資源簡介

6.2　指數(shù)函數(shù)
第1課時　指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質
1.下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為（　　）
A.y＝x3 B.y＝（－4）x
C.y＝5x＋1 D.y＝52x
2.若函數(shù)f（x）＝（2a－1）x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?br/>A.（0，1）∪（1，＋∞） B.[0，1）∪（1，＋∞）
C.∪（1，＋∞） D.
3.若函數(shù)f（x）＝（1－2a）x是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A. B.
C. D.
4.函數(shù)f（x）＝ax與g（x）＝－x＋a的圖象大致是（　?。?br/>5.若f（x）＝（）｜x｜，x∈R，那么f（x）是（　?。?br/>A.奇函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞增
B.偶函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞增
C.奇函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞減
D.偶函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞減
6.（2024·南通東南中學期中）a＝30.2，b＝0.23，c＝0.33，則下列關于a，b，c大小關系正確的是（　?。?br/>A.a＞c＞b B.a＞b＞c
C.b＞c＞a D.c＞a＞b
7.（2024·南通海安實驗中學期中）已知常數(shù)a＞0且a≠1，假設無論a為何值，函數(shù)y＝ax＋4＋3的圖象恒經過一定點，則這個點的坐標為　　　　.
8.已知函數(shù)f（x）為指數(shù)函數(shù)，且f＝，則f（－2）＝　　　　.
9.不等式（ ≤2x的解集為　　　　.
10.已知函數(shù)f（x）＝（a2＋a－5）ax是指數(shù)函數(shù).
（1）求f（x）的表達式；
（2）判斷F（x）＝的奇偶性，并加以證明.
11.若函數(shù)y＝（）x在[－2，－1]上的最大值為m，最小值為n，則m＋n＝（　?。?br/>A.1 B.3
C.6 D.12
12.（多選）已知實數(shù)a，b滿足等式3a＝6b，則下列可能成立的關系式為（　　）
A.a＝b＝0 B.0＜b＜a
C.a＜b＜0 D.0＜a＜b
13.已知函數(shù)y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，則函數(shù)y＝f（x）的一個可能的解析式為　　　　.
14.設f（x）＝3x，g（x）＝（）x.
（1）在同一坐標系中作出f（x），g（x）的圖象；
（2）計算f（1）與g（－1），f（π）與g（－π），f（m）與g（－m）的值，從中你能得到什么結論？
15.已知函數(shù)f（x）＝滿足f（ ）＝.
（1）求常數(shù)c的值；
（2）解關于x的不等式f（x）＞＋1.
第1課時　指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質
1.D　A中，自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，故不是指數(shù)函數(shù)；B中，自變量出現(xiàn)在指數(shù)上，但－4＜0，不滿足“底數(shù)大于0且不等于1”的條件，故不是指數(shù)函數(shù)；C中，指數(shù)是x＋1，故不是指數(shù)函數(shù)；D中，y＝52x＝25x，符合指數(shù)函數(shù)的定義，故是指數(shù)函數(shù).故選D.
2.C　依題意得2a－1＞0，且2a－1≠1，解得a＞，且a≠1，即a的取值范圍是∪（1，＋∞）.故選C.
3.B　依題意得1－2a＞1，∴a＜0.故選B.
4.A　當a＞1時，函數(shù)f（x）＝ax為增函數(shù)，當x＝0時，g（0）＝a＞1，此時兩函數(shù)的圖象大致為選項A.
5.D　依題意，得f（－x）＝（）｜－x｜＝（）｜x｜＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù).當x＞0時，f（x）＝（）｜x｜＝（）x，函數(shù)f（x）單調遞減.
6.A　由y＝3x單調遞增，a＝30.2＞30＝1，0＜b＝0.23＝0.008＜1，c＝0.33＝0.027＞0.008，所以a＞c＞b.故選A.
7.（－4，4）　解析：因為當x＋4＝0時，即x＝－4時，y＝a0＋3＝4，即y＝ax＋4＋3恒過點（－4，4）.
8.　解析：設f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f＝得，＝，所以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝.
9.{x｜x≥1或x≤－2}　解析：因為（ ＝（2－1＝，所以原不等式等價于≤2x.因為y＝2x是R上的增函數(shù)，所以－x2＋2≤x，所以x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，所以原不等式的解集是{x｜x≥1或x≤－2}.
10.解：（1）由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，
可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x.
（2）F（x）＝是奇函數(shù).
證明如下：F（x）的定義域是R，關于原點對稱，且F（x）＝f（x）－＝2x－＝2x－2－x，
又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x），
所以F（x）是奇函數(shù).
11.C　由指數(shù)函數(shù)y＝（）x的圖象可知函數(shù)在x＝－1處取最小值2，在x＝－2處取最大值4.所以m＋n＝6.
