資源簡介

第2課時　換底公式及對數的應用
1.化簡log612－2log6＝（　　）
A.6 B.12
C.log6 D.
2.log29×log34＝（　　）
A. B.
C.2 D.4
3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，則log36＝（　　）
A. B.
C. D.
4.＋＝（　　）
A.lg 3 B.－lg 3
C. D.－
5.（多選）設a，b，c均為不等于1的正實數，則下列等式中恒成立的是（　　）
A.logab·logcb＝logca
B.logab·logca＝logcb
C.2lg a＋2lg b＝2lg（ab）
D.2lg（ab）＝2lg a·2lg b
6.（多選）若實數a，b滿足2a＝5b＝10，則下列關系正確的有（　　）
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
7.計算：lg 25＋lg 2－log29×log32＝　　　　.
8.已知log32＝m，則log3218＝　　　　（用m表示）.
9.已知a，b，c是不等于1的正數，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，則abc＝　　　　.
10.計算下列各式的值：
（1）log535＋2lo－log5－log514；
（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
11.計算log89×log910×log1011×…×log3132的結果為（　　）
A.4　　 　B. C.　　 　D.
12.（多選）已知2a＝3，b＝log32，則（　　）
A.ab＝1
B.a＋b＞2
C.3b＋3－b＝
D.＝log912
13.已知a，b均為正實數，若logab＋logba＝，ab＝ba，則＝　　　　.
14.分貝是計量聲音強度相對大小的單位.物理學家引入了聲壓級來描述聲音的大小：把一很小的聲壓P0＝2×10－5帕作為參考聲壓，把所要測量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對數后乘20得到的數值稱為聲壓級.聲壓級是聽力學中最重要的參數之一，單位是分貝（dB）.分貝值在60以下為無害區，說明聲音環境優良，60～110為過渡區，110以上為有害區.
（1）試列出分貝y與聲壓P的函數關系式；
（2）某地聲壓P＝0.002帕，則該地為以上所說的什么區？聲音環境是否優良？
15.已知正實數u，v，w均不等于1，若loguvw＋logvw＝5，logvu＋logwv＝3，求logwu的值.
第2課時　換底公式及對數的應用
1.C　原式＝log6－log62＝log6＝log6，故選C.
2.D　法一　原式＝×＝＝4.
法二　原式＝2log23×＝2×2＝4.故選D.
3.B　因為lg 2＝a，lg 3＝b，所以log36＝＝＝.故選B.
4.C　原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo（＋lo＝lo（×）＝lo＝＝＝.
5.BD　log24×log164＝2×＝1≠log162＝，因而A錯誤；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正確；2lg（ab）＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正確，C錯誤.
6.AB　a＝log210，b＝log510，A中，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正確；B中，＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正確；C和D中，＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D錯誤.故選A、B.
7.－1　解析：lg 25＋lg 2－log29×log32＝lg 5＋lg 2－2log23×log32＝1－2＝－1.
8.　解析：log3218＝＝＝＝.
9.1　解析：設ax＝by＝cz＝t，則x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1.
10.解：（1）原式＝log535＋log550－log514＋2lo
＝log5＋lo2
＝log553－1＝2.
（2）法一　原式＝（log253＋＋）·（log52＋＋）
＝（3log25＋＋）（log52＋＋）
＝（3＋1＋）log25·3log52＝13log25·＝13.
法二　原式＝（＋＋）·（＋＋）＝（＋＋）（＋＋）＝·＝13.
11.B　log89×log910×log1011×…×log3132
＝×××…×＝＝＝，故選B.
12.ABD　∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23×log32＝1，故A正確；a＋b＞2＝2，故B正確；3b＋3－b＝2＋＝，故C錯誤；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正確.故選A、B、D.
13.2或　解析：令t＝logab，則t＋＝，∴2t2－5t＋2＝0，即（2t－1）（t－2）＝0，解得t＝或t＝2，∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b，∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴＝2或＝.
14.解：（1）由已知得y＝20lg （其中P0＝2×10－5）.
（2）當P＝0.002 時，y＝20lg ＝20lg 102＝40（分貝）.
