資源簡介

　 4.1.1　根式
1.若＋（a－4）0有意義，則a的取值范圍是（　　）
A.[2，＋∞）
B.[2，4）∪（4，＋∞）
C.（－∞，2）∪（2，＋∞）
D.（－∞，4）∪（4，＋∞）
2.下列各式正確的是（　　）
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝7
3.已知m10＝2，則m＝（　　）
A. B.－
C. D.±
4.若a＜，則化簡的結果是（　　）
A.4a－1 B.1－4a
C.－ D.－
5.化簡－＝（　　）
A.6 B.2x
C.6或－2x D.6或2x或－2x
6.（多選）下列選項中正確的是（　　）
A.＝5
B.64的6次方根是±2
C.＝±3
D.＝｜x＋y｜
7.若＝，則實數a的取值范圍為　　　　.
8.已知y＝－｜2－x｜，則當2＜x＜3時，y＝　　　　；當x＞3時，y＝　　　　.
9.計算：＋＝　　　　.
10.化簡：（1）（a≤－）；
（2）（x＜y，n＞1，n∈N*）.
11.當a＞0時，＝（　　）
A.x＝ B.x
C.－x D.－x
12.化簡（）2＋＋的結果是（　　）
A.1－a B.2（1－a）
C.a－1 D.2（a－1）
13.已知＋＝－a－b，則＋＝　　　　.
14.已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，化簡＋.
4.1.1　根式
1.B　由題意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范圍是a≥2且a≠4.故選B.
2.C　由于＝3，＝｜a｜，＝－7，故A、B、D錯誤.故選C.
3.D　因為m10＝2，所以m是2的10次方根.又10是偶數，所以2的10次方根有兩個，且互為相反數.所以m＝±.
4.B　∵a＜，∴4a－1＜0，∴＝｜4a－1｜＝－（4a－1）＝1－4a.故選B.
5.C　原式＝｜x＋3｜－（x－3），當x≥－3時，原式＝6；當x＜－3時，原式＝－2x.故選C.
6.BD　n為奇數時，負數的n次方根是一個負數，＝－5，故A錯誤；64的6次方根有兩個，為±2，故B正確；＝3，故C錯誤；是正數，故＝｜x＋y｜，故D正確.故選B、D.
7.　解析：＝｜2a－1｜，＝1－2a.因為｜2a－1｜＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.
8.5－2x　－1　
解析：y＝－｜2－x｜＝－｜2－x｜＝｜x－3｜－｜2－x｜，當2＜x＜3時，y＝3－x＋2－x＝5－2x；當x＞3時，y＝x－3＋2－x＝－1.
9.2　解析：法一　原式＝
＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
法二　令x＝＋，兩邊平方得x2＝6＋2＝8.因為x＞0，所以x＝2.
10.解：（1）∵a≤－，∴2a＋1≤0，
∴＝＝｜2a＋1｜＝－2a－1.
（2）∵x＜y，∴x－y＜0，
∴當n為大于1的偶數時，＝｜x－y｜＝y－x；
當n為大于1的奇數時，＝x－y.
11.C　∵a＞0，∴x＜0，＝｜x｜＝－x.故選C.
12.C　∵有意義，∴a－1≥0，即a≥1.∴（）2＋＋＝（a－1）＋｜1－a｜＋（1－a）＝（a－1）＋（a－1）＋（1－a）＝a－1，故選C.
13.0　解析：因為＋＝－a－b.所以＝－a，＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝｜a＋b｜＋a＋b＝－（a＋b）＋a＋b＝0.
14.解：∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0.
當n是奇數時，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a；
當n是偶數時，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）＝－2a.
∴＋＝
2 / 24.1.1　根式
新課程標準解讀 核心素養
理解n次方根、n次根式的概念，能正確運用根式運算性質化簡求值 數學抽象、數學運算
公元前五世紀，古希臘有一個數學學派名叫畢達哥拉斯學派，其學派中的一名成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數來表示，希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數的誕生.