12.ABC　由題意，在同一坐標系內分別畫出函數(shù)y＝3x和y＝6x的圖象，如圖所示.由圖象知，當a＝b＝0時，3a＝6b＝1，所以選項A正確；作出直線y＝k，當k＞1時，若3a＝6b＝k，則0＜b＜a，所以選項B正確；當0＜k＜1時，若3a＝6b＝k，則a＜b＜0，所以選項C正確.
13.f（x）＝2×4x　解析：由題意，得＝4，＝42，…，＝4x，∴f（x）＝2×4x.
14.解：（1）函數(shù)f（x），g（x）的圖象如圖所示.
（2）f（1）＝31＝3，g（－1）＝（）－1＝3，
f（π）＝3π，g（－π）＝（）－π＝3π，
f（m）＝3m，g（－m）＝（）－m＝3m.
從以上計算的結果看，兩個函數(shù)當自變量取值互為相反數(shù)時，其函數(shù)值相等，即當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，它們的圖象關于y軸對稱.
15.解：（1）由f（ ）＝，得c·＋1＝，解得c＝，即c的值為.
（2）由（1），得f（x）＝
當0＜x＜時，x＋1＞＋1，即解得＜x＜；
當≤x＜1時，2－4x＋1＞＋1，即解得≤x＜.
綜上所述，不等式f（x）＞＋1的解集為{x｜＜x＜}.
1 / 26.2　指數(shù)函數(shù)
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念 數(shù)學抽象
2.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點 直觀想象、數(shù)學運算
第1課時　指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質
　　某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂1次（1個分裂成2個）.
【問題】?。?）經過3小時，這種細菌由1個可分裂為幾個？
（2）經過x小時，這種細菌由1個可分裂為幾個？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝　　?。╝＞0，a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)，它的定義域是　　　.
提醒　指數(shù)函數(shù)的結構特征
【想一想】
　為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞0，且a≠1？
知識點二　指數(shù)函數(shù)的圖象和性質
a＞1 0＜a＜1
圖象
性質 定義域：　　
值域：　　　
圖象過定點：　　　　，圖象在x軸的　　　
在（－∞，＋∞）上是　　　函數(shù)； 當x＞0時，y＞1； 當x＜0時，0＜y＜1 在（－∞，＋∞）上是　　　函數(shù)； 當x＞0時，0＜y＜1； 當x＜0時，y＞1
提醒　（1）當0＜a＜1時，底數(shù)越小，圖象越靠近y軸；（2）當a＞1時，底數(shù)越大，圖象越靠近y軸.
【想一想】
1.指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）具有奇偶性嗎？
2.在直角坐標系中指數(shù)函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第幾象限？
3.指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）的圖象與底數(shù)a有什么關系？
1.函數(shù)y＝2－x的圖象是（　?。?br/>2.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.指數(shù)函數(shù)y＝ax中，a可以為負數(shù)
B.y＝2x＋1是指數(shù)函數(shù)
C.已知函數(shù)f（x）＝3x，若m＞n，則f（m）＞f（n）
D.指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝（）x的圖象關于y軸對稱
3.若函數(shù)f（x）是指數(shù)函數(shù)，且f（2）＝2，求f（x）的解析式.
題型一 指數(shù)函數(shù)的概念
【例1】?。?）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是（　　）
A.y＝（－8）x B.y＝πx
C.y＝3·2x D.y＝ax
（2）若函數(shù)f（x）＝（a－3）·ax是指數(shù)函數(shù)，則f（）＝（　?。?br/>A.2 B.－2
C.－2 D.2
通性通法
1.判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法
（1）看形式：判斷其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）這一結構特征；
（2）明特征：看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個特征.只要有一個特征不具備，該函數(shù)就不是指數(shù)函數(shù).
2.求指數(shù)函數(shù)解析式的方法
一般采用待定系數(shù)法，即先設出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件求出解析式中的未知參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式.
【跟蹤訓練】
1.若函數(shù)y＝（k＋2）ax＋2－b（a＞0，且a≠1）是指數(shù)函數(shù)，則k＝　　　　，b＝　　　　.
2.若指數(shù)函數(shù)f（x）的圖象經過點（2，9），則f（－1）＝　　　　.
題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應用
【例2】　（1）如圖所示是指數(shù)函數(shù)①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是（　　 ）
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
（2）若函數(shù)f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的圖象恒過點（－1，4），則m＋n＝（　?。?br/>A.3 B.1
C.－1 D.－2
通性通法
1.解決指數(shù)函數(shù)圖象問題的注意點
（1）熟記當?shù)讛?shù)a＞1和0＜a＜1時，圖象的大體形狀；
（2）在y軸右側，指數(shù)函數(shù)的圖象“底大圖高”.