由已知條件知40分貝小于60分貝，
所以此地為噪音無害區，聲音環境優良.
15.解：令loguv＝a，logvw＝b，
則logvu＝，logwv＝，
則loguvw＝loguv＋loguv·logvw＝a＋ab，
即a＋ab＋b＝5，＋＝3，則ab＝，
因此logwu＝logwv·logvu＝.
1 / 2第2課時　換底公式及對數的應用
　　利用計算器可以求出一些常用對數的值，例如：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1.
【問題】　（1）已知lg 2，lg 3的值，如何求log23的值（結果保留四位小數）？
（2）已知lg 2，lg 3的值，如何求log35的值（結果保留四位小數）？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　換底公式
1.換底公式
logaN＝　　　　（a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1）.
2.幾個常用推論
（1）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，n≠0）；
（2）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，m≠0，n∈R）；
（3）logab＝（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）；
（4）logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）.
提醒　（1）公式成立的條件要使每一個對數式都有意義；（2）在具體運算中，我們習慣換成常用對數或自然對數，即logab＝或logab＝.
【想一想】
換底公式中底數c是特定數還是任意數？
1.＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.log29×log32＝　　　　.
3.log48＝　　　　.
題型一 利用換底公式化簡求值
【例1】　（鏈接教科書第92頁例8）求log89×log2732的值.
通性通法
利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
【跟蹤訓練】
1.計算：＝　　　　.
2.計算：＝　　　　.
題型二 用已知對數表示其他對數
【例2】　（鏈接教科書第99頁13題）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
通性通法
用已知對數的值表示所求對數的值的注意點
（1）增強目標意識，合理地把所求向已知條件靠攏，巧妙代換；
（2）巧用換底公式，靈活“換底”是解決這種類型問題的關鍵；
（3）注意一些派生公式的使用.
【跟蹤訓練】
（2024·徐州期中）設a＝lg 6，b＝lg 20，則log43＝（　　）
A. B.
C. D.
題型三 對數的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第92頁例10）一種放射性物質不斷變化為其他物質，若這種放射性物質最初的質量是1，經過x年后，剩余量為y＝0.75x，估計經過多少年，該物質的剩余量是原來的？（結果精確到個位，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
通性通法
關于對數運算在實際問題中的應用
（1）在與對數相關的實際問題中，先將題目中數量關系理清，再將相關數據代入，最后利用對數運算性質、換底公式進行計算；
（2）在與指數相關的實際問題中，可將指數式利用取對數的方法，轉化為對數運算，從而簡化復雜的指數運算.
【跟蹤訓練】
標準的圍棋棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現“黑”“白”“空”三種情況，因此有3361種不同的情況.而我國北宋學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即10 00052，下列數據最接近的是（lg 3≈0.477）（　　）
A.10－37　　　　　　　 B.10－36
C.10－35 D.10－34
1.（2024·淮安期中）已知2a＝5，則lg 2＝（　　）
A. B.
C. D.
2.（多選）下列等式成立的是（　　）
A.log54＝
B.log916×log881＝
C.log54＝
D.lo＋lo＝－lg 3
3.（2024·連云港期末）log927＝　　　　　.
4.已知2x＝3，log4＝y，求x＋2y的值.
第2課時　換底公式及對數的應用
【基礎知識·重落實】
知識點
1.
想一想
　提示：c是大于0且不等于1的任意數.
自我診斷
1.B　＝log39＝2.故選B.
2.2　解析：log29×log32＝×＝＝2.
3.　解析：log48＝lo23＝log22＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：法一　log89×log2732＝×＝×＝.
法二　log89×log2732＝×＝×＝.
法三　log89×log2732＝lo32×lo25＝log23×log32＝×＝.
跟蹤訓練
1.　解析：法一　將分子、分母利用換底公式轉化為常用對數，即＝＝·＝.
法二　將分子利用換底公式轉化為以2為底的對數，即＝＝＝.
2.－　解析：原式＝lo×lo9＝lo×3lo32＝－log32×3log23＝－.
【例2】　解：∵18b＝5，∴log185＝b，又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝＝.
