資源簡介

6.1　冪函數(shù)
1.在函數(shù)y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.若f（x）＝，則函數(shù)f（4x－3）的定義域?yàn)椋ā　。?br/>A.R B.
C. D.
3.函數(shù)f（x）＝xa＋b，不論a為何值，f（x）的圖象均過點(diǎn)（m，0），則實(shí)數(shù)b的值為（　　）
A.－1 B.1
C.2 D.3
4.如圖所示，曲線C1和C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.n＜m＜0 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
5.（多選）（2024·南京第九中學(xué)期中）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2－2m－2）xm的圖象過點(diǎn)（ 2，），則（　　）
A.f（x）＝x3
B.f（x）＝x－1
C.函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減
D.函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增
6.（多選）已知冪函數(shù)f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列說法正確的是（　　）
A.f（－2）＞f（1）
B.f（－2）＜f（1）
C.f（－2）＝f（－1）
D.若｜a｜＞｜b｜＞0，則f（a）＜f（b）
7.（2024·無錫玉祁高中期中）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），B（16，m），則m＝　　　　 .
8.函數(shù)y＝x－3在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是　　　　.
9.已知冪函數(shù)f（x）＝x－2，若f（1－2a）＜f（a＋1），則a的取值范圍是　　　　.
10.比較下列各組數(shù)的大小：
（1）和3.；
（2）和；
（3）4.和3..
11.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa（a≠0）和y＝ax－的圖象可能是（　　）
12.（多選）已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式＝，則下列關(guān)系式中可能成立的是（　　）
A.0＜b＜a＜1 B.－1＜a＜b＜0
C.1＜a＜b D.－1＜b＜a＜0
13.（2024·南通如皋期中）已知冪函數(shù)f（x）＝（其中m∈Z）為偶函數(shù)，且f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.
14.已知冪函數(shù)f（x）＝（m∈N*）.
（1）試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)（2，），試確定m的值，并求滿足條件f（2－a）＞f（a－1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍.
15.已知函數(shù)f（x）＝xn－，且f（4）＝3.
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若在區(qū)間[1，3]上，不等式f（x）＞2x＋2m＋1恒成立，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.
6.1　冪函數(shù)
1.B　函數(shù)y＝x－4為冪函數(shù)；函數(shù)y＝3x2中x2的系數(shù)不是1，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x2＋2x不是y＝xα（α是常數(shù)）的形式，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝1與y＝x0＝1（x≠0）不相等，所以y＝1不是冪函數(shù).
2.D　易知f（x）＝的定義域?yàn)椋?，＋∞），則4x－3∈（0，＋∞），即x∈，故選D.
3.A　∵冪函數(shù)y＝xa過定點(diǎn)（1，1），∴f（x）＝xa＋b過定點(diǎn)（1，1＋b），結(jié)合已知條件可知1＋b＝0，則b＝－1.
4.A　由題中圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，故m＜0，n＜0.由冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)知n＜m，故n＜m＜0.
5.BC　由題意知，m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1.當(dāng)m＝3時(shí)，f（x）＝x3，此時(shí)f（2）＝8，函數(shù)圖象不過點(diǎn)（ 2，），故A錯(cuò)誤；當(dāng)m＝－1時(shí)，f（x）＝x－1，此時(shí)f（2）＝，函數(shù)圖象過點(diǎn)（ 2，），故B正確；冪函數(shù)f（x）＝x－1在（－∞，0）上單調(diào)遞減，故C正確；冪函數(shù)f（x）＝x－1在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選B、C.
6.BD　冪函數(shù)f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則n＝－2，則f（x）＝，f（－x）＝f（x），且 f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，于是有f（－2）＝f（2）＜f（1）＝f（－1），則A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤；若｜a｜＞｜b｜＞0，則f（｜a｜）＜f（｜b｜），即f（a）＜f（b）成立，故D正確.故選B、D.
7.4　解析：設(shè)f（x）＝xα，則2＝4α，解得α＝，所以f（x）＝，又B（16，m）在冪函數(shù)圖象上，則m＝1＝4.
8.－　解析：易知函數(shù)y＝x－3＝在[－4，－2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝－2時(shí)，ymin＝（－2）－3＝＝－.
9.（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）
解析：因?yàn)閒（x）＝x－2（x≠0），f（x）為偶函數(shù)，易知f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又f（1－2a）＜f（a＋1），所以f（｜1－2a｜）＜f（｜a＋1｜），所以｜1－2a｜＞｜a＋1｜＞0，解得a＞2或a＜0且a≠－1，所以a的取值范圍是（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）.
10.解：（1）函數(shù)y＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又3＜3.2，所以＞3..
（2）＝，＝，函數(shù)y＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，而＞，所以＞.
（3）4.＞＝1，0＜3.＜＝1，
所以4.＞3..
11.C　選項(xiàng)A中，冪函數(shù)的指數(shù)a＜0，則函數(shù)y＝ax－應(yīng)為減函數(shù)，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，冪函數(shù)的指數(shù)a＞1，則函數(shù)y＝ax－應(yīng)為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，冪函數(shù)的指數(shù)a＜0，則－＞0，函數(shù)y＝ax－與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)為正，D錯(cuò)誤.
