值域
形式,即y= = + ,其值域是 y y≠ .
(5)換元法:對(duì)于一些無理函數(shù)(如y=ax±b± ),通過換元把它們轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),間接求
出原函數(shù)的值域,注意換元后新元的取值范圍.
(6)判別式法:將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的二次方程,利用判別式求因變量的范圍,常用于“分
式函數(shù)”等,注意自變量的取值范圍.
(7)反表示法:將函數(shù)中的自變量用因變量表示,結(jié)合原函數(shù)的定義域解不等式,從而求出函數(shù)
的值域.
　已知函數(shù)f(x)=11+x(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f(g(3))的值;
(3)若f(g(x))=14,求x的值.
典例1
(1)f(2)=11+2=13,g(2)=22+2=6.
(2)g(3)=32+2=11,
∴f(g(3))=f(11)=11+11=22.
(3)解法一:∵f(g(x))=14,
∴11+g(x)=14,解得g(x)=3,
∴x2+2=3,解得x=±1.
解法二:f(g(x))=f(x2+2)=11+x2+2=13+x2,因?yàn)閒(g(x))=14,所以13+x2=14,則x2=1,解得x=±1.
解析：
　求下列函數(shù)的值域.
(1)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(2)y= ;
(3)y=2x+1-4 ;
(4)y= .
典例2
(1)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,x∈[1,5],畫出函數(shù)圖象如圖所示:
由圖知,2≤y≤11,即函數(shù)的值域?yàn)閇2,11].
(2)易得函數(shù)的定義域?yàn)镽,y= =2+ .
∵x2+x+1= + ≥ ,
∴0< ≤ ,∴2<2+ ≤ ,
∴函數(shù)y= 的值域?yàn)?.
解析：
(3)設(shè)t= ,則t≥0,x=t2+1,
∴y=2(t2+1)+1-4t=2t2-4t+3=2(t-1)2+1,
∴當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)取得最小值1,∴函數(shù)的值域是[1,+∞).
(4)∵x2+2x+3>0恒成立,
∴y= 可變形為yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,
當(dāng)y=2時(shí),等式不成立;
當(dāng)y≠2時(shí),上式為關(guān)于x的一元二次方程,
∵x∈R,∴Δ≥0,即4(y-2)2-4(y-2)(3y+7)≥0,∴2y2+5y-18≤0,解得- ≤y≤2,∵y≠2,
∴- ≤y<2.
∴函數(shù)y= 的值域?yàn)?.
易錯(cuò)警示 利用換元法求函數(shù)的值域時(shí),要注意新元的取值范圍;利用圖象法求函數(shù)的值域
時(shí),注意根據(jù)自變量的范圍截取函數(shù)的圖象,防止默認(rèn)其范圍是R導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
1.當(dāng)函數(shù)類型已知時(shí),可采用“先設(shè)后求,待定系數(shù)”法來求其解析式.解題步驟如下:
(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式.
(2)把已知條件代入解析式,列出含待定系數(shù)的方程(組).
(3)解方程(組),得到待定系數(shù)的值.
(4)將所求待定系數(shù)的值代回原式并化簡整理.
2.當(dāng)函數(shù)類型未知時(shí),可根據(jù)條件選擇以下方法求其解析式.
(1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作為一個(gè)整體替換f(x)中的x.
(2)換元法:已知f(g(x))是關(guān)于x的函數(shù),求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),將x=e(t)
代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替換t,便可得到f(x)的解析式.
定點(diǎn) 3 求函數(shù)的解析式
(3)配湊法:將所給函數(shù)的解析式f(g(x))通過配方、湊項(xiàng)等方法,使之變形為關(guān)于g(x)的函數(shù)解
析式,然后以x代替g(x),即得所求函數(shù)解析式,這里的g(x)可以是多項(xiàng)式、分式、根式等.
(4)消元法(方程組法):已知f(x)與f 或f(-x)的解析式,可根據(jù)已知條件用 或-x替換x,再構(gòu)造
出另外一個(gè)等式,組成方程組,通過解方程組求出 f(x).
