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　　一般地,函數y=ax(a>0,a≠1)叫作指數函數,它的定義域是R.
6.2 指數函數
知識點 1 指數函數的概念
必備知識 清單破
知識點 2 指數函數的圖象與性質
指數函數 y=ax(a>0,a≠1) a>1 0圖象
性質 定義域:R 值域:(0,+∞) 圖象過定點(0,1),圖象在x軸的上方 增函數; 當x>0時,y>1; 當x<0時,0當x>0時,0當x<0時,y>1
　　注意:指數函數y=ax與y= (a>0,a≠1)的圖象關于y軸對稱.
知識拓展 指數函數y=ax(a>0,a≠1)的底數a對圖象相對位置的影響:①在y軸右側,圖象從上
到下相應的底數由大變小,即“底大圖高”;②在y軸左側,圖象從上到下相應的底數由小變
大,即“底大圖低”.
1.平移變換(a>0,a≠1)
(1)左右平移:把y=ax的圖象向右平移b(b>0)個單位長度,得到y=ax-b的圖象;把y=ax的圖象向左平
移b(b>0)個單位長度,得到y=ax+b的圖象.
(2)上下平移:把y=ax的圖象向上平移b(b>0)個單位長度,得到y=ax+b的圖象;把y=ax的圖象向下
平移b(b>0)個單位長度,得到y=ax-b的圖象.
2.對稱變換(a>0,a≠1)
(1)函數y=ax與y=a-x的圖象關于y軸對稱.
(2)函數y=ax與y=-ax的圖象關于x軸對稱.
(3)函數y=ax與y=-a-x的圖象關于坐標原點對稱.
知識點 3 指數函數圖象的變換
1.函數y=-2x,y=2x+1是不是指數函數
2.指數函數的圖象在坐標平面內分布在什么位置
3.對于指數函數y=ax(a>0,a≠1),底數與其圖象有什么關系
4.函數y=-2x,y=2x+1的圖象可由y=2x的圖象經過怎樣的變換得到
知識辨析
1.都不是.指數函數解析式的結構特點:①底數a是滿足a>0,且a≠1的常數;②指數位置只能是
x;③ax的系數為1.y=-2x中2x的系數為-1,不是1,y=2x+1中指數位置不是x.
2.在x軸的上方.
3.①當01時,圖象“上升”;②由y=ax的圖象與直線x=1相交于點(1,
a)可知,在y軸右側,圖象從下往上對應的底數由小變大.
4.函數y=-2x的圖象可由y=2x的圖象關于x軸對稱得到,函數y=2x+1的圖象可由y=2x的圖象向左平
移1個單位長度得到.
一語破的
指數冪比較大小的類型及方法
(1)底數相同,指數不同:利用指數函數的單調性進行判斷.
(2)底數不同,指數相同:①利用底數不同的指數函數的圖象的變化規律進行判斷;②利用冪函
數的單調性進行判斷.
(3)底數不同,指數不同:通過中間量(常用0或1)來比較.
　　注意:對于3個(或3個以上)指數冪的大小比較,可先根據與特殊值(常用0或1)的大小比較
進行分組,再比較各組數的大小.
關鍵能力 定點破
定點 1 比較指數冪的大小
已知a= ,b= ,c=1,則a,b,c的大小關系是 (　 )
A.a>b>c　 B.b>a>c
C.c>b>a　 D.c>a>b
典例1
解析： b= = = ,
∵冪函數y= 在(0,+∞)上單調遞增,且 > ,∴ > ,即a>b.
又∵指數函數y= 在R上單調遞減,且 >0,∴ < =1,即a∴a,b,c的大小關系是c>a>b.故選D.
D
(多選)設a= ,b= ,則下列說法中正確的是 (　 )
A.a>b　 B.2a<2b
C. 典例2
思路點撥 根據a,b兩式的特征構造函數,利用常數分離法拆解分式函數,判斷其單調性.
AC
解析 根據題意可構造函數f(x)= ,
則f(x)= = + ,
因為函數y=2x+1在R上恒正且單調遞增,
所以y= 在R上恒正且單調遞減,
所以f(x)在R上單調遞減.
對于A,因為2 022<2 023,所以f(2 022)>f(2 023)>0,即a>b,故A正確;
對于B,因為a>b,且y=2x在R上單調遞增,所以2a>2b,故B錯誤;
對于C,因為 所以 對于D,因為a>0,b>0,所以 + ≥2 =2,
當且僅當a=b時取等號,又a≠b,所以 + ≠2,故D錯誤.故選AC.
