資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　一元二次不等式的綜合問題
1.若0＜t＜1，則不等式（x－t）（x－）＜0的解集為（　　）
A.{x｜＜x＜t} B.{x｜x＞或x＜t}
C.{x｜x＜或x＞t} D.{x｜t＜x＜}
2.關(guān)于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集為{x｜＜x＜2}，則m的取值范圍為（　　）
A.（－∞，0） B.（0，）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
3.某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，每盞最低售價(jià)為15元，若按最低售價(jià)銷售，每天能賣出30盞，若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞.為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入，則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（　　）
A.{x｜10＜x＜20} B.{x｜15≤x＜20}
C.{x｜15＜x＜20} D.{x｜10≤x＜20}
4.不等式mx2－ax－1＞0（m＞0）的解集可能是（　　）
A.{x｜－＜x＜} B.R
C.{x｜x＜－1或x＞} D.
5.（多選）關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式a（x－a）（x＋1）＞0（a∈R）的解集可能是（　　）
A.{x｜x＜－1或x＞a} B.R
C.{x｜－1＜x＜a} D.{x｜a＜x＜－1}
6.（多選）（2024·徐州月考）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，關(guān)于此不等式的解集有下列結(jié)論，其中正確的是（　　）
A.不等式的解集可以是{x｜x＞3}
B.不等式的解集可以是R
C.不等式的解集可以是
D.不等式的解集可以是{x｜－1＜x＜3}
7.（2024·揚(yáng)州月考）當(dāng)a＜0時(shí)，關(guān)于x的不等式42x2＋ax－a2＜0的解集為　　　　.
8.（2024·南通月考）制作一個(gè)高為20 cm的長(zhǎng)方體容器，底面矩形的長(zhǎng)比寬多10 cm，并且容積不少于4 000 cm3.設(shè)底面矩形的寬為x，則x的最小值為　　　　cm.
9.已知a，b，c是常數(shù)，若不等式ax2＋bx－c＞0的解集是{x｜1＜x＜2}，則不等式bx（ax＋c）＞0的解集是　　　　.
10.解關(guān)于x的不等式：x2－（a＋a2）x＋a3＞0（a∈R）.
11.設(shè)a＞1，則關(guān)于x的不等式（1－a）（x－a）（x－）＜0的解集是（　　）
A.（－∞，a）∪（，＋∞）
B.（a，＋∞）
C.（a，）
D.（－∞，）∪（a，＋∞）
12.（2024·南通月考）若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的非空解集為{x｜1＜x＜m}，則m＝　　　　　　.
13.若關(guān)于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
14.某公司銷售一批新型削筆器，該削筆器原來每個(gè)售價(jià)15元，年銷售18萬個(gè).
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若削筆器的售價(jià)每提高1元，年銷售量將相應(yīng)減少2 000個(gè)，要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器每件售價(jià)最多為多少元？
（2）為了提高年銷售量，公司立即對(duì)該削筆器進(jìn)行技術(shù)革新和銷售策略改革，并提高售價(jià)到x元.公司計(jì)劃投入x2萬元作為技改費(fèi)用，投入30萬元作為固定宣傳費(fèi)用.試問：技術(shù)革新后，該削筆器的年銷售量t至少達(dá)到多少萬個(gè)時(shí)，才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求此時(shí)每個(gè)削筆器售價(jià).
15.解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax（a∈R）.
第2課時(shí)　一元二次不等式的綜合問題
1.D　當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，t＜，∴解集為{x｜t＜x＜}.故選D.
2.A　由題意知m＜0，∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集為{x｜＜x＜2}，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，且解得m＜0，∴m的取值范圍是（－∞，0）.
3.B　由題意可知x[30－2（x－15）]＞400，則－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0，∴（x－10）（x－20）＜0，解得10＜x＜20.又∵每盞最低售價(jià)為15元，∴15≤x＜20.故選B.
4.C　因?yàn)棣ぃ絘2＋4m＞0，所以函數(shù)y＝mx2－ax－1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).又m＞0，所以原不等式的解集不可能是A、B、D，故選C.
5.ACD　當(dāng)a＞0時(shí)，不等式a（x－a）·（x＋1）＞0可化為（x－a）（x＋1）＞0，解得x＞a或x＜－1；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化為0＞0，此時(shí)不等式的解集為 ；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化為（x－a）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜a；當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化為（x＋1）2＜0，此時(shí)不等式的解集為 ；當(dāng)a＜－1時(shí)，不等式a（x－a）·（x＋1）＞0可化為（x－a）（x＋1）＜0，解得a＜x＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.故選A、C、D.