(5)賦值法:依題目的特征,可對(duì)變量賦特殊值,由特殊到一般尋找普遍規(guī)律,從而根據(jù)找出的一
般規(guī)律求出函數(shù)解析式,此法一般適用于求抽象函數(shù)的解析式.
(1)已知f(x)是一次函數(shù),且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1, f(x+1)=f(x)+2x,求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)已知f( +2)=x+4 (x≥0),求函數(shù)f(x)的解析式;
(4)已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+2f =2 + (x>0),求函數(shù)f(x)的解析式;
(5)設(shè)f(x)是定義在N*上的函數(shù),滿足f(1)=1,對(duì)于任意正整數(shù)x,y,均有f(x)+f(y)=f(x+y)-xy,求f(x)的
解析式.
典例
(1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則3f(x+1)-2f(x-1)=3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=kx+b+5k=2x+17,
所以 所以
所以f(x)=2x+7.
(2)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù),所以設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1,得c=1.
由f(x+1)=f(x)+2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x,
整理,得(2a-2)x+(a+b)=0,
所以 解得
所以f(x)=x2-x+1.
(3)解法一(換元法):令t= +2(x≥0),則t≥2, =t-2,即x=(t-2)2,
解析：
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,
所以f(x)=x2-4(x≥2).
解法二(配湊法):f( +2)=x+4 =( +2)2-4,
因?yàn)閤≥0,
所以2+ ≥2,
所以f(x)=x2-4(x≥2).
(4)因?yàn)閤>0,所以 >0,
f(x)+2f =2 + ,①
把①中的x換成 ,得f +2f(x)= + ,②
②×2-①得,3f(x)= ,
所以f(x)= ,x>0.
(5)設(shè)y=1,由f(1)=1, f(x)+f(y)=f(x+y)-xy,得f(x)+1=f(x+1)-x,即f(x+1)-f(x)=x+1.
令x分別為1,2,3,…,t-1,得
f(2)-f(1)=2,
f(3)-f(2)=3,
f(4)-f(3)=4,
……
f(t)-f(t-1)=t,
左右分別相加得f(t)-f(1)=2+3+4+…+t,
所以f(t)=1+2+3+…+t= = t2+ t,
所以f(x)= x2+ x(x∈N*).
1.對(duì)分段函數(shù)的理解
(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù),只是根據(jù)自變量的不同范圍分成了幾段而已.
(2)畫分段函數(shù)圖象時(shí),應(yīng)分別畫出每一段函數(shù)的圖象.
(3)研究分段函數(shù)時(shí),先分段考慮,再整體把握,注意各段的自變量在區(qū)間端點(diǎn)處的取值情況.
2.分段函數(shù)的求值策略
(1)已知自變量的值求函數(shù)值的步驟
①確定自變量屬于哪一個(gè)區(qū)間;
②代入該區(qū)間所對(duì)應(yīng)的解析式求值,直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依
次求值.
定點(diǎn) 4 分段函數(shù)
(2)已知函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值:可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值,但應(yīng)注意檢驗(yàn)
函數(shù)解析式的適用范圍,也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍,確定解析式再求解.
已知函數(shù)f(x)=
(1)求f(-5), f(- ), f 的值;
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)若f(m)>m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
典例
(1)由題意可得f(-5)=-5+1=-4,
f(- )= +2×(- )=3-2 ,
因?yàn)閒 =- +1=- ,
所以f =f = +2× = -3=- .
(2)①當(dāng)a≤-2時(shí), f(a)=a+1=3,
解得a=2,不符合題意,舍去;
②當(dāng)-2解得a=1或a=-3,
因?yàn)?∈(-2,2),-3 (-2,2),
所以a=1;
解析：
③當(dāng)a≥2時(shí), f(a)=2a-2=3,
解得a= ,符合題意.
綜上可知,當(dāng)f(a)=3時(shí),a=1或a= .