1.指數方程的解法
(1)對于af(x)=b(a>0,且a≠1)型的指數方程,通常將方程兩邊化為同底數冪的形式,用指數相等
進行求解.
(2)解復雜的指數方程時,常用換元法轉化為解一元二次方程.用換元法時要特別注意“元”
的范圍,用一元二次方程求解時,要注意對一元二次方程根的取舍.
2.簡單指數不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的單調性求解;
(2)形如af(x)>b的不等式,可將b化成以a為底數的冪的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)的單調性求解;
(3)形如ax>bx的不等式,可借助函數y=ax,y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的圖象求解.
定點 2 解指數方程或指數不等式
　解下列關于x的方程或不等式:
(1)22x+2+3×2x-1=0;
(2) ≤2;
(3) < (a>0且a≠1).
典例
解析 ： (1)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x,則t>0,原方程可化為4t2+3t-1=0,
解得t= 或t=-1(舍去),∴2x= ,解得x=-2.
(2)∵2= ,∴原不等式可化為 ≤ .∵y= 在R上是減函數,
∴3x-1≥-1,解得x≥0,
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(3)當0x2+6,∴-3x>5,解得x<- ;
當a>1時,函數y=ax在R上是增函數,
∴x2-3x+1- .
綜上所述,當01時,原不等式的解集為 .
1.求與指數函數有關的函數的定義域時,要觀察函數是y=af(x)(a>0,a≠1)型還是y=f(ax)(a>0,a≠
1)型.
(1)函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域與f(x)的定義域相同.
(2)求函數y=f(ax)(a>0,且a≠1)的定義域,先令u=ax(u>0),然后確定y=f(u)的定義域,即u=ax的值
域,由此構造關于x的不等式(組),確定x的取值集合,即y=f(ax)的定義域.
2.求與指數函數有關的函數的值域時,重點要注意指數函數的值域為(0,+∞).
(1)求函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據指數函數y=ax(a>0,a≠1)的單
調性確定函數y=af(x)的值域.
(2)求函數y=f(ax)(a>0,且a≠1)的值域,先令u=ax(u>0),然后利用函數u=ax的單調性確定其值域,
進而確定函數y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.
定點 3 與指數函數有關的函數的定義域、值域問題
　求下列函數的定義域和值域:
(1)y= ;
(2)y= ;
(3)y=4x+2x+1+1;
(4)y= (a>0且a≠1).
典例
思路點撥 (1)利用被開方數非負得到1-3x+2的范圍,結合指數函數的性質求出x及y的范圍,即
得函數的定義域和值域.
(2)求出x2-2x-3的取值范圍,利用指數函數的性質求值域.
(3)令2x=t(t>0),通過換元轉化為二次函數,求值域.
(4)由ax>0知ax+1>0恒成立,從而得定義域為R,利用換元法或反表示法求值域.
解析 (1)由題意,得1-3x+2≥0,解得x≤-2,∴函數的定義域為(-∞,-2],又3x+2>0,
∴0≤1-3x+2<1,∴0≤y<1,
∴函數的值域為[0,1).
(2)由題意知函數y= 的定義域為R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴ ≤ =16,
又 >0,∴函數y= 的值域為(0,16].
(3)函數的定義域為R.
令2x=t(t>0),則y=4x+2×2x+1=t2+2t+1=(t+1)2.
∵t>0,∴y>1,∴函數的值域為(1,+∞).
(4)由ax>0知ax+1>0恒成立,∴函數的定義域為R.
解法一:設ax=t,則t∈(0,+∞),y= =1- .∵t>0,∴t+1>1,∴0< <1,
∴-2< <0,∴-1<1- <1,∴-1∴函數的值域為(-1,1).
解法二:由y= (a>0且a≠1),得ax=- .∵ax>0,∴- >0,解得-1∴函數的值域為(-1,1).
1.形如y=af(x)(a>0,a≠1)的函數的單調性的判斷方法
(1)當a>1時,函數u=f(x)的單調遞增(減)區間即為函數y=af(x)的單調遞增(減)區間;
(2)當02.形如y=f(ax)(a>0,a≠1)的函數的單調性的判斷方法
　　通過內層函數u=ax的值域確定外層函數y=f(u)的定義域,在此定義域內討論外層函數的
單調區間,再根據復合函數“同增異減”的規律確定復合函數的單調性.