12.AC　畫出y＝與y＝的圖象（如圖），設(shè)＝＝m，作直線y＝m.從圖象知，若m＝0或1，則a＝b；若0＜m＜1，則0＜b＜a＜1；若m＞1，則1＜a＜b.故其中可能成立的是A、C.
13.1　解析：因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3，又m∈Z，所以m＝0或1或2.當(dāng)m＝0或2時(shí)，f（x）＝x－3＝，定義域?yàn)閧x｜x≠0}，且f（－x）＝＝－＝－f（x），此時(shí)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝1時(shí)，f（x）＝x－4＝，定義域?yàn)閧x｜x≠0}，且f（－x）＝＝＝f（x），此時(shí)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，符合題意.綜上所述，m＝1.
14.解：（1）∵m2＋m＝m（m＋1）（m∈N*），而m與m＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)，∴m2＋m為偶數(shù)，
∴函數(shù)f（x）＝（m∈N*）的定義域?yàn)閇0，＋∞），并且該函數(shù)在[0，＋∞）上是增函數(shù).
（2）∵函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)（2，），
∴＝，即m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2，
又∵m∈N*，∴m＝1，f（x）＝.
又∵f（2－a）＞f（a－1），
∴解得1≤a＜.
故函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)（2，）時(shí)，m＝1，滿足條件f（2－a）＞f（a－1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1，）.
15.解：（1）由f（4）＝3得n＝1，所以f（x）＝x－，其定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞）.
又f（－x）＝－x－＝－（ x－）＝－f（x），
所以函數(shù)f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上為奇函數(shù).
（2）函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
任取x1，x2，且0＜x1＜x2，則x1－x2＜0，x1x2＞0，
則f（x1）－f（x2）＝（ x1－）－（ x2－）＝＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.
（3）由f（x）＞2x＋2m＋1，得x－＞2x＋2m＋1，
2m＋1＜－x－＝－（ x＋），
在區(qū)間[1，3]上，－（ x＋）的最小值是－5.
由2m＋1＜－5，得m＜－3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，－3）.
2 / 26.1　冪函數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.了解冪函數(shù)的概念 數(shù)學(xué)抽象
2.通過具體實(shí)例，結(jié)合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的圖象，理解它們的變化規(guī)律 直觀想象、邏輯推理
　　研究下列3個(gè)問題：
　　①如果王老師購買每千克1元的蔬菜t千克，那么她需要支付p＝t元，這里p是t的函數(shù)；
　　②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)；
　　③如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 m，那么他騎車的平均速度v＝t－1 m/s，這里v是t的函數(shù).
【問題】　上述3個(gè)問題中的函數(shù)有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　冪函數(shù)的概念
形如　　　　的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是　　　　　，α是　　　　.
提醒　對(duì)冪函數(shù)的再理解：①xα的系數(shù)為1；②xα的底數(shù)是自變量x，指數(shù)α為常數(shù)；③項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng).
知識(shí)點(diǎn)二　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.五種常見冪函數(shù)的圖象
2.五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)
冪函數(shù) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 增 x∈（0，＋∞）　　　； x∈（－∞，0）　　 增 增 x∈（0，＋∞）　　　； x∈（－∞，0）　　
3.一般冪函數(shù)的性質(zhì)
（1）當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα具有以下兩條性質(zhì)：
①函數(shù)的圖象都過點(diǎn)　　　　和　　　　；
②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而　　　　，函數(shù)在區(qū)間　　　　上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)α＜0時(shí)，y＝xα具有以下兩條性質(zhì)：
①函數(shù)的圖象都過點(diǎn)　　　　；
②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而　　　　，函數(shù)在區(qū)間　　　　上單調(diào)遞減.
【想一想】
1.任意的一次函數(shù)和二次函數(shù)都是冪函數(shù)嗎？
2.冪函數(shù)的圖象為什么不過第四象限？
1.下列說法正確的是（　　）
A.冪函數(shù)圖象均過點(diǎn)（1，1）
B.冪函數(shù)的圖象均在兩個(gè)象限內(nèi)出現(xiàn)
C.冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖象
D.任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn)
2.（多選）（2024·無錫天一中學(xué)期中）下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是（　　）
A.y＝ B.y＝－x3
C.y＝x2 D.y＝x＋2
3.若冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），則f（3）＝　　　　.
題型一 冪函數(shù)的概念
【例1】　（1）在函數(shù)y＝x－2，y＝2x2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
（2）若f（x）＝（m2－4m－4）xm是冪函數(shù)，則m＝　　　　.
通性通法
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法
　　判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα（α為常數(shù)）的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1.
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·鹽城第一中學(xué)期中）已知冪函數(shù)y＝mxn（m，n∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），則m－n＝　　　　.
題型二 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例2】　（鏈接教科書第139頁例1）寫出下列函數(shù)的定義域，分別指出它們的奇偶性，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象：
（1）y＝x2，y＝x3；
（2）y＝，y＝；
（3）y＝x－1，y＝x－2.
