資源簡介

章末檢測（五）　函數概念與性質
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.函數f（x）＝＋的定義域是（　　）
A.[－1，＋∞） B.（－∞，0）∪（0，＋∞）
C.[－1，0）∪（0，＋∞） D.R
2.已知函數y＝f（x）的圖象如圖所示，則該函數的減區間為（　　）
A.（－3，－1）∪（1，4）
B.（－5，－3）∪（－1，1）
C.（－3，－1），（1，4）
D.（－5，－3），（－1，1）
3.函數f（2x＋1）＝x2－3x＋1，則f（3）＝（　　）
A.－1 B.1
C.－2 D.2
4.下列函數中是奇函數，又在定義域內為減函數的是（　　）
A.y＝ B.y＝－x3
C.y＝x2 D.y＝x＋2
5.已知函數f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤0，則實數a的取值范圍是（　　）
A.[－1，1] B.[－2，0]
C.[0，2] D.[－2，2]
6.函數y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜的最小值為（　　）
A.0 B.1
C. D.2
7.若函數y＝f（x）的圖象如圖所示，函數y＝f（2－x）的圖象為（　　）
8.定義在（0，＋∞）上的函數f（x）滿足＜0，且f（2）＝4，則不等式f（x）－＞0的解集為（　　）
A.（4，＋∞） B.（0，4）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知函數f（x）＝則下列結論正確的是（　　）
A.f（x）的定義域為R B.f（x）的值域為R
C.f（x）為奇函數 D.f（x）為增函數
10.已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈（0，＋∞）時，f（x）＝x2＋x，則下列說法正確的是（　　）
A.f（－2）＝－6
B.f（x）在定義域R上為增函數
C.當x∈（－∞，0）時，f（x）＝－x2－x
D.不等式f（x－1）＜6的解集為（－∞，3）
11.已知函數f（x）＝，m∈R，則下列結論正確的是（　　）
A.f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞）
B.f（x）是奇函數
C.當m＝0時，f（x）與y＝x為同一個函數
D.當m＝1時，｜f（x）｜的最小值為2
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.寫出一個單調遞減的奇函數　　　　.
13.記實數x1，x2，…，xn中的最大數為max{x1，x2，…，xn}，最小數為min{x1，x2，…，xn}，則min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的最大值為　　　　.
14.已知函數f（x）＝則函數f（x）是　　　　　函數（填奇偶性）；若f（f（a））＜f（f（－3）），則實數a的取值范圍為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知函數f（x）＝x2＋（x≠0）.
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（1）＝2，試判斷f（x）在[2，＋∞）上的單調性.
16.（本小題滿分15分）設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意a，b∈R，當a＋b≠0時，都有＞0.
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關系；
（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求實數m的取值范圍.
17.（本小題滿分15分）某化學試劑廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求1≤x≤10），每小時可獲得的利潤是萬元.
（1）要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求x的取值范圍；
（2）要使生產120千克該產品獲得的利潤最大，則該工廠應該選取何種生產速度？并求出最大利潤.
18.（本小題滿分17分）已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）若f（x）在區間[2a，a＋1]上不單調，求實數a的取值范圍；
（2）在區間[－1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍.
19.（本小題滿分17分）若函數f（x）在x∈[a，b]時，函數f（x）的取值區間恰為［，］，就稱區間[a，b]為f（x）的一個“倒域區間”.已知定義在[－2，2]上的奇函數g（x），當x∈[0，2]時，g（x）＝－x2＋2x.
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函數g（x）在[1，2]內的“倒域區間”；
（3）求函數g（x）在定義域內的所有“倒域區間”.
章末檢測（五）　函數概念與性質
1.C　要使函數有意義，需滿足即x≥－1且x≠0.故選C.
2.C　在某個區間上，若函數y＝f（x）的圖象是上升的，則該區間為增區間，若是下降的，則該區間為減區間，故該函數的減區間為（－3，－1），（1，4）.
