資源簡介

章末檢測（四）　指數與對數
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.＝（　　）
A.±4 B.4
C.－4 D.－8
2.化簡（的結果是（　　）
A. B.
C.3 D.5
3.已知a，s，t都是正實數，且a≠1，下列運算一定正確的是（　　）
A.as＋at＝as＋t
B.asat＝as＋t
C.logas＋logat＝loga（s＋t）
D.logas·logat＝loga（st）
4.若alog53＝1，則3a＋9a＝（　　）
A.15 B.20
C.25 D.30
5.若lg 2＋lg（2x＋5）＝2lg（2x＋1），則x＝（　　）
A.1 B.0或
C.log23 D.
6.已知2a＝5，log83＝b，則2a－3b＝（　　）
A.25 B.5
C. D.
7.《千字文》是我國傳統的啟蒙讀物，相傳是南北朝時期梁武帝命人從王羲之的書法作品中選取1 000個不重復的漢字，讓周興嗣編纂而成的，全文為四字句，對仗工整，條理清晰，文采斐然.已知將1 000個不同漢字任意排列，大約有4.02×102 567種方法，設這個數為N，則lg N的整數部分為（lg 4.02≈0.604）（　　）
A.2 566 B.2 567
C.2 568 D.2 569
8.設f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），現把滿足乘積f（1）·f（2）·…·f（n）為整數的n叫作“賀數”，則在區間（1，2 024）內所有“賀數”的個數是（　　）
A.9 B.10
C.29 D.210
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列說法中正確的有（　　）
A.＝
B.lg x2＝（lg x）2
C.若a＋a－1＝4，則＋＝
D.若a＝log32，則log23＝
10.下列化簡或運算正確的是（　　）
A.lg 5＋lg 2＝1 B.·＝（a＞0）
C.＝－（x＞0） D.＝3
11.已知3a＝5b＝15，則a，b滿足的關系是（　　）
A.ab＞4
B.a＋b＞4
C.a2＋b2＜4
D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.使對數loga（－2a＋1）有意義的a的取值范圍為　　　　.
13.方程＝25的解是　　　　.
14.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k＝1，2）.已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）將下列根式化為分數指數冪的形式：
（1）（a＞0）；
（2）；
（3）（（b＞0）.
16.（本小題滿分15分）（1）已知3m＝4n＝36，求＋的值；
（2）已知log37＝a，2b＝3，用a，b表示log1456.
17.（本小題滿分15分）計算：
（1）log2.56.25＋lg＋ln（e）＋log2（log216）；
（2）（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log6－log62）.
18.（本小題滿分17分）已知x，y，z為正數，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
（1）求p；
（2）求證：－＝.
19.（本小題滿分17分）20世紀30年代，里克特和古登堡提出了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lg A－lg A0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀與實際震中的距離造成的偏差）.
（1）假設在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，試計算這次地震的震級；（精確到0.1，其中lg 2≈0.301）
（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍？（精確到1，其中102.6≈398.1）.
章末檢測（四）　指數與對數
1.C　＝＝－4.故選C.
2.A　（＝＝（）－1＝.故選A.
3.B　A中，當a＝s＝t＝2時，22＋22≠22＋2，故A錯誤；B中，根據指數冪的運算性質可知：同底數冪相乘，底數不變指數相加，故B正確；C中，當a＝2，s＝t＝4時，log24＋log24≠log2（4＋4），故C錯誤；D中，當a＝s＝t＝2時，log22·log22≠log2（2×2），故D錯誤.故選B.
4.D　∵alog53＝1，∴a＝＝log35，∴3a＋9a＝＋（）2＝5＋25＝30.故選D.
5.C　∵lg 2＋lg（2x＋5）＝2lg（2x＋1），∴2（2x＋5）＝（2x＋1）2，（2x）2－9＝0，2x＝3，x＝log23.故選C.
6.D　由log83＝b得8b＝3，即23b＝3，∴2a－3b＝＝.故選D.
