資源簡介

第2課時　對數函數圖象與性質的綜合應用
1.已知函數y＝ax與y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列說法錯誤的是（　　）
A.兩者的圖象關于直線y＝x對稱
B.前者的定義域、值域分別是后者的值域、定義域
C.兩函數在各自的定義域內增減性相同
D.y＝ax的圖象經過平行移動可得到y＝logax的圖象
2.已知函數f（x）＝3lox的定義域為[3，9]，則函數f（x）的值域是（　　）
A.（－∞，－6] B.[－6，－3]
C.[－3，0） D.（0，＋∞）
3.函數f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定義域上（　　）
A.是增函數 B.是減函數
C.先增后減 D.先減后增
4.如圖為函數y＝m＋lognx的圖象，其中m，n為常數，則下列結論正確的是（　　）
A.m＜0，n＞1
B.m＞0，n＞1
C.m＞0，0＜n＜1
D.m＜0，0＜n＜1
5.（多選）函數y＝f（x）是函數y＝ax（a＞0且a≠1）的反函數，則下列結論正確的是（　　）
A.f（x2）＝2f（x）
B.f（2x）＝f（x）＋f（2）
C.f＝f（x）－f（2）
D.f（2x）＝2f（x）
6.（多選）已知a＞0，且a≠1，則函數y＝a－x與y＝loga（－x）的圖象可能是（　　）
7.函數f（x）＝｜lox｜的單調遞增區間是　　　　.
8.設a＞1，函數f（x）＝logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a＝　　　　.
9.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產地產卵.研究鮭魚的科學家發現鮭魚的游速可以表示為函數v＝log3，單位是m/s，其中O表示魚的耗氧量的單位數.當一條魚的耗氧量是2 700個單位時，它的游速是　　　　m/s；一條魚靜止時耗氧量的單位數為　　　　.
10.設函數f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0.
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在區間（0，＋∞）上的單調性，并用單調性的定義證明.
11.函數f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致圖象是（　　）
12.（多選）設偶函數f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上單調遞增，則下列說法正確的是（　　）
A.f（a＋1）＞f（b＋2） B.f（a＋1）＜f（b＋2）
C.f（1）＝0 D.f（1）＞0
13.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，BC平行于x軸，頂點A，B和C分別在函數y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的圖象上，則實數a＝　　　　.
14.已知函數y＝f（x）的圖象與g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的圖象關于x軸對稱，且g（x）的圖象過點（9，2）.
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（3x－1）＞f（－x＋5），求x的取值范圍.
15.已知函數f（x）＝lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1].
（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域為R，求實數a的取值范圍.
第2課時　對數函數圖象與性質的綜合應用
1.D　由于a＞0且a≠1，函數y＝ax與y＝logax互為反函數，因此其圖象關于直線y＝x對稱，前者的定義域和值域分別是后者的值域和定義域，兩函數在各自的定義域內增減性相同，故A、B、C正確，D錯誤.
2.B　∵y＝lox在（0，＋∞）上是減函數，∴當3≤x≤9時，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函數f（x）的值域是[－6，－3].
3.A　當a＞1時，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函數，所以f（x）是增函數；當0＜a＜1時，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是減函數，所以f（x）是增函數.故選A.
4.D　根據圖象可知，函數y＝m＋lognx（m，n是常數）是減函數，所以0＜n＜1；又當x＝1時，y＜0，即y＝m＋logn1＝m＜0.故選D.
5.ABC　因為函數y＝f（x）是函數y＝ax（a＞0且a≠1）的反函數，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga（2x）＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝loga（x）＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以選項A、B、C正確.
6.CD　當a＞1時，y＝a－x是減函數，圖象恒過點（0，1），y＝loga（－x）是減函數，定義域為（－∞，0），圖象恒過點（－1，0），C選項符合題意；當0＜a＜1時，y＝a－x是增函數，圖象恒過點（0，1），y＝loga（－x）是增函數，定義域為（－∞，0），圖象恒過點（－1，0），D選項符合題意.故選C、D.
