資源簡(jiǎn)介

5.4　函數(shù)的奇偶性
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)奇偶性的概念及判斷
1.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A.f(x)+f(-x)=0　　　　B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0　　　　D.=1
2.函數(shù)f(x)=的圖象大致是(　　)
　　
　　
3.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=;(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;(4)f(x)=
題組二　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
4.已知函數(shù)f(x)=(x+1)·(ax+b)是偶函數(shù),其定義域?yàn)閇2a-3,a],則a-b=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
5.定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:①f(-x)=f(x);②對(duì)任意x1,x2∈(-∞,0],當(dāng)x1>x2時(shí),都有f(x1)>f(x2).則f(2), f(π), f(-3)的大小關(guān)系是(　　)
A.f(π)>f(2)>f(-3)　　　　B.f(π)>f(-3)>f(2)
C.f(π)6.(多選題)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), f(x)=x2+x,則下列說法正確的是(　　)
A.f(-2)=-6
B.當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí), f(x)=-x2+x
C.f(x)在定義域R上為減函數(shù)
D.不等式f(x-1)<6的解集為(-∞,3)
7.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)a滿足f(a)>f(-),則a的取值范圍是　　　　.
8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的　　　　,且當(dāng)x≤0時(shí), f(x)=x2+4x.
在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線處,并解答問題.
條件①:奇函數(shù);條件②:偶函數(shù).
(1)求f(f(5))的值;
(2)求函數(shù)f(x)的解析式.
能力提升練
題組一　函數(shù)奇偶性的圖象與判斷
1.已知f(x+y)=f(x)+f(y)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,且f(x)不恒等于0,則函數(shù)f(x)(　　)
A.是奇函數(shù)
B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù),也是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
2.函數(shù)f(x)=的圖象大致是(　　)
　　
　　
題組二　函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用
3.已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)=(　　)
A.0　　　　B.-16　　　　C.-10　　　　D.-26
4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減, f(3)=0,則不等式(2x-5)·f(x-1)<0的解集為(　　)
A.∪(4,+∞)　　　　B.(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪　　　　D.∪(3,+∞)
5.已知函數(shù)f(x)=x3+x,對(duì)任意的m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0恒成立,則x的取值范圍為(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-2,1)
C.　　　　D.
6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí), f(x)=2-|x+2|.若對(duì)任意的x∈[-1,2], f(x+a)≥f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.[0,2]　　　　B.[0,2]∪[8,+∞)
C.[-2,0]　　　　D.[-2,0]∪[6,+∞)
7.已知函數(shù)f(x),g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且f(x)=g(x-1),若g(-2)=3,則f(2 023)=(　　)
A.-3　　　　B.0　　　　
C.2　　　　D.3
8.(多選題)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足以下條件:① x,y∈R, f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y);②f(0)≠0;③ k>0,使得f(k)=0.則(　　)
A.f(0)=1
B.f(x)為奇函數(shù)
C.函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(3k,0)
D.f(x+4k)=f(x)
9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為0的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有(x-1)·f(x)=xf(x-1)成立,則f =　　　　.
10.已知f(x),g(x)是定義在R上的函數(shù),其中f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=x2+ax+2,若 x1,x2∈(-1,2),都有<1(x1≠x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
11.已知函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+1為偶函數(shù),函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞).
(1)判斷并用定義證明g(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性;
(2)解不等式g(x-1)+g(3x)<0;
(3)若存在實(shí)數(shù)a,b(112.已知定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f ,且當(dāng)x∈(-1,0)時(shí), f(x)>0.
(1)求證:函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù);
(2)求證:f(x)在(-1,1)上是減函數(shù);
(3)在(2)的條件下,解不等式:f(x+1)+f >0.
答案與分層梯度式解析
5.4　函數(shù)的奇偶性
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　對(duì)于A,因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)+f(-x)=0,且f(0)=0,故A,B正確;
對(duì)于C,因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立,故C正確;
對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí), f(-x)=0,此時(shí)無意義,故D錯(cuò)誤.
