資源簡介

第1課時　對數函數的概念、圖象與性質
1.函數f（x）＝＋lg（3x＋1）的定義域是（　　）
A.
B.（1，＋∞）
C.∪（1，＋∞）
D.∪（1，＋∞）
2.已知對數函數的圖象過點M（9，－2），則此對數函數的解析式為（　?。?br/>A.y＝log2x B.y＝log3x
C.y＝lox D.y＝lox
3.函數y＝1＋lo（x－1）的圖象恒過定點（　?。?br/>A.（1，1） B.（1，0）
C.（2，1） D.（2，0）
4.設a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，則（　?。?br/>A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
5.（多選）函數y＝log（a－2）[（5－a）（x2＋1）]中，實數a的取值可能是（　?。?br/>A. B.3
C.4 D.5
6.（多選）在同一坐標系中，f（x）＝kx＋b與g（x）＝logbx的圖象如圖，則下列關系正確的是（　?。?br/>A.k＞0，0＜b＜1
B.k＞0，b＞1
C.f（）＞0（x＞0），g（x）＞0（x＞0）
D.x＞1時，f（x）－g（x）＞0
7.如果函數f（x）對任意的正實數a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b），則這樣的函數f（x）的解析式可以是　　　?。▽懗鲆粋€即可）.
8.若函數y＝log（2a－3）x在（0，＋∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是　　　　.
9.若loga＜1，則a的取值范圍為　　　　.
10.已知函數f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性.
11.已知loga＞logb＞0，則下列關系正確的是（　　）
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a D.1＜a＜b
12.設函數f（x）＝f（）lg x＋1，則f（10）＝（　?。?br/>A.1 B.－1
C.10 D.
13.已知函數y＝lg（x2＋2x＋a）的定義域為R，則實數a的取值范圍為　　　　.
14.已知f（x）為定義在區間（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函數，當x∈（0，＋∞）時，f（x）＝log2x.
（1）當x∈（－∞，0）時，求函數f（x）的解析式；
（2）在給出的坐標系中畫出函數f（x）的圖象，寫出函數f（x）的單調區間.
15.若不等式x2－logmx＜0在內恒成立，求實數m的取值范圍.
第1課時　對數函數的概念、圖象與性質
1.A　由可得－＜x＜1.故選A.
2.C　設函數f（x）＝logax（x＞0，a＞0且a≠1），∵對數函數的圖象過點M（9，－2），∴－2＝loga9，∴a－2＝9，a＞0，解得a＝.∴此對數函數的解析式為y＝lox.故選C.
3.C　令x－1＝1，得x＝2，此時y＝1，故函數y＝1＋lo（x－1）的圖象一定經過點（2，1）.故選C.
4.C　a＝log2π＞1，b＝loπ＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b.故選C.
5.AC　由題意可知，即因此2＜a＜5且a≠3.故選A、C.
6.AD　由圖象可知k＞0，0＜b＜1，所以A正確，B錯誤；當x＞1時，g（x）＜0，所以C選項錯誤；當x＞1時，f（x）＞0，g（x）＜0，所以f（x）－g（x）＞0，所以D選項正確.
7.f（x）＝lg x（答案不唯一）　解析：由題意，函數f（x）對任意的正實數a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b），可考慮對數函數f（x）＝lg x，滿足f（ab）＝lg（ab）＝lg a＋lg b＝f（a）＋f（b），故f（x）＝lg x滿足題意.
8.（2，＋∞）　解析：由題意，得2a－3＞1，解得a＞2.所以a的取值范圍是（2，＋∞）.
9.（0，）∪（1，＋∞）　解析：當a＞1時，滿足條件；當0＜a＜1時，由得0＜a＜，綜上，實數a的取值范圍是（0，）∪（1，＋∞）.
10.解：（1）要使函數有意義，則需滿足
解得－2＜x＜2.故函數f（x）的定義域為（－2，2）.
（2）由（1）知f（x）的定義域關于原點對稱，因為f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－[loga（2＋x）－loga（2－x）]＝－f（x）.所以函數f（x）為奇函數.
11.A　由loga＞0，logb＞0，可知a，b∈（0，1）.又loga＞logb，作出圖象如圖所示，結合圖象易知a＞b，∴0＜b＜a＜1.
12.A　∵f（x）＝f（）lg x＋1，將式中x換成，∴f（）＝f（x）lg ＋1.由以上兩式，得f（x）＝，∴f（10）＝＝1.
13.（1，＋∞）　解析：因為y＝lg（x2＋2x＋a）的定義域為R，所以x2＋2x＋a＞0恒成立，所以Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.故實數a的取值范圍是（1，＋∞）.