2.解決指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題的思路
指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）的圖象過定點（0，1），據(jù)此可解決形如y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，a≠1）的函數(shù)圖象過定點的問題，即令指數(shù)x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函數(shù)圖象過定點（－c，k＋b）.
【跟蹤訓練】
1.已知1＞n＞m＞0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx；②y＝nx的圖象為（　　）
2.已知0＜a＜1，b＜－1，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象必定不經過（　?。?br/>A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
題型三 指數(shù)函數(shù)的性質及應用
角度1　指數(shù)式的大小比較
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?44頁例1）比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小：
（1）2.42.5，2.43.2；
（2）（ ，（ ；
（3）1.80.3，0.51.2.
通性通法
比較指數(shù)式大小的2種類型及處理方法
角度2　求解指數(shù)不等式
【例4】　（鏈接教科書第145頁例2）（1）已知7x≥（ ，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）已知0.＜52x＋2，求實數(shù)x的取值范圍.
通性通法
解指數(shù)不等式的方法
（1）利用指數(shù)型函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式；
（2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習慣，若底數(shù)不確定，就需進行分類討論，即af（x）＞ag（x） f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1）.
【跟蹤訓練】
1.（2024·無錫玉祁高中期中）已知a＝20.4，b＝20.6，c＝0.20.6，則a，b，c的大小關系是（　?。?br/>A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.c＜b＜a D.a＜c＜b
2.若a－5x＞（a＞0且a≠1），求x的取值范圍.
1.下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是（　　）
A.y＝（ ）x－1
B.y＝ax（a＞0，且a≠1）
C.y＝1x
D.y＝（ ）2x－1
2.若指數(shù)函數(shù)f（x）的圖象過點（3，8），則f（x）的解析式為（　　）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝2x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
3.已知0.3m＞0.3n，則m，n的大小關系為（　?。?br/>A.m＞n B.m＜n
C.m＝n D.不能確定
4.已知函數(shù)f（x）＝＋xa＋2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點P，則點P的坐標為　　　　.
第1課時　指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質
【基礎知識·重落實】
知識點一
　ax　R　
想一想
　提示：①如果a＝0，當x＞0時，ax恒等于0，沒有研究的必要；當x≤0時，ax無意義；
②如果a＜0，例如y＝（－4）x，這時對于x＝，，…，該函數(shù)無意義；
③如果a＝1，則y＝1x是一個常量，沒有研究的價值.
為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0，且a≠1.
知識點二
　R?。?，＋∞）　（0，1）　上方　增　減
想一想
1.提示：指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）不具有奇偶性，因此它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
2.提示：指數(shù)函數(shù)的圖象只能出現(xiàn)在第一、二象限，不可能出現(xiàn)在第三、四象限.
3.提示：底數(shù)a與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”“降”.當a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的；當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的.
自我診斷
1.B　y＝2－x＝（ ）x，此函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且為減函數(shù).故選B.
2.CD　在A中，底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)，故A錯誤；在B中，y＝2x＋1不是指數(shù)函數(shù)，故B錯誤；在C中，函數(shù)f（x）＝3x為增函數(shù)，若m＞n，則f（m）＞f（n），故C正確；易知D正確.故選C、D.
3.解：設f（x）＝ax（a＞0，a≠1），∵f（2）＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f（x）＝（）x.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）B?。?）D　解析：（1）在A中，底數(shù)－8＜0，所以不是指數(shù)函數(shù)，故A錯誤；在B中，y＝πx是指數(shù)函數(shù)，故B正確；在C中，y＝3·2x中指數(shù)式2x的系數(shù)是3，所以不是指數(shù)函數(shù)，故C錯誤；在D中，只有規(guī)定a＞0且a≠1時，y＝ax才是指數(shù)函數(shù)，故D錯誤.故選B.
（2）因為函數(shù)f（x）是指數(shù)函數(shù)，所以所以a＝8，所以f（x）＝8x，f（）＝＝2.
跟蹤訓練
1.－1　2　解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得解得
2.　解析：設f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），將點（2，9）代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3（舍去）.所以f（x）＝3x.所以f（－1）＝3－1＝.
【例2】?。?）B?。?）C　　解析：（1）在y軸的右側，指數(shù)函數(shù)的圖象由下到上底數(shù)依次增大.由指數(shù)函數(shù)圖象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1，所以b＜a＜1＜d＜c.
（2）由函數(shù)f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的圖象恒過點（－1，4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1.
跟蹤訓練
1.C　由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx與y＝nx都是減函數(shù)，故排除A、B；作直線x＝1與兩個曲線相交，交點在下面的是函數(shù)y＝mx的圖象，故選C.