故選D.
2.D　由題可得,-x2+1≠0,解得x≠±1,
所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又因?yàn)閒(-x)==-=-f(x),
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),故排除A;
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),-x2+1>0,所以f(x)>0,故排除B;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),-x2+1<0,所以f(x)<0,故排除C.
故選D.
3.解析　(1)f(x)=的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴f(x)=既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
(2)依題意得x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)=0,∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(3)函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
(4)易知函數(shù)f(x)的定義域D=(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.任取x∈D,
當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
4.D　因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇2a-3,a],所以2a-3+a=0,即a=1,
所以f(x)=(x+1)(ax+b)=(x+1)(x+b),又f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即(1-x)(b-x)=(x+1)·(x+b),解得b=-1,所以a-b=2.故選D.
5.D　∵y=f(x)是R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的x1,x2∈(-∞,0],當(dāng)x1>x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),∴對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1>x2時(shí),都有f(x1)∵2<3<π,∴f(π)∴f(π)6.ABD　由題意可知f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6,故A正確;
令-x>0,則x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),
∴f(x)=-x2+x,故B正確;
易知f(x)=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
由函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)在定義域R上為增函數(shù),故C錯(cuò)誤;
由A,C的結(jié)論可知, f(x-1)<6=f(2),∴x-1<2,∴x<3,故D正確.
故選ABD.
7.答案　(-,)
解析　因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(-)=f(),
由f(a)>f(-), f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,得-由f(a)>f(-)=f(), f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,得0≤a<.
綜上,-8.解析　若選條件①:
(1)易得f(5)=-f(-5)=-[(-5)2+4×(-5)]=-5,
所以f(f(5))=f(-5)=-f(5)=5.
(2)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x,所以f(x)=
若選條件②:
(1)易得f(5)=f(-5)=(-5)2+4×(-5)=5,所以f(f(5))=f(5)=5.
(2)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(x)=f(-x)=x2-4x,
所以f(x)=
能力提升練
1.A　易知f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),
又f(x)不恒等于0,所以f(x)不可能既是奇函數(shù),也是偶函數(shù).故選A.
2.D　因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故排除A;
當(dāng)x>0時(shí), f(x)=≥0,故排除C;
當(dāng)x>1時(shí), f(x)==x-,因?yàn)閥=x和y=-在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故排除B.故選D.
3.D　令g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以g(-x)=(-x)5+a(-x)3-bx=-(x5+ax3+bx)=-g(x),
所以g(x)=x5+ax3+bx為奇函數(shù),
則f(x)=g(x)-8,又f(-2)=10,所以f(-2)=g(-2)-8=10,即g(-2)=18,
所以g(2)=-g(-2)=-18,所以f(2)=g(2)-8=-26.
故選D.
4.A　由題設(shè),得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,且f(-3)=f(3)=0,所以當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(3,+∞)時(shí), f(x)<0;當(dāng)x∈(-3,3)時(shí), f(x)>0.
因?yàn)?2x-5)f(x-1)<0,
所以或即或
或所以x>4,或-2所以不等式的解集為∪(4,+∞).故選A.
5.D　易知函數(shù)f(x)的定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)閒(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)y=x3與函數(shù)y=x都是R上的增函數(shù),所以f(x)在R上單調(diào)遞增,由f(mx-2)+f(x)<0,即f(mx-2)<-f(x)=f(-x),得mx-2<-x,即mx+x-2<0.
因?yàn)閷?duì)任意的m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0恒成立,所以對(duì)任意的m∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,
所以解得-26.D　由題設(shè)知, f(x)=因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,
當(dāng)0當(dāng)x>2時(shí),-x<-2,即f(-x)=(-x)+4=4-x, f(x)=-f(-x)=x-4.