14.解：（1）設任意x∈（－∞，0），則－x∈（0，＋∞），所以f（－x）＝log2（－x），
又f（x）為定義在區間（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函數，得f（－x）＝f（x），
所以f（x）＝log2（－x）（x∈（－∞，0））.
（2）畫出函數圖象如圖所示.
f（x）的單調增區間是（0，＋∞），單調減區間是（－∞，0）.
15.解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，
在同一坐標系中作y＝x2和y＝logmx的草圖，如圖所示.
要使x2＜logmx在內恒成立，
只要y＝logmx在內的圖象在y＝x2圖象的上方，于是0＜m＜1.
∵當x＝時，y＝x2＝，
∴只要當x＝時，y＝logm≥＝logm，
∴≤，即≤m.
又0＜m＜1，∴≤m＜1.
即實數m的取值范圍是.
2 / 26.3　對數函數
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，了解對數函數的概念 數學抽象
2.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象 直觀想象
3.探索并了解對數函數的單調性與特殊點 直觀想象、數學運算、邏輯推理
4.知道對數函數y＝logax與指數函數y＝ax互為反函數（a＞0，且a≠1） 數學抽象、直觀想象
第1課時　對數函數的概念、圖象與性質
　　已知細胞分裂個數y與分裂次數x滿足y＝2x.
【問題】　（1）如果知道了細胞的個數y，如何確定分裂的次數x呢？
（2）問題（1）中的關系式中，x是關于y的函數嗎？
（3）如果用x表示自變量，用y表示函數，那么這個函數是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　對數函數的概念
一般地，函數y＝　　　?。╝＞0，a≠1）叫作對數函數，它的定義域是　　　　.
提醒　在對數函數的定義表達式y＝logax（a＞0，a≠1）中，logax前邊的系數必須是1，自變量x在真數的位置上，否則就不是對數函數.
知識點二　對數函數的圖象及性質
a＞1 0＜a＜1
圖象
性質 定義域：　　　
值域：　　
圖象過點：　　　
在（0，＋∞）上是　　　函數； 當0＜x＜1時，y＜0； 當x＞1時，y＞0 在（0，＋∞）上是　　　函數； 當0＜x＜1時，y＞0； 當x＞1時，y＜0
提醒?。?）當0＜a＜1時，底數越小，圖象越靠近x軸；（2）當a＞1時，底數越大，圖象越靠近x軸.
【想一想】
　底數a的取值與對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象有什么關系？
知識點三　反函數
　當a＞0，a≠1時，y＝logax稱為y＝ax的反函數.反之，y＝ax也稱為y＝logax的反函數.一般地，如果函數y＝f（x）存在反函數，那么它的反函數記作y＝　　　　.
提醒　反函數性質的再理解：①互為反函數的兩個函數圖象關于直線y＝x對稱；②反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域是原函數的定義域.
【想一想】
　對數函數y＝logax（a＞0且a≠1）與y＝lox（a＞0且a≠1）有什么關系？
1.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.對數函數的定義域為R
B.函數y＝log2（2x）是對數函數
C.函數y＝log0.3x是減函數
D.對數函數的圖象一定在y軸右側
2.若函數f（x）＝（a2＋a－5）logax是對數函數，則a＝　　　　.
3.函數f（x）＝loga（2x－1）＋2的圖象恒過定點　　　　.
題型一 對數函數的概念
【例1】　（1）下列函數中是對數函數的是（　　）
A.y＝3log2x B.y＝log6x
C.y＝logx5 D.y＝log2x＋1
（2）（鏈接教科書第154頁例1）函數f（x）＝ln（x2－x）的定義域為（　　）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞）
B.（－∞，0]∪[1，＋∞）
C.（0，1）
D.[0，1]
通性通法
1.判斷一個函數是對數函數的方法
2.求對數型函數定義域的原則
（1）分母不能為0；
（2）根指數為偶數時，被開方數非負；
（3）對數的真數大于0，底數大于0且不為1.
【跟蹤訓練】
1.若函數f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是對數函數，則實數a＝　　　　.
2.若對數函數f（x）＝logax的圖象過點（2，1），則f（8）＝　　　　.
題型二 對數函數的圖象及應用
【例2】　（1）（鏈接教科書第159頁習題11題）函數y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系為（　　）
A.1＜d＜c＜a＜b
B.c＜d＜1＜a＜b
C.c＜d＜1＜b＜a
D.d＜c＜1＜a＜b
（2）函數y＝lo（2x－1）的圖象恒過定點（　?。?br/>A.（1，1） B.（1，0）
C.（2，1） D.（2，0）
通性通法
1.對數函數底數對圖象的影響
其中a，b，c，d是圖象對應的對數函數的底數，根據圖象，其大小關系為0＜c＜d＜1＜a＜b.
