資源簡介

第1課時　一元二次不等式的解法
1.不等式x（4－x）＜3的解集為（　　）
A.{x｜x＜1或x＞3} B.{x｜x＜0或x＞4}
C.{x｜1＜x＜3} D.{x｜0＜x＜4}
2.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　）
A.{x｜x＜－1}
B.
C.
D.
3.不等式≥1的解集是（　　）
A.{x｜≤x≤2} B.{x｜≤x＜2}
C.{x｜x＞2或x≤} D.{x｜x≥}
4.（2024·徐州月考）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2，3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集為（　　）
A.{x｜x＞3或x＜－2} B.{x｜x＞2或x＜－3}
C.{x｜－2＜x＜3} D.{x｜－3＜x＜2}
5.（多選）下列不等式的解集為R的有（　　）
A.x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋＞0
C.x2＋6x＋10＞0 D.2x2－3x＋4＜1
6.（多選）若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（－，2），則以下結論正確的有（　　）
A.a＜0
B.＝－1
C.cx2＋bx＋a＞0的解集為（－2，）
D.a＋2b＋3c＞0
7.不等式8x－1≥16x2的解集為　　　　.
8.若不等式－x2＋2x＞mx的解集是（0，2），則實數m的值是　　　　.
9.（2024·淮安月考）已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集內，則k的取值范圍是　　　　.
10.解下列不等式：
（1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）；
（2）0≤x2－2x－3＜5.
11.（2024·泰州月考）在R上定義運算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，則滿足x☉（x－2）＜0的實數x的取值范圍為（　　）
A.{x｜0＜x＜2}　　　　　B.{x｜－2＜x＜1}
C.{x｜x＜－2或x＞1} D.{x｜－1＜x＜2}
12.二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0，x∈R）的部分對應值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（　　）
A.R B.
C.（－∞，－2）∪（3，＋∞） D.（－2，3）
13.（多選）已知a∈Z，若關于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個整數，則a的值可以是（　　）
A.5 B.6
C.7 D.9
14.（2024·鹽城月考）已知關于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集為{x｜＜x＜}.
（1）求a，c的值；
（2）解關于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0.
15.對于實數x，當且僅當n≤x＜n＋1（n∈N*）時，[x]＝n，試求關于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集.
第1課時　一元二次不等式的解法
1.A　不等式x（4－x）＜3化為x2－4x＋3＞0，即（x－1）（x－3）＞0，解得x＜1或x＞3.故選A.
2.D　不等式－2x2＋x＋3＜0可化為2x2－x－3＞0，因為Δ＝（－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，方程2x2－x－3＝0的兩根為x1＝－1，x2＝，又二次函數y＝2x2－x－3的圖象開口向上，所以不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是x｜x＜－1或x＞，故選D.
3.B　不等式≥1，移項得－1＝≥0，即≤0，可化為（4x－3）（x－2）≤0且x－2≠0，解得≤x＜2，則原不等式的解集為{x｜≤x＜2}.故選B.
4.C　由題意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a＞0.∵a＜0，∴x2－x－6＜0，∴（x－3）（x＋2）＜0，∴－2＜x＜3.故選C.
5.AC　A中，Δ＝12－4×1＜0，滿足條件，故A正確；B中，Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不為R，故B錯誤；C中，Δ＝62－4×10＜0，滿足條件，故C正確；D中，不等式可化為2x2－3x＋3＜0，所對應的二次函數開口向上，顯然不可能，故D錯誤.故選A、C.
6.ABD　選項A中，由題意可知a＜0，故A正確；選項B中，－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，＝2×（－）＝－1，故B正確；選項C中，－＝2－＝，所以b＝－a，c＝－a，故cx2＋bx＋a＝－ax2－ax＋a＞0，解得x∈（－∞，－2）∪（，＋∞），故C錯誤；選項D中，a＋2b＋3c＝a＋2×（－a）－3a＝－5a＞0，故D正確.故選A、B、D.
7.{}　解析：原不等式等價于16x2－8x＋1≤0 （4x－1）2≤0，而只有當4x－1＝0，即x＝時不等式成立，故不等式的解集為{}.
8.1　解析：原不等式化為x2＋（m－2）x＜0，即x（x＋2m－4）＜0，故0，2是對應方程x（x＋2m－4）＝0的兩個根，代入得m＝1.
9.{k｜k≥4或k≤2}　解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集內，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
10.解：（1）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等價于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝，
結合二次函數y＝9x2－12x＋4的圖象知，原不等式的解集為{x｜x≠}.
（2）由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.
∴－2＜x≤－1或3≤x＜4.
∴原不等式的解集為{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}.
11.B　根據給出的定義得，x☉（x－2）＝x（x－2）＋2x＋（x－2）＝x2＋x－2＝（x＋2）（x－1），又x☉（x－2）＜0，則（x＋2）（x－1）＜0，故不等式的解集是{x｜－2＜x＜1}.故選B.