7.[1，＋∞）　解析：f（x）的圖象如圖所示，由圖象可知單調遞增區間為[1，＋∞）.
8.4　解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上單調遞增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4.
9.　100　解析：當O＝2 700時，v＝log3＝log3＝log327＝（m/s）.一條魚靜止時，v＝0，則log3＝0，所以＝1，所以O＝100.
10.解：（1）函數f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0，
則f（1）＝lg ＝0.則＝1，解得a＝2.
（2）f（x）＝lg 在區間（0，＋∞）上單調遞減.
證明：設0＜x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝lg －lg ＝lg ＝lg（x2＋1）－lg（x1＋1），
因為0＜x1＜x2，所以lg（x2＋1）＞lg（x1＋1），所以f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），即函數f（x）在（0，＋∞）上單調遞減.
11.B　由f（x）的定義域為（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函數，由此知C、D錯誤.又當x＞1時，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）上單調遞增，所以B正確.故選B.
12.AC　由于函數f（x）＝loga｜x－b｜是偶函數，所以b＝0，又函數f（x）在（－∞，0）上單調遞增，所以f（x）在（0，＋∞）上單調遞減，則0＜a＜1，所以有1＜a＋1＜2.因為f（a＋1）＝loga｜a＋1｜，f（b＋2）＝loga2，所以f（a＋1）＞f（b＋2）.又f（x）＝loga｜x｜，所以f（1）＝0.故選A、C.
13.　解析：設B（x，2logax），∵BC平行于x軸，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2，∴正方形ABCD的邊長BC＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x軸，∴A（x，3logax），正方形ABCD的邊長AB＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.
14.解：（1）因為g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的圖象過點（9，2），
所以loga9＝2，解得a＝3，所以g（x）＝log3x.
又因為函數y＝f（x）的圖象與g（x）＝log3x的圖象關于x軸對稱，所以f（x）＝lox.
（2）因為f（3x－1）＞f（－x＋5），
即lo（3x－1）＞lo（－x＋5），
則解得＜x＜，
所以x的取值范圍為{x｜＜x＜}.
15.解：（1）函數f（x）＝lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1]的定義域為R，
即（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1＞0在R上恒成立.
當a2－1＝0時，得a＝1或a＝－1.
當a＝1時，顯然2x＋1＞0在R上不能恒成立，故舍去；
當a＝－1時，1＞0恒成立.
當a2－1≠0，即a≠±1時，
則解得a＞或a＜－1.
綜上可得，實數a的取值范圍是（－∞，－1]∪.
（2）設u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1.
因為f（x）的值域為R，所以u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1的函數值要取遍所有的正數，
即（0，＋∞）是u（x）值域的子集.
當a2－1＝0時，得a＝1或a＝－1.
當a＝1時，符合題意；當a＝－1時，不符合題意.
當a≠±1時，函數u（x）為二次函數，
即函數u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1的圖象與x軸有交點且開口向上，
則解得1＜a≤.
綜上可知，實數a的取值范圍是.
2 / 2第2課時　對數函數圖象與性質的綜合應用
題型一 與對數函數有關的圖象變換
【例1】　（1）（鏈接教科書第155頁例3）畫出函數y＝log2（x＋1）與y＝log2（x－1）的圖象，并指出這兩個函數的圖象與函數y＝log2x的圖象的關系；
（2）（鏈接教科書第156頁例4）已知f（x）＝loga｜x｜（a＞0，a≠1）滿足f（－5）＝1，試畫出函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間.
【母題探究】
　（變設問）若本例（2）條件不變，試畫出函數h（x）＝｜logax｜的圖象，并根據圖象寫出函數h（x）的單調區間.