通性通法
冪函數(shù)圖象的畫法
（1）先確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：依據(jù)冪的指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象.相關(guān)結(jié)論為：①在（0，1）上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸（簡記為指大圖低）；②在（1，＋∞）上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸（簡記為指大圖高）；
（2）再確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)y＝xα在其他象限內(nèi)的圖象.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖是冪函數(shù)y＝xn的部分圖象，已知n取，2，－2，－這四個(gè)值，則與曲線C1，C2，C3，C4相對(duì)應(yīng)的n依次為（　　）
A.2，，－，－2 B.－2，－，，2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
題型三 冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
角度1　比較冪值的大小
【例3】　（鏈接教科書第140頁例2）試比較下列各組數(shù)的大小：
（1）1.1－0.3，0.89－0.3；
（2）（ ）0.5，（ ）0.5，（ ）0.5；
（3）（ ，1，（ .
通性通法
比較冪值大小的方法
（1）若兩個(gè)冪值的指數(shù)相同或可化為兩個(gè)指數(shù)相同的冪值時(shí)，則可構(gòu)造函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
（2）若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”.
角度2　冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例4】　已知冪函數(shù)f（x）＝（m2＋3m－9）xm－1在（0，＋∞）上是減函數(shù)，m∈R.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若（2－a＞（2a－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
通性通法
　　冪函數(shù)y＝xα中只有一個(gè)參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也可由這些性質(zhì)去限制α的取值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·鎮(zhèn)江中學(xué)期中）冪函數(shù)f（x）＝（m2－m－1）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m＝（　　）
A.2　　　B.－1 C.－2　 D.2或－1
2.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：
（1）（－3.14）3，（－π）3；（2）（ －）－1，（ －）－1；（3）1.，1.，1.42.
1.（2024·連云港月考）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（　　）
A.y＝2x4 B.y＝2x3－1
C.y＝ D.y＝x2
2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減的是（　　）
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝
3.冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，m），且f（m）＝16，則實(shí)數(shù)m＝　　　　.
4.比較下列各組數(shù)的大小：
（1），；（2），.
6.1　冪函數(shù)
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
　y＝xα　自變量　常數(shù)
知識(shí)點(diǎn)二
2.增　減　減　減　3.（1）①（0，0）　
（1，1）　②上升　[0，＋∞）　（2）①（1，1）
②下降　（0，＋∞）
想一想
1.提示：不一定.例如y＝2x－5，y＝x2＋2x分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)，但它們都不是冪函數(shù).
2.提示：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，xα＞0，因此冪函數(shù)的圖象不過第四象限.
自我診斷
1.A　根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征可知A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選A.
2.AC　對(duì)于A、C，即y＝x－1，y＝x2均為冪函數(shù)；而選項(xiàng)B，y＝－x3不是冪函數(shù)，冪式前系數(shù)不為1；選項(xiàng)D，y＝x＋2不符合冪函數(shù)的形式，不是冪函數(shù).故選A、C.
3.　解析：設(shè)冪函數(shù)y＝f（x）＝xα，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），則2α＝，解得α＝.∴f（x）＝＝，∴f（3）＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）B　（2）5或－1　解析：（1）根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有y＝x－2是冪函數(shù)，所以選B.
（2）因?yàn)閒（x）是冪函數(shù)，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
跟蹤訓(xùn)練
　－2　解析：由函數(shù)y＝mxn（m，n∈R）為冪函數(shù)，可知m＝1，故y＝xn，又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），所以2n＝8，即n＝3，故m－n＝1－3＝－2.
【例2】　解：（1）函數(shù)y＝x2的定義域是R，
因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x）2＝x2，所以函數(shù)y＝x2是偶函數(shù).
函數(shù)y＝x3的定義域是R，
因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x）3＝－x3，所以函數(shù)y＝x3是奇函數(shù).圖象如圖①所示.
（2）函數(shù)y＝＝，其定義域是[0，＋∞），
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，－x （0，＋∞），函數(shù)y＝既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
函數(shù)y＝的定義域是R，
因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x＝－，所以函數(shù)y＝是奇函數(shù).圖象如圖②所示.
（3）由函數(shù)y＝x－1＝可知x≠0，定義域是（－∞，0）∪（0，＋∞），
因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且（－x）－1＝－x－1，所以函數(shù)y＝x－1是奇函數(shù).
由函數(shù)y＝x－2＝可知x≠0，定義域是（－∞，0）∪（0，＋∞），
因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且（－x）－2＝x－2，所以函數(shù)y＝x－2是偶函數(shù).圖象如圖③所示.
跟蹤訓(xùn)練
　A　法一　曲線C1，C2過點(diǎn)（0，0），（1，1），且在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，所以n＞0，n為，2，顯然C1對(duì)應(yīng)y＝x2，C2對(duì)應(yīng)y＝.C3，C4過點(diǎn)（1，1），且在第一象限內(nèi)為減函數(shù)，所以n＜0，n為－2，－，顯然C3對(duì)應(yīng)y＝，C4對(duì)應(yīng)y＝x－2.
法二　取x＝2，分別代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比較得y1＞y2＞y3＞y4，則與曲線C1，C2，C3，C4相對(duì)應(yīng)的n依次為2，，－，－2.
【例3】　解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－0.3在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又1.1＞0.89，
所以1.1－0.3＜0.89－0.3.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y＝x0.5在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又＞＞，
所以（ ）0.5＞（ ）0.5＞（ ）0.5.
（3）因?yàn)楹瘮?shù)y1＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又＞1，所以（ ＞＝1.