定點 4 與指數函數有關的函數的單調性
求下列函數的單調區間:
(1)y= ;
(2)y= ;
(3)y= -8 +17.
典例
思路點撥 先換元,再利用復合函數“同增異減”的規律求解.
解析 (1)令u= (x≠2),則y= .
易知u= 在(-∞,2)和(2,+∞)上單調遞增,
又y= 在定義域上單調遞減,
所以函數y= 的單調遞減區間為(-∞,2)和(2,+∞),無單調遞增區間.
(2)令u=-x2-2x+3,則y=2u.
由二次函數的性質可知,函數u=-(x+1)2+4在(-∞,-1]上單調遞增,在[-1,+∞)上單調遞減,
又y=2u在定義域上單調遞增,
所以函數y= 的單調遞增區間為(-∞,-1],單調遞減區間為[-1,+∞).
(3)設u= ,則y=u2-8u+17(u>0),根據二次函數的性質知,該函數在(0,4]上單調遞減,在[4,+∞)
上單調遞增.
令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8 +17的單調遞增區間是[-2,+∞).
令 ≥4,得x≤-2,∴y= -8 +17的單調遞減區間是(-∞,-2].
易錯警示 由y=f(u)及u=g(x)的單調性來解決函數y=f(g(x))的單調性問題時,應將y=f(u)的中
間變量u的取值范圍轉化為x的取值范圍,進而得到函數y=f(g(x))的單調區間,解題時注意不要
將中間變量u的取值范圍作為函數y=f(g(x))的單調區間.6.2　指數函數
基礎過關練
題組一　指數函數的概念及其應用
1.(多選題)下列函數中,是指數函數的是(　　)
A.y=(-3)x
B.y=(2m-1)x
C.y=0.19x
D.y=2·3x
2.指數函數y=f(x)的圖象過點(2,4),則f(3)的值為(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.1
3.函數y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指數函數,則(　　)
A.a=2或a=3　　　　B.a=3 C.a=2　　　　D.a>2,且a≠3
題組二　指數(型)函數的圖象
4.已知函數y=的圖象與指數函數y=ax的圖象關于y軸對稱,則實數a的值是(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
5.已知函數f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點M(m,n),則函數g(x)=n-mx的圖象不經過(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(教材習題改編)函數f(x)=·2x的圖象大致是　　(　　)
　　　　
　　　　
7.已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,則在同一平面直角坐標系內,它們的圖象大致為(　　)
8.已知函數f(x)=+2-1(a>0,且a≠1)的圖象過定點P,且點P在冪函數h(x)=xa的圖象上,則a=　　　　.
題組三　指數(型)函數的性質
9.“a3>b3”是“2a+1>2b-2”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
10.(教材習題改編)設a=,b=1.5-0.2,c=0.80.2,則　　(　　)
A.aC.b11.若函數y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值的差為,則a的值為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.或2　　　　D.或
12.函數f(x)=+的定義域為　　　　.
13.已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時, f(x)=2x-a·2-x,當x<0時, f(x)=　　　　.
14.已知函數f(x)=則不等式f(x)≤2的解集為　　　　.
15.已知f(x)是定義在R上的奇函數,且當x<0時,f(x)=2x.
(1)求f(0);
(2)當x>0時,求函數f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)+f(a)<0,求實數a的取值范圍.
16.已知實數a>0,定義域為R的函數f(x)=+是偶函數.
(1)求實數a的值;
(2)判斷函數f(x)在(0,+∞)上的單調性并用定義證明;
(3)是否存在實數m,使得對任意的t∈R,不等式f(t-2)題組四　指數(型)函數的實際應用
17.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規律來描述:設物體的初始溫度是T0　℃,經過一段時間t min后的溫度是T ℃,則T-Tα=(T0-Tα)·,其中Tα(單位:℃)表示環境溫度,h稱為半衰期.現有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡,放在24 ℃的房間中,如果咖啡降溫到40 ℃需要20 min,那么降溫到32 ℃,需要的時長為(　　)
A.25 min　　　　B.30 min C.35 min　　　　D.40 min
18.某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時間x(小時)變化的規律近似滿足f(x)=《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定:駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫升,則該駕駛員至少要過　　　　小時才能開車.(精確到1小時)
能力提升練
題組一　指數(型)函數的圖象及應用
1.“a>1”是“函數f(x)=ax-a(a>0且a≠1)的圖象經過第三象限”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.函數f(x)=的圖象大致為(　　)
　　　　
　　　　
3.若直線y=3a與函數y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點,則實數a的值可以是(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.已知函數f(x)=若實數a,b,c滿足aA.(4,8)　　　　B.(4,16)
C.(8,32)　　　　D.(16,32)
題組二　指數(型)函數的性質及應用
5.已知函數f(x)=滿足對任意x1≠x2,都有<0成立,則a的取值范圍是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(2,+∞)