【問題】　若x2＝3，這樣的x有幾個？它們叫作3的什么？怎樣表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　n次方根
1.n次方根
定義 一般地，如果xn＝a（n＞1，n∈N*），那么稱x為a的　　　　
性質 n是奇數 a∈R x＝　　　
n是偶數 a＞0 x＝　　　
a＜0 x不存在
0的n次方根等于0
2.根式：式子叫作　　　　，其中n叫作　　　　，a叫作　　　　　　.
3.根式的性質
（1）　　　　沒有偶次方根；
（2）0的任何次方根都是0，記作＝　　　；
（3）（）n＝　　　（n∈N*，且n＞1）；
（4）①當n為奇數時，＝　　　；
②當n為偶數時，＝｜a｜＝
1.m是實數，則下列式子中可能沒有意義的是（　　）
A. B.
C. D.
2.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.16的4次方根是2
B.的運算結果是±2
C.當n為大于1的奇數時，對任意a∈R都有意義
D.當n為大于1的偶數時，只有當a≥0時才有意義
3.＝　　　　；＝　　　　.
題型一 n次方根的概念
【例1】　（1）已知x7＝8，則x＝　　　　；
（2）若有意義，則實數x的取值范圍是　　　　.
通性通法
1.方根個數：正數的偶次方根有兩個且互為相反數，任意實數的奇次方根只有一個.
2.符號：根式的符號由根指數n的奇偶性及被開方數a的符號共同確定.
（1）當n為偶數，且a≥0時，為非負實數；
（2）當n為奇數時，的符號與a的符號一致.
【跟蹤訓練】
1.若有意義，則x的取值范圍為　　　　.
2.若16的平方根為a，－8的立方根為b，則a＋b＝　　　　.
題型二 利用根式的性質化簡或求值
【例2】　（鏈接教科書第82頁例1）化簡或求值：
（1）（）2；　（2）（）3；　（3）（）2；
（4）；　（5）；
（6）（a＞b）.
通性通法
正確區分與（）n
（1）（）n已暗含了有意義，根據n的奇偶性可知a的范圍；
（2）中的a可以是全體實數，的值取決于n的奇偶性.
【跟蹤訓練】
化簡或求值：
（1）＋（）5；
（2）＋（）6；
（3）.
題型三 有限制條件的根式的化簡
【例3】　設－3＜x＜3，化簡－.
【母題探究】
（變條件）本例中，若將“－3＜x＜3”變為“x≤－3”，則結果又是什么？
通性通法
有限制條件的根式的化簡
（1）有限制條件根式的化簡問題，是指被開方數或被開方的表達式可以通過配方、拆分等方式進行化簡；
（2）有限制條件根式的化簡經常用到配方的方法.當根指數為偶數時，在利用公式化簡時，要考慮被開方數或被開方的表達式的正負.當n為偶數時，先化為｜a｜，再根據a的正負去絕對值符號.
【跟蹤訓練】
已知x∈[1，2]，化簡（）4＋＝　　　　.
1.（多選）若n∈N，a∈R，則下列式子有意義的是（　　）
A. B.
C. D.
2.若x≠0，則｜x｜－＋＝　　　　.
3.當有意義時，化簡－＝　　　　.
4.1.1　根式
【基礎知識·重落實】
知識點
1.n次方根　　±　2.根式　根指數
被開方數　3.（1）負數　（2）0　（3）a　（4）①a　②a　－a
自我診斷
1.C　選項C中，m＜0時，沒有意義.故選C.
2.CD　16的4次方根應是±2；＝2；易知C、D正確.故選C、D.
3.2　－2　解析：當n為偶數時，＝｜a｜，∴＝2；當n為奇數時，＝a，∴＝－2.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）　（2）[2，＋∞）
解析：（1）∵7為奇數，∴8的7次方根只有一個.
（2）∵有意義，∴x－2≥0，∴x≥2，即x的取值范圍是[2，＋∞）.
跟蹤訓練
1.R
2.－6或2　解析：16的平方根為－4或4，即a＝－4或4，－8的立方根為－2，即b＝－2，∴a＋b＝－6或2.
【例2】　解：（1）（）2＝3.
（2）（）3＝－5.