又因?yàn)楹瘮?shù)y2＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又＜1，所以（ ＜＝1，
所以（ ＞1＞（ .
【例4】　解：（1）由函數(shù)f（x）＝（m2＋3m－9）xm－1為冪函數(shù)得m2＋3m－9＝1，
解得m＝2或m＝－5，
又函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，則m－1＜0，即m＜1，
所以m＝－5，f（x）＝x－6.
（2）由（1）得m＝－5，所以不等式為（2－a＞（2a－1，
設(shè)函數(shù)g（x）＝，則函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），且函數(shù)g（x）在（0，＋∞）上為減函數(shù)，
所以解得1＜a＜2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　因?yàn)閒（x）＝（m2－m－1）是冪函數(shù)，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或－1，又f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則m2－2m－2＞0，所以m＝－1滿足題意，m＝2不合題意舍去.故選B.
2.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在（－∞，0）上單調(diào)遞增，又3.14＜π，所以－3.14＞－π，
所以（－3.14）3＞（－π）3.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－1在（－∞，0）上單調(diào)遞減，又－＜－＜0，所以（ －）－1＞（ －）－1.
（3）因?yàn)閥＝在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，且1.2＜1.4，所以1.＜1..
易知1.＜1.42，所以1.＜1.＜1.42.
隨堂檢測
1.D　結(jié)合冪函數(shù)的形式可知D正確.故選D.
2.A　所給選項(xiàng)都是冪函數(shù)，其中y＝x－2和y＝x2是偶函數(shù)，y＝x－1和y＝不是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B、D，又y＝x2在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增，不合題意，y＝x－2在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，符合題意.故選A.
3.4或　解析：設(shè)f（x）＝xα，則2α＝m，mα＝（2α）α＝＝16，所以α2＝4，所以α＝±2，所以m＝4或.
4.解：（1）由冪函數(shù)y＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，得＜.
（2）由冪函數(shù)y＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，得（ ＜（ .
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6.1　冪函數(shù)
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.了解冪函數(shù)的概念 數(shù)學(xué)抽象
2.通過具體實(shí)例，結(jié)合 y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ x3， y ＝ x
－1， y ＝ 的圖象，理解它們的變化規(guī)律 直觀想象、
邏輯推理
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　研究下列3個(gè)問題：
　　①如果王老師購買每千克1元的蔬菜 t 千克，那么她需要支付 p ＝ t
元，這里 p 是 t 的函數(shù)；
　　②如果正方形的邊長為 a ，那么正方形的面積 S ＝ a2，這里 S 是 a
的函數(shù)；
　　③如果某人 t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 m，那么他騎車的平均速度 v ＝ t－1
m/s，這里 v 是 t 的函數(shù).
【問題】　上述3個(gè)問題中的函數(shù)有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？

知識(shí)點(diǎn)一　冪函數(shù)的概念
形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是 ，α是
.
提醒　對(duì)冪函數(shù)的再理解：① xα的系數(shù)為1；② xα的底數(shù)是自變量
x ，指數(shù)α為常數(shù)；③項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng).
y ＝ xα　
自變量　
常
數(shù)　
知識(shí)點(diǎn)二　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1. 五種常見冪函數(shù)的圖象
2. 五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)
冪函
數(shù) y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝ x－1
定義
域 R R R [0，＋
∞） （－∞，0）∪
（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） R [0，＋
∞） { y ｜ y ≠0}
冪函數(shù) y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝ x－1
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 增 x ∈（0，＋
∞） ； x
∈（－∞，
0） 增 增 x ∈（0，＋
∞） ；
x ∈（－∞，
0）
增　
減　
減　
減　
3. 一般冪函數(shù)的性質(zhì)
（1）當(dāng)α＞0時(shí)， y ＝ xα具有以下兩條性質(zhì)：
①函數(shù)的圖象都過點(diǎn) 和 ；
②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨 x 的增大而 ，函數(shù)
在區(qū)間 上單調(diào)遞增.
（0，0）　
（1，1）　
上升　
[0，＋∞）　
（2）當(dāng)α＜0時(shí)， y ＝ xα具有以下兩條性質(zhì)：
①函數(shù)的圖象都過點(diǎn) ；
②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨 x 的增大而 ，函數(shù)
在區(qū)間 上單調(diào)遞減.
（1，1）　
下降　
（0，＋∞）　
【想一想】
1. 任意的一次函數(shù)和二次函數(shù)都是冪函數(shù)嗎？
提示：不一定.例如 y ＝2 x －5， y ＝ x2＋2 x 分別為一次函數(shù)和二次
函數(shù)，但它們都不是冪函數(shù).
2. 冪函數(shù)的圖象為什么不過第四象限？
提示：因?yàn)楫?dāng) x ＞0時(shí)， xα＞0，因此冪函數(shù)的圖象不過第四象限.
1. 下列說法正確的是（　　）
A. 冪函數(shù)圖象均過點(diǎn)（1，1）
B. 冪函數(shù)的圖象均在兩個(gè)象限內(nèi)出現(xiàn)
C. 冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖象
D. 任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn)
解析： 　根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征可知A正確，B、C、D錯(cuò)誤.
故選A.