綜上, f(x)=
作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示:
f(x+a)的圖象可以看成是將f(x)的圖象向左或向右平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的,
若對(duì)任意的x∈[-1,2], f(x+a)≥f(x)恒成立,
則當(dāng)a>0時(shí), f(x)的圖象至少向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度;
當(dāng)a<0時(shí), f(x)的圖象至多向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度.
所以-2≤a≤0或a≥6.故選D.
7.D　因?yàn)閒(x)=g(x-1),
所以f(x+1)=g(x),
又因?yàn)間(x)為偶函數(shù),
所以g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),
又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
故f(-x+1)=-f(x-1),
所以f(x+1)=-f(x-1),
所以f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(2 023)=f(3)=g(2),
因?yàn)間(-2)=3,所以g(2)=3,所以f(2 023)=3.
故選D.
8.ACD　對(duì)于A,令x=y=0,則f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),所以2f(0)=2[f(0)]2,
因?yàn)閒(0)≠0,所以f(0)=1,故A正確;
對(duì)于B,令x=,y=-,則f(t)+f(-t)=2f(0)f(t),即f(t)+f(-t)=2f(t),所以f(t)=f(-t),所以f(x)為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤;
對(duì)于D,令x=+k,y=,則f(t+2k)+f(t)=2f(t+k)f(k),因?yàn)?k>0,使得f(k)=0,
所以f(t+2k)+f(t)=0,即f(t+2k)=-f(t),
所以f(t+4k)=f(t+2k+2k)=-f(t+2k)=f(t),故D正確;
對(duì)于C,由D可知, f(x+2k)=-f(x), f(x+4k)=f(x),
兩式相加得, f(x+2k)+f(x+4k)=0,
因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(-x+2k)+f(x+4k)=0,所以得到f(x)圖象的對(duì)稱中心為(3k,0),故C正確.
故選ACD.
9.答案　0
解析　已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有(x-1)f(x)=xf(x-1)成立,令x=0,得f(0)=0,令x=,得-f =f ,
由f(x)是偶函數(shù),得f =f ,則f =0,
當(dāng)x≠0,1時(shí),若f(x-1)=0,則f(x)=0,
則f =f =f =f =0,
則f =f(0)=0.
10.答案　
解析　因?yàn)閒(x)+g(x)=x2+ax+2①,所以f(-x)+g(-x)=x2-ax+2,又f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),所以f(x)-g(x)=x2-ax+2②.
①-②,得g(x)==ax.
x1,x2∈(-1,2),都有<1(x1≠x2),即<0,
令h(x)=xg(x)-x=ax2-x,則h(x)在(-1,2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a=0時(shí),h(x)=-x,滿足題意;
當(dāng)a>0時(shí),需滿足≥2,所以a∈;
當(dāng)a<0時(shí),需滿足≤-1,所以a∈.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
11.解析　(1)函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.
證明如下:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x==0,解得a=1,所以f(x)=x2+1,即g(x)=,
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨設(shè)x1則g(x1)-g(x2)=-
==,
因?yàn)?1,
即1-x1x2<0,+1>0,+1>0,所以g(x1)>g(x2),
所以函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以g(-x)==-g(x),
所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù),故函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減.
因?yàn)間(x-1)+g(3x)<0,所以g(x-1)<-g(3x),
即g(x-1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以或或
所以x<-,
故不等式g(x-1)+g(3x)<0的解集為.
(3)由(1)知,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以g(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇g(b),g(a)],
由題意得,又由(1)知g(x)=,
所以化簡(jiǎn),得
所以a,b為方程(1-λ)x2+x-λ=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)a,b(1所以方程(1-λ)x2+x-λ=0有兩個(gè)大于1的不相等的實(shí)數(shù)根,
由條件,得>1,所以λ-1>0,
故解得1<λ<,
所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.
12.解析　(1)證明:令x=y=0,則f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0;令y=-x,則f(x)+f(-x)=f =f(0)=0,即f(x)=-f(-x),
∴f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù).