3.A　設2x＋1＝3，得x＝1，則f（3）＝1－3＋1＝－1.故選A.
4.B　對于A，y＝為奇函數，在（－∞，0）和（0，＋∞）上單調遞減，在定義域內不是減函數，所以A不合題意；對于B，y＝－x3為奇函數，在定義域R上為減函數，所以B符合題意；對于C，y＝x2為偶函數，所以C不合題意；對于D，由于y＝x＋2為非奇非偶函數，所以D不合題意.故選B.
5.D　依題意，可得或
或
解得－2≤a≤2.故選D.
6.B　y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜＝由于y＝4－3x在（－∞，1）上單調遞減，y＝x在[1，2]上單調遞增，y＝3x－4在（2，＋∞）上單調遞增，故y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜在x＝1處取得最小值，最小值為1.故選B.
7.C　函數y＝f（x）的圖象先關于y對稱可得函數y＝f（－x）的圖象，再向右平移2個單位長度得函數y＝f[－（x－2）]的圖象，即y＝f（2－x）的圖象.故選C.
8.C　由題意，設g（x）＝xf（x），因為＜0，即＜0，所以函數g（x）在（0，＋∞）上單調遞減，不等式f（x）－＞0，即＞0，等價于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又由f（2）＝4，則g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集為（0，2）.故選C.
9.ACD　根據分段函數的定義可知，f（x）的定義域為R，選項A正確；f（x）的值域為（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），選項B不正確；畫出函數圖象（圖略）可知，選項C、D正確.故選A、C、D.
10.ABD　因為f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈（0，＋∞）時，f（x）＝x2＋x，所以當x∈（－∞，0）時，f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋（－x）]＝－x2＋x，所以選項C不正確；因為f（－2）＝－（－2）2＋（－2）＝－6，所以選項A正確；二次函數f（x）＝x2＋x的對稱軸為x＝－，所以當x∈（0，＋∞）時，f（x）單調遞增，又因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）＝0，而f（x）是奇函數，它的圖象關于原點對稱，所以f（x）在定義域R上為增函數，因此選項B正確；因為f（x）是奇函數，f（－2）＝－6，所以f（2）＝6，于是由f（x－1）＜6 f（x－1）＜f（2） x－1＜2 x＜3，所以選項D正確.故選A、B、D.
11.ABD　要使函數f（x）＝有意義，則x≠0，即f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正確；因為f（－x）＝＝－＝－f（x），且f（x）的定義域關于原點對稱，所以函數f（x）是奇函數，故B正確；當m＝0時，f（x）＝的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），而y＝x的定義域為R，定義域不同，所以f（x）與y＝x不是同一個函數，故C錯誤；當m＝1時，｜f（x）｜＝｜｜＝＝｜x｜＋≥2＝2，當且僅當｜x｜＝即x＝±1時等號成立，故D正確.故選A、B、D.
12.f（x）＝－x（答案不唯一）　解析：f（x）＝－x，在定義域R上是減函數，又f（－x）＝x＝－（－x）＝－f（x），所以函數是奇函數.
13.　解析：如圖所示，y＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的圖象為圖中的實線部分，則易知所求最大值即為圖中B點的縱坐標，又B，故所求最大值為.
14.奇　a＜－3　解析：法一　當x＞0時，－x＜0，則f（－x）＝（－x）2＋2（－x）＝x2－2x＝－（－x2＋2x）＝－f（x），當x≤0時，－x≥0，則f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x＝－（x2＋2x）＝－f（x），所以函數f（x）是奇函數.因為f（－3）＝3＞0，f（f（－3））＝f（3）＝－3，所以f（f（a））＜－3.若f（a）＜0，則f2（a）＋2f（a）＜－3，無解；若f（a）≥0，則－f2（a）＋2f（a）＜－3，解得f（a）＞3或f（a）＜－1，又f（a）≥0，所以f（a）＞3.進一步分類討論，若a＜0，則a2＋2a＞3，解得a＞1或a＜－3，即a＜－3；若a≥0，則－a2＋2a＞3，無解，綜上，a＜－3.