2. （多選）（2024·無錫天一中學(xué)期中）下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是
（　　）
A. y ＝ B. y ＝－ x3
C. y ＝ x2 D. y ＝ x ＋2
解析： 　對(duì)于A、C，即 y ＝ x－1， y ＝ x2均為冪函數(shù)；而選項(xiàng)
B， y ＝－ x3不是冪函數(shù)，冪式前系數(shù)不為1；選項(xiàng)D， y ＝ x ＋2不
符合冪函數(shù)的形式，不是冪函數(shù).故選A、C.
3. 若冪函數(shù) y ＝ f （ x ）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2， ），則 f （3）＝ 　 　.
解析：設(shè)冪函數(shù) y ＝ f （ x ）＝ xα，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2， ），則
2α＝ ，解得α＝ .∴ f （ x ）＝ ＝ ，∴ f （3）＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 冪函數(shù)的概念
【例1】　（1）在函數(shù) y ＝ x－2， y ＝2 x2， y ＝（ x ＋1）2， y ＝3 x
中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　B　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有 y ＝ x－2是冪函數(shù)，所以選B.
（2）若 f （ x ）＝（ m2－4 m －4） xm 是冪函數(shù)，則 m ＝ .
解析：因?yàn)?f （ x ）是冪函數(shù)，所以 m2－4 m －4＝1，即 m2－4 m
－5＝0，解得 m ＝5或 m ＝－1.
B
5或－1　
通性通法
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法
　　判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為 y ＝ xα（α為
常數(shù)）的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：（1）
指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1.
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·鹽城第一中學(xué)期中）已知冪函數(shù) y ＝ mxn （ m ， n ∈R）的圖象
經(jīng)過點(diǎn)（2，8），則 m － n ＝ .
解析：由函數(shù) y ＝ mxn （ m ， n ∈R）為冪函數(shù)，可知 m ＝1，故 y ＝
xn ，又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），所以2 n ＝8，即 n ＝3，故 m － n ＝1
－3＝－2.
－2　
題型二 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例2】　（鏈接教科書第139頁例1）寫出下列函數(shù)的定義域，分別
指出它們的奇偶性，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象：
（1） y ＝ x2， y ＝ x3；
解：函數(shù) y ＝ x2的定義域是R，
因?yàn)閷?duì)任意的 x ∈R，－ x ∈R，且都有（－ x ）2＝ x2，所以函數(shù)
y ＝ x2是偶函數(shù).
函數(shù) y ＝ x3的定義域是R，
因?yàn)閷?duì)任意的 x ∈R，－ x ∈R，且都有（－ x ）3＝－ x3，所以函
數(shù) y ＝ x3是奇函數(shù).圖象如圖①所示.
（2） y ＝ ， y ＝ ；
解：函數(shù) y ＝ ＝ ，其定義域是[0，＋∞），
因?yàn)楫?dāng) x ∈（0，＋∞）時(shí)，－ x （0，＋∞），函數(shù) y ＝ 既
不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
函數(shù) y ＝ 的定義域是R，
因?yàn)閷?duì)任意的 x ∈R，－ x ∈R，且都有（－ x ＝－ ，所以
函數(shù) y ＝ 是奇函數(shù).圖象如圖②所示.
（3） y ＝ x－1， y ＝ x－2.
解：由函數(shù) y ＝ x－1＝ 可知 x ≠0，定義域是（－∞，0）∪
（0，＋∞），
因?yàn)閷?duì)任意的 x ∈R， x ≠0，都有－ x ∈R，－ x ≠0，且（－
x ）－1＝－ x－1，所以函數(shù) y ＝ x－1是奇函數(shù).
由函數(shù) y ＝ x－2＝ 可知 x ≠0，定義域是（－∞，0）∪（0，＋
∞），
因?yàn)閷?duì)任意的 x ∈R， x ≠0，都有－ x ∈R，－ x ≠0，且（－
x ）－2＝ x－2，所以函數(shù) y ＝ x－2是偶函數(shù).圖象如圖③所示.
通性通法
冪函數(shù)圖象的畫法
（1）先確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：依據(jù)冪的指數(shù)α與0，1的
大小關(guān)系，確定冪函數(shù) y ＝ xα在第一象限內(nèi)的圖象.相關(guān)結(jié)論
為：①在（0，1）上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近 x 軸
（簡記為指大圖低）；②在（1，＋∞）上，冪的指數(shù)越大，冪
函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離 x 軸（簡記為指大圖高）；
（2）再確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇
偶性確定冪函數(shù) y ＝ xα在其他象限內(nèi)的圖象.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖是冪函數(shù) y ＝ xn 的部分圖象，已知 n 取 ，2，－2，－ 這四個(gè)
值，則與曲線 C1， C2， C3， C4相對(duì)應(yīng)的 n 依次為（　　）
A. 2， ，－ ，－2 B. －2，－ ， ，2
C. － ，－2，2， D. 2， ，－2，－
解析： 　法一　曲線 C1， C2過點(diǎn)（0，0），（1，1），且在第一象
限內(nèi)為增函數(shù)，所以 n ＞0， n 為 ，2，顯然 C1對(duì)應(yīng) y ＝ x2， C2對(duì)應(yīng) y
＝ . C3， C4過點(diǎn)（1，1），且在第一象限內(nèi)為減函數(shù)，所以 n ＜0，
n 為－2，－ ，顯然 C3對(duì)應(yīng) y ＝ ， C4對(duì)應(yīng) y ＝ x－2.