6.BD　選項(xiàng)A，假設(shè)結(jié)論成立，則無解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，不等式x2＋3＞0恒成立，則解集是R，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，若不等式的解集是 ，則a＜0且Δ＝b2－12a≤0，而a＜0時(shí)，Δ＝b2－12a＞0，所以不等式的解集不可能是 ，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，假設(shè)結(jié)論成立，則解得符合題意，故選項(xiàng)D正確.故選B、D.
7.（，－）　解析：因?yàn)?2x2＋ax－a2＜0，所以（7x－a）（6x＋a）＜0.因?yàn)閍＜0，所以－＞，則原不等式的解集為（，－）.
8.10　解析：由題意可得20x（x＋10）≥4 000，整理可得x2＋10x－200≥0，解得x≤－20（舍），或x≥10.
9.（0，2）　解析：因?yàn)椴坏仁絘x2＋bx－c＞0的解集是{x｜1＜x＜2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得b＝－3a，c＝－2a.于是不等式bx（ax＋c）＞0可化為－3ax（ax－2a）＞0，所以x（x－2）＜0，解得0＜x＜2，所以不等式bx（ax＋c）＞0的解集是（0，2）.
10.解：原不等式可化為（x－a）（x－a2）＞0，
當(dāng)a＜a2，即a＜0或a＞1時(shí)，原不等式的解集為{x｜x＜a或x＞a2}；
當(dāng)a2＝a，即a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x｜x≠a，x∈R}；
當(dāng)a2＜a，即0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為{x｜x＜a2或x＞a}.
綜上所述，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，原不等式的解集為{x｜x＜a或x＞a2}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為{x｜x＜a2或x＞a}；
當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x｜x≠1，x∈R}；
當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x｜x≠0，x∈R}.
11.D　a＞1時(shí)，1－a＜0，且a＞，則關(guān)于x的不等式（1－a）（x－a）（x－）＜0可化為（x－a）·（x－）＞0，解得x＜或x＞a，所以不等式的解集為（－∞，）∪（a，＋∞）.故選D.
12.2　解析：因?yàn)閍x2－6x＋a2＜0的解集為{x｜1＜x＜m}，所以a＞0，且1與m是方程ax2－6x＋a2＝0的根.則即1＋m＝，所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，當(dāng)m＝－3時(shí)，a＝m＜0（舍去），故m＝2.
13.{a｜－3≤a＜－2或4＜a≤5}
解析：原不等式可等價(jià)為（x－a）（x－1）＜0，不等式解集中恰有3個(gè)整數(shù)，當(dāng)a＞1時(shí)，即4＜a≤5時(shí)，不等式的解集為1＜x＜a，符合題意；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式無解，不符合題意；當(dāng)a＜1時(shí)，即－3≤a＜－2時(shí)，不等式的解集為a＜x＜1，符合題意；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a｜－3≤a＜－2或4＜a≤5}.
14.解：（1）設(shè)每件零售價(jià)為x元，由題意可得x[18－0.2（x－15）]≥15×18，
即x2－105x＋15×90≤0，∴（x－15）·（x－90）≤0，∴15≤x≤90.
故要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器每件售價(jià)最多為90元.
（2）由題意知x＞15，tx≥15×18＋30＋x2，
即t≥＋.
∵＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝30時(shí)，等號(hào)成立，∴t≥20，
因此，該削筆器的年銷售量t至少達(dá)到20萬個(gè)時(shí)，才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)每個(gè)削筆器售價(jià)30元.
15.解：原不等式可化為ax2＋（a－2）x－2≥0.
①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.
②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為（x－）·（x＋1）≥0，解得x≥或x≤－1.
③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為（x－）·（x＋1）≤0.
當(dāng)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤；
當(dāng)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1；
當(dāng)＜－1，即a＞－2時(shí)，解得≤x≤－1.
綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x｜x≤－1}；
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x或x≤－1}；
當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x≤x≤－1}；
當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{x｜x＝－1}；
當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為{x}.
2 / 2第2課時(shí)　一元二次不等式的綜合問題
題型一 含參一元二次不等式的解法
角度1　討論兩根的大小
【例1】　解關(guān)于x的不等式：x2＋（1－a）x－a＜0.
通性通法
根據(jù)方程根的大小討論含參一元二次不等式的解
（1）若一元二次不等式可因式分解，則將一元二次不等式因式分解或求出一元二次不等式對(duì)應(yīng)方程的根；
（2）比較兩根的大小關(guān)系并根據(jù)其大小進(jìn)行分類討論；
（3）寫出不等式的解集.