12.C　由題意知，二次函數圖象開口向上，當x＝－2和x＝3時，y＝0，故ax2＋bx＋c＞0的解集為（－∞，－2）∪（3，＋∞）.
13.BC　設y＝x2－6x＋a，函數圖象開口向上，且對稱軸為x＝3，因此關于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個整數時，需滿足x＝2時，y≤0，x＝1時，y＞0，即解得5＜a≤8，又因為a∈Z，所以a＝6或7或8，故選B、C.
14.解：（1）由題意知，不等式對應的方程ax2＋5x＋c＝0的兩個實數根為和，
由根與系數的關系，得解得a＝－6，c＝－1.
（2）由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化為－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以所求不等式的解集為.
15.解：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，
又當且僅當n≤x＜n＋1（n∈N*）時，[x]＝n，
所以[x]＝2，3，4，5，6，7，
所以所求不等式的解集為{x｜2≤x＜8}.
2 / 23.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
新課程標準解讀 核心素養
1.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義 數學抽象
2.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系 數學抽象、數學運算
3.能夠從實際生活和生產中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決 數學建模、數學運算
第1課時　一元二次不等式的解法
　　園藝師打算在空地上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉，柵欄的長度是24 m.
【問題】　若圍成的矩形區域的面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長要滿足什么條件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　一元二次不等式
1.定義：只含有　　　　未知數，并且未知數最高次數是　　　的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均為常數，a≠0.
提醒　對一元二次不等式的再理解：①一元：即只含一個未知數，其他元素均為常數（或參數）；②二次：即未知數的最高次數必須為2，且其系數不能為0.
【想一想】
1.不等式x2＋＞0是一元二次不等式嗎？
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎？
知識點二　二次函數與一元二次方程、不等式的解集的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有兩個相異的實數根x1，2＝　　　　　　　（x1＜x2） 有兩個相等的實數根x1＝x2＝　　　 沒有實 數根
二次函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 （－∞，x1）∪（x2，＋∞） （－∞，－）∪（－，＋∞） R
ax2＋bx＋c≥0（a＞0）的解集 （－∞，x1]∪[x2，＋∞） R R
判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 （x1，x2）
ax2＋bx＋c≤0（a＞0）的解集 [x1，x2] {x｜x＝－}
提醒　三個“二次”關系的實質：①ax2＋bx＋c＝0的解 y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標（即二次函數的零點）；②ax2＋bx＋c＞0的解集 y＝ax2＋bx＋c的圖象上的點（x，y）在x軸上方時，對應x的取值集合；③ax2＋bx＋c＜0的解集 y＝ax2＋bx＋c的圖象上的點（x，y）在x軸下方時，對應x的取值集合.
1.一元二次不等式（x＋2）（5－x）＞0的解集為（　　）
A.{x｜x＜－2或x＞5}
B.{x｜x＜－5或x＞2}
C.{x｜－2＜x＜5}
D.{x｜－5＜x＜2}
2.（多選）下列不等式是一元二次不等式的是（　　）
A.x2＋＋1＜0 B.x2＋x＜－1
C.ax2＋4x－7＞0 D.x2＜－1
3.求不等式3x2－2x＋1＞0的解集.
題型一 不含參數的一元二次不等式的解法
【例1】　（鏈接教科書第66頁例1）解下列不等式：
（1）x2－7x＋12＜0；
（2）－3x2＋6x≤2；
（3）4x2＋4x＋1＞0；
（4）2x－2＞x2.
通性通法
解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
（1）化標準：通過對不等式變形，使不等式的右側為0，使二次項系數為正；
（2）判別式：對不等式的左側進行因式分解，若不能分解，則計算對應方程的判別式；
（3）求實根：求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程無實根；
（4）畫草圖：根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖；
（5）寫解集：根據圖象寫出不等式的解集.
【跟蹤訓練】
1.（2024·連云港東海縣期中）不等式（x－1）2＜x＋5的解集為（　　）
A.{x｜1＜x＜4}　　　B.{x｜－1＜x＜4}
C.{x｜－4＜x＜1} D.{x｜－1＜x＜3}
2.解下列不等式：
（1）（2－x）（x＋3）＜0；
（2）－2＜x2－3x≤10.
題型二 “三個二次”間的關系
【例2】　（鏈接教科書第69頁習題12題）已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x｜2＜x＜3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集.
【母題探究】
　（變條件、變設問）若本例中條件改為“已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x｜2＜x＜3}”，求關于x的不等式cx2－bx＋a≥0的解集.