（3）（）2＝a－1.
（4）＝－4.
（5）＝｜3－π｜＝π－3.
（6）∵a＞b，∴＝｜a－b｜＝a－b.
跟蹤訓練
　解：（1）原式＝（－2）＋（－2）＝－4.
（2）原式＝｜－2｜＋2＝2＋2＝4.
（3）原式＝｜x＋2｜＝
【例3】　解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜.
∵－3＜x＜3，∴當－3＜x＜1時，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x－2；
當1≤x＜3時，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4.
∴原式＝
母題探究
　解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜.
∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0，
∴原式＝－（x－1）＋（x＋3）＝4.
跟蹤訓練
　1　解析：∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴原式＝x－1＋｜x－2｜＝x－1－（x－2）＝1.
隨堂檢測
1.AC　（－4）2n＞0，故A有意義；（－4）2n＋1＜0，故B無意義；C顯然有意義；當a＜0時，a5＜0，此時無意義.
2.1　解析：∵x≠0，∴原式＝｜x｜－｜x｜＋＝1.
3.－1　解析：因為有意義，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－＝（2－x）－（3－x）＝－1.
3 / 3(共41張PPT)
4.1.1　根式
新課程標準解讀 核心素養
理解 n 次方根、 n 次根式的概念，能正確運用根式運
算性質化簡求值 數學抽象、
數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
公元前五世紀，古希臘有一個數學學派名叫畢達哥拉斯學派，其
學派中的一名成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對
角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數來
表示，希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數 的誕生.
【問題】　若 x2＝3，這樣的 x 有幾個？它們叫作3的什么？怎樣表
示？

知識點　 n 次方根
1. n 次方根
定
義 一般地，如果 xn ＝ a （ n ＞1， n ∈N*），那么稱 x 為 a 的

性
質 n 是奇數 a ∈R x ＝
n 是偶數 a ＞0 x ＝
a ＜0 x 不存在
0的 n 次方根等于0
n 次方
根　
　
± 　
2. 根式：式子 叫作 ，其中 n 叫作 ， a 叫
作 .
3. 根式的性質
（1） 沒有偶次方根；
（2）0的任何次方根都是0，記作 ＝ ；
（3）（ ） n ＝ （ n ∈N*，且 n ＞1）；
（4）①當 n 為奇數時， ＝ ；
②當 n 為偶數時， ＝｜ a ｜＝
根式　
根指數　
被開方數　
負數　
0　
a 　
a 　
1. m 是實數，則下列式子中可能沒有意義的是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　選項C中， m ＜0時， 沒有意義.故選C.
2. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 16的4次方根是2
B. 的運算結果是±2
C. 當 n 為大于1的奇數時， 對任意 a ∈R都有意義
D. 當 n 為大于1的偶數時， 只有當 a ≥0時才有意義
解析：16的4次方根應是±2； ＝2；易知C、D正確.故選C、D.
3. ＝ ； ＝ .
解析：當 n 為偶數時， ＝｜ a ｜，∴ ＝2；當 n 為奇數
時， ＝ a ，∴ ＝－2.
2　
－2　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 n次方根的概念
【例1】　（1）已知 x7＝8，則 x ＝ ；
解析：∵7為奇數，∴8的7次方根只有一個 .
（2）若 有意義，則實數 x 的取值范圍是 .
解析：∵ 有意義，∴ x －2≥0，∴ x ≥2，即 x 的取值范
圍是[2，＋∞）.
　
[2，＋∞）　
通性通法
1. 方根個數：正數的偶次方根有兩個且互為相反數，任意實數的奇次
方根只有一個.
2. 符號：根式 的符號由根指數 n 的奇偶性及被開方數 a 的符號共
同確定.
（1）當 n 為偶數，且 a ≥0時， 為非負實數；
（2）當 n 為奇數時， 的符號與 a 的符號一致.
【跟蹤訓練】
1. 若 有意義，則 x 的取值范圍為 .
2. 若16的平方根為 a ，－8的立方根為 b ，則 a ＋ b ＝ .