跟蹤訓練
　C　a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝lg 10＋lg 2＝1＋lg 2，聯立方程組解得lg 2＝b－1，lg 3＝a－b＋1，則log43＝＝＝.故選C.
【例3】　解：依題意，得＝0.75x，即x＝＝＝≈≈4，
故大約經過4年，該物質的剩余量是原來的.
跟蹤訓練
　B　根據題意，對取常用對數得lg ＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，則≈10－35.8，選項B中的10－36與其最接近.
隨堂檢測
1.C　由2a＝5得，a＝log25＝＝，則lg 2＝.故選C.
2.AB　由換底公式的定義知，A成立，C不成立；log916×log881＝×＝×＝，故B成立；lo＋lo＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝≠－lg 3，故D不成立.故選A、B.
3.　解析：log927＝lo33＝log33＝.
4.解：因為x＝log23，y＝（log28－log23）＝（3－log23），
所以x＋2y＝log23＋3－log23＝3.
2 / 3(共47張PPT)
第2課時
換底公式及對數的應用
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　利用計算器可以求出一些常用對數的值，例如：lg 2≈0.301 0，lg
3≈0.477 1.
【問題】　（1）已知lg 2，lg 3的值，如何求log23的值（結果保留四
位小數）？
（2）已知lg 2，lg 3的值，如何求log35的值（結果保留四位小數）？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　換底公式
1. 換底公式
log aN ＝ （ a ＞0， a ≠1， N ＞0， c ＞0， c ≠1）.
　
2. 幾個常用推論
（1）lo bn ＝log ab （ a ＞0， a ≠1， b ＞0， n ≠0）；
（2）lo bn ＝ log ab （ a ＞0， a ≠1， b ＞0， m ≠0， n∈R）；
（3）log ab ＝ （ a ＞0， a ≠1； b ＞0， b ≠1）；
（4）log ab ·log ba ＝1（ a ＞0， a ≠1； b ＞0， b ≠1）.
提醒　（1）公式成立的條件要使每一個對數式都有意義；
（2）在具體運算中，我們習慣換成常用對數或自然對數，即
log ab ＝ 或log ab ＝ .
【想一想】
換底公式中底數 c 是特定數還是任意數？
提示： c 是大于0且不等于1的任意數.
1. ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　 ＝log39＝2.故選B.
2. log29×log32＝ .
解析：log29×log32＝ × ＝ ＝2.
3. log48＝ .
解析：log48＝lo 23＝ log22＝ .
2　
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 利用換底公式化簡求值
【例1】　（鏈接教科書第92頁例8）求log89×log2732的值.
解：法一　log89×log2732＝ × ＝ × ＝ .
法二　log89×log2732＝ × ＝ × ＝ .
法三　log89×log2732＝lo 32×lo 25＝ log23× log32＝ × ＝
.
通性通法
利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
【跟蹤訓練】
1. 計算： ＝ 　 　.
解析：法一　將分子、分母利用換底公式轉化為常用對數，即
＝ ＝ · ＝ .
　
法二　將分子利用換底公式轉化為以2為底的對數，即 ＝ ＝
＝ .
2. 計算： ＝ 　－ 　.
解析：原式＝lo ×lo 9＝lo ×3lo 32＝－
log32×3log23＝－ .
－ 　
題型二 用已知對數表示其他對數
【例2】　（鏈接教科書第99頁13題）已知log189＝ a ，18 b ＝5，用
a ， b 表示log3645.
解：∵18 b ＝5，∴log185＝ b ，又log189＝ a ，∴log3645＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
用已知對數的值表示所求對數的值的注意點
（1）增強目標意識，合理地把所求向已知條件靠攏，巧妙代換；
（2）巧用換底公式，靈活“換底”是解決這種類型問題的關鍵；
（3）注意一些派生公式的使用.
【跟蹤訓練】
（2024·徐州期中）設 a ＝lg 6， b ＝lg 20，則log43＝（　　）
解析：　 a ＝lg 6＝lg 2＋lg 3， b ＝lg 20＝lg 10＋lg 2＝1＋lg 2，聯
立方程組解得lg 2＝ b －1，lg 3＝ a － b ＋1，則log43
＝ ＝ ＝ .故選C.
