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專題強化練4　函數的基本性質
45分鐘
1.(多選題)若 x∈R,f(x+1)=f(1-x),當x≥1時,f(x)=x2-4x,則下列說法錯誤的是(　　)
A.函數f(x)為奇函數
B.函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增
C.f(x)min=-4
D.函數f(x)在(-∞,1)上單調遞減
2.若定義在R上的奇函數f(x)滿足:對任意的x1,x2∈[0,+∞),都有>-1.若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,則實數a的取值范圍為(　　)
A.a<-2或a>-1　　　　B.a<1或a>2
C.a<-1或a>2　　　　D.a<-2或a>1
3.已知函數f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函數,f(x+2)為偶函數.記函數g(x)=2f(2x+1)+1,則g=(　　)
A.25　　　　B.27　　　　C.29　　　　D.31
4.(多選題)已知函數f(x),g(x)是定義在R上的函數,其中f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若對任意的x1,x2∈(1,2),且x1A.-2　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1
5.我們知道,函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數,有同學發現可以將其推廣為:函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數,則函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為　　　　;f(-2 021)+f(-2 020)+f(-2 019)+…+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)的值為　　　　　.
6.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時, f(x)=x2-2x+3.
(1)求f(x)在(0,+∞)上的取值范圍;
(2)求f(x)的函數關系式;
(3)設g(x)=x-1,若對任意的x1∈[2,3],都存在x2∈[m,m+1],使得f(g(x1))=g(f(x2)),求正數m的取值范圍.
7.已知函數f(x)=x2,對任意的實數t,gt(x)=-tx+1.
(1)判斷函數y=g0(x)-f(x)的奇偶性;
(2)若h(x)=-gt(x)在(0,2]上單調遞減,求實數t的取值范圍;
(3)若f(x)<|mg2(x)|對任意的x∈恒成立,求實數m的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
專題強化練4　函數的基本性質
1.ABD　由 x∈R, f(x+1)=f(1-x)可知, x∈R,f(x)=f(2-x),所以函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,又當x≥1時, f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,所以當x<1時,2-x>1, f(2-x)=(2-x-2)2-4=x2-4,所以f(x)=
作出f(x)=的圖象,如圖所示:
由圖可知, f(x)在(0,1),(2,+∞)上單調遞增,在(-∞,0),(1,2)上單調遞減,則f(x)min=-4, f(x)不是奇函數,故A,B,D錯誤,C正確.故選ABD.
2.D　任取x1,x2∈[0,+∞),不妨設x1>x2,
則由>-1,得f(x1)-f(x2)>-x1+x2,
∴f(x1)+x1>f(x2)+x2,
設g(x)=f(x)+x,則g(x)在[0,+∞)上單調遞增,
又g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),
∴g(x)為定義在R上的奇函數,
∴g(x)在R上單調遞增,
由f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2得, f(a2-1)+a2-1>-f(a-1)-a+1=-[f(a-1)+(a-1)],
即g(a2-1)>-g(a-1)=g(1-a),∴a2-1>1-a,
解得a<-2或a>1.故選D.
3.D　f(x+1)為奇函數, f(x+1)的圖象是由f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到的,則f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,所以f(2-x)=-f(x),f(1)=0.
f(x+2)為偶函數, f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位長度得到的,則f(x)的圖象關于直線x=2對稱,所以f(2-x)=f(2+x),則f(3)=0,所以f(x+2)=-f(x),從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)的值每4個為一組重復出現,所以f(2k-1)=0,k∈Z,
因為f(x)的圖象關于直線x=2對稱,也關于點(1,0)對稱,所以f(x)的圖象關于點(3,0)對稱,所以f(2)+f(4)=0,所以f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0,
所以f(k+1)=7[f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+[f(2)+f(3)+f(4)]=0,
因為g=2f(k+1)+1,k∈Z,
所以g=2f(k+1)+31=31,故選D.