(2)證明:任取x1,x2∈(-1,1),且x1∵-10,
∴<0.
又-(-1)==>0,
∴-1<<0,又當(dāng)x∈(-1,0)時(shí), f(x)>0,
∴f >0,
∴f(x1)+f(-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).
(3)由f(x+1)+f>0,得f(x+1)>-f=f .
由題意及(2)知, f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),
∴所以-2∴不等式的解集為(-2,-).
19(共25張PPT)
5.4 函數(shù)的奇偶性
知識(shí)點(diǎn) 函數(shù)的奇偶性
必備知識(shí) 清單破
偶函數(shù) 奇函數(shù)
定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意的x∈A,都有-x∈A 且 f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù) 且f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)
圖象 特征 關(guān)于y軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
1.奇函數(shù)f(x)的圖象一定過原點(diǎn)嗎
2.對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),若f(-3)=f(3),則函數(shù)一定是偶函數(shù)嗎
3.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a,b](04.如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么函數(shù)一定是奇函數(shù)和偶函數(shù)中的一種嗎
5.是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)
知識(shí)辨析
1.不一定.若函數(shù)f(x)在x=0時(shí)有意義,則f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0, f(x)的圖象過原點(diǎn);若
函數(shù)f(x)在x=0時(shí)沒有意義,則f(x)的圖象不過原點(diǎn).
2.不一定.當(dāng)所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),函數(shù)一定不具有奇偶性,所以僅有f(-3)=f(3)不足以確定函數(shù)的奇偶性.
3.f(x)在[-b,-a]上單調(diào)遞減.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.
4.不一定.如f(x)=0,x∈D,D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)數(shù)集,函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);如f(x)=x2-2x,x∈R,函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
5.存在.當(dāng)f(x)=0,x∈D,D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)數(shù)集時(shí),滿足f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x), f(x)既是奇函
數(shù)又是偶函數(shù).既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有且只有這一類.
一語破的
1.判斷函數(shù)奇偶性的常見方法
(1)定義法

關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 判斷函數(shù)的奇偶性
(2)圖象法
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
(3)函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)
　　設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,在它們的公共定義域上具有的結(jié)論如表所示:
　　注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定義域的子集.
2.分段函數(shù)奇偶性的判斷
判斷分段函數(shù)f(x)奇偶性的一般方法是在一個(gè)區(qū)間上任取自變量,再向?qū)ΨQ區(qū)間轉(zhuǎn)化,并進(jìn)行
雙向驗(yàn)證.若函數(shù)在x=0處有定義,則還要驗(yàn)證f(0),即判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)必須判斷每一
段上函數(shù)是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函數(shù)圖象,結(jié)合對(duì)稱性判斷.
判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=(x-1) ;
(3)f(x)=
典例
(1)(2)先求函數(shù)的定義域,然后化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,即可得到
結(jié)論.
(3)判斷分段函數(shù)的奇偶性,需分x>0,x<0兩種情況判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.
思路點(diǎn)撥：
(1)由 得-2≤x≤2,且x≠0,∴f(x)的定義域?yàn)閇-2,0)∪(0,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
易得x+3>0,∴f(x)= = ,
又f(-x)= =- =-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
(2)由1-x2>0,得-1∴f(x)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
易得x+1>0,x-1<0,
∴f(x)=(x-1) =(x-1) =- .
∵f(-x)=- =- =f(x),
解析：
∴f(x)是偶函數(shù).
(3)易知函數(shù)的定義域D=(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.任取x∈D,
當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=- = =f(x);
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)= =- =f(x).
綜上,函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
1.利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值
　　若函數(shù)解析式中含參數(shù),則根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系數(shù)法求參數(shù);若定義域
中含參數(shù),則根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,利用區(qū)間的端點(diǎn)值之和為0求參數(shù).