角度2　討論判別式的符號(hào)
【例2】　解關(guān)于x的不等式：x2＋ax－a≥0.
通性通法
根據(jù)判別式的符號(hào)討論含參一元二次不等式的解
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)且不能因式分解時(shí)，先求出一元二次不等式所對(duì)應(yīng)方程的判別式；
（2）討論判別式大于0、小于0或等于0所對(duì)應(yīng)的不等式的解集；
（3）寫出不等式的解集.
角度3　討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)
【例3】　解關(guān)于x的不等式：ax2－（a＋1）x＋1＜0.
通性通法
　　根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)討論含參一元二次不等式的解
　　二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)，應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，若小于0，則將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后再進(jìn)行求解.【跟蹤訓(xùn)練】
　解關(guān)于x的不等式：ax2－2ax＋2≤0（a≥0）.
題型二 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
【例4】　（鏈接教科書第67頁(yè)例3）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤(rùn)＝（出廠價(jià)－投入成本）×年銷售量.
（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
通性通法
利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
（1）選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；
（2）由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；
（3）求解所列出的不等式（組）；
（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在某住宅小區(qū)的Rt△ABC區(qū)域內(nèi)，修建一地面為矩形AMPQ的涼亭供小區(qū)居民休閑.測(cè)得AB＝8 m，AC＝6 m，要使修建的涼亭占地面積不小于9 m2，該怎樣設(shè)計(jì)？
1.若a＞2，則關(guān)于x的不等式ax2－（2＋a）x＋2＞0的解集為（　　）
A.{x｜x＜或x＞1} B.{x｜＜x＜1}
C.{x｜x＞或x＜1} D.{x｜1＜x＜}
2.某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3 000＋20x－0.1x2（0＜x＜240），若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是（　　）
A.50 B.100
C.150 D.200
3.若集合A＝{x｜ax2－ax＋1＜0}＝ ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
4.解關(guān)于x的不等式x2－ax＋4＞0.
第2課時(shí)　一元二次不等式的綜合問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：方程x2＋（1－a）x－a＝0的兩根分別為x1＝－1，x2＝a.
又函數(shù)y＝x2＋（1－a）x－a的圖象開口向上，
當(dāng)a＜－1時(shí)，原不等式的解集為{x｜a＜x＜－1}；
當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集為 ；
當(dāng)a＞－1時(shí)，原不等式的解集為{x｜－1＜x＜a}.
綜上所述，當(dāng)a＜－1時(shí)，原不等式的解集為{x｜a＜x＜－1}；
當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集為 ；
當(dāng)a＞－1時(shí)，原不等式的解集為{x｜－1＜x＜a}.
【例2】　解：①當(dāng)Δ＝a2＋4a＝0，即a＝0或a＝－4時(shí)，
由函數(shù)y＝x2＋ax－a的圖象開口向上，故不等式x2＋ax－a≥0的解集為R.
②當(dāng)Δ＝a2＋4a＜0，即－4＜a＜0時(shí)，x2＋ax－a＞0恒成立，所以解集為R.
③當(dāng)Δ＝a2＋4a＞0，即a＜－4或a＞0時(shí)，
由x2＋ax－a＝0，解得x＝或x＝，
不等式的解集為{x｜x≤或x≥}.
綜上所述，當(dāng)－4≤a≤0時(shí)，不等式的解集為R，
當(dāng)a＜－4或a＞0時(shí)，不等式的解集為{x｜x≤或x≥}.
【例3】　解：①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式即為－x＋1＜0，解得x＞1.
②當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為（x－）·（x－1）＞0，解得x＜或x＞1.
③當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為（x－）·（x－1）＜0.
若a＝1，即＝1時(shí)，不等式無解；
若a＞1，即＜1時(shí)，解得＜x＜1；
若0＜a＜1，即＞1時(shí)，解得1＜x＜.
綜上可知，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x｜x＜或x＞1}；
當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x｜x＞1}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x}；
當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為 ；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x＜x＜1}.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式即為2≤0，無解；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝4a2－8a，
①當(dāng)Δ＝0，即4a2－8a＝0，得a＝2，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根.
當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式的解集為{x｜x＝1}.
②當(dāng)Δ＜0，即0＜a＜2時(shí)，原不等式無解.
③當(dāng)Δ＞0，即a＞2時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
x1＝，x2＝，且x1＜x2，
所以不等式的 解集為{x｜≤x≤}.
