資源簡介

第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
1.函數f（x）＝的定義域為（　　）
A.（－∞，1） B.（－∞，1]
C.[1，＋∞） D.（1，＋∞）
2.函數y＝2x＋1的圖象是（　　）
3.為改善環境，江蘇某城市對污水處理系統進行改造，三年后，該城市污水排放量由原來每年排放125萬噸降到27萬噸，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（　?。?br/>A.50% B.40%
C.30% D.20%
4.（2024·宿遷月考）已知函數f（x）＝－，其中e＝2.718 28…，則f（x）是（　?。?br/>A.奇函數，且在R上是增函數
B.偶函數，且在（0，＋∞）上是增函數
C.奇函數，且在R上是減函數
D.偶函數，且在（0，＋∞）上是減函數
5.（多選）下列說法正確的有（　?。?br/>A.y＝21－x是R上的增函數
B.某企業生產總值的月平均增長率為p，則年平均增長率為（1＋p）12－1
C.當a＞1時，函數y＝與y＝f（x）的單調性相反
D.若2x＋1＜1，則x＜－1
6.（多選）設函數f（x）＝a－｜x｜（a＞0，且a≠1），若f（2）＝4，則（　?。?br/>A.f（－2）＞f（－1） B.f（－1）＞f（－2）
C.f（－2）＞f（2） D.f（－4）＞f（3）
7.當x∈[－1，1]時，函數f（x）＝3x－2的值域為　　　　.
8.若函數y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上單調遞減，則m的取值范圍是　　　　.
9.某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f（x）（mg/mL）隨時間x（h）變化的規律近似滿足解析式f（x）＝規定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.02 mg/mL，據此可知，此駕駛員至少要過　　　　h后才能開車（精確到1 h）.
10.已知函數f（x）＝（ .
（1）若a＝－1，求函數f（x）的增區間；
（2）若a＝1，求函數f（x）的最大值.
11.函數y＝的圖象大致為（　?。?br/>12.（多選）已知函數f（x）＝ax－（ ）x，其中a＞0且a≠1，則下列結論中正確的是（　?。?br/>A.f（x）是奇函數
B.函數f（x）＝0在其定義域上有解
C.函數f（x）的圖象過定點（0，1）
D.當a＞1時，函數f（x）在其定義域上是增函數
13.函數f（x）＝a2x＋3ax－2（a＞0，且a≠1）在區間[－1，1]上的最大值為8，則它在這個區間上的最小值是　　　　.
14.一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%，10年后森林面積變為.為保護生態環境，所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止，森林面積為a.
（1）求p%的值；
（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多還能砍伐多少年？
15.已知函數f（x）＝2x，g（x）＝2－x，x∈R，對于 x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的較小者，記為m（x）＝min{f（x），g（x）}.
（1）求函數m（x）的最大值；
（2）對于 x∈[t，t＋1]，t∈R，不等式m（x＋1）＜[m（x）]2恒成立，求實數t的取值范圍.
第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
1.C　由x－1≥0可得x≥1，所以函數f（x）＝的定義域為[1，＋∞）.故選C.
2.A　函數y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向左平移1個單位長度所得，又當x＝0時，y＝2.故選A.
3.B　設污水排放量平均每年降低的百分率為p，則有125（1－p）3＝27，故p＝＝0.4＝40%.故選B.
4.C　定義域為R，關于原點對稱.又f（－x）＝－＝－，故有f（－x）＋f（x）＝0，所以f（x）是奇函數，函數f（x）＝－顯然是減函數.故選C.
5.BD　在A中，y＝21－x＝（ ）x－1是R上的減函數，故A錯誤；在B中，設年平均增長率為r，原有的生產總值為a，則a（1＋p）12＝a（1＋r），解得r＝（1＋p）12－1，故B正確；在C中，由抽象函數單調性“同增異減”知y＝與y＝f（x）在a＞1時具有相同的單調性，故C錯誤；在D中，若2x＋1＜1，則x＋1＜0，所以x＜－1，故D正確.故選B、D.
6.AD　由f（2）＝a－2＝4得a＝，即f（x）＝（ ）－｜x｜＝2｜x｜，由函數的奇偶性及單調性可知，f（－2）＞f（－1），故A正確，B錯誤；f（－2）＝f（2），故C錯誤；f（－4）＝f（4）＞f（3），故D正確.故選A、D.
7.　解析：因為指數函數y＝3x在區間[－1，1]上單調遞增，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f（x）≤1.
