資源簡介

　　
一、不等式及其性質(zhì)
　　理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).不等式及其性質(zhì)貫穿整個高中數(shù)學(xué)，只要是涉及到范圍的問題，都和不等式有關(guān).
【例1】　（1）（多選）下列命題正確的有（　　）
A.若a＞1，則＜1
B.若a＋c＞b，則＜
C.對任意實(shí)數(shù)a，都有a2≥a
D.若ac2＞bc2，且ac＞bc，則c＞0
（2）若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關(guān)系是（　　）
A.A≤B
B.A≥B
C.A＜B或A＞B
D.A＞B
（3）已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范圍.
反思感悟
不等式及其性質(zhì)的2個關(guān)注點(diǎn)
（1）作差法是比較兩個實(shí)數(shù)大小的基本方法；
（2）應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)可以證明不等式，但一定要注意應(yīng)用條件；當(dāng)判斷不等式是否成立時，常選擇特殊值法.
二、基本不等式
　　能利用基本不等式求函數(shù)的最值并能證明簡單的不等式，掌握基本不等式的一些常見變形.
【例2】　（1）已知x＞1，且x－y＝1，則x＋的最小值是　　　　；
（2）已知－1＜x＜3，則y＝（1＋x）（3－x）的最大值是　　　　.
反思感悟
利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)
（1）把握不等式成立的條件：一正、二定、三相等；
（2）注意尋求已知條件與目標(biāo)函數(shù)之間的聯(lián)系；
（3）利用添項(xiàng)和拆項(xiàng)的配湊方法，使積（或和）產(chǎn)生定值.特別注意“1”的代換.
三、一元二次不等式的解法
　　通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)方程、函數(shù)的聯(lián)系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】　（1）（多選）若關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＜0的解集為（－3，4），則（　　）
A.a＞0 B.a＋b＝0
C.12a＋c＝0 D.b2－4ac＝49a2
（2）解下列關(guān)于x的不等式：
①－x2＋5x－4＞0；②≥－2；
③m2x2＋2mx－3＜0.
反思感悟
一元二次不等式的解集問題
（1）不含參數(shù)的一元二次不等式的解集受a的符號、b2－4ac的符號的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系；
（2）含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，常就“二次項(xiàng)系數(shù)”“判別式Δ”“兩個根的大小”對參數(shù)進(jìn)行討論.
四、不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
　　不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵.
【例4】　（1）某水產(chǎn)養(yǎng)殖場擬造一個平面圖為矩形且面積為160平方米的水產(chǎn)養(yǎng)殖網(wǎng)箱，為了避免混養(yǎng)，箱中要安裝一些篩網(wǎng)，如平面圖所示.如果網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣（圖中實(shí)線部分）建造單價為每米112元，篩網(wǎng)（圖中虛線部分）的建造單價為每米96元，網(wǎng)箱底面建造單價為每平方米100元，網(wǎng)衣及篩網(wǎng)的厚度忽略不計(jì).把建造網(wǎng)箱的總造價y（元）表示為網(wǎng)箱的長x（單位：米）的函數(shù)，并求出最低造價；
（2）某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價降低x成（1成＝10%），售出商品的數(shù)量就增加x成，要求售價不能低于成本價.
①設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍.
反思感悟
解決與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)
（1）審題要準(zhǔn)，初步建模；
（2）設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題設(shè)構(gòu)造應(yīng)用不等式的形式并解決問題.
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
【例1】　（1）解析：AD　因?yàn)閍＞1，所以＜1，所以A正確；若a＋c＞b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，則有＞，故B錯誤；對于C，可取a＝，則a2＜a，故C錯誤；因?yàn)閍c2＞bc2，所以c2＞0，即c≠0，且a＞b，假設(shè)c＜0，則有ac＜bc與已知ac＞bc矛盾，所以c＞0，故D正確.
（2）解析：B　∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝a2＋b2－ab＝（a－）2＋b2≥0，∴A≥B.
（3）解：因?yàn)椋?＜b＜－1，所以1＜－b＜2，
又因?yàn)?＜a＜3，所以2＜－ab＜6，
所以－6＜ab＜－2.
因?yàn)椋?＜b＜－1，
所以1＜b2＜4，
因?yàn)?＜a＜3，所以＜＜，所以＜＜2.
【例2】　（1）3　（2）4　解析：（1）∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，等號成立，則x＋的最小值是3.
（2）∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0，∴≤＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝3－x，即x＝1時取等號.
【例3】　（1）解析：ACD　由不等式ax2－bx＋c＜0的解集為（－3，4），可得a＞0，且x1＝－3，x2＝4是一元二次方程ax2－bx＋c＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得即b＝a，
c＝－12a，即12a＋c＝0，a＋b＝2a＞0，b2－4ac＝a2＋48a2＝49a2.故選A、C、D.
