資源簡介

培優課　不等式恒成立、能成立問題
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為全體實數的條件是（　　）
A. B.
C. D.
2.對于任意實數x，不等式x2＋4x－1＞m恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）
A.（－∞，－4） B.（－∞，－5）
C.（－∞，－4] D.（－∞，－5]
3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集為空集，則a的取值范圍是（　　）
A.{a｜a≤－4或a≥4}
B.{a｜－4＜a＜4}
C.{a｜－4≤a≤4}
D.{a｜a＜－4或a＞4}
4.已知對 x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，則m的取值范圍為（　　）
A.（－∞，） B.（0，）
C.（0，） D.（，＋∞）
5.已知關于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，則實數a的取值范圍為（　　）
A.{a｜－1≤a≤4}
B.{a｜－1＜a＜4}
C.{a｜a≥4或a≤－1}
D.{a｜－4≤a≤1}
6.（多選）不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一個必要不充分條件是（　　）
A.a＜1 B.a≤1
C.a＜2 D.a＜0
7.（多選）若不等式≥m對任意實數x恒成立，則正整數m的值可能為（　　）
A.3 B.4
C.1 D.2
8.若對任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a為常數），則a的取值范圍為　　　　.
9.（2024·鹽城大豐南陽中學期中）若命題“ x0∈R，＋2mx0＋m＋2＜0”為假命題，則m的取值范圍是　　　　.
10.若關于x的不等式x2－4x－2－a≥0在x∈{x｜1≤x≤4}上有解，則實數a的取值范圍是　　　　.
11.（2024·無錫月考）在R上定義運算：x y＝x（1－y），若 x∈R使得（x－a） （x＋a）＞1成立，則實數a的取值范圍是　　　　.
12.關于x的不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集為R，求實數a的取值范圍.
13.已知函數y＝ax2－x－（a＞0），且當x＝時，y≥－.是否存在實數a，使得y的最小值的最大值是－1？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
培優課　不等式恒成立、能成立問題
1.D　一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為全體實數等價于二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象全部在x軸下方，需要開口向下，且與x軸無交點，故需要故選D.
2.B　由題意可知，不等式x2＋4x－1－m＞0對任意的x∈R恒成立，則Δ＝16＋4（m＋1）＝4m＋20＜0，解得m＜－5.因此，實數m的取值范圍是（－∞，－5）.故選B.
3.C　由題意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.故選C.
4.A　由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1，因為x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0，所以m（x2－x）＜1可化為m＜，當2≤x≤3時，因為x2－x＝（x－）2－∈[2，6]，所以≥，所以m＜.即m的取值范圍為（－∞，）.
5.A　由題意知，－（x－2）2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即（a－4）·（a＋1）≤0，∴－1≤a≤4.故選A.
6.BC　因為ax2－2x＋1＜0的解集非空，顯然當a≤0時恒成立，又由解得0＜a＜1，綜上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要條件為a＜1.由選項知a＜1的一個必要不充分條件為B、C.
7.CD　因為x2＋x＋1＞0對于任意實數x恒成立，所以不等式≥m可化為3x2＋2x＋2≥m（x2＋x＋1），即（3－m）x2＋（2－m）x＋2－m≥0.當m＝3時，不等式化為x＋1≤0，不符合題意.當m≠3時，依題意，得整理得解得所以m≤2.又m∈N*，所以m＝1或2，故選C、D.
8.（－∞，－3]　解析：法一　令y＝x2－2x＋a，則由題意，得解得a≤－3.
法二　當－1≤x≤2時，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等價于a≤－x2＋2x恒成立，則由題意，得a≤（－x2＋2x）min（－1≤x≤2）.而－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，則當x＝－1時，（－x2＋2x）min＝－3，所以a≤－3.
9.[－1，2]　解析：命題“ x0∈R，＋2mx0＋m＋2＜0”的否定為“ x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”，該命題為真命題，即Δ＝4m2－4（m＋2）≤0，解得－1≤m≤2.