2.A　由0＜a＜1得y＝ax＋b是減函數(shù)，函數(shù)恒過點（0，1＋b），因為b＜－1，所以點（0，1＋b）在y軸負半軸上.故圖象不經過第一象限.
【例3】　解：（1）因為函數(shù)y＝2.4x在R上是增函數(shù)，又2.5＜3.2，
所以2.42.5＜2.43.2.
（2）因為函數(shù)y＝（）x在R上是減函數(shù)，又－＞－，所以（＜（.
（3）由指數(shù)函數(shù)的性質知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1，
所以1.80.3＞0.51.2.
【例4】　解：（1）因為（ ＝，所以由7x≥（ 可得7x≥，
因為y＝7x為增函數(shù)，故x≥.
所以實數(shù)x的取值范圍為區(qū)間［，＋∞）.
（2）由0.＜52x＋2得，（5－1＜52x＋2，即＜52x＋2，
因為函數(shù)y＝5x在R上是增函數(shù)，所以x2－1＜2x＋2，
即x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3，
所以實數(shù)x的取值范圍為區(qū)間（－1，3）.
跟蹤訓練
1.B　因為指數(shù)函數(shù)f（x）＝2x在R上是增函數(shù)，又0＜0.4＜0.6，所以20＜20.4＜20.6，即1＜a＜b；因為指數(shù)函數(shù)g（x）＝0.2x在R上是減函數(shù)，又0＜0.6，所以0.20＞0.20.6，即1＞c，所以c＜a＜b.故選B.
2.解：（1）當0＜a＜1時，函數(shù)y＝ax是減函數(shù)，則由a－5x＞可得－5x＜x＋7，解得x＞－；
（2）當a＞1時，函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，則由a－5x＞可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
綜上，當0＜a＜1時，x的取值范圍為（ －，＋∞）；
當a＞1時，x的取值范圍為（ －∞，－）.
隨堂檢測
1.B　由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有B選項中的函數(shù)是指數(shù)函數(shù).故選B.
2.B　設f（x）＝ax（a＞0且a≠1），則由f（3）＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x.
3.B　因為函數(shù)y＝0.3x是R上的減函數(shù)，且0.3m＞0.3n，所以m＜n.
4.（1，4）　解析：因為y＝ax的圖象過定點（0，1），所以令x－1＝0，即x＝1時，f（1）＝1＋1＋2＝4，所以函數(shù)圖象恒過定點（1，4）.
4 / 5(共61張PPT)
6.2　指數(shù)函數(shù)
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解
指數(shù)函數(shù)的概念 數(shù)學抽象
2.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的
圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點 直觀想象、
數(shù)學運算
第1課時　
指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂1次（1個分裂成2個）.
【問題】　（1）經過3小時，這種細菌由1個可分裂為幾個？
（2）經過 x 小時，這種細菌由1個可分裂為幾個？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù) y ＝ （ a ＞0， a ≠1）叫作指數(shù)函數(shù)，它的定義域
是 .
提醒　指數(shù)函數(shù)的結構特征
ax 　
R　
【想一想】
　為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù) a ＞0，且 a ≠1？
提示：①如果 a ＝0，當 x ＞0時， ax 恒等于0，沒有研究的必要；當 x
≤0時， ax 無意義；
②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，這時對于 x ＝ ， ，…，該函數(shù)無
意義；
③如果 a ＝1，則 y ＝1 x 是一個常量，沒有研究的價值.
為了避免上述各種情況，所以規(guī)定 a ＞0，且 a ≠1.
知識點二　指數(shù)函數(shù)的圖象和性質
a ＞1 0＜ a ＜1
圖
象
a ＞1 0＜ a ＜1
性
質 定義域：
值域：
圖象過定點： ，圖象在 x 軸的
在（－∞，＋∞）上是 函
數(shù)；當 x ＞0時， y ＞1； 當 x ＜0時，0＜ y ＜1 在（－∞，＋∞）上是 函
數(shù)；當 x ＞0時，0＜ y ＜1；
當 x ＜0時， y ＞1
R　
（0，＋∞）　
（0，1）　
上方　
增　
減　
提醒?。?）當0＜ a ＜1時，底數(shù)越小，圖象越靠近 y 軸；（2）當 a ＞
1時，底數(shù)越大，圖象越靠近 y 軸.
【想一想】
1. 指數(shù)函數(shù) y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）具有奇偶性嗎？
提示：指數(shù)函數(shù) y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）不具有奇偶性，因此它既
不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
2. 在直角坐標系中指數(shù)函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第幾象限？
提示：指數(shù)函數(shù)的圖象只能出現(xiàn)在第一、二象限，不可能出現(xiàn)在第
三、四象限.
