資源簡介

一、函數的定義域
　　求函數定義域的常用依據是分母不為0，偶次根式中被開方數大于或等于0等；由幾個式子構成的函數，其定義域是使各式子有意義的集合的交集.
【例1】　（1）函數f（x）＝＋（3x－1）0的定義域是（　　）
A.　　　 B.
C. D.∪
（2）已知函數y＝f（x＋1）的定義域是[－2，3]，則y＝f（2x－1）的定義域是（　　）
A. B.[－1，4]
C.[－5，5] D.[－3，7]
反思感悟
1.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子（運算）有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2.求抽象函數定義域的方法
（1）若已知函數f（x）的定義域為[a，b]，則復合函數f（g（x））的定義域可由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函數f（g（x））的定義域為[a，b]，則f（x）的定義域為g（x）在x∈[a，b]上的值域.
二、函數的值域
　　函數的值域是在函數的定義域下函數值的取值范圍，一般是利用函數的圖象或函數的單調性求值域.
【例2】　（1）求函數y＝x－的值域；
（2）求函數f（x）＝的值域.
反思感悟
　　求函數值域的方法多種多樣，可以利用基本初等函數的性質、函數的單調性、函數圖象、換元轉化為熟悉的函數、分式中的分離常數、應用基本不等式等進行求解，其求解過程應認真觀察函數解析式的結構特征，選擇相對應的方法，還需注意函數的定義域.
三、函數的圖象
　　掌握簡單的基本函數圖象，會根據函數的解析式及性質判斷函數的圖象，利用函數的圖象可以直觀的觀察出函數的值域、最值、單調性、奇偶性等.
【例3】　（1）定義運算a b＝設函數f（x）＝x （x＋1），則該函數的圖象應該是（　　）
（2）對于函數f（x）＝x2－2｜x｜.
①判斷其奇偶性，并證明；
②畫出函數的圖象，指出函數的單調區間和最小值.
反思感悟
函數圖象的辨識可從以下4方面入手
（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；
（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）從函數的特殊點，排除不合要求的圖象.
四、函數的性質
　　函數的性質主要有定義域、值域、單調性和奇偶性，掌握單調性和奇偶性的判斷與證明，會利用函數的單調性和奇偶性求值、比較大小、解不等式等.
【例4】　（1）給出下列四個函數，在定義域內既是奇函數，又為減函數的是（　　）
A.f（x）＝－x－x3 B.f（x）＝－x（x≥0）
C.f（x）＝－ D.f（x）＝x｜x｜
（2）已知函數f（x）的定義域為[－1，1]，若對任意的x，y∈[－1，1]，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且x＞0時，f（x）＜0.
①判斷函數f（x）的奇偶性；
②討論函數f（x）在區間[－1，1]上的單調性；
③設f（1）＝－4，若f（x）＜m2－2am＋1對所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍.
反思感悟
1.解決有關函數性質的綜合應用問題的方法就是根據函數的奇偶性解答或作出圖象輔助解答，先證明函數的單調性，再由單調性求最值.
2.研究抽象函數的性質時要緊扣其定義，同時注意根據解題需要給x靈活賦值.
提醒　研究函數的性質時，需先明確函數的定義域.
章末復習與總結
【例1】　（1）D　（2）A　解析：（1）由題意得，解得x＜1且x≠.故函數f（x）的定義域是（－∞，）∪（，1）.
（2）設u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f（u）的定義域為[－1，4].再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤，即函數y＝f（2x－1）的定義域是.
【例2】　解：（1）法一　令t＝（t≥0），
所以x＝－t2＋，
即y＝－t2－t＋＝－（t＋1）2＋1，
當t≥0時，y≤，即函數的值域為（－∞，］.
法二　由于y＝x與y＝－均為定義域內的增函數，所以y＝x－在（－∞，］內單調遞增，所以y≤，即函數的值域為（－∞，］.
（2）f（x）＝＝＝2－，
因為x2＋1≥1，所以0＜≤1，即－1≤－＜0，得1≤2－＜2，
即函數f（x）的值域為[1，2）.
【例3】　（1）解析：C　由a b的定義，可知f（x）＝由f（0）＝0－1＝－1，所以函數圖象過點（0，－1），排除A、B；當x＜0時，y＝x2＞0，排除D.故選C.
（2）解：①函數f（x）＝x2－2｜x｜是偶函數.
證明：函數的定義域為R，
因為f（－x）＝（－x）2－2｜－x｜＝x2－2｜x｜，
所以f（－x）＝f（x），
所以f（x）是偶函數.