解析：16的平方根為－4或4，即 a ＝－4或4，－8的立方根為－2，
即 b ＝－2，∴ a ＋ b ＝－6或2.
R　
－6或2　
題型二 利用根式的性質化簡或求值
【例2】　（鏈接教科書第82頁例1）化簡或求值：
（1）（ ）2；　
解：（ ）2＝3.
（2）（ ）3；　
解：（ ）3＝－5.
（3）（ ）2；
解：（ ）2＝ a －1.
（4） ；　
解： ＝－4.
（5） ；
解： ＝｜3－π｜＝π－3.
（6） （ a ＞ b ）.
解：∵ a ＞ b ，∴ ＝｜ a － b ｜＝ a － b .
通性通法
正確區分 與（ ） n
（1）（ ） n 已暗含了 有意義，根據 n 的奇偶性可知 a 的范圍；
（2） 中的 a 可以是全體實數， 的值取決于 n 的奇偶性.
【跟蹤訓練】
化簡或求值：
（1） ＋（ ）5；
解：原式＝（－2）＋（－2）＝－4.
（2） ＋（ ）6；
解：原式＝｜－2｜＋2＝2＋2＝4.
（3） .
解：原式＝｜ x ＋2｜＝
題型三 有限制條件的根式的化簡
【例3】　設－3＜ x ＜3，化簡 － .
解：原式＝ － ＝｜ x －1｜－｜ x ＋3｜.
∵－3＜ x ＜3，∴當－3＜ x ＜1時，原式＝－（ x －1）－（ x ＋3）＝
－2 x －2；
當1≤ x ＜3時，原式＝（ x －1）－（ x ＋3）＝－4.
∴原式＝
【母題探究】
（變條件）本例中，若將“－3＜ x ＜3”變為“ x ≤－3”，則結果又
是什么？
解：原式＝ － ＝｜ x －1｜－｜ x ＋3｜.
∵ x ≤－3，∴ x －1＜0， x ＋3≤0，
∴原式＝－（ x －1）＋（ x ＋3）＝4.
通性通法
有限制條件的根式的化簡
（1）有限制條件根式的化簡問題，是指被開方數或被開方的表達式
可以通過配方、拆分等方式進行化簡；
（2）有限制條件根式的化簡經常用到配方的方法.當根指數為偶數
時，在利用公式化簡時，要考慮被開方數或被開方的表達式的
正負.當 n 為偶數時， 先化為｜ a ｜，再根據 a 的正負去絕
對值符號.
【跟蹤訓練】
已知 x ∈[1，2]，化簡（ ）4＋ ＝ .
解析：∵ x ∈[1，2]，∴ x －1≥0， x －2≤0，∴原式＝ x －1＋｜ x －
2｜＝ x －1－（ x －2）＝1.
1　
1. （多選）若 n ∈N， a ∈R，則下列式子有意義的是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　（－4）2 n ＞0，故A有意義；（－4）2 n＋1＜0，故B無
意義；C顯然有意義；當 a ＜0時， a5＜0，此時 無意義.
2. 若 x ≠0，則｜ x ｜－ ＋ ＝ .
解析：∵ x ≠0，∴原式＝｜ x ｜－｜ x ｜＋ ＝1.
3. 當 有意義時，化簡 － ＝ .
解析：因為 有意義，所以2－ x ≥0，即 x ≤2，所以原式＝
－ ＝（2－ x ）－（3－ x ）＝－1.