（2）解：①原不等式等價于x2－5x＋4＜0，
∵方程x2－5x＋4＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝4，
∴原不等式的解集為{x｜1＜x＜4}.
②不等式≥－2可化為＋2≥0，即≥0，
則原不等式等價于（x－11）（x－5）≥0且x－5≠0，解得x＜5或x≥11，
故≥－2的解集為{x｜x＜5或x≥11}.
③當(dāng)m＝0時，－3＜0恒成立，解集為R.
當(dāng)m≠0時，二次項(xiàng)系數(shù)m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式可化為（mx＋3）（mx－1）＜0.
當(dāng)m＞0時，解不等式得－＜x＜，
當(dāng)m＜0時，解不等式得＜x＜－.
∴當(dāng)m＝0時不等式的解集為R；
當(dāng)m＞0時，不等式的解集為{x｜－＜x＜}；
當(dāng)m＜0時，不等式的解集為{x｜＜x＜－}.
【例4】　解：（1）依題意y＝112（2x＋×2）＋96（x＋×3）＋100×160＝320（x＋）＋16 000≥26 240.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，
即x＝16時，取等號.
故建造網(wǎng)箱的最低造價為26 240元.
（2）①依題意y＝100·100.
又售價不能低于成本價，
所以100－80≥0，
解得x≤2，
所以y＝40（10－x）（25＋4x）（0≤x≤2）.
②由題意得40（10－x）（25＋4x）≥10 260，
化簡得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又x∈{x｜0≤x≤2}，
所以x的取值范圍為{x≤x≤2}.
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章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
一、不等式及其性質(zhì)
　　理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).不等式及其性質(zhì)貫穿整
個高中數(shù)學(xué)，只要是涉及到范圍的問題，都和不等式有關(guān).
【例1】　（1）（多選）下列命題正確的有（　　）
A. 若 a ＞1，則 ＜1
B. 若 a ＋ c ＞ b ，則 ＜
C. 對任意實(shí)數(shù) a ，都有 a2≥ a
D. 若 ac2＞ bc2，且 ac ＞ bc ，則 c ＞0
解析：　因?yàn)?a ＞1，所以 ＜1，所以A正確；若 a ＋ c ＞ b ，可令
a ＝1， c ＝1， b ＝－1，則有 ＞ ，故B錯誤；對于C，可取 a ＝ ，
則 a2＜ a ，故C錯誤；因?yàn)?ac2＞ bc2，所以 c2＞0，即 c ≠0，且 a ＞ b ，
假設(shè) c ＜0，則有 ac ＜ bc 與已知 ac ＞ bc 矛盾，所以 c ＞0，故D正確.
（2）若 A ＝ a2＋3 ab ， B ＝4 ab － b2，則 A ， B 的大小關(guān)系是（　　）
A. A ≤ B B. A ≥ B
C. A ＜ B 或 A ＞ B D. A ＞ B
解析：　∵ A － B ＝ a2＋3 ab －（4 ab － b2）＝ a2＋ b2－ ab ＝
（ a － ）2＋ b2≥0，∴ A ≥ B .
（3）已知2＜ a ＜3，－2＜ b ＜－1，求 ab ， 的取值范圍.
解：因?yàn)椋?＜ b ＜－1，所以1＜－ b ＜2，
又因?yàn)?＜ a ＜3，所以2＜－ ab ＜6，所以－6＜ ab ＜－2.
因?yàn)椋?＜ b ＜－1，所以1＜ b2＜4，
因?yàn)?＜ a ＜3，所以 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜2.
反思感悟
不等式及其性質(zhì)的2個關(guān)注點(diǎn)
（1）作差法是比較兩個實(shí)數(shù)大小的基本方法；
（2）應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)可以證明不等式，但一定要注意應(yīng)用條
件；當(dāng)判斷不等式是否成立時，常選擇特殊值法.
二、基本不等式
　　能利用基本不等式求函數(shù)的最值并能證明簡單的不等式，掌握基
本不等式的一些常見變形.
【例2】　（1）已知 x ＞1，且 x － y ＝1，則 x ＋ 的最小值是 ；
解析：∵ x ＞1，∴ x －1＞0.又 y ＝ x －1，∴ x ＋ ＝ x ＋ ＝ x －1＋
＋1≥2 ＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝2時，等號成立，則
x ＋ 的最小值是3.
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（2）已知－1＜ x ＜3，則 y ＝（1＋ x ）（3－ x ）的最大值是 .
解析：∵－1＜ x ＜3，∴1＋ x ＞0，3－ x ＞0，
∴ ≤ ＝2.∴（1＋ x ）（3
－ x ）≤4，當(dāng)且僅當(dāng)1＋ x ＝3－ x ，即 x ＝1時取等號.