8.（－∞，0]　解析：在平面直角坐標系中作出y＝2x的圖象，把圖象沿y軸向下平移1個單位長度得到y＝2x－1的圖象，再把y＝－1的圖象在x軸下方的部分關于x軸翻折，其余部分不變，如圖實線部分，得到y＝｜2x－1｜的圖象.由圖可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上單調遞減，所以m∈（－∞，0].
9.4　解析：當0≤x≤1時，≤5x－2≤，此時不宜開車；由·（ ）x≤0.02，當x＝3時，不等式不成立，當x＝4時，不等式成立.故至少要過4 h后才能開車.
10.解：（1）當a＝－1時，f（x）＝，
令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，
由于g（x）在（－2，＋∞）上單調遞減，y＝在R上是減函數，所以f（x）在（－2，＋∞）上單調遞增，即f（x）的增區間是（－2，＋∞）.
（2）由a＝1，得f（x）＝（，
令t＝x2－4x＋3，則t＝（x－2）2－1，
故f（x）＝（在（－∞，2）上單調遞增，
在（2，＋∞）上單調遞減，
故其最大值為f（2）＝（）－1＝3.
11.A　函數有意義，需使ex－e－x≠0，其定義域為{x｜x≠0}，故排除C、D；又因為y＝＝＝1＋，所以當x＞0時，函數單調遞減，排除B，故選A.
12.ABD　f（x）＝ax－（ ）x＝ax－a－x，定義域為R，f（－x）＝a－x－ax＝－f（x），所以f（x）為奇函數，且f（0）＝0，故A、B正確，C錯誤；當a＞1時，0＜＜1.因為y＝ax，y＝－（ ）x在R上均為增函數，所以f（x）在其定義域上是增函數，故D正確.故選A、B、D.
13.－　解析：令ax＝t（t＞0），則原函數可化為g（t）＝t2＋3t－2，易知函數g（t）在（0，＋∞）上單調遞增.當0＜a＜1時，t∈[a，a－1]，g（t）max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.所以g（t）min＝（）2＋3×－2＝－.當a＞1時，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－.綜上可知，f（x）在[－1，1]上的最小值為－.
14.解：（1）由題意得a（1－p%）10＝，
即（1－p%）10＝，
解得p%＝1－.
（2）設經過m年森林面積為a，
則a（1－p%）m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年為止，已砍伐了5年.
（3）從今年開始，n年后森林面積為a（1－p%）n，
令a（1－p%）n≥a，即（1－p%）n≥，≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多還能砍伐15年.
15.解：（1）m（x）＝min{2x，2－x}＝
故m（x）在（－∞，0）上單調遞增，在（0，＋∞）上單調遞減，
所以函數m（x）的最大值為m（0）＝1.
（2）因為m（x）＝所以[m（x）]2＝＝m（2x），
不等式m（x＋1）＜[m（x）]2等價于m（x＋1）＜m（2x），
易知函數m（x）是偶函數，
所以m（x＋1）＜m（2x）又等價于m（｜x＋1｜）＜m（｜2x｜），
因為m（x）在（0，＋∞）上單調遞減，所以｜x＋1｜＞｜2x｜，
兩邊平方解得－＜x＜1，
又在 x∈[t，t＋1]，t∈R上恒成立，
故解得－＜t＜0.
故實數t的取值范圍為（－，0）.
2 / 2第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
題型一 與指數函數有關的圖象變換
【例1】　（鏈接教科書第145頁例3）畫出下列函數的圖象，并說明下列函數的圖象與指數函數y＝2x的圖象的關系：
（1）y＝2x－1；（2）y＝2x＋1；（3）y＝2｜x｜；
（4）y＝－2x；（5）y＝－2－x.
通性通法
利用圖象變換法作函數的圖象
（1）平移變換
（2）對稱變換
①y＝f（x）y＝－f（x）；
②y＝f（x）y＝f（－x）；
③y＝f（x）y＝－f（－x）.
（3）翻折變換
①y＝f（x）y＝｜f（x）｜；
②y＝f（x）y＝f（｜x｜）.
【跟蹤訓練】
已知函數f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的圖象如圖①所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的圖象如圖②所示，求a，b的取值范圍；
（3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且僅有一個實數根，求m的取值范圍.
題型二 指數型函數的性質及應用
角度1　指數型函數的定義域與值域
【例2】　求下列函數的定義域和值域：
（1）y＝；（2）y＝（ ；（3）y＝4x＋2x＋1＋1.