C.　　　　D.
6.設函數f(x)滿足f(2x)=x2-2ax+a2-2,且f(x)在[2a-1,]上的值域為[-2,-1],則實數a的取值范圍是(　　)
A.[-,0)∪(0,]　　　　
B.[-,-1]∪[1,]
C.[-2,0)∪(0,2]
D.[-2,-1]∪[1,2]
7.(多選題)已知函數f(x)=a+b(a,b∈R),則下列結論正確的是(　　)
A.存在實數a,b使得函數f(x)既是奇函數又是偶函數
B.若函數f(x)的圖象經過原點,且無限接近于直線y=2,則b=2
C.若函數f(x)在區間[0,π]上單調遞減,則a>0
D.當a∈[-1,1]時,若 x∈[-1,1],函數f(x)≤1恒成立,則b的取值范圍為b<1
8.(多選題)對于函數f(x)和f(-x),若兩函數在區間[m,n]上的單調性相同,則把區間[m,n]叫作f(x)的“穩定區間”,已知區間[1,2 020]為函數f(x)=的“穩定區間”,則實數a的可能取值是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.0　　　　D.
9.已知函數f(x)=x2-2x+3,g(x)=f(2x)+2m,若 x1∈[2,4], x2∈[-1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實數m的取值范圍為　　　　.
10.已知函數f(x)=,其中m∈R.
(1)當f(x)為偶函數時,求實數m的值;
(2)在(1)的條件下,若函數g(x)=f(x)+k()x-1,x∈[-2,0],是否存在實數k,使得g(x)的最小值為0 若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
11.已知函數f(x)=1+為定義域內的奇函數.
(1)求實數a的值;
(2)設函數g(x)=,若對任意的x1∈[3,+∞),總存在x2∈(-∞,2],使得[f(x1)-1]答案與分層梯度式解析
6.2　指數函數
基礎過關練
1.BC　指數函數的形式為y=ax,a>0,且a≠1易錯點,顯然A、D不符合,C符合;對于B,因為m>,且m≠1,所以2m-1>0且2m-1≠1,故B符合.故選BC.
解題模板　判定一個函數是指數函數的依據:①形如y=ax的函數,ax的系數必須是1;②底數a滿足a>0,且a≠1;③自變量為x,而不是a,且自變量的取值范圍為R.
2.B　設指數函數的解析式為f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由函數y=f(x)的圖象過點(2,4),得a2=4,
所以a=2或a=-2(舍去),即f(x)=2x,
所以f(3)=23=8,故選B.
3.B　由指數函數的概念,得a2-5a+7=1且6-2a=0,解得a=3.故選B.
4.C　由題意得與a互為倒數,即=1,解得a=4.
5.C　∵f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,
∴g(x)為減函數,且其圖象過點(0,1),(1,0),如圖所示,
∴函數g(x)的圖象不經過第三象限.故選C.
6.B　f(x)=·2x=易得函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,此時函數值大于1;函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,此時函數值大于-1且小于0,
結合所給選項,只有B項滿足條件.故選B.
7.A　y2=3x與y4=10x是增函數,y1=與y3=10-x=是減函數,在第一象限內作直線x=1(圖略),該直線與四條曲線交點的縱坐標的大小對應各底數的大小,故選A.
8.答案　3
解析　函數f(x)=+2-1中,令x-=0,解得x=,則f()=1+2-1=2,
所以函數f(x)的圖象過定點P(,2).
因為點P在冪函數h(x)=xa的圖象上,
所以()a=2,解得a=3.
9.A　根據2a+1>2b-2及y=2x在定義域上單調遞增,得a+1>b-2,即a>b-3,
因為a3>b3 a>b,所以a>b a>b-3,a>b-3 / a>b,
所以“a3>b3”是“2a+1>2b-2”的充分不必要條件.
故選A.