3. 指數(shù)函數(shù) y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）的圖象與底數(shù) a 有什么關系？
提示：底數(shù) a 與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”“降”.
當 a ＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的；當0＜ a ＜1時，指數(shù)函
數(shù)的圖象是“下降”的.
1. 函數(shù) y ＝2－ x 的圖象是（　?。?br/>解析： 　 y ＝2－ x ＝（ ） x ，此函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且為減函數(shù).故
選B.
2. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 指數(shù)函數(shù) y ＝ ax 中， a 可以為負數(shù)
B. y ＝2 x＋1是指數(shù)函數(shù)
C. 已知函數(shù) f （ x ）＝3 x ，若 m ＞ n ，則 f （ m ）＞ f （ n ）
D. 指數(shù)函數(shù) y ＝ ax 與 y ＝（ ） x 的圖象關于 y 軸對稱
解析： 　在A中，底數(shù) a 為大于0且不等于1的常數(shù)，故A錯誤；
在B中， y ＝2 x＋1不是指數(shù)函數(shù)，故B錯誤；在C中，函數(shù) f （ x ）＝
3 x 為增函數(shù)，若 m ＞ n ，則 f （ m ）＞ f （ n ），故C正確；易知D正
確.故選C、D.
3. 若函數(shù) f （ x ）是指數(shù)函數(shù)，且 f （2）＝2，求 f （ x ）的解析式.
解：設 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），∵ f （2）＝2，∴ a2＝2，
∴ a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ） x .
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 指數(shù)函數(shù)的概念
【例1】　（1）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是（　B?。?br/>A. y ＝（－8） x B. y ＝π x
C. y ＝3·2 x D. y ＝ ax
解析：在A中，底數(shù)－8＜0，所以不是指數(shù)函數(shù)，故A錯誤；在B中，
y ＝π x 是指數(shù)函數(shù)，故B正確；在C中， y ＝3·2 x 中指數(shù)式2 x 的系數(shù)是
3，所以不是指數(shù)函數(shù)，故C錯誤；在D中，只有規(guī)定 a ＞0且 a ≠1
時， y ＝ ax 才是指數(shù)函數(shù)，故D錯誤.故選B.
B
（2）若函數(shù) f （ x ）＝（ a －3）· ax 是指數(shù)函數(shù)，則 f （ ）＝
（　D　）
A. 2 B. －2
C. －2 D. 2
解析：因為函數(shù) f （ x ）是指數(shù)函數(shù)，所以所以 a
＝8，所以 f （ x ）＝8 x ， f （ ）＝ ＝2 .
D
通性通法
1. 判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法
（1）看形式：判斷其解析式是否符合 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）這
一結構特征；
（2）明特征：看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個特征.只要有
一個特征不具備，該函數(shù)就不是指數(shù)函數(shù).
2. 求指數(shù)函數(shù)解析式的方法
一般采用待定系數(shù)法，即先設出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件
求出解析式中的未知參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式.
【跟蹤訓練】
1. 若函數(shù) y ＝（ k ＋2） ax ＋2－ b （ a ＞0，且 a ≠1）是指數(shù)函數(shù)，則
k ＝ ， b ＝ .
解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得解得
－1　
2　
2. 若指數(shù)函數(shù) f （ x ）的圖象經過點（2，9），則 f （－1）＝ .
解析：設 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1），將點（2，9）代入，得
a2＝9，解得 a ＝3或 a ＝－3（舍去）.所以 f （ x ）＝3 x .所以 f （－
1）＝3－1＝ .
　
題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應用
【例2】?。?）如圖所示是指數(shù)函數(shù)① y ＝ ax ；② y ＝ bx ；③ y ＝ cx ；
④ y ＝ dx 的圖象，則 a ， b ， c ， d 與1的大小關系是（　?。?br/>A. a ＜ b ＜1＜ c ＜ d
B. b ＜ a ＜1＜ d ＜ c
C. 1＜ a ＜ b ＜ c ＜ d
D. a ＜ b ＜1＜ d ＜ c
解析：在 y 軸的右側，指數(shù)函數(shù)的圖象由下到上底數(shù)依次增大.由指數(shù)
函數(shù)圖象的升降，知 c ＞ d ＞1， b ＜ a ＜1，所以 b ＜ a ＜1＜ d ＜ c .
（2）若函數(shù) f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的圖象恒過點
（－1，4），則 m ＋ n ＝（　C?。?br/>A. 3 B. 1
C. －1 D. －2
解析：由函數(shù) f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的圖象恒
過點（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝－
2，∴ m ＋ n ＝－1.