通性通法
函數y＝af（x）定義域、值域的求法
（1）形如y＝af（x）的定義域就是f（x）的定義域；
（2）形如y＝af（x）的值域，應先求出f（x）的值域，再由函數的單調性求出af（x）的值域.若a的取值范圍不確定，則需對a進行分類討論；
（3）形如y＝f（ax）的值域，要先求出u＝ax的值域，再結合y＝f（u）確定出y＝f（ax）的值域.
角度2　指數型函數的單調性
【例3】　判斷f（x）＝（ 的單調性，并求其值域.
通性通法
函數y＝af（x）（a＞0，a≠1）的單調性的處理技巧
　　關于指數型函數y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的單調性由兩點決定：一是底數a＞1還是0＜a＜1；二是f（x）的單調性.它由兩個函數y＝au，u＝f（x）復合而成，當這兩個函數在對應區間上的單調性同增同減時，y＝af（x）為增函數；當它們的單調性一增一減時，y＝af（x）為減函數.
【跟蹤訓練】
1.若函數f（x）＝的定義域是[1，＋∞），則a的取值范圍是　　　　.
2.求函數y＝4x－2·2x＋5的單調區間.
題型三 指數函數模型的實際應用
【例4】　（鏈接教科書第147頁例4）某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：
（1）寫出該城市的人口總數y（萬人）與年份x（年）的函數關系式；
（2）計算10年后該城市人口總數（精確到0.1萬人）.
（參考數據：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127）
通性通法
解決指數型函數應用題的流程
（1）審題：理解題意，弄清楚關鍵字詞和字母的意義，從題意中提取信息；
（2）建模：根據已知條件，列出指數函數的關系式；
（3）解模：運用數學知識解決問題；
（4）回歸：還原為實際問題，歸納得出結論.
【跟蹤訓練】
有一種樹木栽植五年后可成材.在栽植后五年內，年增加20%，如果不砍伐，從第六年到第十年，年增長10%，現有兩種砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再過五年再砍伐一次.
請計算后回答：十年內哪一個方案可以得到較多的木材（不考慮最初的樹苗成本，只按成材的樹木計算）？（參考數據：1.25≈2.49，1.15≈1.6，1.325≈4）
1.函數f（x）＝＋的定義域為（　?。?br/>A.（－5，0） B.[－5，0）
C.（－5，0] D.[－5，0]
2.已知函數f（x）＝（ ）｜x｜，則f（x）的值域為（　?。?br/>A.（0，1] B.（1，2]
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）
3.春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面的面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了　　　　天.
4.函數y＝的減區間為　　　　.
第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
【典型例題·精研析】
【例1】　解：圖象如圖所示：
　
（1）函數y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.
（2）函數y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.
（3）函數y＝2｜x｜的圖象是由y＝2x保留y軸右側的圖象，并作其關于y軸對稱的圖象得到的.
（4）函數y＝－2x的圖象是由y＝2x的圖象關于x軸對稱得到的.
（5）函數y＝－2－x的圖象是由y＝2x的圖象關于原點對稱得到的.
跟蹤訓練
　解：（1）f（x）的圖象過點（2，0），（0，－2），
所以
又因為a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
（2）f（x）單調遞減，所以0＜a＜1，又f（0）＜0.
即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范圍為（0，1），b的取值范圍為（－∞，－1）.
（3）畫出｜f（x）｜＝｜（）x－3｜的圖象如圖所示，要使｜f（x）｜＝m有且僅有一個實數根，則m＝0或m≥3.故m的取值范圍為[3，＋∞）∪{0}.
【例2】　解：（1）由1－2x≥0，得2x≤1，則x≤0，所以函數的定義域為（－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，則0≤1－2x＜1，
故函數y＝的值域為[0，1）.
（2）y＝（ 的定義域為R，
因為x2－2x－3＝（x－1）2－4≥－4，
所以（ ≤（ ）－4＝16.
又因為（ ＞0，故函數y＝（ 的值域為（0，16].
（3）函數的定義域為R，
因為y＝4x＋2x＋1＋1＝（2x）2＋2·2x＋1＝（2x＋1）2，
又2x＞0，所以y＞1，故函數的值域為（1，＋∞）.
【例3】　解：令u＝x2－2x，則原函數變為y＝（ ）u.
因為u＝x2－2x＝（x－1）2－1在（－∞，1]上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，
又因為y＝（ ）u在（－∞，＋∞）上是減函數，
所以f（x）＝（ 在（－∞，1]上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減.
又u＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，
對于y＝（ ）u，u≥－1，有0＜（ ）u≤（ ）－1＝3，
所以原函數的值域為（0，3].