②當x≥0時，f（x）＝x2－2｜x｜＝x2－2x＝（x－1）2－1，其函數圖象如圖所示，
由于函數f（x）是偶函數，函數圖象關于y軸對稱，利用其對稱性可畫出定義域在（－∞，0）的圖象，
觀察圖象可知，函數f（x）的最小值是－1.單調遞增區間是[－1，0]，[1，＋∞）；單調遞減區間是（－∞，－1]，[0，1].
【例4】　（1）解析：A　B選項函數的定義域不關于原點對稱，該函數是非奇非偶函數，排除B；C選項函數在（－∞，0）和（0，＋∞）上單調遞增，排除C；D選項函數由圖象（圖略）知其在定義域上是增函數，排除D.故選A.
（2）解：①因為f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0，
令y＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x）.
又f（x）的定義域為[－1，1]，關于原點對稱，所以f（x）為奇函數.
②設－1≤x1＜x2≤1.
因為f（x）是定義在[－1，1]上的奇函數，則f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）.
因為x＞0時，f（x）＜0，
所以f（x2－x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）.
故函數f（x）在區間[－1，1]上是減函數.
③因為函數f（x）在區間[－1，1]上是減函數，
所以函數f（x）在區間[－1，1]上的最大值為f（－1）＝－f（1）＝4，
所以要使f（x）＜m2－2am＋1對所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，
只要m2－2am＋1＞4，即m2－2am－3＞0對a∈[－1，1]恒成立.
令g（a）＝－2am＋m2－3，
由得
解得m＜－3或m＞3，
故實數m的取值范圍為（－∞，－3）∪（3，＋∞）.
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章末復習與總結
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
一、函數的定義域
　　求函數定義域的常用依據是分母不為0，偶次根式中被開方數大
于或等于0等；由幾個式子構成的函數，其定義域是使各式子有意義
的集合的交集.
【例1】　（1）函數 f （ x ）＝ ＋（3 x －1）0的定義域是（　D　）
解析：由題意得，解得 x ＜1且 x ≠ .故函數 f （ x ）的
定義域是（－∞， ）∪（ ，1）.
D
A.　　　　　 B.
C. D.∪
（2）已知函數 y ＝ f （ x ＋1）的定義域是[－2，3]，則 y ＝ f （2 x －
1）的定義域是（　A　）
A. B. [－1，4]
C. [－5，5] D. [－3，7]
解析：設 u ＝ x ＋1，由－2≤ x ≤3，得－1≤ x ＋1≤4，所以 y ＝
f （ u ）的定義域為[－1，4].再由－1≤2 x －1≤4，解得0≤ x ≤
，即函數 y ＝ f （2 x －1）的定義域是 .
A
反思感悟
1. 求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式
子（運算）有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際
問題，定義域應使實際問題有意義.
2. 求抽象函數定義域的方法
（1）若已知函數 f （ x ）的定義域為[ a ， b ]，則復合函數 f （ g
（ x ））的定義域可由不等式 a ≤ g （ x ）≤ b 求出；
（2）若已知函數 f （ g （ x ））的定義域為[ a ， b ]，則 f （ x ）的
定義域為 g （ x ）在 x ∈[ a ， b ]上的值域.
二、函數的值域
　　函數的值域是在函數的定義域下函數值的取值范圍，一般是利用
函數的圖象或函數的單調性求值域.
【例2】　（1）求函數 y ＝ x － 的值域；
解：法一　令 t ＝ （ t ≥0），
所以 x ＝－ t2＋ ，
即 y ＝－ t2－ t ＋ ＝－ （ t ＋1）2＋1，
當 t ≥0時， y ≤ ，即函數的值域為（－∞， ］.
法二　由于 y ＝ x 與 y ＝－ 均為定義域內的增函數，所以 y ＝ x
－ 在（－∞， ］內單調遞增，所以 y ≤ ，即函數的值域為
（－∞， ］.
解： f （ x ）＝ ＝ ＝2－ ，
因為 x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，即－1≤－ ＜0，得1≤2
－ ＜2，
即函數 f （ x ）的值域為[1，2）.
（2）求函數 f （ x ）＝ 的值域.
反思感悟
　　求函數值域的方法多種多樣，可以利用基本初等函數的性質、函
數的單調性、函數圖象、換元轉化為熟悉的函數、分式中的分離常
數、應用基本不等式等進行求解，其求解過程應認真觀察函數解析式
的結構特征，選擇相對應的方法，還需注意函數的定義域.