通性通法
　　已知以a，b，c為參數的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式解集的步驟：
（1）根據解集來判斷二次項系數的符號；
（2）根據根與系數的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；
（3）約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.【跟蹤訓練】
1.（多選）（2024·鹽城東元中學期中）已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為（－∞，－1）∪（2，＋∞），則（　　）
A.a＞0
B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2}
C.a＋b＋c＞0
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集為（－∞，－）∪（1，＋∞）
2.已知關于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為{x｜1＜x＜2}，則關于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集是　　　　　　.
題型三 簡單的分式不等式
【例3】　解下列不等式：
（1）＜0；（2）≤1.
通性通法
解分式不等式的策略
（1）對于形如＞0（＜0）的不等式可等價轉化為f（x）g（x）＞0（＜0）來解決；對于形如≥0（≤0）的不等式可等價轉化為來解決；
（2）對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分（不要去分母），使不等號右邊為零，然后再用上述方法轉化為整式不等式（組）求解.
【跟蹤訓練】
1.（2024·常州金壇區期中）＞1的解集為　　　　.
2.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，則a的值為　　　　.
1.已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集為{x｜1＜x＜2}，則a＋b＝（　　）
A.－2　　　B.2 C.－3　　　D.3
2.若0＜m＜1，則不等式（x－m）（x－）＜0的解集為　　　　.
3.不等式≥0的解集為　　　　.
4.解下列不等式：
（1）x（7－x）≥12；
（2）x2＞2（x－1）.
第1課時　一元二次不等式的解法
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.一個　2
想一想
1.提示：不是，一元二次不等式一定為整式不等式.
2.提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了.
知識點二
　　－
自我診斷
1.C　原一元二次不等式可化為（x＋2）·（x－5）＜0，解得－2＜x＜5，所以原不等式的解集為{x｜－2＜x＜5}.故選C.
2.BD　選項A中，由于x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定義，故A錯誤；選項C中，當a＝0時，不等式為一次不等式，故C錯誤；選項B和D中，x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式.故選B、D.
3.解：因為Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因為Δ＝（－7）2－4×1×12＝1＞0，
又方程x2－7x＋12＝0的解為x1＝3，x2＝4.
作出函數y＝x2－7x＋12的圖象，如圖①所示.
由圖象可得原不等式的解集為{x｜3＜x＜4}.
（2）原不等式等價于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，
解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函數y＝3x2－6x＋2的圖象，如圖②所示，
由圖象可得原不等式的解集為{x｜x≤或x≥}.
（3）因為Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有兩個相等的實根x1＝x2＝－.
作出函數y＝4x2＋4x＋1的圖象如圖③所示.
由圖象可得原不等式的解集為{x｜x≠－，x∈R}.
（4）原不等式可化為x2－2x＋2＜0.
因為Δ＝（－2）2－4×1×2＜0，函數y＝x2－2x＋2的圖象開口向上，所以函數圖象與x軸無交點，
作出函數y＝x2－2x＋2的圖象如圖④所示.
觀察圖象可得，原不等式的解集為 .
　
跟蹤訓練
1.B　不等式（x－1）2＜x＋5可化為x2－3x－4＜0，即（x－4）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜4，所以不等式的解集為{x｜－1＜x＜4}.故選B.
2.解：（1）原不等式可化為（x－2）（x＋3）＞0.
方程（x－2）（x＋3）＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.
結合二次函數y＝（x－2）（x＋3）的圖象（圖略）知，
原不等式的解集為{x｜x＜－3或x＞2}.
（2）原不等式等價于不等式組
不等式①可化為x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1.
不等式②可化為x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集為{x｜－2≤x＜1或2＜x≤5}.
【例2】　解：由題意可知a＞0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
由根與系數的關系可知－＝2＋3＝5，＝2×3＝6，則b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2＋bx＋a＞0可化為6ax2－5ax＋a＞0，即a（6x2－5x＋1）＞0，
由a＞0得，6x2－5x＋1＞0，解得x＜或x＞，
所以不等式cx2＋bx＋a＞0的解集為{x或x＞}.
母題探究
　解：由題意可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
由根與系數的關系可知－＝2＋3＝5，＝2×3＝6，則b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2－bx＋a≥0可化為6ax2＋5ax＋a≥0，即a（6x2＋5x＋1）≥0，
由a＜0得，6x2＋5x＋1≤0，解得－≤x≤－，
所以不等式cx2－bx＋a≥0的解集為{x｜－≤x≤－}.
跟蹤訓練
1.ABD　由題意知ax2＋bx＋c＝0的兩個根為－1與2，且a＞0，故A正確；由根與系數的關系知，所以不等式bx＋c＞0化簡為：－ax－2a＞0，且a＞0，解得x＜－2，故B正確；因為a＞0，則a＋b＋c＝a＋（－a）＋（－2a）＝－2a＜0，故C錯誤；不等式cx2－bx＋a＜0可化為－2ax2＋ax＋a＜0，且a＞0，即2x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞1，故D正確.故選A、B、D.