跟蹤訓練
1.（1，＋∞）　解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴當0＜a＜1時，x≤1；當a＞1時，x≥1.故函數定義域為[1，＋∞）時，a＞1.
2.解：函數的定義域為R，令t＝2x，x∈R時，t∈（0，＋∞）.
y＝（2x）2－2·2x＋5＝t2－2t＋5＝（t－1）2＋4，t∈（0，＋∞）.
當t≥1時，2x≥1，x≥0；當0＜t＜1時，0＜2x＜1，x＜0.
∵y＝（t－1）2＋4在[1，＋∞）上單調遞增，t＝2x在[0，＋∞）上單調遞增，
∴y＝4x－2·2x＋5的單調遞增區間為[0，＋∞）.
同理可得單調遞減區間為（－∞，0）.
【例4】　解：（1）1年后該城市人口總數為：y＝100＋100×1.2%＝100×（1＋1.2%）；
2年后該城市人口總數為：y＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋1.2%）×1.2%＝100×（1＋1.2%）2；
…
x年后該城市人口總數為：y＝100×（1＋1.2%）x.
（2）10年后該城市人口總數為：y＝100×（1＋1.2%）10＝100×1.01210≈112.7（萬人）.
跟蹤訓練
　解：設樹木最初栽植量為a，甲方案在10年后樹木產量為：y1＝a（1＋20%）5（1＋10%）5＝a（1.2×1.1）5≈4a.
乙方案在10年后樹木產量為：y2＝2a（1＋20%）5＝2a×1.25≈5a.
y1－y2＝－a＜0，
因此，乙方案能獲得更多的木材.
隨堂檢測
1.C　令所以－5＜x≤0.故選C.
2.A　因為f（x）＝（ ）｜x｜＝所以其圖象由y＝（ ）x（x≥0）和y＝2x（x＜0）的圖象合并而成.如圖.所以f（x）的值域為（0，1].故選A.
3.19　解析：假設第一天荷葉覆蓋水面面積為1，則荷葉覆蓋水面面積y與生長時間x的函數關系為y＝2x－1，當x＝20時，長滿水面，所以生長19天時，荷葉剛好覆蓋水面面積一半.
4.[1，＋∞）　解析：令u＝－x2＋2x，則y＝2u.∵u＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1在（－∞，1]上單調遞增，在[1，＋∞）上單調遞減，又∵y＝2u在R上是增函數，∴y＝的減區間為[1，＋∞）.
2 / 3(共56張PPT)
第2課時　
指數函數圖象與性質的綜合應用
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
03
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 與指數函數有關的圖象變換
【例1】　（鏈接教科書第145頁例3）畫出下列函數的圖象，并說明
下列函數的圖象與指數函數 y ＝2 x 的圖象的關系：
（1） y ＝2 x－1；
解：圖象如圖
所示：
（1）函數 y ＝2 x－1的圖象是由 y ＝2 x 的圖象向右平移1個單位長度得到的.
解：函數 y ＝2 x ＋1的圖象是由 y ＝2 x 的圖象向上平移1個單位
長度得到的.
解：函數 y ＝2｜ x｜的圖象是由 y ＝2 x 保留 y 軸右側的圖象，并作
其關于 y 軸對稱的圖象得到的.
（2） y ＝2 x ＋1；
（3） y ＝2｜ x｜；
解：函數 y ＝－2 x 的圖象是由 y ＝2 x 的圖象關于 x 軸對稱得
到的.
解：函數 y ＝－2－ x 的圖象是由 y ＝2 x 的圖象關于原點對稱
得到的.
（4） y ＝－2 x ；
（5） y ＝－2－ x .
通性通法
利用圖象變換法作函數的圖象
（1）平移變換
① y ＝ f （ x ） y ＝－ f （ x ）；
② y ＝ f （ x ） y ＝ f （－ x ）；
③ y ＝ f （ x ） y ＝－ f （－ x ）.
（2）對稱變換
（3）翻折變換
① y ＝ f （ x ） y ＝｜ f （ x ）｜；
② y ＝ f （ x ） y ＝ f （｜ x ｜）.
【跟蹤訓練】
已知函數 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0，且 a ≠1）.
（1）若 f （ x ）的圖象如圖①所示，求 a ， b 的值；
解： f（ x ）的圖象過點（2，0），（0，－2），
所以
又因為 a ＞0，且 a ≠1，所以 a ＝ ， b ＝－3.