10.{a｜a≤－2}　解析：由x2－4x－2－a≥0，得a≤x2－4x－2＝（x－2）2－6，所以當1≤x≤4時，（x－2）2－6∈[－6，－2]，所以a≤－2.
11.　解析：由題意知（x－a） （x＋a）＝（x－a）[1－（x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a＝－（x－）2＋a2－a＋，若 x∈R，使得不等式（x－a） （x＋a）＞1成立，則需函數y＝－（x－）2＋a2－a＋的最大值大于1，即當x＝時，y＝a2－a＋＞1成立，解得a＜－或a＞.
12.解：當a2－1＝0時，a＝1或a＝－1，
若a＝1，不等式為－1≤0恒成立，符合題意，
若a＝－1，不等式為2x－1≤0，解得x≤，不符合題意；
當a2－1≠0時，若要不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集為R，
則a2－1＜0，且Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）≤0，解得－≤a＜1，
綜上可得－≤a≤1，即實數a的取值范圍是{a｜－≤a≤1}.
13.解：因為y＝ax2－x－＝a（x－）2－（＋），a＞0，所以ymin＝－－，由－－≤－1，解得0＜a≤，由x＝時，y≥－，得－－≥－，解得a≥，所以a＝.
2 / 2培優課　不等式恒成立、能成立問題
題型一 在R上的恒成立問題
【例1】　（1）已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍.
通性通法
　　一元二次不等式在R上的恒成立問題轉化為一元二次不等式解集為R的情況，即
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立
提醒　若題目中未強調是一元二次不等式，且二次項系數含參，則一定要討論二次項系數是否為0.【跟蹤訓練】
1.對于任意實數x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4＜0恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）
A.{a｜a＜2}　　　　　B.{a｜a≤2}
C.{a｜－2＜a＜2} D.{a｜－2＜a≤2}
2.若關于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集為實數集R，則實數m的取值范圍是　　　　.
題型二 在給定區間上的恒成立問題
【例2】　（1）當1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則實數m的取值范圍為　　　　；
（2）若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈（0，2]恒成立，則a的最小值是　　　　.
通性通法
一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題
（1）當a＞0時，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數值同時小于0；當a＜0時，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數值同時大于0；
（2）通過分離參數將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題.【跟蹤訓練】
1.（2024·泰州月考）若關于x的不等式x2－4x≥m對任意x∈{x｜0≤x≤3}恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）
A.{m｜m≥－3} 　B.{m｜－3≤m≤0}
C.{m｜m≤－4} D.{m｜m≤－3或m≥0}
2.若對任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3＜0恒成立，則實數a的取值范圍是　　　　.
題型三 簡單的能成立問題
【例3】　若存在x∈R，使得≥2成立，求實數m的取值范圍.
通性通法
能成立問題的解題思路
（1）結合二次函數圖象，將問題轉化為端點值的問題解決；
（2）對一些簡單的問題，可轉化為m＞ymin或m＜ymax的形式，通過求y的最小值或最大值，求得參數的取值范圍.
【跟蹤訓練】
1.（2024·連云港贛馬中學期中）關于x的不等式x2－6－a≥0在{x｜1≤x≤4}內有解，則實數a的取值范圍是（　　）
A.{a｜a≤6} B.{a｜a≥－10}
C.{a｜a≥－6} D.{a｜a≤10}
2.（2024·南京第九中學期中）若命題“ x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”為假命題，則實數a可取的最小整數值是　　　　.
1.已知1≤x≤2，x2－ax＞0恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）
A.{a｜a≥1} B.{a｜a＞1}
C.{a｜a≤1} D.{a｜a＜1}
2.若關于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，則實數m的取值范圍是（　　）
A.{m｜m≤－2或m≥2}
B.{m｜－2≤m≤2}
C.{m｜m＜－2或m＞2}
D.{m｜－2＜m＜2}
3.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2.
（1）當a＝3時，解此不等式；
（2）若此不等式對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍.