2.{x｜x＜或x＞1}　解析：由題意得，方程x2＋ax＋b＝0的兩根為1，2.由根與系數的關系得得代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0，解得x＜或x＞1.∴bx2＋ax＋1＞0的解集為{x｜x＜或x＞1}.
【例3】　解：（1）＜0 （x－3）（x＋2）＜0 －2＜x＜3，
所以原不等式的解集為{x｜－2＜x＜3}.
（2）由≤1，得－1＝≤0，即≥0.
此不等式等價于（x－4）（2x－3）≥0且2x－3≠0，解得x＜或x≥4，
所以原不等式的解集為{x｜x＜或x≥4}.
跟蹤訓練
1.{x｜－＜x＜1}　解析：由＞1，得－1＞0，即＜0，所以（x－1）·（2x＋1）＜0，解得－＜x＜1，所以原不等式的解集為{x｜－＜x＜1}.
2.5　解析：由于原不等式等價于因此結合不等式解集知a＝5.
隨堂檢測
1.A　方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為x1＝1，x2＝2，由根與系數的關系可知－＝3，＝2，解得a＝1，b＝－3，故a＋b＝－2.
2.{xm＜x＜}　解析：∵0＜m＜1，∴＞1＞m，故原不等式的解集為{xm＜x＜}.
3.{x｜－1＜x≤2}　解析：由≥0得，≤0 （x－2）（x＋1）≤0且x＋1≠0，解得－1＜x≤2.
4.解：（1）原不等式可化為x2－7x＋12≤0.
因為方程x2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4.
所以原不等式的解集為{x｜3≤x≤4}.
（2）原不等式可以化為x2－2x＋2＞0，
因為判別式Δ＝4－8＝－4＜0，
所以方程x2－2x＋2＝0無實數根，
又函數y＝x2－2x＋2的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為R.
4 / 4(共61張PPT)
3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
新課程標準解讀 核心素養
1.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，
了解一元二次不等式的現實意義 數學抽象
2.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與
相應函數、方程的聯系 數學抽象、
數學運算
3.能夠從實際生活和生產中抽象出一元二次不等式的
模型，并加以解決 數學建模、
數學運算
第1課時
一元二次不等式的解法
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
園藝師打算在空地上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉，柵欄的長
度是24 m.
【問題】　若圍成的矩形區域的面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長要滿足什么條件？
　
知識點一　一元二次不等式
1. 定義：只含有 未知數，并且未知數最高次數是 的整
式不等式叫作一元二次不等式.
2. 一般形式： ax2＋ bx ＋ c ＞0或 ax2＋ bx ＋ c ≥0或 ax2＋ bx ＋ c ＜0或
ax2＋ bx ＋ c ≤0，其中 a ， b ， c 均為常數， a ≠0.
提醒　對一元二次不等式的再理解：①一元：即只含一個未知數，
其他元素均為常數（或參數）；②二次：即未知數的最高次數必須
為2，且其系數不能為0.
一個　
2　
【想一想】
1. 不等式 x2＋ ＞0是一元二次不等式嗎？
提示：不是，一元二次不等式一定為整式不等式.
2. 一元二次不等式的一般形式中“ a ≠0”可以省略嗎？
提示：不可以，若 a ＝0，就不是二次不等式了.
知識點二　二次函數與一元二次方程、不等式的解集的對應關系
判別式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程 ax2＋ bx ＋
c ＝0（ a ＞0）
的根 有兩個相異的實
數根 x1，2
＝
　（ x1＜ x2） 有兩個相等的實
數根 x1＝ x2
＝ 沒有實數根
二次函數 y ＝
ax2＋ bx ＋ c （ a
＞0）的圖象
－ 　
判別式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋ bx ＋ c ＞0
（ a ＞0）的解集 （－∞， x1）∪
（ x2，＋∞） （－∞，－ ）∪（－ ，＋∞） R
ax2＋ bx ＋ c ≥0
（ a ＞0）的解集 （－∞， x1]∪[ x2，＋∞） R R
判別式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋ bx ＋ c ＜0
（ a ＞0）的解集 （ x1， x2）
ax2＋ bx ＋ c ≤0
（ a ＞0）的解集 [ x1， x2] { x ｜ x ＝－ }
提醒　三個“二次”關系的實質：① ax2＋ bx ＋ c ＝0的解 y ＝ ax2＋
bx ＋ c 的圖象與 x 軸交點的橫坐標（即二次函數的零點）；② ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的圖象上的點（ x ， y ）在 x 軸上方
時，對應 x 的取值集合；③ ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集 y ＝ ax2＋ bx ＋ c
的圖象上的點（ x ， y ）在 x 軸下方時，對應 x 的取值集合.