綜上，當(dāng)0≤a＜2時(shí)，原不等式的解集為 ；
當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式的解集為{x｜x＝1}.
當(dāng)a＞2時(shí)，原不等式的解集為{x｜≤x≤}.
【例4】　解：（1）由題意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)
即
解不等式組，得0＜x＜，
所以為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范圍為.
跟蹤訓(xùn)練
　解：設(shè)AM＝x m，PM＝y(tǒng) m，0＜x＜8，0＜y＜6.
則由PM∥CA得，
＝，所以y＝（8－x）.
由題意得
解得所以2≤x≤6.
所以當(dāng)矩形AMPQ的邊為2≤AM≤6 m時(shí)，滿足設(shè)計(jì)要求.
隨堂檢測(cè)
1.A　由ax2－（2＋a）x＋2＞0，得（x－1）·（ax－2）＞0.∵a＞2，∴0＜＜1，∴原不等式的解集為{x｜x＜或x＞1}.故選A.
2.C　依題意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200（舍去）.因?yàn)?＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低產(chǎn)量是150臺(tái).故選C.
3.{a｜0≤a≤4}　解析：①若a＝0，則1＜0不成立，此時(shí)不等式ax2－ax＋1＜0的解集為空集；②若a≠0，則解得0＜a≤4.綜上，0≤a≤4.
4.解：Δ＝a2－16，當(dāng)Δ＜0，即－4＜a＜4時(shí)，不等式x2－ax＋4＞0的解集為R.
當(dāng)Δ＝0，即a＝±4時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
當(dāng)a＝4時(shí)，原不等式的解集為{x｜x≠2}.
當(dāng)a＝－4時(shí)，原不等式的解集為{x｜x≠－2}.
當(dāng)Δ＞0，即a＜－4或a＞4時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，
x1＝，x2＝，且x1＞x2，
所以原不等式的解集為{x｜x＜或x＞}.
綜上，當(dāng)－4＜a＜4時(shí)，不等式的解集為R；
當(dāng)a＝－4時(shí)，不等式的解集為{x｜x≠－2}；
當(dāng)a＝4時(shí)，不等式的解集為{x｜x≠2}；
當(dāng)a＜－4或a＞4時(shí)，不等式的解集為{x｜x＜或x＞}.
1 / 2(共50張PPT)
第2課時(shí)　一元二次不等式的綜合問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標(biāo)
02
典型例題·精研析
01
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 含參一元二次不等式的解法
角度1　討論兩根的大小
【例1】　解關(guān)于 x 的不等式： x2＋（1－ a ） x － a ＜0.
解：方程 x2＋（1－ a ） x － a ＝0的兩根分別為 x1＝－1， x2＝ a .
又函數(shù) y ＝ x2＋（1－ a ） x － a 的圖象開口向上，
當(dāng) a ＜－1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ a ＜ x ＜－1}；
當(dāng) a ＝－1時(shí)，原不等式的解集為 ；
當(dāng) a ＞－1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜－1＜ x ＜ a }.
綜上所述，當(dāng) a ＜－1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ a ＜ x ＜－1}；
當(dāng) a ＝－1時(shí)，原不等式的解集為 ；
當(dāng) a ＞－1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜－1＜ x ＜ a }.
通性通法
　　根據(jù)方程根的大小討論含參一元二次不等式的解
（1）若一元二次不等式可因式分解，則將一元二次不等式因式分解
或求出一元二次不等式對(duì)應(yīng)方程的根；
（2）比較兩根的大小關(guān)系并根據(jù)其大小進(jìn)行分類討論；
（3）寫出不等式的解集.
角度2　討論判別式的符號(hào)
【例2】　解關(guān)于 x 的不等式： x2＋ ax － a ≥0.
解：①當(dāng)Δ＝ a2＋4 a ＝0，即 a ＝0或 a ＝－4時(shí)，
由函數(shù) y ＝ x2＋ ax － a 的圖象開口向上，故不等式 x2＋ ax － a ≥0的解
集為R.
②當(dāng)Δ＝ a2＋4 a ＜0，即－4＜ a ＜0時(shí)， x2＋ ax － a ＞0恒成立，所以
解集為R.
③當(dāng)Δ＝ a2＋4 a ＞0，即 a ＜－4或 a ＞0時(shí)，
由 x2＋ ax － a ＝0，解得 x ＝ 或 x ＝ ，
不等式的解集為{ x ｜ x ≤ 或 x ≥ }.