題型三 對數的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第92頁例10）一種放射性物質不斷變化為其
他物質，若這種放射性物質最初的質量是1，經過 x 年后，剩余量為 y
＝0.75 x ，估計經過多少年，該物質的剩余量是原來的 ？（結果精確
到個位，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：依題意，得 ＝0.75 x ，即 x ＝ ＝ ＝ ≈
≈4，
故大約經過4年，該物質的剩余量是原來的 .
通性通法
關于對數運算在實際問題中的應用
（1）在與對數相關的實際問題中，先將題目中數量關系理清，再將
相關數據代入，最后利用對數運算性質、換底公式進行計算；
（2）在與指數相關的實際問題中，可將指數式利用取對數的方法，
轉化為對數運算，從而簡化復雜的指數運算.
【跟蹤訓練】
標準的圍棋棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現
“黑”“白”“空”三種情況，因此有3361種不同的情況.而我國北宋
學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個問題，他分析得
出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即10 00052，
下列數據最接近 的是（lg 3≈0.477）（　　）
A. 10－37 B. 10－36
C. 10－35 D. 10－34
解析：　根據題意，對 取常用對數得lg ＝lg 3361－lg
10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，則 ≈10－35.8，選項B中的
10－36與其最接近.
1. （2024·淮安期中）已知2 a ＝5，則lg 2＝（　　）
解析：　由2 a ＝5得， a ＝log25＝ ＝ ，則lg 2＝ .
故選C.
2. （多選）下列等式成立的是（　　）
解析：　由換底公式的定義知，A成立，C不成立；
log916×log881＝ × ＝ × ＝ ，故B成立；lo ＋lo
＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝ ≠－lg 3，故D不成
立.故選A、B.
3. （2024·連云港期末）log927＝
解析：log927＝lo 33＝ log33＝ .
4. 已知2 x ＝3，log4 ＝ y ，求 x ＋2 y 的值.
解：因為 x ＝log23， y ＝ （log28－log23）＝ （3－log23），
所以 x ＋2 y ＝log23＋3－log23＝3.
　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 化簡 log612－2log6 ＝（　　）
解析：　原式＝log6 －log62＝log6 ＝log6 ，故選C.
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2. log29×log34＝（　　）
C. 2 D. 4
解析：　法一　原式＝ × ＝ ＝4.
法二　原式＝2log23× ＝2×2＝4.故選D.
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3. 已知lg 2＝ a ，lg 3＝ b ，則log36＝（　　）
解析：　因為lg 2＝ a ，lg 3＝ b ，所以log36＝ ＝ ＝
.故選B.
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4. ＋ ＝（　　）
A. lg 3 B. －lg 3
解析：　原式＝lo ＋lo ＝ lo ＋lo ＝lo （ ＋
lo ＝lo （ × ）＝lo ＝ ＝ ＝ .
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5. （多選）設 a ， b ， c 均為不等于1的正實數，則下列等式中恒成立
的是（　　）
A. log ab ·log cb ＝log ca B. log ab ·log ca ＝log cb
C. 2lg a ＋2lg b ＝2lg（ ab） D. 2lg（ ab）＝2lg a ·2lg b
解析：　log24×log164＝2× ＝1≠log162＝ ，因而A錯誤；log
ab ·log ca ＝ · ＝ ＝log cb ，因而B正確；2lg（ ab）＝2lg a＋lg b ＝2lg
a ·2lg b ，故D正確，C錯誤.
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6. （多選）若實數 a ， b 滿足2 a ＝5 b ＝10，則下列關系正確的有
（　　）
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解析：　 a ＝log210， b ＝log510，A中， ＋ ＝ ＋
＝lg 2＋lg 5＝1，故A正確；B中， ＋ ＝ ＋ ＝lg 4＋lg
5＝lg 20，故B正確；C和D中， ＋ ＝ ＋ ＝lg 2＋lg 25
＝lg 50，故C、D錯誤.故選A、B.
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7. 計算： lg 25＋lg 2－log29×log32＝ .
解析： lg 25＋lg 2－log29×log32＝lg 5＋lg 2－2log23×log32＝1－
2＝－1.