1. 一元二次不等式（ x ＋2）（5－ x ）＞0的解集為（　　）
A. { x ｜ x ＜－2或 x ＞5} B. { x ｜ x ＜－5或 x ＞2}
C. { x ｜－2＜ x ＜5} D. { x ｜－5＜ x ＜2}
解析：　原一元二次不等式可化為（ x ＋2）（ x －5）＜0，解得
－2＜ x ＜5，所以原不等式的解集為{ x ｜－2＜ x ＜5}.故選C.
2. （多選）下列不等式是一元二次不等式的是（　　）
A. x2＋ ＋1＜0 B. x2＋ x ＜－1
C. ax2＋4 x －7＞0 D. x2＜－1
解析：　選項A中，由于 x2＋ ＋1＜0不符合一元二次不等式
的定義，故A錯誤；選項C中，當 a ＝0時，不等式為一次不等式，
故C錯誤；選項B和D中， x2＋ x ＜－1， x2＋1＜0是一元二次不
等式.故選B、D.
3. 求不等式3 x2－2 x ＋1＞0的解集.
解：因為Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3 x2
－2 x ＋1＞0的解集為R.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 不含參數的一元二次不等式的解法
【例1】　（鏈接教科書第66頁例1）解下列不等式：
（1） x2－7 x ＋12＜0；
解：因為Δ＝（－7）2－4×1×12＝1＞0，
又方程 x2－7 x ＋12＝0的解為 x1＝3， x2＝4.
作出函數 y ＝ x2－7 x ＋12的圖象，如圖①所示.
由圖象可得原不等式的解集為{ x ｜3＜ x ＜4}.
解方程3 x2－6 x ＋2＝0，得 x1＝ ， x2＝ ，
作出函數 y ＝3 x2－6 x ＋2的圖象，如圖②所示，
由圖象可得原不等式的解集為{ x ｜ x ≤ 或 x ≥ }.
（2）－3 x2＋6 x ≤2；
解：原不等式等價于3 x2－6 x ＋2≥0，Δ＝12＞0，
（3）4 x2＋4 x ＋1＞0；
解：因為Δ＝0，所以方程4 x2＋4 x ＋1＝0有兩個相等的實根 x1＝
x2＝－ .
作出函數 y ＝4 x2＋4 x ＋1的圖象如圖③所示.
由圖象可得原不等式的解集為{ x ｜ x ≠－ ， x ∈R}.
（4）2 x －2＞ x2.
解：原不等式可化為 x2－2 x ＋2＜0.
因為Δ＝（－2）2－4×1×2＜0，函數 y ＝ x2－2 x ＋2的圖象開口
向上，所以函數圖象與 x 軸無交點，
作出函數 y ＝ x2－2 x ＋2的圖象如圖④所示.
觀察圖象可得，原不等式的解集為 .
通性通法
解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
（1）化標準：通過對不等式變形，使不等式的右側為0，使二次項系
數為正；
（2）判別式：對不等式的左側進行因式分解，若不能分解，則計算
對應方程的判別式；
（3）求實根：求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程
無實根；
（4）畫草圖：根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的
草圖；
（5）寫解集：根據圖象寫出不等式的解集.
【跟蹤訓練】
1. （2024·連云港東海縣期中）不等式（ x －1）2＜ x ＋5的解集為
（　　）
A. { x ｜1＜ x ＜4} B. { x ｜－1＜ x ＜4}
C. { x ｜－4＜ x ＜1} D. { x ｜－1＜ x ＜3}
解析：　不等式（ x －1）2＜ x ＋5可化為 x2－3 x －4＜0，即（ x
－4）（ x ＋1）＜0，解得－1＜ x ＜4，所以不等式的解集為{ x ｜
－1＜ x ＜4}.故選B.
2. 解下列不等式：
（1）（2－ x ）（ x ＋3）＜0；
解：原不等式可化為（ x －2）（ x ＋3）＞0.
方程（ x －2）（ x ＋3）＝0的兩根為 x1＝2， x2＝－3.
結合二次函數 y ＝（ x －2）（ x ＋3）的圖象（圖略）知，
原不等式的解集為{ x ｜ x ＜－3或 x ＞2}.
（2）－2＜ x2－3 x ≤10.
解：原不等式等價于不等式組
不等式①可化為 x2－3 x ＋2＞0，解得 x ＞2或 x ＜1.
不等式②可化為 x2－3 x －10≤0，解得－2≤ x ≤5.
故原不等式的解集為{ x ｜－2≤ x ＜1或2＜ x ≤5}.
題型二 “三個二次”間的關系
【例2】　（鏈接教科書第69頁習題12題）已知關于 x 的不等式 ax2＋
bx ＋ c ＜0的解集為{ x ｜2＜ x ＜3}，求關于 x 的不等式 cx2＋ bx ＋ a ＞0
的解集.