綜上所述，當(dāng)－4≤ a ≤0時(shí)，不等式的解集為R，
當(dāng) a ＜－4或 a ＞0時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ≤ 或 x ≥
}.
通性通法
根據(jù)判別式的符號(hào)討論含參一元二次不等式的解
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)且不能因式分解時(shí)，先求出一元二次不
等式所對(duì)應(yīng)方程的判別式；
（2）討論判別式大于0、小于0或等于0所對(duì)應(yīng)的不等式的解集；
（3）寫出不等式的解集.
角度3　討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)
【例3】　解關(guān)于 x 的不等式： ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0.
解：①當(dāng) a ＝0時(shí)，原不等式即為－ x ＋1＜0，解得 x ＞1.
②當(dāng) a ＜0時(shí)，原不等式化為（ x － ）（ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x
＞1.
③當(dāng) a ＞0時(shí)，原不等式化為（ x － ）（ x －1）＜0.
若 a ＝1，即 ＝1時(shí)，不等式無解；
若 a ＞1，即 ＜1時(shí)，解得 ＜ x ＜1；
若0＜ a ＜1，即 ＞1時(shí)，解得1＜ x ＜ .
綜上可知，當(dāng) a ＜0時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}；
當(dāng) a ＝0時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ＞1}；
當(dāng)0＜ a ＜1時(shí)，不等式的解集為{ x }；
當(dāng) a ＝1時(shí)，不等式的解集為 ；
當(dāng) a ＞1時(shí)，不等式的解集為{ x ＜ x ＜1}.
通性通法
　　根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)討論含參一元二次不等式的解
　　二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)，應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于
0，若小于0，則將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后再進(jìn)行
求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
　解關(guān)于 x 的不等式： ax2－2 ax ＋2≤0（ a ≥0）.
解：（1）當(dāng) a ＝0時(shí)，原不等式即為2≤0，無解；
（2）當(dāng) a ＞0時(shí)，Δ＝4 a2－8 a ，
①當(dāng)Δ＝0，即4 a2－8 a ＝0，得 a ＝2，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)相
等的實(shí)根.
當(dāng) a ＝2時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ＝1}.
③當(dāng)Δ＞0，即 a ＞2時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
x1＝ ， x2＝ ，且 x1＜ x2，
所以不等式的 解集為{ x ｜ ≤ x ≤ }.
綜上，當(dāng)0≤ a ＜2時(shí)，原不等式的解集為 ；
當(dāng) a ＝2時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ＝1}.
當(dāng) a ＞2時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ ≤ x ≤ }.
②當(dāng)Δ＜0，即0＜ a ＜2時(shí)，原不等式無解.
題型二 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
【例4】　（鏈接教科書第67頁(yè)例3）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)
摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1
000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成
本.若每輛車投入成本增加的比例為 x （0＜ x ＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)的
提高比例為0.75 x ，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6 x .已知年利
潤(rùn)＝（出廠價(jià)－投入成本）×年銷售量.
（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn) y 與投入成本增加的比例 x 的關(guān)系式；
解：由題意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1
000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200
（0＜ x ＜1）.
解不等式組，得0＜ x ＜ ，
所以為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的
比例 x 的范圍為 .
（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，問投入成本增加的比
例 x 應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
解：要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)
即
通性通法
利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
（1）選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；
（2）由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；
（3）求解所列出的不等式（組）；
（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在某住宅小區(qū)的Rt△ ABC 區(qū)域內(nèi)，修建一地面為矩形 AMPQ 的
涼亭供小區(qū)居民休閑.測(cè)得 AB ＝8 m， AC ＝6 m，要使修建的涼亭占
地面積不小于9 m2，該怎樣設(shè)計(jì)？
解：設(shè) AM ＝ x m， PM ＝ y m，0＜ x ＜8，0＜ y ＜6.
則由 PM ∥ CA 得，
＝ ，所以 y ＝ （8－ x ）.
由題意得
解得所以2≤ x ≤6.
所以當(dāng)矩形 AMPQ 的邊為2≤ AM ≤6 m時(shí)，滿足設(shè)計(jì)要求.
1. 若 a ＞2，則關(guān)于 x 的不等式 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0的解集為
（　　）
A. { x ｜ x ＜ 或 x ＞1} B. { x ｜ ＜ x ＜1}
C. { x ｜ x ＞ 或 x ＜1} D. { x ｜1＜ x ＜ }
解析：　由 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0，得（ x －1）·（ ax －2）＞
0.∵ a ＞2，∴0＜ ＜1，∴原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}.