2.關于定點問題
求函數y＝m＋logaf（x）（a＞0，且a≠1）的圖象過定點時，只需令f（x）＝1求出x，即得定點為（x，m）.
【跟蹤訓練】
1.如圖，若C1，C2分別為函數y＝logax和y＝logbx的圖象，則（　?。?br/>A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1 D.b＞a＞1
2.若函數y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點（3，2），則實數b，c的值分別為　　　　.
題型三 對數函數的性質及應用
角度1　對數值的大小比較
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?54頁例2）比較下列各組數中兩個數的大?。?br/>（1）ln 0.3，ln 2；
（2）loga3.1，loga5.2（a＞0，且a≠1）；
（3）log30.2，log40.2；
（4）log3π，logπ3.
通性通法
比較對數值大小時常用的4種方法
（1）若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行比較；
（2）若底數為同一字母，則根據底數對對數函數單調性的影響，對底數進行分類討論；
（3）若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以利用順時針方向底數增大畫出對數函數的圖象，再進行比較；
（4）若底數與真數都不同，則常借助1，0等中間量進行比較.
角度2　求解對數不等式
【例4】?。ㄦ溄咏炭茣?59頁習題13題）解下列不等式：
（1）log2（2x＋3）≥log2（5x－6）；
（2）loga（x－4）－loga（2x－1）＞0（a＞0，且a≠1）；
（3）logx＞1.
通性通法
對數不等式的三種考查類型及解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況進行討論；
（2）形如logax＞b的不等式，應將b化為以a為底數的對數式的形式（b＝logaab），再借助y＝logax的單調性求解；
（3）形如logf（x）a＞logg（x）a（f（x），g（x）＞0且不等于1，a＞0）的不等式，可利用換底公式化為同底的對數進行求解，或利用函數圖象求解.
【跟蹤訓練】
1.（2024·南京期末）已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，則下列結論正確的是（　　）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
2.不等式log（3x－5）7＞log（2x）7（x＞2）的解集為　　　　.
1.下列函數是對數函數的是（　?。?br/>A.y＝log2x B.y＝ln（x＋1）
C.y＝logxe D.y＝logxx
2.（2024·南京十三中期中）函數f（x）＝ln（1－2x）的定義域為（　?。?br/>A.（ －∞，］ B.（ －∞，）
C.（ 0，） D.（ ，＋∞）
3.在同一坐標系中，函數y＝2x與y＝log2x的大致圖象是（　　）
4.不等式lo（5＋x）＜lo（1－x）的解集為　　　　.
第1課時　對數函數的概念、圖象與性質
【基礎知識·重落實】
知識點一
　logax?。?，＋∞）
知識點二
　（0，＋∞）　R?。?，0）　增　減　
想一想
　提示：底數a與1的大小關系決定了對數函數圖象的“升降”：當a＞1時，對數函數的圖象“上升”；當0＜a＜1時，對數函數的圖象“下降”.
知識點三
　f－1（x）
想一想
　提示：在同一坐標系內，y＝logax（a＞0且a≠1）的圖象與y＝lox（a＞0且a≠1）的圖象關于x軸（即直線y＝0）對稱.
自我診斷
1.CD　A中，對數函數的定義域為（0，＋∞），故A錯誤；函數y＝log2（2x）不是對數函數，故B錯誤；函數y＝log0.3x是減函數，故C正確；對數函數的圖象一定在y軸右側，故D正確.故選C、D.
2.2　解析：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a＞0且a≠1，所以a＝2.
3.（1，2）　解析：令2x－1＝1，得x＝1，又f（1）＝2，故f（x）的圖象恒過定點（1，2）.
【典型例題·精研析】
【例1】?。?）B　（2）A　解析：（1）A中，log2x的系數是3，不是1，不是對數函數；B中，符合對數函數的結構形式，是對數函數；C中，自變量在底數位置上，不是對數函數；D中，對數式log2x后又加上1，不是對數函數.
（2）由題意得x2－x＞0，解得x＞1或x＜0，故函數的定義域是（－∞，0）∪（1，＋∞）.故選A.
跟蹤訓練
1.1　解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
2.3　解析：依題意知1＝loga2，所以a＝2，所以f（x）＝log2x，故f（8）＝log28＝3.
【例2】?。?）B?。?）B　解析：（1）令函數y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同樣的函數值1，得到的自變量的值恰好分別是a，b，c，d.直線y＝1從左到右依次與上述四個函數的圖象交于（c，1），（d，1），（a，1），（b，1）四點，從而得出c＜d＜a＜b.又a＞1，b＞1，d＜1，c＜1，所以c＜d＜1＜a＜b.