解：由題意可知 a ＞0，且2和3是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩根，
由根與系數的關系可知－ ＝2＋3＝5， ＝2×3＝6，則 b ＝－5 a ， c
＝6 a ，
故不等式 cx2＋ bx ＋ a ＞0可化為6 ax2－5 ax ＋ a ＞0，即 a （6 x2－5 x ＋
1）＞0，
由 a ＞0得，6 x2－5 x ＋1＞0，解得 x ＜ 或 x ＞ ，
所以不等式 cx2＋ bx ＋ a ＞0的解集為{ x 或 x ＞ }.
【母題探究】
（變條件、變設問）若本例中條件改為“已知關于 x 的不等式 ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集為{ x ｜2＜ x ＜3}”，求關于 x 的不等式 cx2－ bx ＋ a ≥0
的解集.
解：由題意可知 a ＜0，且2和3是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩根，
由根與系數的關系可知－ ＝2＋3＝5， ＝2×3＝6，則 b ＝－5 a ， c
＝6 a ，
故不等式 cx2－ bx ＋ a ≥0可化為6 ax2＋5 ax ＋ a ≥0，即 a （6 x2＋5 x ＋
1）≥0，
由 a ＜0得，6 x2＋5 x ＋1≤0，解得－ ≤ x ≤－ ，
所以不等式 cx2－ bx ＋ a ≥0的解集為{ x ｜－ ≤ x ≤－ }.
通性通法
　　已知以 a ， b ， c 為參數的不等式（如 ax2＋ bx ＋ c ＞0）的解集，
求解其他不等式解集的步驟：
（1）根據解集來判斷二次項系數的符號；
（2）根據根與系數的關系把 b ， c 用 a 表示出來并代入所要解的
不等式；
（3）約去 a ，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.
【跟蹤訓練】
1. （多選）（2024·鹽城東元中學期中）已知關于 x 的不等式 ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集為（－∞，－1）∪（2，＋∞），則（　　）
A. a ＞0
B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－2}
C. a ＋ b ＋ c ＞0
D. 不等式 cx2－ bx ＋ a ＜0的解集為（－∞，－ ）∪（1，＋∞）
解析：　由題意知 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩個根為－1與2，且 a ＞
0，故A正確；由根與系數的關系知，所以
不等式 bx ＋ c ＞0化簡為：－ ax －2 a ＞0，且 a ＞0，解
得 x ＜－2，故B正確；因為 a ＞0，則 a ＋ b ＋ c ＝ a ＋（－ a ）＋
（－2 a ）＝－2 a ＜0，故C錯誤；不等式 cx2－ bx ＋ a ＜0可化為－2
ax2＋ ax ＋ a ＜0，且 a ＞0，即2 x2－ x －1＞0，解得 x ＜－ 或 x ＞
1，故D正確.故選A、B、D.
2. 已知關于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＜0的解集為{ x ｜1＜ x ＜2}，則關
于 x 的不等式 bx2＋ ax ＋1＞0的解集是 .
解析：由題意得，方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的兩根為1，2.由根與系數的
關系得得代入所求不等式，得2 x2－3 x ＋
1＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1.∴ bx2＋ ax ＋1＞0的解集為{ x ｜ x ＜ 或 x
＞1}.
{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}　
題型三 簡單的分式不等式
【例3】　解下列不等式：
（1） ＜0；
解： ＜0 （ x －3）（ x ＋2）＜0 －2＜ x ＜3，
所以原不等式的解集為{ x ｜－2＜ x ＜3}.
（2） ≤1.
解：由 ≤1，得 －1＝ ≤0，即 ≥0.
此不等式等價于（ x －4）（2 x －3）≥0且2 x －3≠0，解得 x ＜
或 x ≥4，
所以原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ 或 x ≥4}.
通性通法
解分式不等式的策略
（1）對于形如 ＞0（＜0）的不等式可等價轉化為 f （ x ） g
（ x ）＞0（＜0）來解決；對于形如 ≥0（≤0）的不等
式可等價轉化為來解決；
（2）對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分
（不要去分母），使不等號右邊為零，然后再用上述方法轉化
為整式不等式（組）求解.
【跟蹤訓練】
1. （2024·常州金壇區期中） ＞1的解集為 　{ x ｜－ ＜ x ＜1}　.
解析：由 ＞1，得 －1＞0，即 ＜0，所以（ x －1）（2
x ＋1）＜0，解得－ ＜ x ＜1，所以原不等式的解集為{ x ｜－ ＜ x
＜1}.
{ x ｜－ ＜ x ＜1}　
2. 不等式 ≥0的解集是{ x ｜－1≤ x ＜5}，則 a 的值為 .
解析：由于原不等式等價于因此結合不等
式解集知 a ＝5.
5　
1. 已知不等式 ax2＋ bx ＋2＜0的解集為{ x ｜1＜ x ＜2}，則 a ＋ b ＝
（　　）
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
解析：　方程 ax2＋ bx ＋2＝0的兩根為 x1＝1， x2＝2，由根與
系數的關系可知－ ＝3， ＝2，解得 a ＝1， b ＝－3，故 a ＋
b ＝－2.