法二　取 x ＝2，分別代入 y1＝ x2， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ x－2，可求
得 y1＝4， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ ，比較得 y1＞ y2＞ y3＞ y4，則與曲
線 C1， C2， C3， C4相對(duì)應(yīng)的 n 依次為2， ，－ ，－2.
題型三 冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
角度1　比較冪值的大小
【例3】　（鏈接教科書第140頁例2）試比較下列各組數(shù)的大小：
（1）1.1－0.3，0.89－0.3；
解：因?yàn)楹瘮?shù) y ＝ x－0.3在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又1.1＞
0.89，
所以1.1－0.3＜0.89－0.3.
（2）（ ）0.5，（ ）0.5，（ ）0.5；
解：因?yàn)楹瘮?shù) y ＝ x0.5在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又 ＞ ＞ ，
所以（ ）0.5＞（ ）0.5＞（ ）0.5.
（3）（ ，1，（ .
解：因?yàn)楹瘮?shù) y1＝ 在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又 ＞1，所
以（ ＞ ＝1.
又因?yàn)楹瘮?shù) y2＝ 在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又 ＜1，所以
（ ＜ ＝1，
所以（ ＞1＞（ .
通性通法
比較冪值大小的方法
（1）若兩個(gè)冪值的指數(shù)相同或可化為兩個(gè)指數(shù)相同的冪值時(shí)，則可
構(gòu)造函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
（2）若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中
間值可以是“0”或“1”.
角度2　冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例4】　已知冪函數(shù) f （ x ）＝（ m2＋3 m －9） xm－1在（0，＋∞）
上是減函數(shù)， m ∈R.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解：由函數(shù) f （ x ）＝（ m2＋3 m －9） xm－1為冪函數(shù)得 m2＋3 m
－9＝1，
解得 m ＝2或 m ＝－5，
又函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，則 m －1＜0，即 m ＜1，
所以 m ＝－5， f （ x ）＝ x－6.
（2）若（2－ a ＞（2 a －1 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
解：由（1）得 m ＝－5，所以不等式為（2－ a ＞（2 a －1
，
設(shè)函數(shù) g （ x ）＝ ，則函數(shù) g （ x ）的定義域?yàn)椋?，＋
∞），且函數(shù) g （ x ）在（0，＋∞）上為減函數(shù)，
所以解得1＜ a ＜2，所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是
（1，2）.
通性通法
　　冪函數(shù) y ＝ xα中只有一個(gè)參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取
值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也
可由這些性質(zhì)去限制α的取值.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·鎮(zhèn)江中學(xué)期中）冪函數(shù) f （ x ）＝（ m2－ m －1）
在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) m ＝（　　）
A. 2 B. －1
C. －2 D. 2或－1
解析： 　因?yàn)?f （ x ）＝（ m2－ m －1） 是冪函數(shù)，所
以 m2－ m －1＝1，解得 m ＝2或－1，又 f （ x ）在（0，＋∞）上單
調(diào)遞增，則 m2－2 m －2＞0，所以 m ＝－1滿足題意， m ＝2不合題
意舍去.故選B.
2. 比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：
（1）（－3.14）3，（－π）3；
解：因?yàn)楹瘮?shù) y ＝ x3在（－∞，0）上單調(diào)遞增，又
3.14＜（1）π，所以－3.14＞－π，
所以（－3.14）3＞（－π）3.
解：因?yàn)楹瘮?shù) y ＝ x－1在（－∞，0）上單調(diào)遞減，又－ ＜
－ ＜0，所以（ － ）－1＞（ － ）－1.
（2）（ － ）－1，（ － ）－1；
解：因?yàn)?y ＝ 在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，且1.2＜1.4，所
以1. ＜1. .
易知1. ＜1.42，所以1. ＜1. ＜1.42.
（3）1. ，1. ，1.42.
1. （2024·連云港月考）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（　　）
A. y ＝2 x4 B. y ＝2 x3－1
C. y ＝ D. y ＝ x2
解析： 　結(jié)合冪函數(shù)的形式可知D正確.故選D.
2. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減的是
（　　）
A. y ＝ x－2 B. y ＝ x－1
C. y ＝ x2 D. y ＝
解析： 　所給選項(xiàng)都是冪函數(shù)，其中 y ＝ x－2和 y ＝ x2是偶函數(shù)，
y ＝ x－1和 y ＝ 不是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B、D，又 y ＝ x2在區(qū)間
（0，＋∞）上單調(diào)遞增，不合題意， y ＝ x－2在區(qū)間（0，＋∞）
上單調(diào)遞減，符合題意.故選A.
3. 冪函數(shù) f （ x ）的圖象過點(diǎn)（2， m ），且 f （ m ）＝16，則實(shí)數(shù) m
＝ .
解析：設(shè) f （ x ）＝ xα，則2α＝ m ， mα＝（2α）α＝ ＝16，所
以α2＝4，所以α＝±2，所以 m ＝4或 .
4或 　
4. 比較下列各組數(shù)的大小：
（1） ， ；
解： 由冪函數(shù) y ＝ 在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，得
＜ .
（2） ， .
解： 由冪函數(shù) y ＝ 在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，得
（ ＜（ .