10.D　b=1.5-0.2==,
因為y=在R上單調遞減,0.2<,
所以>,所以b>a,
因為y=x0.2在(0,+∞)上單調遞增,0.8>,
所以0.80.2>,所以c>b,故a11.D　當0當a>1時,y=ax在[1,2]上單調遞增,所以a2-a=,解得a=或a=0(舍去).
綜上,a=或a=.故選D.
12.答案　(1,2]
解析　因為函數f(x)=+,
所以解得1所以函數f(x)的定義域為(1,2].
13.答案　2x-2-x
解析　因為函數f(x)是定義在R上的奇函數,
所以f(0)=20-a·20=0,解得a=1.
令x<0,則-x>0,所以f(-x)=2-x-2x,
又f(x)為奇函數,所以f(x)=-f(-x)=2x-2-x,
所以當x<0時, f(x)=2x-2-x.
14.答案　[-1,3]
解析　當x≤0時,∵f(x)≤2,∴≤,解得x≥-1,則-1≤x≤0;
當x>0時,∵f(x)≤2,∴|x-1|≤2,即-2≤x-1≤2,解得-1≤x≤3,則0綜上,不等式f(x)≤2的解集為[-1,3].
15.解析　(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數,
所以f(-x)=-f(x),令x=0,得f(0)=-f(0),
所以f(0)=0.
(2)設x>0,則-x<0,所以f(-x)=2-x,
又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2-x,
所以當x>0時, f(x)=-2-x.
(3)由(1)和(2),得f(x)=作出其圖象如圖所示:
因為函數f(x)為奇函數,所以不等式f(a-1)+f(a)<0等價于f(a-1)由圖可知, f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上單調遞增,所以a-1<-a<0或016.解析　(1)由題意得f(-x)=f(x)恒成立,即+=+恒成立,故(3x-3-x)=0恒成立.
因為3x-3-x不可能恒為0,
所以當-a=0時,f(-x)=f(x)恒成立,
又a>0,所以a=1.
(2)函數f(x)=3x+在(0,+∞)上單調遞增.
證明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=-=(-)+=.
因為01,>1,
所以<0,
即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函數f(x)=3x+在(0,+∞)上單調遞增.
(3)不存在.理由如下:
由(2)知函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,而函數f(x)是偶函數,則函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減.若存在實數m,使得對任意的t∈R,不等式f(t-2)0對任意的t∈R恒成立,則Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,得到(m-4)2<0,此不等式無解,所以不存在實數m,使得對任意的t∈R,不等式f(t-2)17.B　由題得T-24=(88-24)×=64×,將T=40,t=20代入,得40-24=64×,解得h=10,所以T-24=64×,當T=32時,t=30.故選B.
18.答案　4
解析　當0≤x≤1時,≤5x-2≤,與題意不符.
當x>1時,由f(x)≤0.02,得×≤0.02,即31-x≤0.1,當x=3時,3-2=>0.1,當x=4時,3-3=<0.1,所以該駕駛員至少要過4小時才能開車.
能力提升練
1.C　當a>1時, f(0)=1-a<0,再結合指數函數y=ax(a>1)的圖象可知f(x)的圖象經過第一、三、四象限,充分性成立;
要想f(x)的圖象經過第三象限,則f(0)=1-a<0,
所以a>1,必要性成立.故選C.
2.D　由3-3|x|≠0,得|x|≠1,即x≠±1,所以該函數的定義域為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),關于原點對稱,
因為f(-x)===f(x),
所以該函數是偶函數,其圖象關于y軸對稱,排除選項A,C;
當x>1時,3-3|x|=3-3x<0,則f(x)<0,排除選項B.
故選D.
3.C　當0圖1
由圖1可得0<3a<1,∴0當a>1時,y=|ax-1|的圖象如圖2所示.
圖2
由圖2可得0<3a<1,∴01矛盾.
綜上,實數a的取值范圍為.結合選項知選C.
4.D　作出函數y=f(x)的圖象,如圖,
當x<0時, f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0,1),
由圖可知, f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),即4-c∈(0,1),得3由f(a)=f(b),得|2a-1|=|2b-1|,可得1-2a=2b-1,即2a+2b=2,
∴2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16,32).故選D.
5.C　∵f(x)滿足對任意x1≠x2,都有 <0成立,∴f(x)在R上是減函數,
∴解得0∴a的取值范圍是.故選C.