4.ABC　由題意得, f(x)為奇函數,則f(x)=-f(-x),
g(x)為偶函數,則g(x)=g(-x),
將x=-x代入f(x)+g(x)=ax2+x+2,得f(-x)+g(-x)=ax2-x+2,與f(x)+g(x)=ax2+x+2聯立可得,g(x)=ax2+2,
又因為<-1,1所以x2g(x1)-x1g(x2)>-(x1-x2),
整理,得->-,
令h(x)=-=-=ax+,則h(x)在(1,2)上單調遞減,
當a=-2時,h(x)=-2x+,則h(x)在(1,2)上單調遞減,故A正確;
當a=0時,h(x)=,則h(x)在(1,2)上單調遞減,故B正確;
當a=時,h(x)=+,根據對勾函數的性質可知h(x)在(1,2)上單調遞減,故C正確;
當a=1時,h(x)=x+,所以h(x)在(1,2)上單調遞增,故D錯誤.
故選ABC.
5.答案　(1,-2);-8 090
解析　令g(x)=f(x+a)-b,
則g(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b
=x3+3ax2+3a2x+a3-3x2-6ax-3a2-b
=x3+(3a-3)x2+(3a2-6a)x+a3-3a2-b,
因為g(x)為奇函數,所以g(-x)=-g(x),
即解得
所以函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為(1,-2).
所以f(1-x)+f(1+x)=-4,即f(-2 021)+f(2 023)=f(-2 020)+f(2 022)=…=f(0)+f(2)=-4,
所以f(-2 021)+f(-2 020)+f(-2 019)+…+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=-4×2 022-2=-8 090.
6.解析　(1)因為y=x2-2x+3的圖象的對稱軸為直線x=1,所以函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
因為f(1)=2,所以f(x)在(0,+∞)上的取值范圍為[2,+∞).
(2)因為f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)=0.
設x<0,則-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3.
又因為f(x)是定義在R上的奇函數,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3,
所以f(x)=
(3)因為對任意的x1∈[2,3],都存在x2∈[m,m+1],使得f(g(x1))=g(f(x2)),所以f(g(x1))的值域是g(f(x2))值域的子集破題關鍵.
因為x1∈[2,3],所以1≤g(x1)≤2,所以2≤f(g(x1))≤3,
當m≥1時,m+1≥2,因為f(x)在[1,+∞)上單調遞增,所以f(x)在[m,m+1]上單調遞增,
所以m2-2m+3≤f(x2)≤m2+2,所以m2-2m+2≤g(f(x2))≤m2+1,所以所以≤m≤2;當0因為f(x)在[m,1]上單調遞減,在[1,m+1]上單調遞增,
所以2≤f(x2)≤max{f(m), f(m+1)},(max{a,b}表示a,b中較大的值)
因為0所以1≤g(f(x2))<2,又[2,3] [1,2),所以0綜上,≤m≤2.
7.解析　(1)記p(x)=g0(x)-f(x)=1-x2,易知其定義域為R,p(-x)=1-(-x)2=1-x2=p(x),所以y=g0(x)-f(x)為偶函數.
(2)易知h(x)=-gt(x)=+tx-1.
任取x1,x2∈(0,2],且x1要使h(x)在(0,2]上單調遞減,只需h(x1)-h(x2)>0恒成立.
因為x1,x2∈(0,2],且x10,00,即t<恒成立即可.
因為0(3)易知g2(x)=-2x+1在上的值域為,
所以要使f(x)<|mg2(x)|對任意的x∈恒成立,只需|m|>對任意的x∈恒成立.
記q(x)==,則只需|m|>q(x)max.
任取x1,x2∈,且x1=.
因為x1,x2∈,且x10,-2x2+1>0,x1-x2<0,-2x1x2+x1+x2>0,
所以q(x1)-q(x2)=<0,即q(x1)所以q(x)max=q==,所以|m|>,解得m>或m<-,
所以實數m的取值范圍是∪.
11

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