2. 若0＜ m ＜1，則不等式（ x － m ）（ x － ）＜0的解集為
.
解析：∵0＜ m ＜1，∴ ＞1＞ m ，故原不等式的解集為{ x ｜ m ＜
x ＜ }.
3. 不等式 ≥0的解集為 .
解析：由 ≥0得， ≤0 （ x －2）（ x ＋1）≤0且 x ＋1≠0，
解得－1＜ x ≤2.
{ x ｜ m
＜ x ＜ }　
{ x ｜－1＜ x ≤2}　
4. 解下列不等式：
（1） x （7－ x ）≥12；
解：原不等式可化為 x2－7 x ＋12≤0.
因為方程 x2－7 x ＋12＝0的兩根為 x1＝3， x2＝4.
所以原不等式的解集為{ x ｜3≤ x ≤4}.
（2） x2＞2（ x －1）.
解：原不等式可以化為 x2－2 x ＋2＞0，
因為判別式Δ＝4－8＝－4＜0，
所以方程 x2－2 x ＋2＝0無實數根，
又函數 y ＝ x2－2 x ＋2的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為R.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 不等式 x （4－ x ）＜3的解集為（　　）
A. { x ｜ x ＜1或 x ＞3} B. { x ｜ x ＜0或 x ＞4}
C. { x ｜1＜ x ＜3} D. { x ｜0＜ x ＜4}
解析：　不等式 x （4－ x ）＜3化為 x2－4 x ＋3＞0，即（ x －1）
（ x －3）＞0，解得 x ＜1或 x ＞3.故選A.
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2. 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（　　）
A. { x ｜ x ＜－1} B.
C. D.
解析：　不等式－2 x2＋ x ＋3＜0可化為2 x2－ x －3＞0，因為Δ＝
（－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，方程2 x2－ x －3＝0的兩根為 x1
＝－1， x2＝ ，又二次函數 y ＝2 x2－ x －3的圖象開口向上，所以
不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是 ，故選D.
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3. 不等式 ≥1的解集是（　　）
A. { x ｜ ≤ x ≤2} B. { x ｜ ≤ x ＜2}
C. { x ｜ x ＞2或 x ≤ } D. { x ｜ x ≥ }
解析：　不等式 ≥1，移項得 －1＝ ≥0，即
≤0，可化為（4 x －3）（ x －2）≤0且 x －2≠0，解得 ≤ x ＜2，
則原不等式的解集為{ x ｜ ≤ x ＜2}.故選B.
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4. （2024·徐州月考）一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩根為－2，
3， a ＜0，那么 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集為（　　）
A. { x ｜ x ＞3或 x ＜－2} B. { x ｜ x ＞2或 x ＜－3}
C. { x ｜－2＜ x ＜3} D. { x ｜－3＜ x ＜2}
解析：　由題意知，－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，∴ b ＝－ a ， c
＝－6 a ，∴ ax2＋ bx ＋ c ＝ ax2－ ax －6 a ＞0.∵ a ＜0，∴ x2－ x －6
＜0，∴（ x －3）（ x ＋2）＜0，∴－2＜ x ＜3.故選C.
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5. （多選）下列不等式的解集為R的有（　　）
A. x2＋ x ＋1≥0 B. x2－2 x ＋ ＞0
C. x2＋6 x ＋10＞0 D. 2 x2－3 x ＋4＜1
解析：　A中，Δ＝12－4×1＜0，滿足條件，故A正確；B中，Δ
＝（－2 ）2－4× ＞0，解集不為R，故B錯誤；C中，Δ＝62
－4×10＜0，滿足條件，故C正確；D中，不等式可化為2 x2－3 x ＋
3＜0，所對應的二次函數開口向上，顯然不可能，故D錯誤.故選
A、C.
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6. （多選）若不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是（－ ，2），則以下結
論正確的有（　　）
A. a ＜0
B. ＝－1
C. cx2＋ bx ＋ a ＞0的解集為（－2， ）
D. a ＋2 b ＋3 c ＞0
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解析：　選項A中，由題意可知 a ＜0，故A正確；選項B中，
－ ，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的兩個根， ＝2×（－ ）＝－1，
故B正確；選項C中，－ ＝2－ ＝ ，所以 b ＝－ a ， c ＝－ a ，
故 cx2＋ bx ＋ a ＝－ ax2－ ax ＋ a ＞0，解得 x ∈（－∞，－2）∪
（ ，＋∞），故C錯誤；選項D中， a ＋2 b ＋3 c ＝ a ＋2×（－
a ）－3 a ＝－5 a ＞0，故D正確.故選A、B、D.
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7. 不等式8 x －1≥16 x2的解集為 .