故選A.
2. 某產(chǎn)品的總成本 y （萬元）與產(chǎn)量 x （臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系是 y ＝3
000＋20 x －0.1 x2（0＜ x ＜240），若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，
則生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本）時(shí)的最低產(chǎn)量是（　）
A. 50 B. 100 C. 150 D. 200
解析：　依題意得25 x ≥3000＋20 x －0.1 x2，整理得 x2＋50 x －
30 000≥0，解得 x ≥150或 x ≤－200（舍去）.因?yàn)?＜ x ＜240，所
以150≤ x ＜240，即最低產(chǎn)量是150臺(tái).故選C.
3. 若集合 A ＝{ x ｜ ax2－ ax ＋1＜0}＝ ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是
.
解析：①若 a ＝0，則1＜0不成立，此時(shí)不等式 ax2－ ax ＋1＜0的解
集為空集；②若 a ≠0，則解得0＜ a ≤4.綜上，0≤
a ≤4.
{ a ｜
0≤ a ≤4}　
4. 解關(guān)于 x 的不等式 x2－ ax ＋4＞0.
解：Δ＝ a2－16，當(dāng)Δ＜0，即－4＜ a ＜4時(shí)，不等式 x2－ ax ＋4＞0
的解集為R.
當(dāng)Δ＝0，即 a ＝±4時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
當(dāng) a ＝4時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ≠2}.
當(dāng) a ＝－4時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ≠－2}.
當(dāng)Δ＞0，即 a ＜－4或 a ＞4時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不相等
實(shí)根，
x1＝ ， x2＝ ，且 x1＞ x2，
所以原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ 或 x ＞ }.
綜上，當(dāng)－4＜ a ＜4時(shí)，不等式的解集為R；
當(dāng) a ＝－4時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ≠－2}；
當(dāng) a ＝4時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ≠2}；
當(dāng) a ＜－4或 a ＞4時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ＜ 或 x ＞
}.
知能演練·扣課標(biāo)
02
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 若0＜ t ＜1，則不等式（ x － t ）（ x － ）＜0的解集為（　　）
A. { x ｜ ＜ x ＜ t } B. { x ｜ x ＞ 或 x ＜ t }
C. { x ｜ x ＜ 或 x ＞ t } D. { x ｜ t ＜ x ＜ }
解析：　當(dāng) t ∈（0，1）時(shí)， t ＜ ，∴解集為{ x ｜ t ＜ x ＜ }.故
選D.
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2. 關(guān)于 x 的不等式（ mx －1）（ x －2）＞0，若此不等式的解集為
{ x ｜ ＜ x ＜2}，則 m 的取值范圍為（　　）
A. （－∞，0） B. （0， ）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
解析：由題意知 m ＜0，∵不等式（ mx －1）（ x －2）＞0的解集為{ x ｜ ＜ x ＜2}，∴方程（ mx －1）（ x －2）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 和2，且解得 m ＜0，∴ m 的取值范圍是（－∞，0）.
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3. 某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，每盞最低售價(jià)為15元，若按最低售價(jià)
銷售，每天能賣出30盞，若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞.
為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入，則
這批臺(tái)燈的銷售單價(jià) x （單位：元）的取值范圍是（　　）
A. { x ｜10＜ x ＜20} B. { x ｜15≤ x ＜20}
C. { x ｜15＜ x ＜20} D. { x ｜10≤ x ＜20}
解析：　由題意可知 x [30－2（ x －15）]＞400，則－2 x2＋60 x
－400＞0，即 x2－30 x ＋200＜0，∴（ x －10）（ x －20）＜0，解
得10＜ x ＜20.又∵每盞最低售價(jià)為15元，∴15≤ x ＜20.故選B.
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4. 不等式 mx2－ ax －1＞0（ m ＞0）的解集可能是（　　）
A. { x ｜－ ＜ x ＜ } B. R
C. { x ｜ x ＜－1或 x ＞ } D.
解析：　因?yàn)棣ぃ?a2＋4 m ＞0，所以函數(shù) y ＝ mx2－ ax －1的圖象
與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn).又 m ＞0，所以原不等式的解集不可能是A、B、
D，故選C.