C
通性通法
1. 解決指數(shù)函數(shù)圖象問題的注意點
（1）熟記當?shù)讛?shù) a ＞1和0＜ a ＜1時，圖象的大體形狀；
（2）在 y 軸右側，指數(shù)函數(shù)的圖象“底大圖高”.
2. 解決指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題的思路
指數(shù)函數(shù) y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的圖象過定點（0，1），據(jù)此可
解決形如 y ＝ k · ax＋ c ＋ b （ k ≠0， a ＞0， a ≠1）的函數(shù)圖象過定
點的問題，即令指數(shù) x ＋ c ＝0，即 x ＝－ c ，得 y ＝ k ＋ b ，函數(shù)圖
象過定點（－ c ， k ＋ b ）.
【跟蹤訓練】
1. 已知1＞ n ＞ m ＞0，則指數(shù)函數(shù)① y ＝ mx ；② y ＝ nx 的圖象為
（　　）
解析： 　由于0＜ m ＜ n ＜1，所以 y ＝ mx 與 y ＝ nx 都是減函數(shù)，
故排除A、B；作直線 x ＝1與兩個曲線相交，交點在下面的是函數(shù)
y ＝ mx 的圖象，故選C.
2. 已知0＜ a ＜1， b ＜－1，則函數(shù) y ＝ ax ＋ b 的圖象必定不經過
（　?。?br/>A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　由0＜ a ＜1得 y ＝ ax ＋ b 是減函數(shù)，函數(shù)恒過點（0，1＋
b ），因為 b ＜－1，所以點（0，1＋ b ）在 y 軸負半軸上.故圖象不
經過第一象限.
題型三 指數(shù)函數(shù)的性質及應用
角度1　指數(shù)式的大小比較
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?44頁例1）比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的
大?。?br/>（1）2.42.5，2.43.2；
解：因為函數(shù) y ＝2.4 x 在R上是增函數(shù)，又2.5＜3.2，
所以2.42.5＜2.43.2.
（2）（ ，（ ；
解：因為函數(shù) y ＝（ ） x 在R上是減函數(shù)，又－ ＞－ ，所以
（ ＜（ .
（3）1.80.3，0.51.2.
解：由指數(shù)函數(shù)的性質知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1，
所以1.80.3＞0.51.2.
通性通法
比較指數(shù)式大小的2種類型及處理方法
角度2　求解指數(shù)不等式
【例4】?。ㄦ溄咏炭茣?45頁例2）（1）已知7 x ≥（ ，求實
數(shù) x 的取值范圍；
解：因為（ ＝ ，所以由7 x ≥（ 可得7 x ≥ ，
因為 y ＝7 x 為增函數(shù)，故 x ≥ .
所以實數(shù) x 的取值范圍為區(qū)間［ ，＋∞）.
（2）已知0. ＜52 x＋2，求實數(shù) x 的取值范圍.
解：由0. ＜52 x＋2得，（5－1 ＜52 x＋2，即 ＜52 x
＋2，
因為函數(shù) y ＝5 x 在R上是增函數(shù)，所以 x2－1＜2 x ＋2，
即 x2－2 x －3＜0，解得－1＜ x ＜3，
所以實數(shù) x 的取值范圍為區(qū)間（－1，3）.
通性通法
解指數(shù)不等式的方法
（1）利用指數(shù)型函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底
數(shù)相同的指數(shù)式；
（2）解不等式 af（ x）＞ ag（ x）（ a ＞0， a ≠1）的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的
單調性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習慣，若底數(shù)不確定，就
需進行分類討論，即 af（ x）＞ ag（ x） f （ x ）＞ g （ x ）（ a ＞
1）或 f （ x ）＜ g （ x ）（0＜ a ＜1）.
【跟蹤訓練】
1. （2024·無錫玉祁高中期中）已知 a ＝20.4， b ＝20.6， c ＝0.20.6，則
a ， b ， c 的大小關系是（　　）
A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ a ＜ b
C. c ＜ b ＜ a D. a ＜ c ＜ b
解析： 　因為指數(shù)函數(shù) f （ x ）＝2 x 在R上是增函數(shù)，又0＜0.4＜
0.6，所以20＜20.4＜20.6，即1＜ a ＜ b ；因為指數(shù)函數(shù) g （ x ）＝
0.2 x 在R上是減函數(shù)，又0＜0.6，所以0.20＞0.20.6，即1＞ c ，所
以 c ＜ a ＜ b .故選B.
2. 若 a－5 x ＞ （ a ＞0且 a ≠1），求 x 的取值范圍.
解：（1）當0＜ a ＜1時，函數(shù) y ＝ ax 是減函數(shù)，則由 a－5 x ＞
可得－5 x ＜ x ＋7，解得 x ＞－ ；
（2）當 a ＞1時，函數(shù) y ＝ ax 是增函數(shù)，則由 a－5 x ＞ 可得－5 x
＞ x ＋7，解得 x ＜－ .