（2）令2x－1＝1，得x＝1，此時y＝0，故函數y＝lo（2x－1）的圖象恒過定點（1，0）.
跟蹤訓練
1.B　作直線y＝1（圖略），則直線與C1，C2的交點的橫坐標分別為a，b，易知0＜b＜a＜1.故選B.
2.－2，2　解析：∵函數的圖象恒過定點（3，2），∴將（3，2）代入y＝loga（x＋b）＋c，得2＝loga（3＋b）＋c.又當a＞0，且a≠1時，loga1＝0恒成立，∴c＝2，3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
【例3】　解：（1）因為函數y＝ln x在（0，＋∞）上是增函數，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.
（2）當a＞1時，函數y＝logax在（0，＋∞）上是增函數，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
當0＜a＜1時，函數y＝logax在（0，＋∞）上是減函數，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
綜上所述，當a＞1時，loga3.1＜loga5.2；
當0＜a＜1時，loga3.1＞loga5.2.
（3）因為log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.
（4）因為函數y＝log3x是增函數，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
【例4】　解：（1）原不等式等價于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集為.
（2）原不等式化為loga（x－4）＞loga（2x－1）.
當a＞1時，不等式等價于 無解；
當0＜a＜1時，不等式等價于解得x＞4.
綜上可知，當a＞1時，解集為 ；當0＜a＜1時，解集為{x｜x＞4}.
（3）當x＞1時，logx＞1＝logxx，
解得x＜，此時不等式無解.
當0＜x＜1時，logx＞1＝logxx，
解得x＞，所以＜x＜1.
綜上所述，原不等式的解集為.
跟蹤訓練
1.D　因為0＝log0.31＞a＝log0.32＞b＝log0.33，c＝log32＞log31＝0，所以b＜a＜c.故選D.
2.（2，5）　解析：由x＞2得3x－5＞1，2x＞4，由log（3x－5）7＞log（2x）7，得＞，故1＜3x－5＜2x，解得2＜x＜5，即原不等式的解集為（2，5）.
隨堂檢測
1.A　由對數函數的特征可得只有A選項符合.
2.B　由題意得1－2x＞0，即x＜.故選B.
3.B
4.（－2，1）　解析：因為函數y＝lox在（0，＋∞）上是減函數，
所以解得－2＜x＜1.
5 / 5(共63張PPT)
6.3　對數函數
新課程標準解讀 核心素養
1.通過具體實例，了解對數函數的概念 數學抽象
2.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函
數的圖象 直觀想象
3.探索并了解對數函數的單調性與特殊點 直觀想象、數學運
算、邏輯推理
4.知道對數函數 y ＝log ax 與指數函數 y ＝ ax 互為
反函數（ a ＞0，且 a ≠1） 數學抽象、
直觀想象
第1課時　
對數函數的概念、圖象與性質
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　已知細胞分裂個數 y 與分裂次數 x 滿足 y ＝2 x .
【問題】　（1）如果知道了細胞的個數 y ，如何確定分裂的次數
x 呢？
（2）問題（1）中的關系式中， x 是關于 y 的函數嗎？
（3）如果用 x 表示自變量，用 y 表示函數，那么這個函數是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　對數函數的概念
一般地，函數 y ＝ （ a ＞0， a ≠1）叫作對數函數，它的定
義域是 .
提醒　在對數函數的定義表達式 y ＝log ax （ a ＞0， a ≠1）中，
log ax 前邊的系數必須是1，自變量 x 在真數的位置上，否則就不是
對數函數.
log ax 　
（0，＋∞）　
知識點二　對數函數的圖象及性質
a ＞1 0＜ a ＜1
圖
象
a ＞1 0＜ a ＜1
性
質 定義域：
值域：
圖象過點：
在（0，＋∞）上是 函數； 當0＜ x ＜1時， y ＜0； 當 x ＞1時， y ＞0 在（0，＋∞）上是 函
數；
當0＜ x ＜1時， y ＞0；
當 x ＞1時， y ＜0
（0，＋∞）　
R　
（1，0）　
增　
減　
提醒　（1）當0＜ a ＜1時，底數越小，圖象越靠近 x 軸；（2）當 a ＞
1時，底數越大，圖象越靠近 x 軸.
【想一想】
　底數 a 的取值與對數函數 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的圖象有什么
關系？
提示：底數 a 與1的大小關系決定了對數函數圖象的“升降”：當 a ＞
1時，對數函數的圖象“上升”；當0＜ a ＜1時，對數函數的圖象“下
降”.