(3)由f(m)>m,得 或 或
解得m<-1或02,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,2)∪(2,+∞).第5章　函數(shù)概念與性質(zhì)
5.1　函數(shù)的概念和圖象
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)的概念
1.(教材習(xí)題改編)圖中給出的四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,其中能構(gòu)成函數(shù)的是(　　)
A.①②　　　　B.①④　　　　C.①②④　　　　D.③④
2.已知集合A={0,1,2},B={0,1,,2,4},下列對(duì)應(yīng)關(guān)系不能作為從A到B的函數(shù)的是(　　)
A.f:x→y=　　　　B.f:x→y=x2
C.f:x→y=　　　　D.f:x→y=|x|
3.(多選題)下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是(　　)
A.y=與y=x+3
B.y=-1與y=x-1
C.y=x0與y=1(x≠0)
D.y=x2-3x與y=t2-3t
4.設(shè)集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤4},則下列圖形能表示以集合P為定義域,集合Q為值域的函數(shù)關(guān)系的有(　　)
A　　　　B
C　　　　D
題組二　函數(shù)的定義域
5.函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)?　　)
A.[1,+∞)　　　　B.(3,+∞)
C.[1,3)∪(3,+∞)　　　　D.(1,3)∪(3,+∞)
6.函數(shù)f(x)=+(2-x)0的定義域?yàn)?　　)
A.[-2,2)　　　　B.[-2,+∞)
C.(-2,2)∪(2,+∞)　　　　D.[-2,2)∪(2,+∞)
7.一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26 s落到地面擊中目標(biāo),炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域?yàn)?　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(0,845]
C.[0,26]　　　　D.[0,845]
8.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)y=的定義域?yàn)椤　　　　　　　?
題組三　函數(shù)的值及值域
9.函數(shù)f(x)=x+1,x∈{-1,1,2}的值域是(　　)
A.0,2,3　　　　B.(0,3)　　　　
C.{0,2,3}　　　　D.[0,3]
10.已知集合M=,N={y|y=x2-2x},則M∩N=(　　)
A.(-,)　　　　B.[-1,+∞)
C.[-1,)　　　　D.(0,)
11.下列函數(shù)中,值域?yàn)?0,+∞)的是(　　)
A.y=
B.y=,x∈(0,+∞)
C.y=,x∈N
D.y=
12.(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)=x2-3x+1,g(x)=,則f(g(3))=　　　　.
13.已知函數(shù)f(x)=ax7+bx-2,若f(2 023)=10,則f(-2 023)=　　　　.
14.已知函數(shù)f(x)=.
(1)若f(a)=,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
題組四　函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
15.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2 023的交點(diǎn)(　　)
A.至少有1個(gè)　　　　B.至多有1個(gè)
C.僅有1個(gè)　　　　D.可能有無數(shù)多個(gè)
16.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則
(1)f(0)=　　　　;
(2)f(f(2))=　　　　;
(3)若-117.作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2-2x,x∈[-1,2].
能力提升練
題組一　函數(shù)的定義域
1.函數(shù)f(x)=+,則f(x-1)的定義域是(　　)
A.[0,2]　　　　B.(1,3)　　　　
C.[2,4]　　　　D.[1,3]
2.已知函數(shù)f(x+2)的定義域?yàn)?-3,4),則函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)?　　)
A.(1,6)　　　　B.(1,2)　　　　C.(-1,6)　　　　D.(1,4)
3.若函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)閇-3,1],則y=的定義域?yàn)?　　)
A.{1}　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,1)　　　　C.[0,2]　　　　D.[0,2)
5.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽的一個(gè)充分不必要條件是(　　)
A.m≥　　　　B.m≥
C.m≥　　　　D.m≥
題組二　函數(shù)的值或值域
6.函數(shù)y=1-x+的值域?yàn)?　　)
A.　　　　B.[0,+∞)
C.　　　　D.
7.對(duì)于集合A,稱定義域與值域均為A的函數(shù)y=f(x)為集合A上的等域函數(shù).若 A=[m,n],使得f(x)=a(x-1)2-2為A上的等域函數(shù),則負(fù)數(shù)a的取值范圍是　　(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,則f(-3)=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
9.求下列函數(shù)的值域.
(1)f(x)=x++1;
(2)f(x)=;
(3)y=.
答案與分層梯度式解析
5.1　函數(shù)的概念和圖象
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　對(duì)于①和④,集合M中的每一個(gè)數(shù),在集合N中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),符合函數(shù)的概念,故①和④滿足題意.對(duì)于②,集合M中的1,4在集合N中無元素對(duì)應(yīng),不滿足題意.對(duì)于③,集合M中的1,2在集合N中都有兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng),出現(xiàn)一對(duì)多的情況,不滿足題意.故選B.
