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第6章　冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)
6.1　冪函數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　冪函數(shù)的概念
1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(　　)
A.y=x2-1　　　　B.y=0.3x
C.y=　　　　D.y=x0.3
2.已知冪函數(shù)y=kxa的圖象過點(4,2),則k+a等于(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2
3.已知y=(m2+2m-2)+2n-3是冪函數(shù),則2n+m=　　　　.
題組二　冪函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
4.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點P,則該冪函數(shù)的大致圖象是　　(　　)
5.如圖,C1,C2,C3,C4是四個冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,已知n分別取-1,1,,2四個值,則與曲線C1,C2,C3,C4相對應(yīng)的n依次為(　　)
A.-1,,1,2　　　　B.2,1,,-1
C.,-1,2,1　　　　D.2,,-1,1
題組三　冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
6.(多選題)下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(　　)
A.y=x2+2x　　　　B.y=-
C.y=|x-1|　　　　D.y=
7.冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)m=　　(　　)
A.2　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.2或-1
8.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(9,3),則不等式f(x2-x+1)<1的解集為　　　　　.
9.已知冪函數(shù)f(x)=(a2-3a+3)xa為偶函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,g(x)=f(x)+x,求函數(shù)g(x)的解析式.
能力提升練
題組一　冪函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
1.已知函數(shù)y=(m,n∈N*,且m,n互質(zhì))的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.m,n是奇數(shù),且<1
B.m是偶數(shù),n是奇數(shù),且<1
C.m是偶數(shù),n是奇數(shù),且>1
D.m,n是偶數(shù),且>1
2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(x),f(1-x)=f(1+x),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=,則函數(shù)f(x)的圖象與g(x)=的圖象的交點個數(shù)為(　　)
A.5　　　　B.6　　　　
C.7　　　　D.8
題組二　冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
3.已知冪函數(shù)y=(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足(2a+1)-m<(1-a)-m的a的取值范圍為(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.∪(1,+∞)
C.(0,1)　　　　D.∪(0,1)
4.已知函數(shù)f(x)=-,則f(x)的(　　)
A.最大值為　　　　B.最大值為1
C.最小值為1　　　　D.最小值為0
5.若點(m,81)在冪函數(shù)f(x)=(m-2)xn的圖象上,則函數(shù)g(x)=+的值域是(　　)
A.[0,]　　　　B.[1,]　　　　
C.[,2]　　　　D.[2,3]
6.求“方程+=1的解”有如下解題思路:構(gòu)造函數(shù)y=f(x),其表達(dá)式為f(x)=+,易知函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù),且f(2)=1,故原方程存在唯一實數(shù)解x=2.類比上述解題思路,不等式x6-2x-3<(2x+3)3-x2的解集為　　　　　.
7.已知冪函數(shù)f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)求k的值,并寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)對于(1)中的函數(shù)f(x),是否存在正數(shù)m,使函數(shù)g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在區(qū)間[0,1]上的最大值為5 若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
8.(2023重慶八中期中)已知冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)xm-1,且f(x)=f(-x).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=,g(a)+g(b)=1且a,b均為正數(shù),求f(a)+f(b)的最小值.
答案與分層梯度式解析
6.1　冪函數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　由冪函數(shù)的定義知,冪函數(shù)滿足三個條件:①冪的底數(shù)為自變量;②自變量的系數(shù)為1;③冪的指數(shù)為常數(shù).故選D.
2.A　由冪函數(shù)的定義得k=1,將(4,2)代入y=xa,得2=4a,解得a=,所以k+a=.故選A.
3.答案　0或4
解析　由題意得解得m=-3或m=1,n=,所以2n+m=0或2n+m=4.
4.D　設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)=xα,由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點P,可得=2α,解得α=-4,所以f(x)=x-4,其定義域為{x|x≠0},關(guān)于原點對稱,
因為f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故A、B錯誤;又因為f(x)=x-4,-4<0,所以當(dāng)x>0時, f(x)單調(diào)遞減,故C錯誤,D正確.