法二　畫出函數f（x）的圖象，如圖所示，易知f（x）是奇函數.
以下同法一.
15.解：（1）當a＝0時，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函數f（x）是偶函數.
當a≠0時，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）.
∴函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數.
（2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，此時f（x）＝x2＋.
x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，則f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2），
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上單調遞增.
16.解：（1）因為a＞b，所以a－b＞0，
由題意得＞0，
所以f（a）＋f（－b）＞0.
又f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（－b）＝－f（b），
所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）.
（2）由（1）知f（x）為R上的增函數，
因為f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，
所以f（1＋m）≥－f（3－2m），
即f（1＋m）≥f（2m－3），
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以實數m的取值范圍為（－∞，4].
17.解：（1）由題意可知，2≥30.
整理得（5x＋1）（x－3）≥0，
解得x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
所以x的取值范圍是[3，10].
（2）易知獲得的利潤y＝
＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，則y＝120（－3t2＋t＋5）.
當t＝，即x＝6時，ymax＝610，
故該工廠應該選取6千克/小時的生產速度，此時利潤最大，且最大利潤為610萬元.
18.解：（1）由題意，得函數f（x）是二次函數，且f（0）＝f（2），可得函數f（x）的對稱軸為x＝1，
要使f（x）在區間[2a，a＋1]上不單調，則滿足2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜，
即實數a的取值范圍是（0，）.
（2）由f（x）的最小值為1，可設f（x）＝k（x－1）2＋1，
又f（0）＝3，即k×（0－1）2＋1＝3，解得k＝2，
所以函數的解析式為f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.
由在區間[－1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，
可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在區間[－1，1]上恒成立，
化簡得m＜x2－3x＋1在區間[－1，1]上恒成立，
設函數g（x）＝x2－3x＋1，
則g（x）在區間[－1，1]上單調遞減，
所以g（x）在區間[－1，1]上的最小值為g（1）＝－1，
所以m＜－1.
所以實數m的取值范圍為（－∞，－1）.
19.解：（1）當x∈[－2，0）時，則－x∈（0，2]，
由奇函數的定義可得g（x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x，
所以g（x）＝
（2）設g（x）在[1，2]內的“倒域區間”為[a，b]，則1≤a＜b≤2，因為函數g（x）在[1，2]上單調遞減，且g（x）在[a，b]上的值域為［，］，
所以解得
所以函數g（x）在[1，2]內的“倒域區間”為［1，］.
（3）因為g（x）在x∈[a，b]時，函數值g（x）的取值區間恰為［，］，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以則
只考慮0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0.
①當0＜a＜b≤2時，因為函數g（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，
故當x∈[0，2]時，g（x）max＝g（1）＝1，則≤1，所以1≤a＜2，所以1≤a＜b≤2，
由（2）知g（x）在[1，2]內的“倒域區間”為［1，］；
②當－2≤a＜b＜0時，g（x）在[－2，－1]上單調遞減，在[－1，0]上單調遞增，
故當x∈[－2，0）時，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以≥－1，所以－2＜b≤－1.
所以－2≤a＜b≤－1，
因為g（x）在[－2，－1]上單調遞減，則解得
所以g（x）在[－2，－1]內的“倒域區間”為［，－1］.
綜上所述，函數g（x）在定義域內的“倒域區間”為［1，］和［，－1］.
3 / 3(共41張PPT)
章末檢測（五）　函數概念與性質
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 函數 f （ x ）＝ ＋ 的定義域是（　　）
A. [－1，＋∞）
B. （－∞，0）∪（0，＋∞）
C. [－1，0）∪（0，＋∞）
D. R
解析：　要使函數有意義，需滿足即 x ≥－1且 x
≠0.故選C.