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反思感悟
利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)
（1）把握不等式成立的條件：一正、二定、三相等；
（2）注意尋求已知條件與目標(biāo)函數(shù)之間的聯(lián)系；
（3）利用添項(xiàng)和拆項(xiàng)的配湊方法，使積（或和）產(chǎn)生定值.特別注意
“1”的代換.
三、一元二次不等式的解法
　　通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)方程、函數(shù)的聯(lián)系，掌
握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】　（1）（多選）若關(guān)于 x 的不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集為
（－3，4），則（　　）
A. a ＞0 B. a ＋ b ＝0
C. 12 a ＋ c ＝0 D. b2－4 ac ＝49 a2
解析：　由不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集為（－3，4），可得 a
＞0，且 x1＝－3， x2＝4是一元二次方程 ax2－ bx ＋ c ＝0的兩個根，由
根與系數(shù)的關(guān)系可得即 b ＝ a ， c ＝－12 a ，即12 a ＋ c
＝0， a ＋ b ＝2 a ＞0， b2－4 ac ＝ a2＋48 a2＝49 a2.故選A、C、D.
①－ x2＋5 x －4＞0；
② ≥－2；
③ m2 x2＋2 mx －3＜0.
（2）解下列關(guān)于 x 的不等式：
解：①原不等式等價于 x2－5 x ＋4＜0，
∵方程 x2－5 x ＋4＝0的兩根分別為 x1＝1， x2＝4，
∴原不等式的解集為{ x ｜1＜ x ＜4}.
②不等式 ≥－2可化為 ＋2≥0，即 ≥0，
則原不等式等價于（ x －11）（ x －5）≥0且 x －5≠0，解得 x ＜
5或 x ≥11，
故 ≥－2的解集為{ x ｜ x ＜5或 x ≥11}.
③當(dāng) m ＝0時，－3＜0恒成立，解集為R.
當(dāng) m ≠0時，二次項(xiàng)系數(shù) m2＞0，Δ＝16 m2＞0，不等式可化為
（ mx ＋3）（ mx －1）＜0.
當(dāng) m ＞0時，解不等式得－ ＜ x ＜ ，
當(dāng) m ＜0時，解不等式得 ＜ x ＜－ .
∴當(dāng) m ＝0時不等式的解集為R；
當(dāng) m ＞0時，不等式的解集為{ x ｜－ ＜ x ＜ }；
當(dāng) m ＜0時，不等式的解集為{ x ｜ ＜ x ＜－ }.
反思感悟
一元二次不等式的解集問題
（1）不含參數(shù)的一元二次不等式的解集受 a 的符號、 b2－4 ac 的符號
的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系；
（2）含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，常就“二次項(xiàng)系數(shù)”“判
別式Δ”“兩個根的大小”對參數(shù)進(jìn)行討論.
四、不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
　　不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的
優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根
據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵.
【例4】　（1）某水產(chǎn)養(yǎng)殖場擬造一個平面圖為矩形且面積為160平
方米的水產(chǎn)養(yǎng)殖網(wǎng)箱，為了避免混養(yǎng)，箱中要安裝一些篩網(wǎng)，如平面
圖所示.如果網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣（圖中實(shí)線部分）建造單價為每米112元，
篩網(wǎng)（圖中虛線部分）的建造單價為每米96元，網(wǎng)箱底面建造單價為
每平方米100元，網(wǎng)衣及篩網(wǎng)的厚度忽略不計(jì).把建造網(wǎng)箱的總造價 y
（元）表示為網(wǎng)箱的長 x （單位：米）的函數(shù)，并求出最低造價；
解：依題意 y ＝112（2 x ＋ ×2）＋96（ x ＋ ×3）＋100×160＝
320（ x ＋ ）＋16 000≥26 240.
當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ ，即 x ＝16時，取等號.
故建造網(wǎng)箱的最低造價為26 240元.
①設(shè)該商店一天的營業(yè)額為 y ，試求出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān) 系式；
②若要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求 x 的取值范圍.
（2）某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，
若售價降低 x 成（1成＝10%），售出商品的數(shù)量就增加 x 成，
要求售價不能低于成本價.
②由題意得40（10－ x ）（25＋4 x ）≥10 260，
化簡得8 x2－30 x ＋13≤0，解得 ≤ x ≤ .
又 x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}，
所以 x 的取值范圍為{ x ≤ x ≤2}.
解：①依題意 y ＝100 ·100 .
又售價不能低于成本價，
所以100 －80≥0，解得 x ≤2，
所以 y ＝40（10－ x ）（25＋4 x ）（0≤ x ≤2）.
反思感悟
解決與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)
（1）審題要準(zhǔn)，初步建模；
（2）設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題設(shè)構(gòu)造應(yīng)用不等式的形式并解決問題.
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