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 在函數(shù) y ＝ x－4， y ＝3 x2， y ＝ x2＋2 x ， y ＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為
（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　函數(shù) y ＝ x－4為冪函數(shù)；函數(shù) y ＝3 x2中 x2的系數(shù)不是1，
所以它不是冪函數(shù)；函數(shù) y ＝ x2＋2 x 不是 y ＝ xα（α是常數(shù)）的形
式，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù) y ＝1與 y ＝ x0＝1（ x ≠0）不相等，
所以 y ＝1不是冪函數(shù).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若 f （ x ）＝ ，則函數(shù) f （4 x －3）的定義域?yàn)椋ā　。?br/>A. R B.
C. D.
解析： 　易知 f （ x ）＝ 的定義域?yàn)椋?，＋∞），則4 x －3∈
（0，＋∞），即 x ∈ ，故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 函數(shù) f （ x ）＝ xa ＋ b ，不論 a 為何值， f （ x ）的圖象均過點(diǎn)（ m ，
0），則實(shí)數(shù) b 的值為（　　）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　∵冪函數(shù) y ＝ xa 過定點(diǎn)（1，1），∴ f （ x ）＝ xa ＋ b 過
定點(diǎn)（1，1＋ b ），結(jié)合已知條件可知1＋ b ＝0，則 b ＝－1.
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4. 如圖所示，曲線 C1和 C2分別是函數(shù) y ＝ xm 和 y ＝ xn 在第一象限內(nèi)的
圖象，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A. n ＜ m ＜0
B. m ＜ n ＜0
C. n ＞ m ＞0
D. m ＞ n ＞0
解析： 　由題中圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，故 m
＜0， n ＜0.由冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)知 n ＜ m ，故 n ＜ m ＜0.
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5. （多選）（2024·南京第九中學(xué)期中）已知冪函數(shù) f （ x ）＝（ m2－
2 m －2） xm 的圖象過點(diǎn)（ 2， ），則（　　）
A. f （ x ）＝ x3
B. f （ x ）＝ x－1
C. 函數(shù) f （ x ）在（－∞，0）上單調(diào)遞減
D. 函數(shù) f （ x ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增
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解析： 　由題意知， m2－2 m －2＝1，即 m2－2 m －3＝0，解得
m ＝3或 m ＝－1.當(dāng) m ＝3時(shí)， f （ x ）＝ x3，此時(shí) f （2）＝8，函數(shù)
圖象不過點(diǎn)（ 2， ），故A錯(cuò)誤；當(dāng) m ＝－1時(shí)， f （ x ）＝ x－1，
此時(shí) f （2）＝ ，函數(shù)圖象過點(diǎn)（ 2， ），故B正確；冪函數(shù) f
（ x ）＝ x－1在（－∞，0）上單調(diào)遞減，故C正確；冪函數(shù) f （ x ）
＝ x－1在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選B、C.
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6. （多選）已知冪函數(shù) f （ x ）＝ xn ， n ∈{－2，－1，1，3}的圖象關(guān)
于 y 軸對(duì)稱，則下列說法正確的是（　　）
A. f （－2）＞ f （1）
B. f （－2）＜ f （1）
C. f （－2）＝ f （－1）
D. 若｜ a ｜＞｜ b ｜＞0，則 f （ a ）＜ f （ b ）
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解析： 　冪函數(shù) f （ x ）＝ xn ， n ∈{－2，－1，1，3}的圖象關(guān)
于 y 軸對(duì)稱，則 n ＝－2，則 f （ x ）＝ ， f （－ x ）＝ f （ x ），且
f （ x ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，于是有 f （－2）＝ f （2）＜ f
（1）＝ f （－1），則A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤；若｜ a ｜＞｜ b ｜
＞0，則 f （｜ a ｜）＜ f （｜ b ｜），即 f （ a ）＜ f （ b ）成立，故
D正確.故選B、D.
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7. （2024·無錫玉祁高中期中）已知冪函數(shù) f （ x ）的圖象經(jīng)過點(diǎn) A
（4，2）， B （16， m ），則 m ＝ .
解析：設(shè) f （ x ）＝ xα，則2＝4α，解得α＝ ，所以 f （ x ）＝
，又 B （16， m ）在冪函數(shù)圖象上，則 m ＝1 ＝4.
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8. 函數(shù) y ＝ x－3在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是 .
解析：易知函數(shù) y ＝ x－3＝ 在[－4，－2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng) x
＝－2時(shí)， ymin＝（－2）－3＝ ＝－ .
－ 　
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9. 已知冪函數(shù) f （ x ）＝ x－2，若 f （1－2 a ）＜ f （ a ＋1），則 a 的取
值范圍是 .
解析：因?yàn)?f （ x ）＝ x－2（ x ≠0）， f （ x ）為偶函數(shù)，易知 f
（ x ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又 f （1－2 a ）＜ f （ a ＋1），
所以 f （｜1－2 a ｜）＜ f （｜ a ＋1｜），所以｜1－2 a ｜＞｜ a ＋
1｜＞0，解得 a ＞2或 a ＜0且 a ≠－1，所以 a 的取值范圍是（－
∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）.
（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）　
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10. 比較下列各組數(shù)的大小：
（1） 和3. ；
解： 函數(shù) y ＝ 在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，又3＜
3.2，所以 ＞3. .