2.C　對(duì)于A,集合A中的元素0,1,2分別對(duì)應(yīng)集合B中的唯一元素0,1,,故A能;
對(duì)于B,集合A中的元素0,1,2分別對(duì)應(yīng)集合B中的唯一元素0,1,4,故B能;
對(duì)于C,集合A中的元素0,在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng),故C不能;
對(duì)于D,集合A中的元素0,1,2分別對(duì)應(yīng)集合B中的唯一元素0,1,2,故D能.故選C.
解題模板　　　判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù),需滿足下列3個(gè)條件:①兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A,B;②A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,在B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng),即一對(duì)一或多對(duì)一;③A中不能有剩余元素.
3.CD　對(duì)于A,函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x|x≠3},函數(shù)y=x+3的定義域?yàn)镽,兩函數(shù)的定義域不相同,所以不是同一個(gè)函數(shù);對(duì)于B,兩函數(shù)的定義域均為R,而y=-1=|x|-1,則兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,所以不是同一個(gè)函數(shù);對(duì)于C,兩函數(shù)的定義域均為{x|x≠0},而y=x0=1,所以兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù);對(duì)于D,兩函數(shù)的定義域均是R,對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,所以是同一個(gè)函數(shù).故選CD.
解題模板　　　判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù),要從兩方面進(jìn)行判斷,一是兩個(gè)函數(shù)的定義域是否相同,二是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同,與自變量用什么字母表示無關(guān).
4.B　對(duì)于A,當(dāng)25.C　由題意得解得x≥1且x≠3,
所以函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)閇1,3)∪(3,+∞).故選C.
6.C　要使函數(shù)有意義,則解得x>-2且x≠2,
所以函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2)∪(2,+∞).故選C.
7.C　由題意可知,炮彈發(fā)射后共飛行了26 s,
所以0≤t≤26,即函數(shù)h=130t-5t2的定義域?yàn)閇0,26].故選C.
8.答案　∪(-1,1]
解析　由題意得解得-≤x≤1且x≠-1.故所求定義域?yàn)椤?-1,1].
9.C　易得f(-1)=0, f(1)=2, f(2)=3,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧0,2,3}.故選C.
10.C　在集合M中,由3-x2>0,解得-11.D　對(duì)于A,當(dāng)x=0時(shí),y=0,即值域含0,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,=1+≠1,即值域不含1,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)閤∈N,所以函數(shù)的值域不連續(xù),故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,因?yàn)閨x-1|>0,所以y=>0,所以函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞),故D正確.故選D.
12.答案　5
解析　因?yàn)間(3)==-1,所以f(g(3))=f(-1)=(-1)2-3×(-1)+1=5.
13.答案　-14
解析　因?yàn)閒(x)+f(-x)=ax7+bx-2-ax7-bx-2=-4,
所以f(2 023)+f(-2 023)=10+f(-2 023)=-4,
所以f(-2 023)=-14.
14.解析　(1)函數(shù)f(x)=,由f(a)=,得=,即a2-2a+1=0,所以a=1.
(2)易得函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,
因?yàn)閤2-2x+3=(x-1)2+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以0<≤,
所以f(x)的值域?yàn)?
15.B　若2 023在定義域內(nèi),則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2 023有唯一交點(diǎn);
若2 023不在定義域內(nèi),則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2 023沒有交點(diǎn).
故函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2 023的交點(diǎn)至多有一個(gè).故選B.
16.答案　(1)4　(2)2　(3)f(x1)≥f(x2)
解析　(1)由題圖得f(0)=4.
(2)由題圖得f(2)=2,所以f(f(2))=f(2)=2.
(3)由題圖知,當(dāng)-117.解析　(1)列表:
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
當(dāng)x∈[0,2]時(shí),圖象是一次函數(shù)y=2x+1的圖象的一部分,如圖所示:
由圖可知,函數(shù)y=2x+1,x∈[0,2]的值域?yàn)閇1,5].