7.B　由題意可知，lg N＝lg（4.02×102 567）＝2 567＋lg 4.02≈2 567.604.所以lg N的整數部分為2 567.
8.A　∵f（n）＝log（n＋1）（n＋2）＝，∴f（1）·f（2）·…·f（n）＝··…·＝＝log2（n＋2）.∵n∈（1，2 024），∴n＋2∈（3，2 026）.∵210＝1 024，211＝2 048，∴在（3，2 026）內，有22，23，…，210共9個2的冪，故選A.
9.CD　對于A選項，當x＜0時，＞0，＝＜0，故A錯誤；對于B選項，當x＜0時，lg x2有意義，（lg x）2無意義，故B錯誤；對于C選項，若a＋a－1＝4，則a＞0，＋＞0，因為（＋）2＝a＋a－1＋2＝4＋2＝6，故＋＝，故C正確；對于D選項，若a＝log32，由換底公式可得＝＝log23，故D正確.故選C、D.
10.ABD　由對數運算法則可知lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，＝3，即A、D正確；由指數運算法則可知·＝＝，＝，即B正確，C錯誤.故選A、B、D.
11.ABD　因為3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝，log155＝，所以＋＝1.由≤≤≤，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故選A、B、D.
12.　解析：使對數loga（－2a＋1）有意義的a需滿足解得0＜a＜.
13.26　解析：由＝25，所以log5（x－1）＝2，則x－1＝25，x＝26.
14.1010.1　解析：令太陽的星等m1＝－26.7，天狼星的星等m2＝－1.45，則lg＝（m2－m1）＝（－1.45＋26.7）＝10.1，則太陽與天狼星的亮度的比值為＝1010.1.
15.解：（1）原式＝＝＝＝.
（2）原式＝＝＝＝＝＝.
（3）原式＝[（＝＝.
16.解：（1）由3m＝4n＝36得m＝log336＝2log36，n＝log436＝lo62＝log26，
所以＋＝＋＝log63＋log62＝log6（2×3）＝1.
（2）因為2b＝3，所以b＝log23，
即log1456＝＝＝＝＝.
17.解：（1）原式＝2－2＋＋log24＝.
（2）原式＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log618－log62）＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log632＋log62－log62）
＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×log63
＝（log62＋log63）2＝1.
18.解：（1）設3x＝4y＝6z＝k（顯然k＞0，且k≠1），
則x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34＝4log32.
（2）證明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，又＝logk4＝logk2，∴－＝.
19.解：（1）M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.因此，這是一次約為里氏4.3級的地震.
（2）由M＝lg A－lg A0可得M＝lg ，則＝10M，即A＝A0·10M.
當M＝7.6時，最大振幅A1＝A0·107.6；
當M＝5時，最大振幅A2＝A0·105，
所以兩次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398.
因此，7.6級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的398倍.
2 / 3(共32張PPT)
章末檢測（四）指數與對數
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. ＝（　　）
A. ±4 B. 4 C. －4 D. －8
解析：　 ＝ ＝－4.故選C.
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2. 化簡（ 的結果是（　　）
A. B. C. 3 D. 5
解析：　（ ＝ ＝（ ）－1＝ .故選A.
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3. 已知 a ， s ， t 都是正實數，且 a ≠1，下列運算一定正確的是（　　）
A. as ＋ at ＝ as＋ t
B. asat ＝ as＋ t
C. log as ＋log at ＝log a （ s ＋ t ）
D. log as ·log at ＝log a （ st ）
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解析：　A中，當 a ＝ s ＝ t ＝2時，22＋22≠22＋2，故A錯誤；B
中，根據指數冪的運算性質可知：同底數冪相乘，底數不變指數相
加，故B正確；C中，當 a ＝2， s ＝ t ＝4時，log24＋log24≠log2（4
＋4），故C錯誤；D中，當 a ＝ s ＝ t ＝2時，log22·log22≠log2
（2×2），故D錯誤.故選B.