知識點三　反函數
當 a ＞0， a ≠1時， y ＝log ax 稱為 y ＝ ax 的反函數.反之， y ＝ ax 也稱
為 y ＝log ax 的反函數.一般地，如果函數 y ＝ f （ x ）存在反函數，那
么它的反函數記作 y ＝ .
提醒　反函數性質的再理解：①互為反函數的兩個函數圖象關于直線
y ＝ x 對稱；②反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域是原函
數的定義域.
f－1（ x ）　
【想一想】
　對數函數 y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）與 y ＝lo x （ a ＞0且 a ≠1）有
什么關系？
提示：在同一坐標系內， y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）的圖象與 y ＝lo
x （ a ＞0且 a ≠1）的圖象關于 x 軸（即直線 y ＝0）對稱.
1. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 對數函數的定義域為R
B. 函數 y ＝log2（2 x ）是對數函數
C. 函數 y ＝log0.3 x 是減函數
D. 對數函數的圖象一定在 y 軸右側
解析：CD　A中，對數函數的定義域為（0，＋∞），故A錯誤；
函數 y ＝log2（2 x ）不是對數函數，故B錯誤；函數 y ＝log0.3 x 是減
函數，故C正確；對數函數的圖象一定在 y 軸右側，故D正確.故選
C、D.
2. 若函數 f （ x ）＝（ a2＋ a －5）log ax 是對數函數，則 a ＝ .
解析：由 a2＋ a －5＝1得 a ＝－3或 a ＝2.又 a ＞0且 a ≠1，所
以 a ＝2.
3. 函數 f （ x ）＝log a （2 x －1）＋2的圖象恒過定點 .
解析：令2 x －1＝1，得 x ＝1，又 f （1）＝2，故 f （ x ）的圖象恒
過定點（1，2）.
2　
（1，2）　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 對數函數的概念
【例1】?。?）下列函數中是對數函數的是（　B?。?br/>A. y ＝3log2 x B. y ＝log6 x
C. y ＝log x 5 D. y ＝log2 x ＋1
解析： A中，log2 x 的系數是3，不是1，不是對數函數；B中，符合對
數函數的結構形式，是對數函數；C中，自變量在底數位置上，不是
對數函數；D中，對數式log2 x 后又加上1，不是對數函數.
B
（2）（鏈接教科書第154頁例1）函數 f （ x ）＝ln（ x2－ x ）的定義域
為（　A?。?br/>A. （－∞，0）∪（1，＋∞）
B. （－∞，0]∪[1，＋∞）
C. （0，1）
D. [0，1]
解析：由題意得 x2－ x ＞0，解得 x ＞1或 x ＜0，故函數的定義域
是（－∞，0）∪（1，＋∞）.故選A.
A
通性通法
1. 判斷一個函數是對數函數的方法
2. 求對數型函數定義域的原則
（1）分母不能為0；
（2）根指數為偶數時，被開方數非負；
（3）對數的真數大于0，底數大于0且不為1.
【跟蹤訓練】
1. 若函數 f （ x ）＝（ a2－ a ＋1）log（ a＋1） x 是對數函數，則實數 a
＝ .
解析：由 a2－ a ＋1＝1，解得 a ＝0或1.又 a ＋1＞0，且 a ＋1≠1，
∴ a ＝1.
2. 若對數函數 f （ x ）＝log ax 的圖象過點（2，1），則 f （8）＝ .
解析：依題意知1＝log a 2，所以 a ＝2，所以 f （ x ）＝log2 x ，故 f
（8）＝log28＝3.
1　
3　
題型二 對數函數的圖象及應用
【例2】?。?）（鏈接教科書第159頁習題11題）函數 y ＝log ax ， y ＝
log bx ， y ＝log cx ， y ＝log dx 的圖象如圖所示，則 a ， b ， c ， d 的大小
關系為（　B　）
A. 1＜ d ＜ c ＜ a ＜ b B. c ＜ d ＜1＜ a ＜ b
C. c ＜ d ＜1＜ b ＜ a D. d ＜ c ＜1＜ a ＜ b
B
解析：令函數 y ＝log ax， y ＝log bx， y ＝log cx， y ＝log dx 取同樣的函數
值1，得到的自變量的值恰好分別是 a ， b ， c ， d .直線 y ＝1從左到右
依次與上述四個函數的圖象交于（ c ，1），（ d ，1），（ a ，1），
（ b ，1）四點，從而得出 c ＜ d ＜ a ＜ b .又 a ＞1， b ＞1， d ＜1， c ＜
1，所以 c ＜ d ＜1＜ a ＜ b .