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5. （多選）關(guān)于實(shí)數(shù) x 的不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0（ a ∈R）
的解集可能是（　　）
A. { x ｜ x ＜－1或 x ＞ a } B. R
C. { x ｜－1＜ x ＜ a } D. { x ｜ a ＜ x ＜－1}
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解析：　當(dāng) a ＞0時(shí)，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化為
（ x － a ）（ x ＋1）＞0，解得 x ＞ a 或 x ＜－1；當(dāng) a ＝0時(shí)，不等式
a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化為0＞0，此時(shí)不等式的解集為 ；當(dāng)
－1＜ a ＜0時(shí)，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化為（ x － a ）
（ x ＋1）＜0，解得－1＜ x ＜ a ；當(dāng) a ＝－1時(shí)，不等式 a （ x －
a ）（ x ＋1）＞0可化為（ x ＋1）2＜0，此時(shí)不等式的解集為 ；當(dāng)
a ＜－1時(shí)，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化為（ x － a ）（ x
＋1）＜0，解得 a ＜ x ＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.故選
A、C、D.
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6. （多選）（2024·徐州月考）已知關(guān)于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋3＞0，
關(guān)于此不等式的解集有下列結(jié)論，其中正確的是（　　）
A. 不等式的解集可以是{ x ｜ x ＞3}
B. 不等式的解集可以是R
C. 不等式的解集可以是
D. 不等式的解集可以是{ x ｜－1＜ x ＜3}
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解析：選項(xiàng)A，假設(shè)結(jié)論成立，則無解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng) a ＝1， b ＝0時(shí)，不等式 x2＋3＞0恒成立，則解集是R，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，若不等式的解集是 ，則 a ＜0且Δ＝ b2－12 a ≤0，而 a ＜0時(shí)，Δ＝ b2－12 a ＞0，所以不等式的解集不可能是 ，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，假設(shè)結(jié)論成立，則解得符合題意，故選項(xiàng)D正確.故選B、D.
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7. （2024·揚(yáng)州月考）當(dāng) a ＜0時(shí)，關(guān)于 x 的不等式42 x2＋ ax － a2＜0的
解集為 .
解析：因?yàn)?2 x2＋ ax － a2＜0，所以（7 x － a ）（6 x ＋ a ）＜0.因
為 a ＜0，所以－ ＞ ，則原不等式的解集為（ ，－ ）.
（ ，－ ）　
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8. （2024·南通月考）制作一個(gè)高為20 cm的長(zhǎng)方體容器，底面矩形的
長(zhǎng)比寬多10 cm，并且容積不少于4 000 cm3.設(shè)底面矩形的寬為 x ，
則 x 的最小值為 cm.
解析：由題意可得20 x （ x ＋10）≥4 000，整理可得 x2＋10 x －
200≥0，解得 x ≤－20（舍），或 x ≥10.
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9. 已知 a ， b ， c 是常數(shù)，若不等式 ax2＋ bx － c ＞0的解集是{ x ｜1＜
x ＜2}，則不等式 bx （ ax ＋ c ）＞0的解集是 .
解析：因?yàn)椴坏仁?ax2＋ bx － c ＞0的解集是{ x ｜1＜ x ＜2}，所以 a
＜0，且1和2是方程 ax2＋ bx － c ＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可
得 b ＝－3 a ， c ＝－2 a .于是不等式 bx （ ax ＋ c ）＞0可化為－3 ax
（ ax －2 a ）＞0，所以 x （ x －2）＜0，解得0＜ x ＜2，所以不等式
bx （ ax ＋ c ）＞0的解集是（0，2）.
（0，2）　
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10. 解關(guān)于 x 的不等式： x2－（ a ＋ a2） x ＋ a3＞0（ a ∈R）.
解：原不等式可化為（ x － a ）（ x － a2）＞0，
當(dāng) a ＜ a2，即 a ＜0或 a ＞1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ a 或 x ＞
a2}；
當(dāng) a2＝ a ，即 a ＝0或 a ＝1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ≠ a ， x
∈R}；
當(dāng) a2＜ a ，即0＜ a ＜1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ a2或 x ＞ a }.
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綜上所述，當(dāng) a ＜0或 a ＞1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ a 或 x
＞ a2}；
當(dāng)0＜ a ＜1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ＜ a2或 x ＞ a }；
當(dāng) a ＝1時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ≠1， x ∈R}；
當(dāng) a ＝0時(shí)，原不等式的解集為{ x ｜ x ≠0， x ∈R}.
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11. 設(shè) a ＞1，則關(guān)于 x 的不等式（1－ a ）（ x － a ）（ x － ）＜0的解
集是（　　）
A. （－∞， a ）∪（ ，＋∞）
B. （ a ，＋∞）
C. （ a ， ）
D. （－∞， ）∪（ a ，＋∞）
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解析：　 a ＞1時(shí)，1－ a ＜0，且 a ＞ ，則關(guān)于 x 的不等式（1－
a ）（ x － a ）（ x － ）＜0可化為（ x － a ）·（ x － ）＞0，解
得 x ＜ 或 x ＞ a ，所以不等式的解集為（－∞， ）∪（ a ，＋
∞）.故選D.