5.B　根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,>=1>>,所以與曲線C1,C2,C3,C4相對應(yīng)的n依次為2,1,,-1.故選B.
方法技巧　冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))在第一象限內(nèi)的圖象特征:
(1)當(dāng)α>1時,圖象過點(0,0),(1,1),下凸遞增,如y=x2;
(2)當(dāng)0<α<1時,圖象過點(0,0),(1,1),上凸遞增,如y=;
(3)當(dāng)α<0時,圖象過點(1,1),下凸遞減,且向坐標(biāo)軸無限逼近,如y=x-1.
6.ABD　y=x2+2x的圖象的對稱軸是直線x=-1,則y=x2+2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故A正確;
y=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故B正確;
y=|x-1|=則y=|x-1|在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,1)上單調(diào)遞減,故C錯誤;
由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故D正確.故選ABD.
7.B　因為f(x)=(m2-m-1)是冪函數(shù),
所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以m2-2m-2>0,
所以m=-1.故選B.
8.答案　{x|0解析　設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)=xa,由題意得9a=3,解得a=,故f(x)=,所以f(1)=1,
則f(x2-x+1)<1,即f(x2-x+1)根據(jù)f(x)=在[0,+∞)上單調(diào)遞增,得0≤x2-x+1<1,解得09.解析　(1)∵f(x)為冪函數(shù),
∴a2-3a+3=1,解得a=1或a=2.
當(dāng)a=1時, f(x)=x是奇函數(shù),不滿足題意;
當(dāng)a=2時, f(x)=x2是偶函數(shù),滿足題意,∴a=2.
故f(x)的解析式為f(x)=x2.
(2)由(1)得,當(dāng)x≥0時,g(x)=f(x)+x=x2+x,
當(dāng)x<0時,-x>0,∴g(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,
又∵函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴g(-x)=-g(x),即-g(x)=x2-x,x<0,
∴g(x)=-x2+x,x<0,
∴函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=
能力提升練
1.B　由題圖可知,y=為偶函數(shù),又m,n∈N*,且m,n互質(zhì),所以m為偶數(shù),n是奇數(shù).當(dāng)x∈(1,+∞)時,y=的圖象在直線y=x的下方,所以<1,故選B.
2.A　由題意得,f(x)的值每2個為一組重復(fù)出現(xiàn),其圖象關(guān)于直線x=1對稱.
作出函數(shù)f(x)和g(x)=的圖象,如圖所示.
由圖可知,兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5.故選A.
3.D　由題得-m2+2m+3(m∈N*)為正偶數(shù),
易得y=-m2+2m+3的值域為(-∞,4],
則-m2+2m+3可取2,4,
當(dāng)-m2+2m+3=2時,m=1+或m=1-,不符合m∈N*,舍去,
當(dāng)-m2+2m+3=4時,m=1(二重根),符合題意.
故m=1,
則不等式(2a+1)-m<(1-a)-m,即(2a+1)-1<(1-a)-1,
整理得<0,
即或
解得0故a的取值范圍為∪(0,1).故選D.
4.B　由得0≤x≤1,所以f(x)=-的定義域為[0,1],
因為y=在[0,1]上單調(diào)遞增,y=在[0,1]上單調(diào)遞減,
所以由增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)破題關(guān)鍵,知f(x)=-在[0,1]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=0時, f(x)取最小值,為f(0)=-1,
當(dāng)x=1時, f(x)取最大值,為f(1)=1.故選B.
5.B　∵點(m,81)在冪函數(shù)f(x)=(m-2)xn的圖象上,
∴解得
∴函數(shù)g(x)=+=+,
∴∴3≤x≤4,
[g(x)]2=1+2=1+2,
∵x∈[3,4],∴-x2+7x-12∈,
∴[g(x)]2∈[1,2],
∴函數(shù)g(x)的值域為[1,].故選B.