解析：令2 x －1＝1，得 x ＝1，此時 y ＝0，故函數 y ＝lo （2 x
－1）的圖象恒過定點（1，0）.
（2）函數 y ＝lo （2 x －1）的圖象恒過定點（　B　）
A. （1，1） B. （1，0）
C. （2，1） D. （2，0）
B
通性通法
1. 對數函數底數對圖象的影響
其中 a ， b ， c ， d 是圖象對應的對數函數的底數，根據圖象，其大小關系為0＜ c ＜ d ＜1＜ a ＜ b .
求函數 y ＝ m ＋log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的圖
象過定點時，只需令 f （ x ）＝1求出 x ，即得定點為（ x ， m ）.
2. 關于定點問題
【跟蹤訓練】
1. 如圖，若 C1， C2分別為函數 y ＝log ax 和 y ＝log bx 的圖象，則
（　?。?br/>A. 0＜ a ＜ b ＜1
B. 0＜ b ＜ a ＜1
C. a ＞ b ＞1
D. b ＞ a ＞1
解析： 　作直線 y ＝1（圖略），則直線與 C1， C2的交點的橫坐
標分別為 a ， b ，易知0＜ b ＜ a ＜1.故選B.
2. 若函數 y ＝log a （ x ＋ b ）＋ c （ a ＞0，且 a ≠1）的圖象恒過定點
（3，2），則實數 b ， c 的值分別為 .解析：∵函數的圖象
恒過定點（3，2），∴將（3，2）代入 y ＝log a （ x ＋ b ）＋ c ，得
2＝log a （3＋ b ）＋ c .又當 a ＞0，且 a ≠1時，log a 1＝0恒成立，∴
c ＝2，3＋ b ＝1，∴ b ＝－2， c ＝2.
－2，2　
解析：∵函數的圖象恒過定點（3，2），∴將（3，2）代入 y ＝
log a （ x ＋ b ）＋ c ，得2＝log a （3＋ b ）＋ c .又當 a ＞0，且 a ≠
1時，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2，3＋ b ＝1，∴ b ＝－2， c ＝2.
題型三 對數函數的性質及應用
角度1　對數值的大小比較
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?54頁例2）比較下列各組數中兩個數的
大?。?br/>（1）ln 0.3，ln 2；
解：因為函數 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函數，且0.3＜2，所
以ln 0.3＜ln 2.
（2）log a 3.1，log a 5.2（ a ＞0，且 a ≠1）；
解：當 a ＞1時，函數 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是增函數，
又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2；
當0＜ a ＜1時，函數 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是減函數，
又3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2.
綜上所述，當 a ＞1時，log a 3.1＜log a 5.2；
當0＜ a ＜1時，log a 3.1＞log a 5.2.
（3）log30.2，log40.2；
解：因為log0.23＞log0.24，所以 ＜ ，即log30.2＜
log40.2.
（4）log3π，logπ3.
解：因為函數 y ＝log3 x 是增函數，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
通性通法
比較對數值大小時常用的4種方法
（1）若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行比較；
（2）若底數為同一字母，則根據底數對對數函數單調性的影響，對
底數進行分類討論；
（3）若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底后，再
進行比較，也可以利用順時針方向底數增大畫出對數函數的圖
象，再進行比較；
（4）若底數與真數都不同，則常借助1，0等中間量進行比較.
角度2　求解對數不等式
【例4】?。ㄦ溄咏炭茣?59頁習題13題）解下列不等式：
（1）log2（2 x ＋3）≥log2（5 x －6）；
解：原不等式等價于
解得 ＜ x ≤3.
所以不等式的解集為 .
（2）log a （ x －4）－log a （2 x －1）＞0（ a ＞0，且 a ≠1）；
解：原不等式化為log a （ x －4）＞log a （2 x －1）.
當 a ＞1時，不等式等價于 無解；
當0＜ a ＜1時，不等式等價于解得 x ＞4.
綜上可知，當 a ＞1時，解集為 ；當0＜ a ＜1時，解集為{ x ｜ x
＞4}.
（3）log x ＞1.
解：當 x ＞1時，log x ＞1＝log xx ，
解得 x ＜ ，此時不等式無解.
當0＜ x ＜1時，log x ＞1＝log xx ，
解得 x ＞ ，所以 ＜ x ＜1.
綜上所述，原不等式的解集為 .
通性通法
對數不等式的三種考查類型及解法
（1）形如log ax ＞log ab 的不等式，借助 y ＝log ax 的單調性求解，如果
a 的取值不確定，需分 a ＞1與0＜ a ＜1兩種情況進行討論；
（2）形如log ax ＞ b 的不等式，應將 b 化為以 a 為底數的對數式的形式
（ b ＝log aab ），再借助 y ＝log ax 的單調性求解；
（3）形如log f（ x） a ＞log g（ x） a （ f （ x ）， g （ x ）＞0且不等于1， a
＞0）的不等式，可利用換底公式化為同底的對數進行求解，或
利用函數圖象求解.