(2)列表:
x 2 3 4 5 …
y 1 …
當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),圖象是函數(shù)y=的圖象的一部分,如圖所示:
由圖可知,函數(shù)y=,x∈[2,+∞)的值域?yàn)?0,1].
(3)易知函數(shù)y=x2-2x的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,因?yàn)閥=x2-2x,所以當(dāng)x=-1時(shí),y=3;當(dāng)x=1時(shí),y=-1;當(dāng)x=2時(shí),y=0,所以函數(shù)y=x2-2x,x∈[-1,2]的圖象如圖所示:
由圖可知,函數(shù)y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域?yàn)閇-1,3].
能力提升練
1.C　由f(x)=+,可得解得1≤x≤3,即f(x)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3},
則1≤x-1≤3,所以2≤x≤4,即f(x-1)的定義域?yàn)閇2,4].故選C.
2.A　因?yàn)楹瘮?shù)f(x+2)的定義域?yàn)?-3,4),所以-3又x-1>0,所以x>1,故函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)?1,6),故選A.
3.D　由題意可知-3≤x≤1,所以-7≤2x-1≤1,
要使y=有意義,則需解得14.B　若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,
則ax2-2ax+1>0對(duì)任意x∈R恒成立,
當(dāng)a=0時(shí),不等式ax2-2ax+1>0可化為1>0,恒成立;
當(dāng)a≠0時(shí),只需解得0綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1).故選B.
5.C　若f(x)的定義域是R,則mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
當(dāng)m=0時(shí),顯然不成立;
當(dāng)m≠0時(shí),只需解得m≥.
故函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽的充分不必要條件構(gòu)成的集合是的真子集,結(jié)合選項(xiàng)知選C.
6.C　令=t,則t≥0,x=,將函數(shù)y=1-x+轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=1++t=+t+=,且函數(shù)y=在[0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)t=0時(shí),y有最小值,所以函數(shù)y=1-x+的值域?yàn)?故選C.
易錯(cuò)警示　　　求函數(shù)的值域時(shí),要考慮函數(shù)的定義域,換元后要考慮新元的取值范圍.
7.A　當(dāng)a<0時(shí), f(x)=a(x-1)2-2≤-2<0,依題意有n<0,從而f(x)在[m,n]上的函數(shù)值隨著自變量x的增大而增大,
于是則方程f(x)=x,即a(x-1)2-2=x,即ax2-(2a+1)x+a-2=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,
因此
又a<0,所以-所以負(fù)數(shù)a的取值范圍是.故選A.
8.C　解法一:對(duì)于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,解得f(0)=0;
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,又f(1)=2,所以f(-1)=0;
令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;
令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.
解法二:因?yàn)閒(1)=2,
所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,
所以f(0)=f [3+(-3)]=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.
解題模板　　　解決與抽象函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)常用賦值法,賦值的關(guān)鍵是找到條件與結(jié)論的關(guān)系.如本題已知f(1),在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R)中,可賦值求f(0), f(-1), f(-2),進(jìn)而求出f(-3),也可賦值求f(2), f(3), f(0),進(jìn)而求出f(-3).
9.解析　(1)設(shè)t=(t≥0),則x=-,
則g(t)=-+t+1=-+t+,t≥0,其圖象的對(duì)稱軸為直線t=1,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g(t)≤g(1)=3,故f(x)的值域?yàn)?-∞,3].
(2)f(x)=====-,其中x≠1,且x≠-,
又因?yàn)椤?,所以f(x)=≠.
當(dāng)x=1時(shí),==-.
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)椤取?
(3)解法一:y==2+,
令t=x2-x+1,則t=+≥,
所以0<≤4,所以2<2+≤6,即2故函數(shù)y=的值域?yàn)?2,6].
解法二:易知函數(shù)的定義域?yàn)镽.
由y=得(y-2)x2-(y-2)x+y-5=0,此方程必有實(shí)數(shù)解,
則Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-5)≥0,
整理,得(y-2)(y-6)≤0,
所以2≤y≤6,
當(dāng)y=2時(shí),方程為-3=0,不成立,故y≠2,
故函數(shù)y=的值域?yàn)?2,6].
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