綜上，當0＜ a ＜1時， x 的取值范圍為（ － ，＋∞）；
當 a ＞1時， x 的取值范圍為（ －∞，－ ）.
1. 下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是（　　）
A. y ＝（ ） x－1 B. y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）
C. y ＝1 x D. y ＝（ ）2 x －1
解析： 　由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有B選項中的函數(shù)是指數(shù)
函數(shù).故選B.
2. 若指數(shù)函數(shù) f （ x ）的圖象過點（3，8），則 f （ x ）的解析式為
（　　）
A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝2 x
C. f （ x ）＝ D. f （ x ）＝
解析： 　設 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），則由 f （3）＝8得 a3＝
8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x .
3. 已知0.3 m ＞0.3 n ，則 m ， n 的大小關系為（　?。?br/>A. m ＞ n B. m ＜ n
C. m ＝ n D. 不能確定
解析： 　因為函數(shù) y ＝0.3 x 是R上的減函數(shù)，且0.3 m ＞0.3 n ，所
以 m ＜ n .
4. 已知函數(shù) f （ x ）＝ ＋ xa ＋2（ a ＞0且 a ≠1）的圖象恒過定點
P ，則點 P 的坐標為 .
解析：因為 y ＝ ax 的圖象過定點（0，1），所以令 x －1＝0，即 x
＝1時， f （1）＝1＋1＋2＝4，所以函數(shù)圖象恒過定點（1，4）.
（1，4）　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為（　?。?br/>A. y ＝ x3 B. y ＝（－4） x
C. y ＝5 x＋1 D. y ＝52 x
解析： 　A中，自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，故不是指數(shù)函數(shù)；B中，
自變量出現(xiàn)在指數(shù)上，但－4＜0，不滿足“底數(shù)大于0且不等于1”
的條件，故不是指數(shù)函數(shù)；C中，指數(shù)是 x ＋1，故不是指數(shù)函數(shù)；
D中， y ＝52 x ＝25 x ，符合指數(shù)函數(shù)的定義，故是指數(shù)函數(shù).故選D.
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2. 若函數(shù) f （ x ）＝（2 a －1） x 是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是
（　　）
A. （0，1）∪（1，＋∞）
B. [0，1）∪（1，＋∞）
C. ∪（1，＋∞）
D.
解析： 　依題意得2 a －1＞0，且2 a －1≠1，解得 a ＞ ，且 a
≠1，即 a 的取值范圍是 ∪（1，＋∞）.故選C.
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3. 若函數(shù) f （ x ）＝（1－2 a ） x 是增函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是
（　?。?br/>A. B.
C. D.
解析： 　依題意得1－2 a ＞1，∴ a ＜0.故選B.
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4. 函數(shù) f （ x ）＝ ax 與 g （ x ）＝－ x ＋ a 的圖象大致是（　?。?br/>解析： 　當 a ＞1時，函數(shù) f （ x ）＝ ax 為增函數(shù)，當 x ＝0時， g
（0）＝ a ＞1，此時兩函數(shù)的圖象大致為選項A.
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5. 若 f （ x ）＝（ ）｜ x｜， x ∈R，那么 f （ x ）是（　　）
A. 奇函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞增
B. 偶函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞增
C. 奇函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞減
D. 偶函數(shù)且在（0，＋∞）上單調遞減
解析： 　依題意，得 f （－ x ）＝（ ）｜－ x｜＝（ ）｜ x｜＝ f
（ x ），所以 f （ x ）是偶函數(shù).當 x ＞0時， f （ x ）＝（ ）｜ x｜＝
（ ） x ，函數(shù) f （ x ）單調遞減.
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6. （2024·南通東南中學期中） a ＝30.2， b ＝0.23， c ＝0.33，則下列
關于 a ， b ， c 大小關系正確的是（　　）
A. a ＞ c ＞ b B. a ＞ b ＞ c
C. b ＞ c ＞ a D. c ＞ a ＞ b
解析： 　由 y ＝3 x 單調遞增， a ＝30.2＞30＝1，0＜ b ＝0.23＝
0.008＜1， c ＝0.33＝0.027＞0.008，所以 a ＞ c ＞ b .故選A.
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7. （2024·南通海安實驗中學期中）已知常數(shù) a ＞0且 a ≠1，假設無論
a 為何值，函數(shù) y ＝ ax＋4＋3的圖象恒經過一定點，則這個點的坐標
為 .
解析：因為當 x ＋4＝0時，即 x ＝－4時， y ＝ a0＋3＝4，即 y ＝ ax＋
4＋3恒過點（－4，4）.