（2）若 f （ x ）的圖象如圖②所示，求 a ， b 的取值范圍；
解： f （ x ）單調遞減，所以0＜ a ＜1，又 f （0）＜0.
即 a0＋ b ＜0，所以 b ＜－1.
故 a 的取值范圍為（0，1）， b 的取值范圍為（－∞，－1）.
（3）在（1）中，若｜ f （ x ）｜＝ m 有且僅有一個實數根，求 m 的取值范圍.
解：畫出｜ f （ x ）｜＝
｜（ ） x －3｜的圖象如圖所示，要使｜ f （ x ）｜＝ m 有且僅有一個實數根，則 m ＝0或 m ≥3.故 m 的取值范圍為[3，＋∞）∪{0}.
題型二 指數型函數的性質及應用
角度1　指數型函數的定義域與值域
【例2】　求下列函數的定義域和值域：
（1） y ＝ ；
解：由1－2 x ≥0，得2 x ≤1，則 x ≤0，所以函數的定義域為（－
∞，0].
由0＜2 x ≤1，得－1≤－2 x ＜0，則0≤1－2 x ＜1，
故函數 y ＝ 的值域為[0，1）.
（2） y ＝（ ；
解： y ＝（ 的定義域為R，
因為 x2－2 x －3＝（ x －1）2－4≥－4，
所以（ ≤（ ）－4＝16.
又因為（ ＞0，故函數 y ＝（ 的值域為
（0，16].
（3） y ＝4 x ＋2 x＋1＋1.
解：函數的定義域為R，
因為 y ＝4 x ＋2 x＋1＋1＝（2 x ）2＋2·2 x ＋1＝（2 x ＋1）2，
又2 x ＞0，所以 y ＞1，故函數的值域為（1，＋∞）.
通性通法
函數 y ＝ af（ x）定義域、值域的求法
（1）形如 y ＝ af（ x）的定義域就是 f （ x ）的定義域；
（2）形如 y ＝ af（ x）的值域，應先求出 f （ x ）的值域，再由函數的單
調性求出 af（ x）的值域.若 a 的取值范圍不確定，則需對 a 進行分
類討論；
（3）形如 y ＝ f （ ax ）的值域，要先求出 u ＝ ax 的值域，再結合 y ＝ f
（ u ）確定出 y ＝ f （ ax ）的值域.
角度2　指數型函數的單調性
【例3】　判斷 f （ x ）＝（ 的單調性，并求其值域.
解：令 u ＝ x2－2 x ，則原函數變為 y ＝（ ） u .
因為 u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1在（－∞，1]上單調遞減，在（1，
＋∞）上單調遞增，
又因為 y ＝（ ） u 在（－∞，＋∞）上是減函數，
所以 f （ x ）＝（ 在（－∞，1]上單調遞增，在（1，＋∞）
上單調遞減.
又 u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1≥－1，
對于 y ＝（ ） u ， u ≥－1，有0＜（ ） u ≤（ ）－1＝3，
所以原函數的值域為（0，3].
通性通法
函數 y ＝ af（ x）（ a ＞0， a ≠1）的單調性的處理技巧
　　關于指數型函數 y ＝ af（ x）（ a ＞0，且 a ≠1）的單調性由兩點決
定：一是底數 a ＞1還是0＜ a ＜1；二是 f （ x ）的單調性.它由兩個函
數 y ＝ au ， u ＝ f （ x ）復合而成，當這兩個函數在對應區間上的單調
性同增同減時， y ＝ af（ x）為增函數；當它們的單調性一增一減時， y
＝ af（ x）為減函數.
【跟蹤訓練】
1. 若函數 f （ x ）＝ 的定義域是[1，＋∞），則 a 的取值范圍
是 .
解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴當0＜ a ＜1時， x ≤1；當 a ＞1
時， x ≥1.故函數定義域為[1，＋∞）時， a ＞1.
（1，＋∞）　
2. 求函數 y ＝4 x －2·2 x ＋5的單調區間.
解：函數的定義域為R，令 t ＝2 x ， x ∈R時， t ∈（0，＋∞）.
y ＝（2 x ）2－2·2 x ＋5＝ t2－2 t ＋5＝（ t －1）2＋4， t ∈（0，＋
∞）.
當 t ≥1時，2 x ≥1， x ≥0；當0＜ t ＜1時，0＜2 x ＜1， x ＜0.
∵ y ＝（ t －1）2＋4在[1，＋∞）上單調遞增， t ＝2 x 在[0，＋∞）
上單調遞增，
∴ y ＝4 x －2·2 x ＋5的單調遞增區間為[0，＋∞）.