【跟蹤訓練】
1. （2024·南京期末）已知 a ＝log0.32， b ＝log0.33， c ＝log32，則下
列結論正確的是（　?。?br/>A. a ＜ b ＜ c B. a ＜ c ＜ b
C. c ＜ a ＜ b D. b ＜ a ＜ c
解析： 　因為0＝log0.31＞ a ＝log0.32＞ b ＝log0.33， c ＝log32＞
log31＝0，所以 b ＜ a ＜ c .故選D.
2. 不等式log（3 x－5）7＞log（2 x）7（ x ＞2）的解集為 .
解析：由 x ＞2得3 x －5＞1，2 x ＞4，由log（3 x－5）7＞log（2 x）7，得
＞ ，故1＜3 x －5＜2 x ，解得2＜ x ＜5，即原不
等式的解集為（2，5）.
（2，5）
1. 下列函數是對數函數的是（　?。?br/>A. y ＝log2 x B. y ＝ln（ x ＋1）
C. y ＝log x e D. y ＝log xx
解析： 　由對數函數的特征可得只有A選項符合.
2. （2024·南京十三中期中）函數 f （ x ）＝ln（1－2 x ）的定義域為
（　?。?br/>A. （ －∞， ］ B. （ －∞， ）
C. （ 0， ） D. （ ，＋∞）
解析： 　由題意得1－2 x ＞0，即 x ＜ .故選B.
3. 在同一坐標系中，函數 y ＝2 x 與 y ＝log2 x 的大致圖象是（　?。?br/>4. 不等式lo （5＋ x ）＜lo （1－ x ）的解集為 .
解析：因為函數 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是減函數，
所以解得－2＜ x ＜1.
（－2，1）　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 函數 f （ x ）＝ ＋lg（3 x ＋1）的定義域是（　　）
A.
B. （1，＋∞）
C. ∪（1，＋∞）
D. ∪（1，＋∞）
解析： 　由可得－ ＜ x ＜1.故選A.
2. 已知對數函數的圖象過點 M （9，－2），則此對數函數的解析式
為（　?。?br/>A. y ＝log2 x B. y ＝log3 x
C. y ＝lo x D. y ＝lo x
解析： 　設函數 f （ x ）＝log ax （ x ＞0， a ＞0且 a ≠1），∵對數
函數的圖象過點 M （9，－2），∴－2＝log a 9，∴ a－2＝9， a ＞
0，解得 a ＝ .∴此對數函數的解析式為 y ＝lo x .故選C.
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3. 函數 y ＝1＋lo （ x －1）的圖象恒過定點（　?。?br/>A. （1，1） B. （1，0）
C. （2，1） D. （2，0）
解析： 　令 x －1＝1，得 x ＝2，此時 y ＝1，故函數 y ＝1＋lo
（ x －1）的圖象一定經過點（2，1）.故選C.
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4. 設 a ＝log2π， b ＝lo π， c ＝π－2，則（　?。?br/>A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c
C. a ＞ c ＞ b D. c ＞ b ＞ a
解析： a ＝log2π＞1， b ＝lo π＜0， c ＝π－2∈（0，1），所以
a ＞ c ＞ b .故選C.
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5. （多選）函數 y ＝log（ a－2）[（5－ a ）（ x2＋1）]中，實數 a 的取
值可能是（　?。?br/>A. B. 3 C. 4 D. 5
解析： 　由題意可知，即因此2＜ a ＜5且
a ≠3.故選A、C.
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6. （多選）在同一坐標系中， f （ x ）＝ kx ＋ b 與 g （ x ）＝log bx 的圖
象如圖，則下列關系正確的是（　?。?br/>A. k ＞0，0＜ b ＜1
B. k ＞0， b ＞1
C. f （ ）＞0（ x ＞0）， g （ x ）＞0（ x ＞0）
D. x ＞1時， f （ x ）－ g （ x ）＞0
解析： 　由圖象可知 k ＞0，0＜ b ＜1，所以A正確，B錯誤；當
x ＞1時， g （ x ）＜0，所以C選項錯誤；當 x ＞1時， f （ x ）＞0，
g （ x ）＜0，所以 f （ x ）－ g （ x ）＞0，所以D選項正確.
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7. 如果函數 f （ x ）對任意的正實數 a ， b ，都有 f （ ab ）＝ f （ a ）＋
f （ b ），則這樣的函數 f （ x ）的解析式可以是
（寫出一個即可）.