（－4，4）　
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8. 已知函數(shù) f （ x ）為指數(shù)函數(shù)，且 f ＝ ，則 f （－2）＝ 　 　.
解析：設 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），由 f ＝ 得， ＝
，所以 a ＝3，又 f （－2）＝ a－2，所以 f （－2）＝3－2＝ .
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9. 不等式（ ≤2 x 的解集為 .
解析：因為（ ＝（2－1 ＝ ，所以原不等式等
價于 ≤2 x .因為 y ＝2 x 是R上的增函數(shù)，所以－ x2＋2≤ x ，
所以 x2＋ x －2≥0，即 x ≤－2或 x ≥1，所以原不等式的解集是
{ x ｜ x ≥1或 x ≤－2}.
{ x ｜ x ≥1或 x ≤－2}　
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10. 已知函數(shù) f （ x ）＝（ a2＋ a －5） ax 是指數(shù)函數(shù).
（1）求 f （ x ）的表達式；
解： 由 a2＋ a －5＝1， a ＞0，且 a ≠1，
可得 a ＝2或 a ＝－3（舍去），所以 f （ x ）＝2 x .
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（2）判斷 F （ x ）＝ 的奇偶性，并加以證明.
解： F （ x ）＝ 是奇函數(shù).
證明如下： F （ x ）的定義域是R，關于原點對稱，且 F
（ x ）＝ f （ x ）－ ＝2 x － ＝2 x －2－ x ，
又因 F （－ x ）＝2－ x －2 x ＝－（2 x －2－ x ）＝－ F （ x ），
所以 F （ x ）是奇函數(shù).
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11. 若函數(shù) y ＝（ ） x 在[－2，－1]上的最大值為 m ，最小值為 n ，則
m ＋ n ＝（　?。?br/>A. 1 B. 3 C. 6 D. 12
解析： 　由指數(shù)函數(shù) y ＝（ ） x 的圖象可知函數(shù)在 x ＝－1處取
最小值2，在 x ＝－2處取最大值4.所以 m ＋ n ＝6.
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12. （多選）已知實數(shù) a ， b 滿足等式3 a ＝6 b ，則下列可能成立的關系
式為（　?。?br/>A. a ＝ b ＝0 B. 0＜ b ＜ a
C. a ＜ b ＜0 D. 0＜ a ＜ b
解析： 　由題意，在同一坐標系內分別畫出函
數(shù) y ＝3 x 和 y ＝6 x 的圖象，如圖所示.由圖象知，當
a ＝ b ＝0時，3 a ＝6 b ＝1，所以選項A正確；作出直
線 y ＝ k ，當 k ＞1時，若3 a ＝6 b ＝ k ，則0＜ b ＜ a ，所以選項B正確；當0＜ k ＜1時，若3 a ＝6 b ＝k ，則 a ＜ b ＜0，所以選項C正確.
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13. 已知函數(shù) y ＝ f （ x ）， x ∈R，且 f （0）＝2， ＝2，
＝2，…， ＝2， n ∈N，則函數(shù) y ＝ f （ x ）
的一個可能的解析式為 .
解析：由題意，得 ＝4， ＝42，…， ＝4 x ，
∴ f （ x ）＝2×4 x .
f （ x ）＝2×4 x 　
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14. 設 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝（ ） x .
（1）在同一坐標系中作出 f （ x ）， g （ x ）的圖象；
解： 函數(shù) f （ x ）， g （ x ）的圖象如
圖所示.
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（2）計算 f （1）與 g （－1）， f （π）與 g （－π）， f （ m ）與 g
（－ m ）的值，從中你能得到什么結論？
解： f （1）＝31＝3， g （－1）＝（ ）－1＝3，
f （π）＝3π， g （－π）＝（ ）－π＝3π，
f （ m ）＝3 m ， g （－ m ）＝（ ）－ m ＝3 m .
從以上計算的結果看，兩個函數(shù)當自變量取值互為相反數(shù)
時，其函數(shù)值相等，即當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，它們
的圖象關于 y 軸對稱.
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15. 已知函數(shù) f （ x ）＝滿足 f （ ）＝ .
（1）求常數(shù) c 的值；
解： 由 f （ ）＝ ，得 c · ＋1＝ ，解得 c ＝ ，即 c
的值為 .
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（2）解關于 x 的不等式 f （ x ）＞ ＋1.
解： 由（1），得 f （ x ）＝
當0＜ x ＜ 時， x ＋1＞ ＋1，即解得 ＜ x＜ ；
當 ≤ x ＜1時，2－4 x ＋1＞ ＋1，即解得 ≤ x ＜ .
綜上所述，不等式 f （ x ）＞ ＋1的解集為{ x ｜ ＜ x ＜ }.
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