同理可得單調遞減區間為（－∞，0）.
題型三 指數函數模型的實際應用
【例4】　（鏈接教科書第147頁例4）某城市現有人口總數為100萬
人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：
（1）寫出該城市的人口總數 y （萬人）與年份 x （年）的函數關
系式；
解： 1年后該城市人口總數為： y ＝100＋100×1.2%＝100×（1
＋1.2%）；
2年后該城市人口總數為： y ＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋
1.2%）×1.2%＝100×（1＋1.2%）2；
…
x 年后該城市人口總數為： y ＝100×（1＋1.2%） x .
（2）計算10年后該城市人口總數（精確到0.1萬人）.
（參考數據：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127）
解：10年后該城市人口總數為： y ＝100×（1＋1.2%）10＝
100×1.01210≈112.7（萬人）.
通性通法
解決指數型函數應用題的流程
（1）審題：理解題意，弄清楚關鍵字詞和字母的意義，從題意中提
取信息；
（2）建模：根據已知條件，列出指數函數的關系式；
（3）解模：運用數學知識解決問題；
（4）回歸：還原為實際問題，歸納得出結論.
【跟蹤訓練】
有一種樹木栽植五年后可成材.在栽植后五年內，年增加20%，如果
不砍伐，從第六年到第十年，年增長10%，現有兩種砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再過五年再砍伐一次.
請計算后回答：十年內哪一個方案可以得到較多的木材（不考慮最初
的樹苗成本，只按成材的樹木計算）？（參考數據：1.25≈2.49，
1.15≈1.6，1.325≈4）
解：設樹木最初栽植量為 a ，甲方案在10年后樹木產量為： y1＝ a （1
＋20%）5（1＋10%）5＝ a （1.2×1.1）5≈4 a .
乙方案在10年后樹木產量為： y2＝2 a （1＋20%）5＝2 a ×1.25≈5 a .
y1－ y2＝－ a ＜0，
因此，乙方案能獲得更多的木材.
1. 函數 f （ x ）＝ ＋ 的定義域為（　?。?br/>A. （－5，0） B. [－5，0）
C. （－5，0] D. [－5，0]
解析： 　令所以－5＜ x ≤0.故選C.
2. 已知函數 f （ x ）＝（ ）｜ x｜，則 f （ x ）的值域為（　?。?br/>A. （0，1] B. （1，2]
C. （0，＋∞） D. （－∞，0）
解析： 　因為 f （ x ）＝（ ）｜ x｜＝
所以其圖象由 y ＝（ ） x （ x
≥0）和 y ＝2 x （ x ＜0）的圖象合并而成.如圖.所以 f
（ x ）的值域為（0，1].故選A.
3. 春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋
水面的面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，
當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了 天.
解析：假設第一天荷葉覆蓋水面面積為1，則荷葉覆蓋水面面積 y
與生長時間 x 的函數關系為 y ＝2 x－1，當 x ＝20時，長滿水面，所以
生長19天時，荷葉剛好覆蓋水面面積一半.
19
4. 函數 y ＝ 的減區間為 .
解析：令 u ＝－ x2＋2 x ，則 y ＝2 u .∵ u ＝－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2
＋1在（－∞，1]上單調遞增，在[1，＋∞）上單調遞減，又∵ y
＝2 u 在R上是增函數，∴ y ＝ 的減區間為[1，＋∞）.
[1，＋∞）　
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 函數 f （ x ）＝ 的定義域為（　?。?br/>A. （－∞，1） B. （－∞，1]
C. [1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 　由 x －1≥0可得 x ≥1，所以函數 f （ x ）＝ 的定義
域為[1，＋∞）.故選C.
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2. 函數 y ＝2 x＋1的圖象是（　　）
解析： 　函數 y ＝2 x＋1的圖象是由 y ＝2 x 的圖象向左平移1個單位
長度所得，又當 x ＝0時， y ＝2.故選A.
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3. 為改善環境，江蘇某城市對污水處理系統進行改造，三年后，該城
市污水排放量由原來每年排放125萬噸降到27萬噸，那么污水排放
量平均每年降低的百分率是（　?。?br/>A. 50% B. 40%
C. 30% D. 20%
解析： 　設污水排放量平均每年降低的百分率為 p ，則有125（1
－ p ）3＝27，故 p ＝ ＝0.4＝40%.故選B.