培優課　不等式恒成立、能成立問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）當k＝0時，原不等式化為－2＜0，顯然符合題意.
當k≠0時，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立，
∴其圖象都在x軸的下方，即開口向下，且與x軸無交點.
∴解得－1＜k＜0.
綜上，實數k的取值范圍是{k｜－1＜k≤0}.
（2）原不等式可化為x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵該不等式對任意實數x恒成立，∴Δ≤0，即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴實數a的取值范圍是{a｜a≤－1或a≥4}.
跟蹤訓練
1.D　當a－2＝0，即a＝2時，－4＜0，恒成立，符合題意；當a－2≠0時，由題意知，解得－2＜a＜2，∴－2＜a≤2，故選D.
2.[－2，2]　解析：因為關于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集為實數集R，所以只需Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，即實數m的取值范圍是[－2，2].
【例2】　（1）{m｜m＜－5}　（2）－2
解析：（1）令y＝x2＋mx＋4.∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一個小于1，另一個大于2.如圖，可得∴m的取值范圍是{m｜m＜－5}.
（2）由于x∈（0，2]，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，則a≥－，x∈（0，2]時恒成立.令m＝x＋，x∈（0，2]，則m≥2＝2（當且僅當x＝1時等號成立）.∴－的最大值是－2.因此a≥－2，則a的最小值為－2.
跟蹤訓練
1.C　因為不等式x2－4x≥m對任意x∈{x｜0≤x≤3}恒成立，令y＝x2－4x，0≤x≤3，則m≤ymin，因為y＝x2－4x在x∈{x｜0≤x≤3}上的最小值為－4，故m≤－4.故選C.
2.{a｜a＜0}　解析：ax2－x－3＜0在－3≤x≤－1上恒成立，等價于a＜＝＋在－1≤≤－上恒成立，令m＝，即a＜3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立，二次函數y＝3m2＋m的對稱軸為m＝－，所以當m＝－時，y有最小值0，故a＜0.
【例3】　解：∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，∴4x＋m≥2（x2－2x＋3）能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
又y＝2x2－8x＋6＝2（x－2）2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范圍為{m｜m≥－2}.
跟蹤訓練
1.D　不等式x2－6－a≥0在{x｜1≤x≤4}內有解等價于在{x｜1≤x≤4}內，a≤（x2－6）max.當1≤x≤4時，－5≤x2－6≤10，所以a≤10.故選D.
2.－1　解析：因為命題“ x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”為假命題，所以“ x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”為真命題，則 x∈[0，3]，使得a≥x2－2x，所以a≥（x2－2x）min，因為y＝x2－2x＝（x－1）2－1，x∈[0，3]，所以當x＝1時，y＝x2－2x有最小值－1，所以a≥－1，所以實數a可取的最小整數值是－1.
隨堂檢測
1.D　因為1≤x≤2，故x＞0，故x2－ax＞0在1≤x≤2上恒成立等價于x－a＞0在1≤x≤2上恒成立，即a＜1.故選D.
2.A　∵關于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函數y＝－x2＋mx－1的圖象開口向下，∴函數圖象與x軸有交點，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故選A.
3.解：（1）當a＝3時，不等式為5x2＋4x＋2＞0.
因為5x2＋4x＋2＝0中Δ＝16－40＜0，
可知不等式的解集為R，
所以當a＝3時，不等式的解集為R.
（2）已知不等式可整理成（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0，
當a＋2＜0，即a＜－2時，不符合題意.
當a＋2＝0，即a＝－2時，也不符合題意.
當a＋2＞0，即a＞－2時，要使（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0恒成立，
則有42－4（a＋2）（a－1）＜0，解得a＞2.
綜上所述，使不等式對一切實數x恒成立的實數a的取值范圍是{a｜a＞2}.
2 / 2(共38張PPT)
培優課
不等式恒成立、能成立問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 在R上的恒成立問題
【例1】　（1）已知不等式 kx2＋2 kx －（ k ＋2）＜0恒成立，求實數 k
的取值范圍；
解：當 k ＝0時，原不等式化為－2＜0，顯然符合題意.