6.B　f(2x)=x2-2ax+a2-2=(x-a)2-2在[2a-1,]上的值域為[-2,-1],等價于g(x)=(x-a)2-2在[a-1,a2+a-1]上的值域為[-2,-1],
易得g(x)的圖象開口向上,其對稱軸為直線x=a,g(a-1)=g(a+1)=-1,g(a)=-2,作出函數g(x)的圖象如圖所示,
由圖象可知,a≤a2+a-1≤a+1,解得-≤a≤-1或1≤a≤,所以實數a的取值范圍為[-,-1]∪[1,].故選B.
7.ABC　A中,當a=b=0時, f(x)=0(x∈R),此時f(x)既是奇函數又是偶函數,故A正確.
B中,易知y=為偶函數,在區間[0,+∞)上單調遞減,其圖象過點(0,1),且無限接近于x軸,若函數y=a+b的圖象經過原點,且無限接近于直線y=2,則a=-2,b=2,故B正確.
C中,因為y=為偶函數,在區間[0,+∞)上單調遞減,故若函數f(x)=a+b在區間[0,π]上單調遞減,則a>0,故C正確.
D中,當a∈(0,1]時, x∈[-1,1],有+b≤f(x)≤a+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,則a+b≤1,即b≤1-a,而0≤1-a<1,故b≤0;
當a=0時, f(x)=b,若 x∈[-1,1], f(x)≤1恒成立,則b≤1;
當a∈[-1,0)時, x∈[-1,1],有a+b≤f(x)≤+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,則+b≤1,即b≤1-,而1<1-≤,故b≤1.
綜上,b的取值范圍為b≤0.故D錯誤.
故選ABC.
8.AB　由題意得f(x)=與f(-x)=|2x+a|在區間[1,2 020]上同時單調遞增或同時單調遞減.
若同時單調遞增,則在x∈[1,2 020]上恒成立,可得所以-2≤a≤-;
若同時單調遞減,則在x∈[1,2 020]上恒成立,可得該不等式組無解.
綜上,-2≤a≤-.結合選項知選AB.
9.答案　
解析　因為 x1∈[2,4], x2∈[-1,2],使得f(x1)≥g(x2),所以f(x)在[2,4]上的最小值大于或等于g(x)在[-1,2]上的最小值.
f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,故f(x)在(1,+∞)上單調遞增,所以在[2,4]上,f(x)min=f(2)=3.
令t=2x,-1≤x≤2,則t∈,y=t2-2t+3+2m,易知該函數在上單調遞減,在(1,4]上單調遞增,所以當t=1時,函數取得最小值,為2+2m,即在[-1,2]上,g(x)min=2+2m.
所以3≥2+2m,解得m≤,則實數m的取值范圍為.
10.解析　(1)因為函數f(x)為偶函數,所以f(x)=f(-x),即|x-m|=|-x-m|,解得m=0.
經檢驗,m=0符合題意,故m=0.
(2)由(1)得f(x)=,所以g(x)=+k·()x-1=[()x]2+k·()x-1,x∈[-2,0].
令t=()x,x∈[-2,0],則t∈,設h(t)=t2+kt-1=--1.
當-<,即k>-時,h(t)在上單調遞增,所以+k-1=0,解得k=,符合題意;
當≤-≤1,即-2≤k≤-時,--1=0,無解;
當->1,即k<-2時,h(t)在上單調遞減,所以1+k-1=0,解得k=0,不符合題意.
綜上,當k=時,g(x)的最小值為0.
11.解析　(1)易知函數f(x)的定義域為{x|x≠0}.因為函數f(x)為奇函數,所以f(x)+f(-x)=0,即1++1+=0,解得a=2.
(2)由(1)知, f(x)=1+.當x≥3時,2x≥8,故2x-1≥7,即0<≤,則f(x)=1+∈,又因為g(x)=>0恒成立,
所以當m<0時,[f(x)-1]當m>0時,[f(x)-1]∈,
當m≥2時,根據復合函數的單調性可得,y=在(-∞,2]上單調遞增,故當x∈(-∞,2]時,∈(0,34m-13],所以34m-13>,
令h(m)=34m-13-,因為y=34m-13,y=-在[2,+∞)上均單調遞增,
所以h(m)在[2,+∞)上單調遞增,
又h(3)=0,所以m>3,
當0,
令t(m)=-,
因為y=,y=-在(0,2)上均單調遞增,
所以t(m)=-在(0,2)上單調遞增,
當m=2時,y=3-5-<0,故-<0在(0,2)上恒成立,
故>在(0,2)上無解,即0綜上所述,實數m的取值范圍為(-∞,0)∪(3,+∞).
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