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4. （2024·宿遷月考）已知函數 f （ x ）＝ － ，其中e＝2.718
28…，則 f （ x ）是（　?。?br/>A. 奇函數，且在R上是增函數
B. 偶函數，且在（0，＋∞）上是增函數
C. 奇函數，且在R上是減函數
D. 偶函數，且在（0，＋∞）上是減函數
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解析： 　定義域為R，關于原點對稱.又 f （－ x ）＝ － ＝
－ ，故有 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，所以 f （ x ）是奇函數，函
數 f （ x ）＝ － 顯然是減函數.故選C.
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5. （多選）下列說法正確的有（　　）
A. y ＝21－ x 是R上的增函數
B. 某企業生產總值的月平均增長率為 p ，則年平均增長率為（1＋
p ）12－1
C. 當 a ＞1時，函數 y ＝ 與 y ＝ f （ x ）的單調性相反
D. 若2 x＋1＜1，則 x ＜－1
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解析： 　在A中， y ＝21－ x ＝（ ） x－1是R上的減函數，故A錯
誤；在B中，設年平均增長率為 r ，原有的生產總值為 a ，則 a （1
＋ p ）12＝ a （1＋ r ），解得 r ＝（1＋ p ）12－1，故B正確；在C
中，由抽象函數單調性“同增異減”知 y ＝ 與 y ＝ f （ x ）
在 a ＞1時具有相同的單調性，故C錯誤；在D中，若2 x＋1＜1，則 x
＋1＜0，所以 x ＜－1，故D正確.故選B、D.
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6. （多選）設函數 f （ x ）＝ a－｜ x｜（ a ＞0，且 a ≠1），若 f （2）＝
4，則（　?。?br/>A. f （－2）＞ f （－1） B. f （－1）＞ f （－2）
C. f （－2）＞ f （2） D. f （－4）＞ f （3）
解析： 　由 f （2）＝ a－2＝4得 a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ）－｜ x｜
＝2｜ x｜，由函數的奇偶性及單調性可知， f （－2）＞ f （－1），
故A正確，B錯誤； f （－2）＝ f （2），故C錯誤； f （－4）＝ f
（4）＞ f （3），故D正確.故選A、D.
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7. 當 x ∈[－1，1]時，函數 f （ x ）＝3 x －2的值域為 .
解析：因為指數函數 y ＝3 x 在區間[－1，1]上單調遞增，所以3－
1≤3 x ≤31，于是3－1－2≤3 x －2≤31－2，即－ ≤ f （ x ）≤1.
　
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8. 若函數 y ＝｜2 x －1｜在（－∞， m ]上單調遞減，則 m 的取值范圍
是 .
解析：在平面直角坐標系中作出 y ＝2 x 的圖象，把
圖象沿 y 軸向下平移1個單位長度得到 y ＝2 x －1的
圖象，再把 y ＝ －1的圖象在 x 軸下方的部分關
于 x 軸翻折，其余部分不變，如圖實線部分，得到
y ＝｜2 x －1｜的圖象.由圖可知 y ＝｜2 x －1｜在
（－∞，0]上單調遞減，所以 m ∈（－∞，0].
（－∞，0]　
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9. 某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量 f （ x ）（mg/mL）隨時間 x
（h）變化的規律近似滿足解析式 f （ x ）＝規
定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.02 mg/mL，據此可知，此
駕駛員至少要過 h后才能開車（精確到1 h）.
解析：當0≤ x ≤1時， ≤5 x－2≤ ，此時不宜開車；由 ·（ ） x
≤0.02，當 x ＝3時，不等式不成立，當 x ＝4時，不等式成立.故至
少要過4 h后才能開車.
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10. 已知函數 f （ x ）＝（ .
（1）若 a ＝－1，求函數 f （ x ）的增區間；
解： 當 a ＝－1時， f （ x ）＝ ，
令 g （ x ）＝－ x2－4 x ＋3＝－（ x ＋2）2＋7，
由于 g （ x ）在（－2，＋∞）上單調遞減， y ＝ 在R上
是減函數，所以 f （ x ）在（－2，＋∞）上單調遞增，即 f
（ x ）的增區間是（－2，＋∞）.
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（2）若 a ＝1，求函數 f （ x ）的最大值.
解： 由 a ＝1，得 f （ x ）＝（ ，
令 t ＝ x2－4 x ＋3，則 t ＝（ x －2）2－1，
故 f （ x ）＝（ 在（－∞，2）上單調遞增，
在（2，＋∞）上單調遞減，
故其最大值為 f （2）＝（ ）－1＝3.