當 k ≠0時，令 y ＝ kx2＋2 kx －（ k ＋2），由 y ＜0恒成立，
∴其圖象都在 x 軸的下方，即開口向下，且與 x 軸無交點.
∴解得－1＜ k ＜0.
綜上，實數 k 的取值范圍是{ k ｜－1＜ k ≤0}.
（2）若不等式－ x2＋2 x ＋3≤ a2－3 a 對任意實數 x 恒成立，求實數 a
的取值范圍.
解：原不等式可化為 x2－2 x ＋ a2－3 a －3≥0，
∵該不等式對任意實數 x 恒成立，∴Δ≤0，即4－4（ a2－3 a －
3）≤0，即 a2－3 a －4≥0，
解得 a ≤－1或 a ≥4，
∴實數 a 的取值范圍是{ a ｜ a ≤－1或 a ≥4}.
通性通法
　　一元二次不等式在R上的恒成立問題轉化為一元二次不等式解集
為R的情況，即
ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立
提醒　若題目中未強調是一元二次不等式，且二次項系數含參，則一
定要討論二次項系數是否為0.
【跟蹤訓練】
1. 對于任意實數 x ，不等式（ a －2） x2－2（ a －2） x －4＜0恒成
立，則實數 a 的取值范圍為（　　）
A. { a ｜ a ＜2} B. { a ｜ a ≤2}
C. { a ｜－2＜ a ＜2} D. { a ｜－2＜ a ≤2}
解析：　當 a －2＝0，即 a ＝2時，－4＜0，恒成立，符合題意；
當 a －2≠0時，由題意知，解
得－2＜ a ＜2，∴－2＜ a ≤2，故選D.
2. 若關于 x 的一元二次不等式 x2＋ mx ＋1≥0的解集為實數集R，則實
數 m 的取值范圍是 .
解析：因為關于 x 的一元二次不等式 x2＋ mx ＋1≥0的解集為實數集
R，所以只需Δ＝ m2－4≤0，解得－2≤ m ≤2，即實數 m 的取值范
圍是[－2，2].
[－2，2]　
題型二 在給定區間上的恒成立問題
【例2】　（1）當1≤ x ≤2時，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，則實數
m 的取值范圍為 ；
{ m ｜ m ＜－5}　
解析：令 y ＝ x2＋ mx ＋4.∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立，∴ y ＝0的根一個小于1，另一個大于2.如圖，可得∴ m 的取值范圍
是{ m ｜ m ＜－5}.
（2）若不等式 x2＋ ax ＋1≥0對一切 x ∈（0，2]恒成立，則 a 的最小
值是 .
解析：由于 x ∈（0，2]，若不等式 x2＋ ax ＋1≥0恒成立，則 a
≥－ ， x ∈（0，2]時恒成立.令 m ＝ x ＋ ， x ∈（0，
2]，則 m ≥2 ＝2（當且僅當 x ＝1時等號成立）.∴－
的最大值是－2.因此 a ≥－2，則 a 的最小值為－2.
－2　
通性通法
一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題
（1）當 a ＞0時， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β時的函數值同時小于0；當 a ＜0
時， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y ＝ ax2
＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β時的函數值同時大于0；
（2）通過分離參數將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題.
【跟蹤訓練】
1. （2024·泰州月考）若關于 x 的不等式 x2－4 x ≥ m 對任意 x ∈{ x ｜
0≤ x ≤3}恒成立，則實數 m 的取值范圍是（　　）
A. { m ｜ m ≥－3} B. { m ｜－3≤ m ≤0}
C. { m ｜ m ≤－4} D. { m ｜ m ≤－3或 m ≥0}
解析：　因為不等式 x2－4 x ≥ m 對任意 x ∈{ x ｜0≤ x ≤3}恒成
立，令 y ＝ x2－4 x ，0≤ x ≤3，則 m ≤ ymin，因為 y ＝ x2－4 x 在 x
∈{ x ｜0≤ x ≤3}上的最小值為－4，故 m ≤－4.故選C.