三、函數的圖象
　　掌握簡單的基本函數圖象，會根據函數的解析式及性質判斷函數
的圖象，利用函數的圖象可以直觀的觀察出函數的值域、最值、單調
性、奇偶性等.
【例3】　（1）定義運算 a b ＝設函數 f （ x ）＝
x （ x ＋1），則該函數的圖象應該是（　　）
解析：　由 a b 的定義，可知 f （ x ）＝由 f （0）
＝0－1＝－1，所以函數圖象過點（0，－1），排除A、B；當 x ＜0
時， y ＝ x2＞0，排除D. 故選C.
①判斷其奇偶性，并證明；
②畫出函數的圖象，指出函數的單調區間和最小值.
解：①函數 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜是偶函數.
證明：函數的定義域為R，
因為 f （－ x ）＝（－ x ）2－2｜－ x ｜＝ x2－2｜ x ｜，
所以 f （－ x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）是偶函數.
（2）對于函數 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜.
②當 x ≥0時， f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1，
其函數圖象如圖所示，
由于函數 f （ x ）是偶函數，函數圖象關于 y 軸對稱，利用其對
稱性可畫出定義域在（－∞，0）的圖象，
觀察圖象可知，函數 f （ x ）的最小值是－1.單調遞增區間是[－
1，0]，[1，＋∞）；單調遞減區間是（－∞，－1]，[0，1].
反思感悟
函數圖象的辨識可從以下4方面入手
（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷
圖象的上下位置；
（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）從函數的特殊點，排除不合要求的圖象.
四、函數的性質
　　函數的性質主要有定義域、值域、單調性和奇偶性，掌握單調性
和奇偶性的判斷與證明，會利用函數的單調性和奇偶性求值、比較大
小、解不等式等.
【例4】　（1）給出下列四個函數，在定義域內既是奇函數，又為減
函數的是（　　）
A. f （ x ）＝－ x － x3 B. f （ x ）＝－ x （ x ≥0）
C. f （ x ）＝－ D. f （ x ）＝ x ｜ x ｜
解析：　B選項函數的定義域不關于原點對稱，該函數是非奇非偶
函數，排除B；C選項函數在（－∞，0）和（0，＋∞）上單調遞
增，排除C；D選項函數由圖象（圖略）知其在定義域上是增函數，
排除D. 故選A.
①判斷函數 f （ x ）的奇偶性；
②討論函數 f （ x ）在區間[－1，1]上的單調性；
③設 f （1）＝－4，若 f （ x ）＜ m2－2 am ＋1對所有 x ∈[－1，
1]， a ∈[－1，1]恒成立，求實數 m 的取值范圍.
（2）已知函數 f （ x ）的定義域為[－1，1]，若對任意的 x ， y ∈[－
1，1]，都有 f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），且 x ＞0時， f
（ x ）＜0.
解：①因為 f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），
令 x ＝ y ＝0，得 f （0）＝ f （0）＋ f （0），所以 f （0）＝0，
令 y ＝－ x ，得 f （0）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＝0，
所以 f （－ x ）＝－ f （ x ）.
又 f （ x ）的定義域為[－1，1]，關于原點對稱，所以 f （ x ）為
奇函數.
②設－1≤ x1＜ x2≤1.
因為 f （ x ）是定義在[－1，1]上的奇函數，則 f （ x2）－ f
（ x1）＝ f （ x2）＋ f （－ x1）＝ f （ x2－ x1）.
因為 x ＞0時， f （ x ）＜0，
所以 f （ x2－ x1）＜0，即 f （ x2）＜ f （ x1）.
故函數 f （ x ）在區間[－1，1]上是減函數.
③因為函數 f （ x ）在區間[－1，1]上是減函數，
所以函數 f （ x ）在區間[－1，1]上的最大值為 f （－1）＝－ f
（1）＝4，所以要使 f （ x ）＜ m2－2 am ＋1對所有 x ∈[－1，
1]， a ∈[－1，1]恒成立，
只要 m2－2 am ＋1＞4，即 m2－2 am －3＞0對 a ∈[－1，1]恒成
立.令 g （ a ）＝－2 am ＋ m2－3，
由得
解得 m ＜－3或 m ＞3，
故實數 m 的取值范圍為（－∞，－3）∪（3，＋∞）.
反思感悟
1. 解決有關函數性質的綜合應用問題的方法就是根據函數的奇偶
性解答或作出圖象輔助解答，先證明函數的單調性，再由單調
性求最值.
2. 研究抽象函數的性質時要緊扣其定義，同時注意根據解題需要給 x
靈活賦值.
提醒　研究函數的性質時，需先明確函數的定義域.
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