2.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
　　由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時(shí),若所給的函數(shù)具有奇偶性,則直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)
求解;若所給的函數(shù)不具有奇偶性,一般需利用所給的函數(shù)來構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù),然后
利用其奇偶性求值.
3.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式
(1)求哪個(gè)區(qū)間上的解析式,x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上.
(2)把-x對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,代入已知區(qū)間的解析式得f(-x).
定點(diǎn) 2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
(3)利用函數(shù)的奇偶性把f(-x)改寫成-f(x)或f(x),從而求出f(x).
(1)已知函數(shù)f(x)= 為奇函數(shù),則a+b=　　　 ;
(2)函數(shù)f(x)和g(x)的定義域均為R,已知y=f(1+x)為偶函數(shù),y=g(x+1)+1為奇函數(shù), x∈R,均有f(x)+
g(x)=x2+3,則f(4)·g(4)=　　　 ;
(3)已知函數(shù)f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數(shù),在[0,3]上單調(diào)遞減,并且f -m2- >f(-m2+2m-2),則
m的取值范圍是　　　 .
典例
-1
70
1- ≤m<
(1)f(x)= 的定義域?yàn)閧x|x≠1且x≠a},
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 為奇函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以f(-x)=-f(x),a=-1,
所以f(x)= = ,
又f(-x)=-f(x),
所以 =- ,
解得b=0,
所以a+b=-1.
(2)由y=f(1+x)為偶函數(shù),得f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
解析：
由y=g(x+1)+1為奇函數(shù),得g(x+1)+1=-g(-x+1)-1,所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,
又 x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+3,
所以f(-2)+g(-2)=4+3=7,
又f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
所以f(-2)=f(4),
又g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,
所以g(-2)=-g(4)-2,
所以f(4)-g(4)=9,
又f(4)+g(4)=42+3=19,
所以f(4)=14,g(4)=5,
所以f(4)g(4)=70.
(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[2-a,3]上是偶函數(shù),
所以2-a+3=0,解得a=5,
所以f(-m2-1)>f(-m2+2m-2),
又f(x)在[0,3]上單調(diào)遞減,
所以f(x)在[-3,0]上單調(diào)遞增,
因?yàn)?m2-1<0,-m2+2m-2=-(m-1)2-1<0,
所以由f(-m2-1)>f(-m2+2m-2)可得,

解得1- ≤m< .
故m的取值范圍是1- ≤m< .
1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性
相反.
2.利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小
　　利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,關(guān)鍵是利用圖象的對(duì)稱性把自變量轉(zhuǎn)化
到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.
3.利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式
　　利用已知條件,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)< f(x2)的形式,再
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式(組),要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響.
定點(diǎn) 3 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用
(1)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)圍;
(2)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)典例
(1)由奇函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,可得f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,列滿足條件的關(guān)
系式求解即可.
(2)1-m,m不一定屬于同一單調(diào)區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f(|x|)=f(x),結(jié)合單調(diào)性列滿足條件的關(guān)
系式求解即可.
思路點(diǎn)撥：
(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,
所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,
所以f(1-m)解得-1≤m< .
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
(2)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),
所以f(x)=f(|x|),
所以f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|).
因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,
解析：
所以原不等式等價(jià)于
解得-1≤m< .
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
主編點(diǎn)評(píng) 本題用到了轉(zhuǎn)化思想,(1)利用奇函數(shù)的性質(zhì)將f(x)在[0,2]上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為f(x)在
[-2,2]上的單調(diào)性;(2)利用偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的絕對(duì)值的大小
關(guān)系,這種轉(zhuǎn)化避免了分類討論,有利于問題的解決.
　　函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語
言和工具.函數(shù)的概念與性質(zhì)是通過數(shù)學(xué)對(duì)象、運(yùn)算或關(guān)系得到抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),是變量間
關(guān)系表達(dá)的更高層次.