2. 若對任意的－3≤ x ≤－1都有 ax2－ x －3＜0恒成立，則實數 a 的取
值范圍是 .
解析： ax2－ x －3＜0在－3≤ x ≤－1上恒成立，等價于 a ＜ ＝
＋ 在－1≤ ≤－ 上恒成立，令 m ＝ ，即 a ＜3 m2＋ m 在－
1≤ m ≤－ 上恒成立，二次函數 y ＝3 m2＋ m 的對稱軸為 m ＝－
，所以當 m ＝－ 時， y 有最小值0，故 a ＜0.
{ a ｜ a ＜0}　
題型三 簡單的能成立問題
【例3】　若存在 x ∈R，使得 ≥2成立，求實數 m 的取值
范圍.
解：∵ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2＞0，∴4 x ＋ m ≥2（ x2－2 x ＋3）
能成立，
∴ m ≥2 x2－8 x ＋6能成立，
又 y ＝2 x2－8 x ＋6＝2（ x －2）2－2≥－2，
∴ m ≥－2，
∴ m 的取值范圍為{ m ｜ m ≥－2}.
通性通法
能成立問題的解題思路
（1）結合二次函數圖象，將問題轉化為端點值的問題解決；
（2）對一些簡單的問題，可轉化為 m ＞ ymin或 m ＜ ymax的形式，通過
求 y 的最小值或最大值，求得參數的取值范圍.
【跟蹤訓練】
1. （2024·連云港贛馬中學期中）關于 x 的不等式 x2－6－ a ≥0在{ x ｜
1≤ x ≤4}內有解，則實數 a 的取值范圍是（　　）
A. { a ｜ a ≤6} B. { a ｜ a ≥－10}
C. { a ｜ a ≥－6} D. { a ｜ a ≤10}
解析：　不等式 x2－6－ a ≥0在{ x ｜1≤ x ≤4}內有解等價于在
{ x ｜1≤ x ≤4}內， a ≤（ x2－6）max.當1≤ x ≤4時，－5≤ x2－
6≤10，所以 a ≤10.故選D.
2. （2024·南京第九中學期中）若命題“ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ＞
0”為假命題，則實數 a 可取的最小整數值是 .
解析：因為命題“ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ＞0”為假命題，所以
“ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ≤0”為真命題，則 x ∈[0，3]，使得
a ≥ x2－2 x ，所以 a ≥（ x2－2 x ）min，因為 y ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2
－1， x ∈[0，3]，所以當 x ＝1時， y ＝ x2－2 x 有最小值－1，所以
a ≥－1，所以實數 a 可取的最小整數值是－1.
－1　
1. 已知1≤ x ≤2， x2－ ax ＞0恒成立，則實數 a 的取值范圍是（　　）
A. { a ｜ a ≥1} B. { a ｜ a ＞1}
C. { a ｜ a ≤1} D. { a ｜ a ＜1}
解析：　因為1≤ x ≤2，故 x ＞0，故 x2－ ax ＞0在1≤ x ≤2上恒成
立等價于 x － a ＞0在1≤ x ≤2上恒成立，即 a ＜1.故選D.
2. 若關于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，則實數 m 的取值范圍是
（　　）
A. { m ｜ m ≤－2或 m ≥2}
B. { m ｜－2≤ m ≤2}
C. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2}
D. { m ｜－2＜ m ＜2}
解析：　∵關于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，且函數 y ＝－
x2＋ mx －1的圖象開口向下，∴函數圖象與 x 軸有交點，∴Δ＝ m2
－4≥0，解得 m ≥2或 m ≤－2.故選A.
3. 已知不等式 ax2＋4 x ＋ a ＞1－2 x2.
（1）當 a ＝3時，解此不等式；
解：當 a ＝3時，不等式為5 x2＋4 x ＋2＞0.