6.答案　(-1,3)
解析　將不等式x6-2x-3<(2x+3)3-x2變形為x6+x2<(2x+3)3+(2x+3),即(x2)3+x2<(2x+3)3+(2x+3),
設(shè)g(x)=x3+x,因為y=x3與y=x在R上均為增函數(shù),所以函數(shù)g(x)在R上是增函數(shù),
由于g(x2)所以原不等式的解集為(-1,3).
7.解析　(1)由題意可得
所以k=1或k=0,所以f(x)=x2.
(2)假設(shè)存在正數(shù)m滿足題意.
由(1)可得,f(x)=x2,則g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,
由m>0可知,g(x)的圖象開口向下,對稱軸為直線x=,則=1-<1.
當(dāng)0<1-<1,即m>時,g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為g==5,解得m=或m=(舍去);
當(dāng)1-≤0,即0故存在正數(shù)m=,使函數(shù)g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在區(qū)間[0,1]上的最大值為5.
8.解析　(1)因為函數(shù)f(x)為冪函數(shù),所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
因為f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,且f(x)=f(-x),所以f(x)為偶函數(shù),
經(jīng)檢驗,當(dāng)m=2時, f(x)=x,為奇函數(shù),不滿足題意;當(dāng)m=3時, f(x)=x2,為偶函數(shù),滿足題意.
故f(x)的解析式為f(x)=x2.
(2)結(jié)合(1)知g(x)===1-,
因為g(a)+g(b)=1,所以+=1,整理得a2+b2+2=(a2+1)(b2+1),即a2b2=1,
又a,b>0,所以ab=1.
故f(a)+f(b)=a2+b2≥2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號,故f(a)+f(b)的最小值為2.
(
1
)(共15張PPT)
　　一般地,我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).
6.1 冪函數(shù)
知識點 1 冪函數(shù)的概念
必備知識 清單破
知識點 2 常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
冪函數(shù) y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
圖象
定義域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
單調(diào)性 增函數(shù) 在[0,+∞)上單調(diào)遞增, 在(-∞,0]上單調(diào)遞減 增函數(shù) 增函數(shù) 在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
在(-∞,0)上單調(diào)遞減
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
　　注意:(1)當(dāng)α>0時,函數(shù)y=xα的圖象都過點(0,0)和(1,1),在第一象限內(nèi),函數(shù)的圖象隨x的增
大而上升,函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)α<0時,函數(shù)y=xα的圖象都過點(1,1),在第一象
限內(nèi),函數(shù)的圖象隨x的增大而下降,函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
1.y=- 是冪函數(shù)嗎
2.冪函數(shù)的圖象能不能經(jīng)過第四象限
3.冪函數(shù)y=x0的圖象與y=1的圖象是否相同
4.若冪函數(shù)y=xα在(-∞,0)上有意義,能否確定此冪函數(shù)一定具有奇偶性
5.冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸是否一定相交 若相交,交點是不是定點
知識辨析
1.不是.冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征:①指數(shù)為常數(shù),②底數(shù)為自變量,③xα的系數(shù)為1.在y=- =-x-1中,x-1的
系數(shù)為-1.
2.不能.
3.不同.函數(shù)y=1的圖象是一條直線,而對于冪函數(shù)y=x0,其定義域為{x|x∈R,且x≠0},因此y=x0
的圖象不是一條直線,而是直線y=1去掉點(0,1)的部分.
4.能.冪函數(shù)圖象在第一、三象限時,函數(shù)為奇函數(shù);冪函數(shù)圖象在第一、二象限時,函數(shù)為偶
函數(shù).
5.冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸不一定相交.由冪函數(shù)的定義及圖象知,只有當(dāng)α>0時,冪函數(shù)的圖象
才與坐標(biāo)軸相交,若相交,交點是原點,為定點.
一語破的
1.根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象可確定冪的指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系.