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8. 已知log32＝ m ，則log3218＝ （用 m 表示）.
解析：log3218＝ ＝ ＝ ＝ .
　
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9. 已知 a ， b ， c 是不等于1的正數，且 ax ＝ by ＝ cz ， ＋ ＋ ＝0，
則 abc ＝ .
解析：設 ax ＝ by ＝ cz ＝ t ，則 x ＝log at ， y ＝log bt ， z ＝log ct ，∴
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝log ta ＋log tb ＋log tc ＝log t （ abc ）
＝0，∴ abc ＝ t0＝1.
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10. 計算下列各式的值：
（1）log535＋2lo －log5 －log514；
解：原式＝log535＋log550－log514＋2lo
＝log5 ＋lo 2
＝log553－1＝2.
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（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
解：法一　原式＝（log253＋ ＋ ）·（log52＋ ＋ ）
＝（3log25＋ ＋ ）（log52＋ ＋ ）
＝（3＋1＋ ）log25·3log52＝13log25· ＝13.
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法二　原式＝（ ＋ ＋ ）（ ＋ ＋ ）＝（ ＋
＋ ）（ ＋ ＋ ）＝ · ＝13.
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11. 計算log89×log910×log1011×…×log3132的結果為（　　）
A. 4
解析：　log89×log910×log1011×…×log3132
＝ × × ×…× ＝ ＝ ＝ ，故選B.
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12. （多選）已知2 a ＝3， b ＝log32，則（　　）
A. ab ＝1 B. a ＋ b ＞2
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解析：　∵2 a ＝3，∴ a ＝log23，∵ b ＝log32，∴ ab ＝
log23×log32＝1，故A正確； a ＋ b ＞2 ＝2，故B正確；3 b ＋3
－ b ＝2＋ ＝ ，故C錯誤； ＝ ＝ ＝ ＋ ＝
log32＋log3 ＝log32 ＝ ＝2log9 ＝log912，故D正
確.故選A、B、D.
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13. 已知 a ， b 均為正實數，若log ab ＋log ba ＝ ， ab ＝ ba ，則 ＝
.
解析：令 t ＝log ab ，則 t ＋ ＝ ，∴2 t2－5 t ＋2＝0，即（2 t －1）
（ t －2）＝0，解得 t ＝ 或 t ＝2，∴log ab ＝ 或log ab ＝2，∴ a ＝
b2或 a2＝ b ，∵ ab ＝ ba ，代入得2 b ＝ a ＝ b2或 b ＝2 a ＝ a2，∴ b ＝
2， a ＝4或 a ＝2， b ＝4，∴ ＝2或 ＝ .
2或
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14. 分貝是計量聲音強度相對大小的單位.物理學家引入了聲壓級來描
述聲音的大小：把一很小的聲壓 P0＝2×10－5帕作為參考聲壓，
把所要測量的聲壓 P 與參考聲壓 P0的比值取常用對數后乘20得到
的數值稱為聲壓級.聲壓級是聽力學中最重要的參數之一，單位是
分貝（dB）.分貝值在60以下為無害區，說明聲音環境優良，
60～110為過渡區，110以上為有害區.
（1）試列出分貝 y 與聲壓 P 的函數關系式；
解：由已知得 y ＝20lg （其中 P0＝2×10－5）.
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（2）某地聲壓 P ＝0.002帕，則該地為以上所說的什么區？聲音
環境是否優良？
解：當 P ＝0.002 時， y ＝20lg ＝20lg 102＝40（分貝）.
由已知條件知40分貝小于60分貝，
所以此地為噪音無害區，聲音環境優良.
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15. 已知正實數 u ， v ， w 均不等于1，若log uvw ＋log vw ＝5，log vu ＋
log wv ＝3，求log wu 的值.
解：令log uv ＝ a ，log vw ＝ b ，
則log vu ＝ ，log wv ＝ ，
則log uvw ＝log uv ＋log uv ·log vw ＝ a ＋ ab ，
即 a ＋ ab ＋ b ＝5， ＋ ＝3，則 ab ＝ ，
因此log wu ＝log wv ·log vu ＝ .
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