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11. 函數 y ＝ 的圖象大致為（　　）
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解析： 　函數有意義，需使e x －e－ x ≠0，其定義域為{ x ｜ x
≠0}，故排除C、D；又因為 y ＝ ＝ ＝1＋ ，所
以當 x ＞0時，函數單調遞減，排除B，故選A.
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12. （多選）已知函數 f （ x ）＝ ax －（ ） x ，其中 a ＞0且 a ≠1，則
下列結論中正確的是（　?。?br/>A. f （ x ）是奇函數
B. 函數 f （ x ）＝0在其定義域上有解
C. 函數 f （ x ）的圖象過定點（0，1）
D. 當 a ＞1時，函數 f （ x ）在其定義域上是增函數
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解析： 　 f （ x ）＝ ax －（ ） x ＝ ax － a－ x ，定義域為R， f
（－ x ）＝ a－ x － ax ＝－ f （ x ），所以 f （ x ）為奇函數，且 f
（0）＝0，故A、B正確，C錯誤；當 a ＞1時，0＜ ＜1.因為 y ＝
ax ， y ＝－（ ） x 在R上均為增函數，所以 f （ x ）在其定義域上
是增函數，故D正確.故選A、B、D.
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13. 函數 f （ x ）＝ a2 x ＋3 ax －2（ a ＞0，且 a ≠1）在區間[－1，1]上
的最大值為8，則它在這個區間上的最小值是 .
解析：令 ax ＝ t （ t ＞0），則原函數可化為 g （ t ）＝ t2＋3 t －2，
易知函數 g （ t ）在（0，＋∞）上單調遞增.當0＜ a ＜1時， t
∈[ a ， a－1]， g （ t ）max＝ a－2＋3 a－1－2＝8，解得 a－1＝2，所
以 a ＝ .所以 g （ t ）min＝（ ）2＋3× －2＝－ .當 a ＞1時， t
∈[ a－1， a ]， g （ t ）max＝ a2＋3 a －2＝8，解得 a ＝2.所以 g
（ t ）min＝2－2＋3×2－1－2＝－ .綜上可知， f （ x ）在[－1，1]
上的最小值為－ .
－ 　
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14. 一片森林原來面積為 a ，計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每
年比上一年減少 p %，10年后森林面積變為 .為保護生態環境，
所剩森林面積至少要為原面積的 .已知到今年為止，森林面積為
a .
（1）求 p %的值；
解： 由題意得 a （1－ p %）10＝ ，
即（1－ p %）10＝ ，解得 p %＝1－ .
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（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
解： 設經過 m 年森林面積為 a ，
則 a （1－ p %） m ＝ a ，即 ＝ ，得 ＝ ，解得
m ＝5.故到今年為止，已砍伐了5年.
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（3）今后最多還能砍伐多少年？
解：從今年開始， n 年后森林面積為 a （1－ p %） n ，
令 a （1－ p %） n ≥ a ，即（1－ p %） n ≥ ， ≥
，得 ≤ ，解得 n ≤15，
故今后最多還能砍伐15年.
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15. 已知函數 f （ x ）＝2 x ， g （ x ）＝2－ x ， x ∈R，對于 x ∈R，用
m （ x ）表示 f （ x ）， g （ x ）中的較小者，記為 m （ x ）＝min{ f
（ x ）， g （ x ）}.
（1）求函數 m （ x ）的最大值；
解： m （ x ）＝min{2 x ，2－ x }＝
故 m （ x ）在（－∞，0）上單調遞增，在（0，＋∞）上單
調遞減，
所以函數 m （ x ）的最大值為 m （0）＝1.
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（2）對于 x ∈[ t ， t ＋1]， t ∈R，不等式 m （ x ＋1）＜[ m
（ x ）]2恒成立，求實數 t 的取值范圍.
解： 因為 m （ x ）＝所以[ m （ x ）]2＝
＝ m （2 x ），
不等式 m （ x ＋1）＜[ m （ x ）]2等價于 m （ x ＋1）＜ m （2
x ），
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易知函數 m （ x ）是偶函數，
所以 m （ x ＋1）＜ m （2 x ）又等價于 m （｜ x ＋1｜）＜ m
（｜2 x ｜），
因為 m （ x ）在（0，＋∞）上單調遞減，所以｜ x ＋1｜＞｜2 x ｜，
兩邊平方解得－ ＜ x ＜1，又在 x ∈[ t ， t ＋1]， t ∈R上恒成立，
故解得－ ＜ t ＜0.
故實數 t 的取值范圍為（－ ，0）.
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