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2. 已知函數 y ＝ f （ x ）的圖象如圖所示，則該函數的減區間為（　　）
A. （－3，－1）∪（1，4）
B. （－5，－3）∪（－1，1）
C. （－3，－1），（1，4）
D. （－5，－3），（－1，1）
解析：　在某個區間上，若函數 y ＝ f （ x ）的圖象是上升的，則
該區間為增區間，若是下降的，則該區間為減區間，故該函數的減
區間為（－3，－1），（1，4）.
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3. 函數 f （2 x ＋1）＝ x2－3 x ＋1，則 f （3）＝（　　）
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
解析：　設2 x ＋1＝3，得 x ＝1，則 f （3）＝1－3＋1＝－1.
故選A.
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4. 下列函數中是奇函數，又在定義域內為減函數的是（　　）
A. y ＝ B. y ＝－ x3
C. y ＝ x2 D. y ＝ x ＋2
解析：　對于A， y ＝ 為奇函數，在（－∞，0）和（0，＋∞）
上單調遞減，在定義域內不是減函數，所以A不合題意；對于B， y
＝－ x3為奇函數，在定義域R上為減函數，所以B符合題意；對于
C， y ＝ x2為偶函數，所以C不合題意；對于D，由于 y ＝ x ＋2為非
奇非偶函數，所以D不合題意.故選B.
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5. 已知函數 f （ x ）＝若 f （－ a ）＋ f （ a ）≤0，
則實數 a 的取值范圍是（　　）
A. [－1，1] B. [－2，0]
C. [0，2] D. [－2，2]
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解析： D　依題意，可得或
或
解得－2≤ a ≤2.故選D.
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6. 函數 y ＝｜ x －2｜＋｜2 x －2｜的最小值為（　　）
A. 0 B. 1 C. D. 2
解析：　 y ＝｜ x －2｜＋｜2 x －2｜＝由于 y ＝
4－3 x 在（－∞，1）上單調遞減， y ＝ x 在[1，2]上單調遞增， y
＝3 x －4在（2，＋∞）上單調遞增，故 y ＝｜ x －2｜＋｜2 x －2｜
在 x ＝1處取得最小值，最小值為1.故選B.
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7. 若函數 y ＝ f （ x ）的圖象如圖所示，函數 y ＝ f （2－ x ）的圖象為
（　　）
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解析：　函數 y ＝ f （ x ）的圖象先關于 y 對稱可得函數 y ＝ f （－
x ）的圖象，再向右平移2個單位長度得函數 y ＝ f [－（ x －2）]的
圖象，即 y ＝ f （2－ x ）的圖象.故選C.
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8. 定義在（0，＋∞）上的函數 f （ x ）滿足 ＜0，
且 f （2）＝4，則不等式 f （ x ）－ ＞0的解集為（　　）
A. （4，＋∞） B. （0，4）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
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解析：　由題意，設 g （ x ）＝ xf （ x ），因為
＜0，即 ＜0，所以函數 g （ x ）在（0，＋∞）上單
調遞減，不等式 f （ x ）－ ＞0，即 ＞0，等價于 xf （ x ）
－8＞0，即 xf （ x ）＞8，又由 f （2）＝4，則 g （2）＝2· f （2）＝
8，所以不等式 xf （ x ）＞8的解集為（0，2）.故選C.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知函數 f （ x ）＝則下列結論正確的是（　　）
A. f （ x ）的定義域為R B. f （ x ）的值域為R
C. f （ x ）為奇函數 D. f （ x ）為增函數
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解析：　根據分段函數的定義可知， f （ x ）的定義域為R，選
項A正確； f （ x ）的值域為（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），
選項B不正確；畫出函數圖象（圖略）可知，選項C、D正確.故選
A、C、D.