因為5 x2＋4 x ＋2＝0中Δ＝16－40＜0，
可知不等式的解集為R，
所以當 a ＝3時，不等式的解集為R.
（2）若此不等式對一切實數 x 恒成立，求實數 a 的取值范圍.
解：已知不等式可整理成（ a ＋2） x2＋4 x ＋ a －1＞0，
當 a ＋2＜0，即 a ＜－2時，不符合題意.
當 a ＋2＝0，即 a ＝－2時，也不符合題意.
當 a ＋2＞0，即 a ＞－2時，要使（ a ＋2） x2＋4 x ＋ a －
1＞0恒成立，
則有42－4（ a ＋2）（ a －1）＜0，解得 a ＞2.
綜上所述，使不等式對一切實數 x 恒成立的實數 a 的取值
范圍是{ a ｜ a ＞2}.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集為全體實數的條件是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集為全體實數等價
于二次函數 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的圖象全部在 x 軸下方，需要開口向
下，且與 x 軸無交點，故需要故選D.
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2. 對于任意實數 x ，不等式 x2＋4 x －1＞ m 恒成立，則實數 m 的取值
范圍是（　　）
A. （－∞，－4） B. （－∞，－5）
C. （－∞，－4] D. （－∞，－5]
解析：　由題意可知，不等式 x2＋4 x －1－ m ＞0對任意的 x ∈R
恒成立，則Δ＝16＋4（ m ＋1）＝4 m ＋20＜0，解得 m ＜－5.因
此，實數 m 的取值范圍是（－∞，－5）.故選B.
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3. 已知不等式 x2＋ ax ＋4＜0的解集為空集，則 a 的取值范圍是（　　）
A. { a ｜ a ≤－4或 a ≥4} B. { a ｜－4＜ a ＜4}
C. { a ｜－4≤ a ≤4} D. { a ｜ a ＜－4或 a ＞4}
解析：　由題意得，Δ＝ a2－16≤0，解得－4≤ a ≤4.故選C.
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4. 已知對 x ∈{ x ｜2≤ x ≤3}，不等式 mx2－ mx －1＜0恒成立，則 m
的取值范圍為（　　）
A. （－∞， ） B. （0， ）
C. （0， ） D. （ ，＋∞）
解析：　由不等式 mx2－ mx －1＜0，得 m （ x2－ x ）＜1，因為 x
∈{ x ｜2≤ x ≤3}，所以 x2－ x ＞0，所以 m （ x2－ x ）＜1可化為 m
＜ ，當2≤ x ≤3時，因為 x2－ x ＝（ x － ）2－ ∈[2，6]，所
以 ≥ ，所以 m ＜ .即 m 的取值范圍為（－∞， ）.
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5. 已知關于 x 的不等式－ x2＋4 x ≥ a2－3 a 在R上有解，則實數 a 的取
值范圍為（　　）
A. { a ｜－1≤ a ≤4} B. { a ｜－1＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4或 a ≤－1} D. { a ｜－4≤ a ≤1}
解析：　由題意知，－（ x －2）2＋4≥ a2－3 a 在R上有解，∴ a2
－3 a ≤4，即（ a －4）（ a ＋1）≤0，∴－1≤ a ≤4.故選A.
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6. （多選）不等式 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空的一個必要不充分條件
是（　　）
A. a ＜1 B. a ≤1
C. a ＜2 D. a ＜0
解析：　因為 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空，顯然當 a ≤0時恒成
立，又由解得0＜ a ＜1，綜上， ax2－2 x ＋1＜0
的解集非空的充要條件為 a ＜1.由選項知 a ＜1的一個必要不充分條
件為B、C.
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7. （多選）若不等式 ≥ m 對任意實數 x 恒成立，則正整數 m
的值可能為（　　）
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
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解析：　因為 x2＋ x ＋1＞0對于任意實數 x 恒成立，所以不等式
≥ m 可化為3 x2＋2 x ＋2≥ m （ x2＋ x ＋1），即（3－ m ）
x2＋（2－ m ） x ＋2－ m ≥0.當 m ＝3時，不等式化為 x ＋1≤0，不
符合題意.當 m ≠3時，依題意，得
整理得
解得所以 m ≤2.又 m
∈N*，所以 m ＝1或2，故選C、D.