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4. 若 a log53＝1，則3 a ＋9 a ＝（　　）
A. 15 B. 20
C. 25 D. 30
解析：　∵ a log53＝1，∴ a ＝ ＝log35，∴3 a ＋9 a ＝ ＋
（ ）2＝5＋25＝30.故選D.
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5. 若lg 2＋lg（2 x ＋5）＝2lg（2 x ＋1），則 x ＝（　　）
A. 1 B. 0或
C. log23 D.
解析：　∵lg 2＋lg（2 x ＋5）＝2lg（2 x ＋1），∴2（2 x ＋5）＝
（2 x ＋1）2，（2 x ）2－9＝0，2 x ＝3， x ＝log23.故選C.
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6. 已知2 a ＝5，log83＝ b ，則2 a－3 b ＝（　　）
A. 25 B. 5
C. D.
解析：　由log83＝ b 得8 b ＝3，即23 b ＝3，∴2 a－3 b ＝ ＝
.故選D.
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7. 《千字文》是我國傳統的啟蒙讀物，相傳是南北朝時期梁武帝命人
從王羲之的書法作品中選取1 000個不重復的漢字，讓周興嗣編纂
而成的，全文為四字句，對仗工整，條理清晰，文采斐然.已知將1
000個不同漢字任意排列，大約有4.02×102 567種方法，設這個數為
N ，則lg N 的整數部分為（lg 4.02≈0.604）（　　）
A. 2 566 B. 2 567
C. 2 568 D. 2 569
解析：　由題意可知，lg N ＝lg（4.02×102 567）＝2 567＋lg
4.02≈2 567.604.所以lg N 的整數部分為2 567.
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8. 設 f （ n ）＝log（ n＋1）（ n ＋2）（ n ∈N*），現把滿足乘積 f
（1）· f （2）·…· f （ n ）為整數的 n 叫作“賀數”，則在區間
（1，2 024）內所有“賀數”的個數是（　　）
A. 9 B. 10
C. 29 D. 210
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解析：　∵ f （ n ）＝log（ n＋1）（ n ＋2）＝ ，∴ f
（1）· f （2）·…· f （ n ）＝ · ·…· ＝ ＝log2
（ n ＋2）.∵ n ∈（1，2 024），∴ n ＋2∈（3，2 026）.∵210＝
1 024，211＝2 048，∴在（3，2 026）內，有22，23，…，210共9個
2的冪，故選A.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6
分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列說法中正確的有（　　）
A. ＝
B. lg x2＝（lg x ）2
C. 若 a ＋ a－1＝4，則 ＋ ＝
D. 若 a ＝log32，則log23＝
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解析：　對于A選項，當 x ＜0時， ＞0， ＝ ＜0，故A
錯誤；對于B選項，當 x ＜0時，lg x2有意義，（lg x ）2無意義，故B
錯誤；對于C選項，若 a ＋ a－1＝4，則 a ＞0， ＋ ＞0，因為
（ ＋ ）2＝ a ＋ a－1＋2＝4＋2＝6，故 ＋ ＝ ，故C正
確；對于D選項，若 a ＝log32，由換底公式可得 ＝ ＝log23，
故D正確.故選C、D.
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10. 下列化簡或運算正確的是（　　）
A. lg 5＋lg 2＝1 B. · ＝ （ a ＞0）
C. ＝－ （ x ＞0） D. ＝3
解析：　由對數運算法則可知lg 5＋lg 2＝lg 10＝1， ＝
3，即A、D正確；由指數運算法則可知 · ＝ ＝ ，
＝ ，即B正確，C錯誤.故選A、B、D.