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10. 已知 f （ x ）是定義在R上的奇函數，當 x ∈（0，＋∞）時， f
（ x ）＝ x2＋ x ，則下列說法正確的是（　　）
A. f （－2）＝－6
B. f （ x ）在定義域R上為增函數
C. 當 x ∈（－∞，0）時， f （ x ）＝－ x2－ x
D. 不等式 f （ x －1）＜6的解集為（－∞，3）
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解析：　因為 f （ x ）是定義在R上的奇函數，當 x ∈（0，＋
∞）時， f （ x ）＝ x2＋ x ，所以當 x ∈（－∞，0）時， f （ x ）＝
－ f （－ x ）＝－[（－ x ）2＋（－ x ）]＝－ x2＋ x ，所以選項C不
正確；因為 f （－2）＝－（－2）2＋（－2）＝－6，所以選項A
正確；二次函數 f （ x ）＝ x2＋ x 的對稱軸為 x ＝－ ，所以當 x ∈
（0，＋∞）時， f （ x ）單調遞增，又因為 f （ x ）是定義在R上
的奇函數，所以 f （0）＝0，而 f （ x ）是奇函數，它的圖象關于
原點對稱，所以 f （ x ）在定義域R上為增函數，因此選項B正
確；因為 f （ x ）是奇函數， f （－2）＝－6，所以 f （2）＝6，于是由 f （ x －1）＜6 f （ x －1）＜ f （2） x －1＜2 x ＜3，所以選項D正確.故選A、B、D.
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11. 已知函數 f （ x ）＝ ， m ∈R，則下列結論正確的是（　　）
A. f （ x ）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞）
B. f （ x ）是奇函數
C. 當 m ＝0時， f （ x ）與 y ＝ x 為同一個函數
D. 當 m ＝1時，｜ f （ x ）｜的最小值為2
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解析：　要使函數 f （ x ）＝ 有意義，則 x ≠0，即 f
（ x ）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正確；因為 f
（－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），且 f （ x ）的定義域關
于原點對稱，所以函數 f （ x ）是奇函數，故B正確；當 m ＝0時，
f （ x ）＝ 的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），而 y ＝ x 的
定義域為R，定義域不同，所以 f （ x ）與 y ＝ x 不是同一個函數，
故C錯誤；
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當 m ＝1時，｜ f （ x ）｜＝｜ ｜＝ ＝｜ x ｜＋ ≥2
＝2，當且僅當｜ x ｜＝ 即 x ＝±1時等號成立，
故D正確.故選A、B、D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 寫出一個單調遞減的奇函數 .
解析： f （ x ）＝－ x ，在定義域R上是減函數，又 f （－ x ）＝ x
＝－（－ x ）＝－ f （ x ），所以函數是奇函數.
f （ x ）＝－ x （答案不唯一）　
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13. 記實數 x1， x2，…， xn 中的最大數為max{ x1， x2，…， xn }，最小
數為min{ x1， x2，…， xn }，則min{ x ＋1， x2－ x ＋1，－ x ＋6}的
最大值為 .
解析：如圖所示， y ＝min{ x ＋1， x2－ x
＋1，－ x ＋6}的圖象為圖中的實線部分，
則易知所求最大值即為圖中 B 點的縱坐
標，又 B ，故所求最大值為 .
　
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14. 已知函數 f （ x ）＝則函數 f （ x ）是 函數
（填奇偶性）；若 f （ f （ a ））＜ f （ f （－3）），則實數 a 的取
值范圍為 .
奇　
a ＜－3　
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解析：法一　當 x ＞0時，－ x ＜0，則 f （－ x ）＝（－ x ）2＋2
（－ x ）＝ x2－2 x ＝－（－ x2＋2 x ）＝－ f （ x ），當 x ≤0時，－
x ≥0，則 f （－ x ）＝－（－ x ）2＋2（－ x ）＝－ x2－2 x ＝－（ x2
＋2 x ）＝－ f （ x ），所以函數 f （ x ）是奇函數.因為 f （－3）＝
3＞0， f （ f （－3））＝ f （3）＝－3，所以 f （ f （ a ））＜－3.