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8. 若對任意的－1≤ x ≤2，都有 x2－2 x ＋ a ≤0（ a 為常數），則 a 的
取值范圍為 .
解析：法一　令 y ＝ x2－2 x ＋ a ，則由題意，得
解得 a ≤－3.
（－∞，－3]　
法二　當－1≤ x ≤2時，不等式 x2－2 x ＋ a ≤0恒成立等價于 a ≤－ x2
＋2 x 恒成立，則由題意，得 a ≤（－ x2＋2 x ）min（－1≤ x ≤2）.而－
x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1，則當 x ＝－1時，（－ x2＋2 x ）min＝－3，
所以 a ≤－3.
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9. （2024·鹽城大豐南陽中學期中）若命題“ x0∈R， ＋2 mx0＋ m
＋2＜0”為假命題，則 m 的取值范圍是 .
解析：命題“ x0∈R， ＋2 mx0＋ m ＋2＜0”的否定為“ x
∈R， x2＋2 mx ＋ m ＋2≥0”，該命題為真命題，即Δ＝4 m2－4
（ m ＋2）≤0，解得－1≤ m ≤2.
[－1，2]　
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10. 若關于 x 的不等式 x2－4 x －2－ a ≥0在 x ∈{ x ｜1≤ x ≤4}上有
解，則實數 a 的取值范圍是 .
解析：由 x2－4 x －2－ a ≥0，得 a ≤ x2－4 x －2＝（ x －2）2－6，
所以當1≤ x ≤4時，（ x －2）2－6∈[－6，－2]，所以 a ≤－2.
{ a ｜ a ≤－2}　
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11. （2024·無錫月考）在R上定義運算： x y ＝ x （1－ y ），若 x
∈R使得（ x － a ） （ x ＋ a ）＞1成立，則實數 a 的取值范圍
是 .
解析：由題意知（ x － a ） （ x ＋ a ）＝（ x － a ）[1－（ x ＋
a ）]＝－ x2＋ x ＋ a2－ a ＝－（ x － ）2＋ a2－ a ＋ ，若 x ∈R，
使得不等式（ x － a ） （ x ＋ a ）＞1成立，則需函數 y ＝－（ x
－ ）2＋ a2－ a ＋ 的最大值大于1，即當 x ＝ 時， y ＝ a2－ a ＋
＞1成立，解得 a ＜－ 或 a ＞ .
　
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12. 關于 x 的不等式（ a2－1） x2－（ a －1） x －1≤0的解集為R，求
實數 a 的取值范圍.
解：當 a2－1＝0時， a ＝1或 a ＝－1，
若 a ＝1，不等式為－1≤0恒成立，符合題意，
若 a ＝－1，不等式為2 x －1≤0，解得 x ≤ ，不符合題意；
當 a2－1≠0時，若要不等式（ a2－1） x2－（ a －1） x －1≤0
的解集為R，
則 a2－1＜0，且Δ＝（ a －1）2＋4（ a2－1）≤0，解得－ ≤
a ＜1，
綜上可得－ ≤ a ≤1，即實數 a 的取值范圍是{ a ｜－ ≤ a ≤1}.
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13. 已知函數 y ＝ ax2－ x － （ a ＞0），且當 x ＝ 時， y ≥－ .是
否存在實數 a ，使得 y 的最小值的最大值是－1？若存在，求出 a
的值；若不存在，請說明理由.
解：因為 y ＝ ax2－ x － ＝ a （ x － ）2－（ ＋ ）， a ＞0，
所以 ymin＝－ － ，由－ － ≤－1，解得0＜ a ≤ ，由 x ＝
時， y ≥－ ，得 － － ≥－ ，解得 a ≥ ，所以 a ＝ .
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