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（2） 和 ；
解： ＝ ， ＝ ，函數(shù) y ＝ 在
（0，＋∞）上單調(diào)遞增，而 ＞ ，所以 ＞ .
（3）4. 和3. .
解： 4. ＞ ＝1，0＜3. ＜ ＝1，
所以4. ＞3. .
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11. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) y ＝ xa （ a ≠0）和 y ＝ ax － 的圖象可能是
（　　）
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解析： 　選項(xiàng)A中，冪函數(shù)的指數(shù) a ＜0，則函數(shù) y ＝ ax － 應(yīng)為
減函數(shù)，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，冪函數(shù)的指數(shù) a ＞1，則函數(shù) y ＝ ax －
應(yīng)為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，冪函數(shù)的指數(shù) a ＜0，則－ ＞
0，函數(shù) y ＝ ax － 與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)為正，D錯(cuò)誤.
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12. （多選）已知實(shí)數(shù) a ， b 滿足等式 ＝ ，則下列關(guān)系式中可能
成立的是（　　）
A. 0＜ b ＜ a ＜1 B. －1＜ a ＜ b ＜0
C. 1＜ a ＜ b D. －1＜ b ＜ a ＜0
解析： 　畫出 y ＝ 與 y ＝ 的圖象（如
圖），設(shè) ＝ ＝ m ，作直線 y ＝ m .從圖
象知，若 m ＝0或1，則 a ＝ b ；若0＜ m ＜1，
則0＜ b ＜ a ＜1；若 m ＞1，則1＜ a ＜ b .故其
中可能成立的是A、C.
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解析：因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù) f （ x ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以
m2－2 m －3＜0，解得－1＜ m ＜3，又 m ∈Z，所以 m ＝0或1或2.
當(dāng) m ＝0或2時(shí)， f （ x ）＝ x－3＝ ，定義域?yàn)閧 x ｜ x ≠0}，且 f
（－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），此時(shí)函數(shù) f （ x ）為奇函
數(shù)，不符合題意；當(dāng) m ＝1時(shí)， f （ x ）＝ x－4＝ ，定義域?yàn)?br/>{ x ｜ x ≠0}，且 f （－ x ）＝ ＝ ＝ f （ x ），此時(shí)函數(shù) f
（ x ）為偶函數(shù)，符合題意.綜上所述， m ＝1.
13. （2024·南通如皋期中）已知冪函數(shù) f （ x ）＝ （其中 m
∈Z）為偶函數(shù)，且 f （ x ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) m
的值為 .
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14. 已知冪函數(shù) f （ x ）＝ （ m ∈N*）.
（1）試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的
單調(diào)性；
解： ∵ m2＋ m ＝ m （ m ＋1）（ m ∈N*），而 m 與 m
＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)，∴ m2＋ m 為偶數(shù)，
∴函數(shù) f （ x ）＝ （ m ∈N*）的定義域?yàn)閇0，
＋∞），并且該函數(shù)在[0，＋∞）上是增函數(shù).
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（2）若函數(shù) f （ x ）經(jīng)過點(diǎn)（2， ），試確定 m 的值，并求滿
足條件 f （2－ a ）＞ f （ a －1）的實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
解： ∵函數(shù) f （ x ）經(jīng)過點(diǎn)（2， ），
∴ ＝ ，即 m2＋ m ＝2，解得 m ＝1或 m ＝－2，
又∵ m ∈N*，∴ m ＝1， f （ x ）＝ .
又∵ f （2－ a ）＞ f （ a －1），∴解得1≤ a
＜ .
故函數(shù) f （ x ）經(jīng)過點(diǎn)（2， ）時(shí)， m ＝1，滿足條件 f （2
－ a ）＞ f （ a －1）的實(shí)數(shù) a 的取值范圍為［1， ）.
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15. 已知函數(shù) f （ x ）＝ xn － ，且 f （4）＝3.
（1）判斷 f （ x ）的奇偶性并說明理由；
解： 由 f （4）＝3得 n ＝1，所以 f （ x ）＝ x － ，其定
義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞）.
又 f （－ x ）＝－ x － ＝－（ x － ）＝－ f （ x ），
所以函數(shù) f （ x ）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上為奇函數(shù).
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（2）判斷 f （ x ）在區(qū)間（0，＋∞）上的單調(diào)性，并證明你
的結(jié)論；
解： 函數(shù) f （ x ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，證明
如下：
任取 x1， x2，且0＜ x1＜ x2，則 x1－ x2＜0， x1 x2＞0，
則 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1－ ）－（ x2－ ）＝
＜0，
即 f （ x1）＜ f （ x2），所以函數(shù) f （ x ）在（0，＋∞）
上單調(diào)遞增.
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（3）若在區(qū)間[1，3]上，不等式 f （ x ）＞2 x ＋2 m ＋1恒成立，
試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍.
解： 由 f （ x ）＞2 x ＋2 m ＋1，得 x － ＞2 x ＋2 m
＋1，
2 m ＋1＜－ x － ＝－（ x ＋ ），
在區(qū)間[1，3]上，－（ x ＋ ）的最小值是－5.
由2 m ＋1＜－5，得 m ＜－3，所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是
（－∞，－3）.
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