若 f （ a ）＜0，則 f2（ a ）＋2 f （ a ）＜－3，無解；若 f （ a ）
≥0，則－ f2（ a ）＋2 f （ a ）＜－3，解得 f （ a ）＞3或 f （ a ）＜
－1，又 f （ a ）≥0，所以 f （ a ）＞3.進一步分類討論，若 a ＜
0，則 a2＋2 a ＞3，解得 a ＞1或 a ＜－3，即 a ＜－3；若 a ≥0，則
－ a2＋2 a ＞3，無解，綜上， a ＜－3.
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法二　畫出函數 f （ x ）的圖象，如圖所示，易知 f （ x ）是奇函數.
以下同法一.
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知函數 f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0）.
（1）判斷 f （ x ）的奇偶性，并說明理由；
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解：當 a ＝0時， f （ x ）＝ x2， f （－ x ）＝ f （ x ），
函數 f （ x ）是偶函數.
當 a ≠0時， f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0），而 f （－1）＋ f
（1）＝2≠0， f （－1）－ f （1）＝－2 a ≠0，∴ f （－1）
≠－ f （1）， f （－1）≠ f （1）.
∴函數 f （ x ）既不是奇函數也不是偶函數.
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（2）若 f （1）＝2，試判斷 f （ x ）在[2，＋∞）上的單調性.
解：若 f （1）＝2，即1＋ a ＝2，解得 a ＝1，此時 f
（ x ）＝ x2＋ .
x1， x2∈[2，＋∞），且 x1＜ x2，則 f （ x1）－ f （ x2）＝
－ ＝（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋ ＝
（ x1－ x2） ，
由于 x1≥2， x2≥2，且 x1＜ x2，∴ x1－ x2＜0， x1＋ x2＞ ，∴ f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在[2，＋∞）上單調遞增.
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16. （本小題滿分15分）設 f （ x ）是定義在R上的奇函數，且對任意
a ， b ∈R，當 a ＋ b ≠0時，都有 ＞0.
（1）若 a ＞ b ，試比較 f （ a ）與 f （ b ）的大小關系；
解：因為 a ＞ b ，所以 a － b ＞0，
由題意得 ＞0，
所以 f （ a ）＋ f （－ b ）＞0.
又 f （ x ）是定義在R上的奇函數，
所以 f （－ b ）＝－ f （ b ），
所以 f （ a ）－ f （ b ）＞0，即 f （ a ）＞ f （ b ）.
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（2）若 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，求實數 m 的取值范圍.
解：由（1）知 f （ x ）為R上的增函數，
因為 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，
所以 f （1＋ m ）≥－ f （3－2 m ），
即 f （1＋ m ）≥ f （2 m －3），
所以1＋ m ≥2 m －3，所以 m ≤4.
所以實數 m 的取值范圍為（－∞，4].
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17. （本小題滿分15分）某化學試劑廠以 x 千克/小時的速度勻速生產
某種產品（生產條件要求1≤ x ≤10），每小時可獲得的利潤是
萬元.
（1）要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求 x 的取
值范圍；
解：由題意可知，2 ≥30.
整理得（5 x ＋1）（ x －3）≥0，解得 x ≤－ 或 x ≥3.
又1≤ x ≤10，所以3≤ x ≤10.
所以 x 的取值范圍是[3，10].
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（2）要使生產120千克該產品獲得的利潤最大，則該工廠應該選
取何種生產速度？并求出最大利潤.
解：易知獲得的利潤 y ＝
＝120 ， x ∈[1，10]，
令 t ＝ ∈ ，則 y ＝120（－3 t2＋ t ＋5）.
當 t ＝ ，即 x ＝6時， ymax＝610，
故該工廠應該選取6千克/小時的生產速度，此時利潤最大，
且最大利潤為610萬元.
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18. （本小題滿分17分）已知二次函數 f （ x ）的最小值為1，且 f
（0）＝ f （2）＝3.