1　
－1　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若 ＋（ a －4）0有意義，則 a 的取值范圍是（　　）
A. [2，＋∞）
B. [2，4）∪（4，＋∞）
C. （－∞，2）∪（2，＋∞）
D. （－∞，4）∪（4，＋∞）
解析：　由題意可知， a －2≥0且 a －4≠0，∴ a 的取值范圍是 a
≥2且 a ≠4.故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 下列各式正確的是（　　）
A. ＝－3 B. ＝ a
C. ＝2 D. ＝7
解析：　由于 ＝3， ＝｜ a ｜， ＝－7，故
A、B、D錯誤.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知 m10＝2，則 m ＝（　　）
A. B. －
C. D. ±
解析：　因為 m10＝2，所以 m 是2的10次方根.又10是偶數，所以
2的10次方根有兩個，且互為相反數.所以 m ＝± .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 若 a ＜ ，則化簡 的結果是（　　）
A. 4 a －1 B. 1－4 a
C. － D. －
解析：　∵ a ＜ ，∴4 a －1＜0，∴ ＝｜4 a －1｜
＝－（4 a －1）＝1－4 a .故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 化簡 － ＝（　　）
A. 6 B. 2 x
C. 6或－2 x D. 6或2 x 或－2 x
解析：　原式＝｜ x ＋3｜－（ x －3），當 x ≥－3時，原式＝6；
當 x ＜－3時，原式＝－2 x .故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. （多選）下列選項中正確的是（　　）
A. ＝5 B. 64的6次方根是±2
C. ＝±3 D. ＝｜ x ＋ y ｜
解析：　 n 為奇數時，負數的 n 次方根是一個負數， ＝
－5，故A錯誤；64的6次方根有兩個，為±2，故B正確； ＝
3，故C錯誤； 是正數，故 ＝｜ x ＋ y ｜，
故D正確.故選B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 若 ＝ ，則實數 a 的取值范圍為
解析： ＝｜2 a －1｜， ＝1－2 a .因
為｜2 a －1｜＝1－2 a ，故2 a －1≤0，所以 a ≤ .
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 已知 y ＝ －｜2－ x ｜，則當2＜ x ＜3時， y ＝ ；當 x ＞3時， y ＝ .
解析： y ＝ －｜2－ x ｜＝ －｜2－ x ｜
＝｜ x －3｜－｜2－ x ｜，當2＜ x ＜3時， y ＝3－ x ＋2－ x ＝5－2
x ；當 x ＞3時， y ＝ x －3＋2－ x ＝－1.
5－2 x
－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 計算： ＋ ＝ 　2 　.
解析：法一　原式＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋1＋ －1＝2 .
2 　
法二　令 x ＝ ＋ ，兩邊平方得 x2＝6＋2 ＝8.因為 x ＞0，所以 x ＝2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 化簡：（1） （ a ≤－ ）；
解：∵ a ≤－ ，∴2 a ＋1≤0，
∴ ＝ ＝｜2 a ＋1｜＝－2 a －1.
（2） （ x ＜ y ， n ＞1， n ∈N*）.
解：∵ x ＜ y ，∴ x － y ＜0，
∴當 n 為大于1的偶數時， ＝｜ x － y ｜＝ y － x ；
當 n 為大于1的奇數時， ＝ x － y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 當 a ＞0時， ＝（　　）
A. x ＝ B. x
C. － x D. － x
解析：　∵ a ＞0，∴ x ＜0， ＝｜ x ｜ ＝－ x
.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 化簡（ ）2＋ ＋ 的結果是（　　）
A. 1－ a B. 2（1－ a ）
C. a －1 D. 2（ a －1）
解析：　∵ 有意義，∴ a －1≥0，即 a ≥1.
∴（ ）2＋ ＋ ＝（ a －1）＋｜1
－ a ｜＋（1－ a ）＝（ a －1）＋（ a －1）＋（1－ a ）＝ a －1，
故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 已知 ＋ ＝－ a － b ，則 ＋ ＝ .
解析：因為 ＋ ＝－ a － b .所以 ＝－ a ， ＝－
b ，所以 a ≤0， b ≤0，所以 a ＋ b ≤0，所以原式＝｜ a ＋ b ｜＋ a
＋ b ＝－（ a ＋ b ）＋ a ＋ b ＝0.
0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 已知 a ＜ b ＜0， n ＞1， n ∈N*，化簡 ＋ .
解：∵ a ＜ b ＜0，∴ a － b ＜0， a ＋ b ＜0.
當 n 是奇數時，
原式＝（ a － b ）＋（ a ＋ b ）＝2 a ；
當 n 是偶數時，原式＝｜ a － b ｜＋｜ a ＋ b ｜＝（ b － a ）＋（－
a － b ）＝－2 a .
∴ ＋ ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