解析：原不等式等價于16 x2－8 x ＋1≤0 （4 x －1）2≤0，而只有
當4 x －1＝0，即 x ＝ 時不等式成立，故不等式的解集為{ }.
{ }　
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8. 若不等式－ x2＋2 x ＞ mx 的解集是（0，2），則實數 m 的值是 .
解析：原不等式化為 x2＋（ m －2） x ＜0，即 x （ x ＋2 m －
4）＜0，故0，2是對應方程 x （ x ＋2 m －4）＝0的兩個根，代
入得 m ＝1.
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9. （2024·淮安月考）已知 x ＝1在不等式 k2 x2－6 kx ＋8≥0的解集內，
則 k 的取值范圍是 .
解析： x ＝1在不等式 k2 x2－6 kx ＋8≥0的解集內，把 x ＝1代入不等
式得 k2－6 k ＋8≥0，解得 k ≥4或 k ≤2.
{ k ｜ k ≥4或 k ≤2}　
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10. 解下列不等式：
（1）4（2 x2－2 x ＋1）＞ x （4－ x ）；
解：由原不等式得8 x2－8 x ＋4＞4 x － x2.
∴原不等式等價于9 x2－12 x ＋4＞0.
解方程9 x2－12 x ＋4＝0，得 x1＝ x2＝ ，
結合二次函數 y ＝9 x2－12 x ＋4的圖象知，原不等式的解集
為{ x ｜ x ≠ }.
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（2）0≤ x2－2 x －3＜5.
解：由 x2－2 x －3≥0得 x ≤－1或 x ≥3；
由 x2－2 x －3＜5得－2＜ x ＜4.
∴－2＜ x ≤－1或3≤ x ＜4.
∴原不等式的解集為{ x ｜－2＜ x ≤－1或3≤ x ＜4}.
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11. （2024·泰州月考）在R上定義運算“☉”： a ☉ b ＝ ab ＋2 a ＋ b ，
則滿足 x ☉（ x －2）＜0的實數 x 的取值范圍為（　　）
A. { x ｜0＜ x ＜2} B. { x ｜－2＜ x ＜1}
C. { x ｜ x ＜－2或 x ＞1} D. { x ｜－1＜ x ＜2}
解析：　根據給出的定義得， x ☉（ x －2）＝ x （ x －2）＋2 x ＋
（ x －2）＝ x2＋ x －2＝（ x ＋2）（ x －1），又 x ☉（ x －2）＜
0，則（ x ＋2）（ x －1）＜0，故不等式的解集是{ x ｜－2＜ x ＜
1}.故選B.
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12. 二次函數 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0， x ∈R）的部分對應值如
下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
則不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是（　　）
A. R B.
C. （－∞，－2）∪（3，＋∞） D. （－2，3）
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解析：　由題意知，二次函數圖象開口向上，當 x ＝－2和 x ＝3
時， y ＝0，故 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集為（－∞，－2）∪（3，＋∞）.
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13. （多選）已知 a ∈Z，若關于 x 的一元二次不等式 x2－6 x ＋ a ≤0的
解集中有且僅有3個整數，則 a 的值可以是（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 9
解析：　設 y ＝ x2－6 x ＋ a ，函數圖象開口向上，且對稱軸為 x
＝3，因此關于 x 的一元二次不等式 x2－6 x ＋ a ≤0的解集中有且僅
有3個整數時，需滿足 x ＝2時， y ≤0， x ＝1時， y ＞0，即
解得5＜ a ≤8，又因為 a ∈Z，所以 a ＝6或7或
8，故選B、C.
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14. （2024·鹽城月考）已知關于 x 的不等式 ax2＋5 x ＋ c ＞0的解集為
{ x ｜ ＜ x ＜ }.
（1）求 a ， c 的值；
解：由題意知，不等式對應的方程 ax2＋5 x ＋ c ＝0
的兩個實數根為 和 ，
由根與系數的關系，得解得 a ＝－6， c
＝－1.
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（2）解關于 x 的不等式 ax2＋（ ac ＋2） x ＋2 c ≥0.
解：由 a ＝－6， c ＝－1知不等式 ax2＋（ ac ＋2） x ＋
2 c ≥0可化為－6 x2＋8 x －2≥0，
即3 x2－4 x ＋1≤0，解得 ≤ x ≤1，
所以所求不等式的解集為 .
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15. 對于實數 x ，當且僅當 n ≤ x ＜ n ＋1（ n ∈N*）時，[ x ]＝ n ，試
求關于 x 的不等式4[ x ]2－36[ x ]＋45＜0的解集.
解：由4[ x ]2－36[ x ]＋45＜0，得 ＜[ x ]＜ ，
又當且僅當 n ≤ x ＜ n ＋1（ n ∈N*）時，[ x ]＝ n ，
所以[ x ]＝2，3，4，5，6，7，
所以所求不等式的解集為{ x ｜2≤ x ＜8}.
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