（1）若 f （ x ）在區間[2 a ， a ＋1]上不單調，求實數 a 的取
值范圍；
解：由題意，得函數 f （ x ）是二次函數，且 f （0）＝
f （2），可得函數 f （ x ）的對稱軸為 x ＝1，
要使 f （ x ）在區間[2 a ， a ＋1]上不單調，則滿足2 a ＜1＜
a ＋1，解得0＜ a ＜ ，
即實數 a 的取值范圍是（0， ）.
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（2）在區間[－1，1]上， y ＝ f （ x ）的圖象恒在 y ＝2 x ＋2 m ＋1
的圖象上方，試確定實數 m 的取值范圍.
解：由 f （ x ）的最小值為1，可設 f （ x ）＝ k （ x －1）2＋1，
又 f （0）＝3，即 k ×（0－1）2＋1＝3，解得 k ＝2，
所以函數的解析式為 f （ x ）＝2（ x －1）2＋1＝2 x2－4
x ＋3.
由在區間[－1，1]上， y ＝ f （ x ）的圖象恒在 y ＝2 x ＋
2 m ＋1的圖象上方，
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可得2 x2－4 x ＋3＞2 x ＋2 m ＋1在區間[－1，1]上恒成立，
化簡得 m ＜ x2－3 x ＋1在區間[－1，1]上恒成立，
設函數 g （ x ）＝ x2－3 x ＋1，
則 g （ x ）在區間[－1，1]上單調遞減，
所以 g （ x ）在區間[－1，1]上的最小值為 g （1）＝－1，
所以 m ＜－1.
所以實數 m 的取值范圍為（－∞，－1）.
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19. （本小題滿分17分）若函數 f （ x ）在 x ∈[ a ， b ]時，函數 f
（ x ）的取值區間恰為［ ， ］，就稱區間[ a ， b ]為 f （ x ）的
一個“倒域區間”.已知定義在[－2，2]上的奇函數 g （ x ），當 x
∈[0，2]時， g （ x ）＝－ x2＋2 x .
（1）求 g （ x ）的解析式；
解：當 x ∈[－2，0）時，則－ x ∈（0，2]，
由奇函數的定義可得 g （ x ）＝－ g （－ x ）＝－[－（－ x ）2＋2（－ x ）]＝ x2＋2 x ，
所以 g （ x ）＝
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（2）求函數 g （ x ）在[1，2]內的“倒域區間”；
解：設 g （ x ）在[1，2]內的“倒域區間”為[ a ，
b ]，則1≤ a ＜ b ≤2，因為函數 g （ x ）在[1，2]上單調遞
減，且 g （ x ）在[ a ， b ]上的值域為［ ， ］，
所以解得
所以函數 g （ x ）在[1，2]內的“倒域區間”為［1， ］.
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（3）求函數 g （ x ）在定義域內的所有“倒域區間”.
解：因為 g （ x ）在 x ∈[ a ， b ]時，函數值 g （ x ）的
取值區間恰為［ ， ］，其中 a ≠ b 且 a ≠0， b ≠0，所以
則
只考慮0＜ a ＜ b ≤2或－2≤ a ＜ b ＜0.
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①當0＜ a ＜ b ≤2時，因為函數 g （ x ）在[0，1]上單調遞
增，在[1，2]上單調遞減，
故當 x ∈[0，2]時， g （ x ）max＝ g （1）＝1，則 ≤1，所
以1≤ a ＜2，所以1≤ a ＜ b ≤2，
由（2）知 g （ x ）在[1，2]內的“倒域區間”為［1， ］；
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②當－2≤ a ＜ b ＜0時， g （ x ）在[－2，－1]上單調遞減，
在[－1，0]上單調遞增，
故當 x ∈[－2，0）時， g （ x ）min＝ g （－1）＝－1，所以
≥－1，所以－2＜ b ≤－1.
所以－2≤ a ＜ b ≤－1，
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因為 g （ x ）在[－2，－1]上單調遞減，則
解得
所以 g （ x ）在[－2，－1]內的“倒域區間”為［ ，－1］.
綜上所述，函數 g （ x ）在定義域內的“倒域區間”為［1，
］和［ ，－1］.
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