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12. （2024·南通月考）若關(guān)于 x 的不等式 ax2－6 x ＋ a2＜0的非空解集
為{ x ｜1＜ x ＜ m }，則 m ＝
解析：因?yàn)?ax2－6 x ＋ a2＜0的解集為{ x ｜1＜ x ＜ m }，所以 a ＞
0，且1與 m 是方程 ax2－6 x ＋ a2＝0的根.則 即1＋ m
＝ ，所以 m2＋ m －6＝0，解得 m ＝－3或 m ＝2，當(dāng) m ＝－3時(shí)，
a ＝ m ＜0（舍去），故 m ＝2.
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13. 若關(guān)于 x 的不等式 x2－（ a ＋1） x ＋ a ＜0的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，
則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
解析：原不等式可等價(jià)為（ x － a ）（ x －1）＜0，不等式解集中
恰有3個(gè)整數(shù)，當(dāng) a ＞1時(shí)，即4＜ a ≤5時(shí)，不等式的解集為1＜ x
＜ a ，符合題意；當(dāng) a ＝1時(shí)，不等式無解，不符合題意；當(dāng) a ＜1
時(shí)，即－3≤ a ＜－2時(shí)，不等式的解集為 a ＜ x ＜1，符合題意；
綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是{ a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}.
{ a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}　
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14. 某公司銷售一批新型削筆器，該削筆器原來每個(gè)售價(jià)15元，年銷
售18萬個(gè).
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若削筆器的售價(jià)每提高1元，年銷售量將相應(yīng)
減少2 000個(gè)，要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器
每件售價(jià)最多為多少元？
解：設(shè)每件零售價(jià)為 x 元，由題意可得 x [18－0.2（ x －15）]≥15×18，
即 x2－105 x ＋15×90≤0，∴（ x －15）（ x －90）≤0，
∴15≤ x ≤90.
故要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器每件售價(jià)最多
為90元.
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（2）為了提高年銷售量，公司立即對(duì)該削筆器進(jìn)行技術(shù)革新和銷
售策略改革，并提高售價(jià)到 x 元.公司計(jì)劃投入 x2萬元作為
技改費(fèi)用，投入30萬元作為固定宣傳費(fèi)用.試問：技術(shù)革新
后，該削筆器的年銷售量 t 至少達(dá)到多少萬個(gè)時(shí)，才能使革
新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求此時(shí)每
個(gè)削筆器售價(jià).
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解：由題意知 x ＞15， tx ≥15×18＋30＋ x2，
即 t ≥ ＋ .
∵ ＋ ≥2 ＝20，當(dāng)且僅當(dāng) ＝ ，即 x ＝30時(shí)，
等號(hào)成立，∴ t ≥20，
因此，該削筆器的年銷售量 t 至少達(dá)到20萬個(gè)時(shí)，才能使革
新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)每個(gè)削
筆器售價(jià)30元.
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15. 解關(guān)于 x 的不等式： ax2－2≥2 x － ax （ a ∈R）.
解：原不等式可化為 ax2＋（ a －2） x －2≥0.
①當(dāng) a ＝0時(shí)，原不等式化為 x ＋1≤0，解得 x ≤－1.
②當(dāng) a ＞0時(shí)，原不等式化為（ x － ）（ x ＋1）≥0，解得 x ≥
或 x ≤－1.
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③當(dāng) a ＜0時(shí)，原不等式化為（ x － ）（ x ＋1）≤0.
當(dāng) ＞－1，即 a ＜－2時(shí)，解得－1≤ x ≤ ；
當(dāng) ＝－1，即 a ＝－2時(shí)，解得 x ＝－1；
當(dāng) ＜－1，即 a ＞－2時(shí)，解得 ≤ x ≤－1.
綜上所述，當(dāng) a ＝0時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ≤－1}；
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當(dāng) a ＞0時(shí)，不等式的解集為{ x 或 x ≤－1}；
當(dāng)－2＜ a ＜0時(shí)，不等式的解集為{ x ≤ x ≤－1}；
當(dāng) a ＝－2時(shí)，不等式的解集為{ x ｜ x ＝－1}；
當(dāng) a ＜－2時(shí)，不等式的解集為{ x }.
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