學(xué)科素養(yǎng) 情境破
素養(yǎng) 通過指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)
素養(yǎng)解讀
典例呈現(xiàn)
例題 設(shè)y=f(x)是定義在[m,n](m增,且在區(qū)間[x0,n]上嚴(yán)格遞減,則稱y=f(x)為“含峰函數(shù)”,x0稱為峰點(diǎn),[m,n]稱為含峰區(qū)間.
(1)試判斷y=-x2+6x是不是[0,6]上的“含峰函數(shù)”,若是,指出峰點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由;
(2)若y=ax2+bx+c(a≠0)是定義在[m,3]上峰點(diǎn)為2的“含峰函數(shù)”,且值域?yàn)閇0,4],求實(shí)數(shù)a的取
值范圍;
(3)若y=-x3+tx(t∈R)是[1,2]上的“含峰函數(shù)”,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解題思路 (1)函數(shù)y=-x2+6x的圖象開口向下,對(duì)稱軸為直線x=3,則y=-x2+6x在區(qū)間[0,3]上嚴(yán)格
遞增,在區(qū)間[3,6]上嚴(yán)格遞減,故函數(shù)y=-x2+6x是[0,6]上的“含峰函數(shù)”,峰點(diǎn)為3.
(2)記f(x)=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,3].
由題意得m<2, f(x)在區(qū)間[m,2]上嚴(yán)格遞增,在區(qū)間[2,3]上嚴(yán)格遞減,此時(shí)a<0,
所以 解得
所以f(x)=ax2-4ax+4+4a(a<0),x∈[m,3],
所以f(3)=9a-12a+4+4a=a+4, f(m)=am2-4am+4+4a.
令a+4=0,得a=-4,所以f(x)=-4x2+16x-12,x∈[m,3],所以f(2)=4, f(3)=0.
由f(x)在[m,3]上的值域?yàn)閇0,4]可知,m∈[1,2)時(shí)符合題意.
令am2-4am+4+4a=0,得m=2- 或m=2+ (舍去),此時(shí)f(x)=ax2-4ax+4+4a(a<0),x∈
,
則f(x)在 上嚴(yán)格遞增,在[2,3]上嚴(yán)格遞減, f(2)=4, f =0.
由f(x)在[m,3]上的值域?yàn)閇0,4]可知,f(3)=a+4≥0,解得a≥-4,
又a<0,所以-4≤a<0.
綜上,當(dāng)m∈[1,2)時(shí),a=-4;當(dāng)m=2- 時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是-4≤a<0.
(3)記f(x)=-x3+tx(t∈R).
任取x1,x2∈[1,2],且x1當(dāng)t≤3時(shí),由x1,x2∈[1,2]且x10, +x1x2+ -t>1+1+1-t≥0,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在[1,2]上嚴(yán)格遞減,不符合題意.
當(dāng)t≥12時(shí),由x1,x2∈[1,2]且x10, +x1x2+ -t<4+4+4-t≤0,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)<0,
即f(x1)所以f(x)在[1,2]上嚴(yán)格遞增,不符合題意.
當(dāng)30,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)<0,
即f(x1)所以f(x)在 上嚴(yán)格遞增;
任取x1,x2∈ ,且x1 + + -t=0,x2-x1>0,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在 上嚴(yán)格遞減.
故f(x)是[1,2]上峰點(diǎn)為 的“含峰函數(shù)”.
綜上,實(shí)數(shù)t的取值范圍為(3,12).
思維升華
　　函數(shù)中的新定義問題能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)水平,雖然概念、運(yùn)算規(guī)則等新穎,
但是考查的知識(shí)是基礎(chǔ)的,方法是常規(guī)的.這就要求我們平時(shí)學(xué)習(xí)中要吃透教材,在面對(duì)新情
境材料時(shí),不僅要讀懂題目,還要深層次挖掘,剖離出新的概念、運(yùn)算規(guī)則,將學(xué)過的知識(shí)、方
法遷移到新情境中.

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