2.依據(jù)冪函數(shù)的圖象的高低判斷冪的指數(shù)的大小,相關(guān)結(jié)論如下:
(1)在x∈(0,1)上,冪的指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);
(2)在x∈(1,+∞)上,冪的指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為“指大圖高”).
關(guān)鍵能力 定點破
定點 1 冪函數(shù)的圖象
若點( ,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點 在冪函數(shù)g(x)的圖象上,問:當(dāng)x為何值時,(1)f(x)>
g(x) (2)f(x)=g(x) (3)f(x)典例
先由點在圖象上確定冪函數(shù)的解析式,再作出函數(shù)的圖象,利用圖象解決問題.
思路點撥：
設(shè)f(x)=xα,將( ,2)代入,得2=( )α,解得α=2,則f(x)=x2.
同理,可得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出冪函數(shù)f(x)=x2和g(x)=x-2的圖象,如圖所示.

觀察圖象可得:
(1)當(dāng)x>1或x<-1時, f(x)>g(x).
(2)當(dāng)x=1或x=-1時, f(x)=g(x).
解析：
(3)當(dāng)-11.冪函數(shù)的性質(zhì)與α的相互確定
　　冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān),故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、
奇偶性.反過來,也可由冪函數(shù)的性質(zhì)去限制α的取值:利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出α的取值范圍;
由冪函數(shù)的奇偶性結(jié)合所給條件確定α的值.
2.利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法
(1)直接法:當(dāng)冪函數(shù)中的冪的指數(shù)相同時,可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小;
(2)轉(zhuǎn)化法:當(dāng)冪函數(shù)中的冪的指數(shù)不同時,可以先轉(zhuǎn)化為相同的冪的指數(shù),再運(yùn)用冪函數(shù)的單
調(diào)性比較大小;
(3)中間量法:當(dāng)冪函數(shù)中的底數(shù)和冪的指數(shù)均不同時,可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值(通常選用0或1)
比較大小.
定點 2 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
　比較下列各組數(shù)據(jù)的大小:
(1)4. ,3. ,(-1.9 ;
(2) , ,1. .
典例1
(1)∵4. > =1,0<3. < =1,(-1.9 <0,
∴(-1.9 <3. <4. .
(2) = , = ,1. =(1.12 =1.2 .
∵函數(shù)y= 在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且 < <1.21,
∴ > >1.2 ,
即 > >1. .
解析：
已知冪函數(shù)f(x)=(k2+2k-2)· (m∈N*)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
(1)求m和k的值;
(2)若(2a+1)-m<(3-2a)-m,求實數(shù)a的取值范圍.
典例2
(1)由冪函數(shù)的定義及單調(diào)性求得m,k的值,再結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性即可確定m的
取值.
(2)利用冪函數(shù)的性質(zhì),分類求解不等式.
思路點撥：
(1)因為f(x)=(k2+2k-2) (m∈N*)為冪函數(shù),
所以k2+2k-2=1,解得k=-3或k=1.
又f(x)=(k2+2k-2) (m∈N*)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以m2-2m-3<0,解得-1又m∈N*,所以m=1或m=2,
當(dāng)m=1,k=-3或k=1時, f(x)=x-4,其定義域為{x|x≠0},且f(x)為偶函數(shù),符合題意;
當(dāng)m=2,k=-3或k=1時, f(x)=x-3,其定義域為{x|x≠0},且f(x)為奇函數(shù),不符合題意.
故m=1,k=-3或k=1.
(2)由(1)可知m=1,
則原不等式可化為(2a+1)-1<(3-2a)-1,
易知f(x)=x-1在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減.
解析：
分三種情況討論:
①當(dāng)2a+1<0<3-2a,即a<- 時,原不等式成立;
②當(dāng)2a+1<0,且3-2a<0時,有2a+1>3-2a,即 解集為空集;
③當(dāng)2a+1>0,且3-2a>0時,有2a+1>3-2a,即 解得 綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為 ∪ .
易錯警示 利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式時,要注意冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,若有多個單調(diào)區(qū)間
要注意分類討論.

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