解析：由題意，函數 f （ x ）對任意的正實數 a ， b ，都有 f （ ab ）
＝ f （ a ）＋ f （ b ），可考慮對數函數 f （ x ）＝lg x ，滿足 f （ ab ）
＝lg（ ab ）＝lg a ＋lg b ＝ f （ a ）＋ f （ b ），故 f （ x ）＝lg x 滿足
題意.
f （ x ）＝lg x （答
案不唯一）
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8. 若函數 y ＝log（2 a－3） x 在（0，＋∞）上是增函數，則實數 a 的取值
范圍是 .
解析：由題意，得2 a －3＞1，解得 a ＞2.所以 a 的取值范圍是
（2，＋∞）.
（2，＋∞）　
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9. 若log a ＜1，則 a 的取值范圍為 ?。?， ）∪（1，＋∞）　.
解析：當 a ＞1時，滿足條件；當0＜ a ＜1時，由
得0＜ a ＜ ，綜上，實數 a 的取值范圍是（0， ）∪（1，＋∞）.
（0， ）∪（1，＋∞）　
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10. 已知函數 f （ x ）＝log a （2＋ x ）－log a （2－ x ）（ a ＞0，且 a
≠1）.
（1）求函數 f （ x ）的定義域；
解： 要使函數有意義，則需滿足
解得－2＜ x ＜2.故函數 f （ x ）的定義域為（－2，2）.
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（2）判斷函數 f （ x ）的奇偶性.
解： 由（1）知 f （ x ）的定義域關于原點對稱，因
為 f （－ x ）＝log a （2－ x ）－log a （2＋ x ）＝－[log a
（2＋ x ）－log a （2－ x ）]＝－ f （ x ）.所以函數 f
（ x ）為奇函數.
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11. 已知log a ＞log b ＞0，則下列關系正確的是（　?。?br/>A. 0＜ b ＜ a ＜1 B. 0＜ a ＜ b ＜1
C. 1＜ b ＜ a D. 1＜ a ＜ b
解析： 　由log a ＞0，log b ＞0，可知 a ， b
∈（0，1）.又log a ＞log b ，作出圖象如圖
所示，結合圖象易知 a ＞ b ，∴0＜ b ＜ a ＜1.
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12. 設函數 f （ x ）＝ f （ ）lg x ＋1，則 f （10）＝（　?。?br/>A. 1 B. －1
C. 10 D.
解析： 　∵ f （ x ）＝ f （ ）lg x ＋1，將式中 x 換成 ，∴ f
（ ）＝ f （ x ）lg ＋1.由以上兩式，得 f （ x ）＝ ，
∴ f （10）＝ ＝1.
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13. 已知函數 y ＝lg（ x2＋2 x ＋ a ）的定義域為R，則實數 a 的取值范
圍為 .
解析：因為 y ＝lg（ x2＋2 x ＋ a ）的定義域為R，所以 x2＋2 x ＋ a
＞0恒成立，所以Δ＝4－4 a ＜0，所以 a ＞1.故實數 a 的取值范圍
是（1，＋∞）.
（1，＋∞）　
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14. 已知 f （ x ）為定義在區間（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函
數，當 x ∈（0，＋∞）時， f （ x ）＝log2 x .
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（1）當 x ∈（－∞，0）時，求函數 f （ x ）的解析式；
解： 設任意 x ∈（－∞，0），則－ x ∈（0，＋∞），
所以 f （－ x ）＝log2（－ x ），
又 f （ x ）為定義在區間（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶
函數，得 f （－ x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）＝log2（－ x ）（ x ∈（－∞，0））.
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（2）在給出的坐標系中畫出函數 f （ x ）的圖象，寫出函數 f
（ x ）的單調區間.
解： 畫出函數圖象如圖所示.
f （ x ）的單調增區間是（0，＋∞），單調減區間是（－
∞，0）.
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15. 若不等式 x2－log mx ＜0在 內恒成立，求實數 m 的取值
范圍.
解：由 x2－log mx ＜0，得 x2＜log mx ，
在同一坐標系中作 y ＝ x2和 y ＝log mx 的草圖，
如圖所示.
要使 x2＜log mx 在 內恒成立，
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只要 y ＝log mx 在 內的圖象在 y ＝ x2圖象的上方，于是0＜ m
＜1.
∵當 x ＝ 時， y ＝ x2＝ ，
∴只要當 x ＝ 時， y ＝log m ≥ ＝log m ，
∴ ≤ ，即 ≤ m .
又0＜ m ＜1，∴ ≤ m ＜1.
即實數 m 的取值范圍是 .
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