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11. 已知3 a ＝5 b ＝15，則 a ， b 滿足的關系是（　　）
A. ab ＞4 B. a ＋ b ＞4
C. a2＋ b2＜4 D. （ a ＋1）2＋（ b ＋1）2＞16
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解析：　因為3 a ＝5 b ＝15，所以 a ≠ b ， a ＝log315， b ＝
log515，所以log153＝ ，log155＝ ，所以 ＋ ＝1.由 ≤
≤ ≤ ，可得 ab ＞4， a ＋ b ＞4， a2＋ b2＞8，所以
（ a ＋1）2＋（ b ＋1）2＝ a2＋2 a ＋1＋ b2＋2 b ＋1＞18＞16.故選
A、B、D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 使對數log a （－2 a ＋1）有意義的 a 的取值范圍為 .
解析：使對數log a （－2 a ＋1）有意義的 a 需滿足
解得0＜ a ＜ .
　
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13. 方程 ＝25的解是 .
解析：由 ＝25，所以log5（ x －1）＝2，則 x －1＝
25， x ＝26.
26　
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14. 在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的
星等與亮度滿足 m2－ m1＝ lg ，其中星等為 mk 的星的亮度為 Ek
（ k ＝1，2）.已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－
1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為 .
解析：令太陽的星等 m1＝－26.7，天狼星的星等 m2＝－1.45，則
lg ＝ （ m2－ m1）＝ （－1.45＋26.7）＝10.1，則太陽與天狼
星的亮度的比值為 ＝1010.1.
1010.1　
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）將下列根式化為分數指數冪的形式：
（1） （ a ＞0）；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
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（2） ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
（3）（ （ b ＞0）.
解：原式＝[（ ＝ ＝ .
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16. （本小題滿分15分）（1）已知3 m ＝4 n ＝36，求 ＋ 的值；
解：由3 m ＝4 n ＝36得 m ＝log336＝2log36， n ＝
log436＝lo 62＝log26，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝log63＋log62＝log6
（2×3）＝1.
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（2）已知log37＝ a ，2 b ＝3，用 a ， b 表示log1456.
解：因為2 b ＝3，所以 b ＝log23，
即log1456＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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17. （本小題滿分15分）計算：
（1）log2.56.25＋lg ＋ln（e ）＋log2（log216）；
解：原式＝2－2＋ ＋log24＝ .
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（2）（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log6 － log62）.
解：原式＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（
log618－ log62）＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（
log632＋ log62－ log62）
＝（log62）2＋（log63）2＋3log62× log63
＝（log62＋log63）2＝1.
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18. （本小題滿分17分）已知 x ， y ， z 為正數，3 x ＝4 y ＝6 z ，且2 x ＝
py .
（1）求 p ；
解：設3 x ＝4 y ＝6 z ＝ k （顯然 k ＞0，且 k ≠1），
則 x ＝log3 k ， y ＝log4 k ， z ＝log6 k .
由2 x ＝ py ，得2log3 k ＝ p log4 k ＝ p · .
∵log3 k ≠0，∴ p ＝2log34＝4log32.
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（2）求證： － ＝ .
解：證明： － ＝ － ＝log k 6－log k 3＝log k
2，又 ＝ log k 4＝log k 2，∴ － ＝ .
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19. （本小題滿分17分）20世紀30年代，里克特和古登堡提出了一種
表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等
級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是
我們常說的里氏震級 M ，其計算公式為 M ＝lg A －lg A0，其中 A 是
被測地震的最大振幅， A0是“標準地震”的振幅（使用標準地震
振幅是為了修正測震儀與實際震中的距離造成的偏差）.
（1）假設在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的
地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，試計算
這次地震的震級；（精確到0.1，其中lg 2≈0.301）
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解：M ＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg104≈4.3.
因此，這是一次約為里氏4.3級的地震.
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解：由 M ＝lg A －lg A0可得 M ＝lg ，則 ＝10 M ，即
A ＝ A0·10 M .
當 M ＝7.6時，最大振幅 A1＝ A0·107.6；
（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅
是5級地震的最大振幅的多少倍？（精確到1，其中102.6≈398.1）.
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當 M ＝5時，最大振幅 A2＝ A0·105，
所以兩次地震的最大振幅之比是 ＝ ＝107.6－5＝
102.6≈398.
因此，7.6級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的
398倍.
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