通性通法
對數函數圖象的變換方法
（1）有關對數函數圖象的平移也符合“左加右減，上加下減”的規律；
（2）作y＝f（｜x｜）的圖象時，保留y＝f（x）（x≥0）圖象不變，當x＜0時，y＝f（｜x｜）的圖象與y＝f（x）（x＞0）的圖象關于y軸對稱；
（3）作y＝｜f（x）｜的圖象時，保留y＝f（x）的x軸及上方圖象不變，把x軸下方圖象以x軸為對稱軸翻折上去即可.
【跟蹤訓練】
1.函數f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）的圖象大致為（　　）
2.畫出函數y＝｜log2（x＋1）｜的圖象，并寫出函數的值域及單調區間.
題型二 反函數
【例2】　若函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y＝x對稱，函數f（x）＝（ ）－x，則f（2）＋g（4）＝（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
通性通法
反函數的性質
（1）同底數的指數函數與對數函數互為反函數；
（2）互為反函數的兩個函數的定義域與值域互換；
（3）互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y＝x對稱.
【跟蹤訓練】
若函數y＝f（x）是函數y＝2x的反函數，則f（f（2））＝（　　）
A.16 B.0
C.1 D.2
題型三 對數型函數的性質及應用
角度1　對數型函數的值域（最值）
【例3】　求下列函數的值域：
（1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]；
（2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）.
通性通法
求對數型函數值域（最值）的方法
　　對于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的復合函數，其值域（最值）的求解步驟如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）兩個函數；
（2）求f（x）的定義域；
（3）求u的取值范圍；
（4）利用y＝logau的單調性求解.
角度2　對數型函數的單調性
【例4】　（鏈接教科書第157頁練習3題）求函數f（x）＝lo（x2－2x－3）的單調區間.
通性通法
1.解決對數型復合函數的單調性問題的關鍵：一是看底數是大于1還是大于0小于1，當底數未明確給出時，則應對底數進行分類討論；二是運用復合函數的單調性法則來判斷其單調性；三是要注意其定義域.
2.對數型復合函數一般可分為兩類：一類是對數函數為外函數，即y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）型；另一類是對數函數為內函數，即y＝f（logax）（a＞0，且a≠1）型.
【跟蹤訓練】
1.（2024·泰州期末）函數f（x）＝ln（x2－4x＋5）的減區間為（　　）
A.（－∞，－1） B.（－∞，2）
C.（2，＋∞） D.（5，＋∞）
2.若函數f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和為a，則a＝（　　）
A. B.
C.2 D.4
題型四 對數函數模型的實際應用
【例5】　（鏈接教科書第164頁復習題8題）某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15%進行獎勵；當銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5（A＋1）進行獎勵.記獎金為y（單位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）.
（1）寫出獎金y關于銷售利潤x的解析式；
（2）如果業務員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？
通性通法
對數函數應用題的解題思路
（1）依題意，找出或建立對數增長型數學模型；
（2）依實際情況確定解析式中的參數；
（3）依題設及對數函數知識解決數學問題；
（4）得出結論.
【跟蹤訓練】
某種動物的數量y（單位：只）與時間x（單位：年）的函數關系式為y＝alog2（x＋1），若這種動物第1年有100只，則第7年它們的數量為（　　）
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
1.函數y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的圖象可能是（　　）
2.“每天進步一點點”可以用數學知識來詮釋，假如你今天的數學水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經過y天之后，你的數學水平x與y之間的函數關系式是（　　）
A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x
C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x
3.函數f（x）＝log5（2x＋1）的單調增區間是　　　　.
4.若函數y＝f（x）是函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函數，其圖象經過點（，），則a＝　　　　.
第2課時　對數函數圖象與性質的綜合應用
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）由函數y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度得到函數y＝log2（x＋1）的圖象，
由函數y＝log2x的圖象向右平移1個單位長度得到函數y＝log2（x－1）的圖象，
圖象如圖所示.
（2）因為f（－5）＝1，所以loga5＝1，即a＝5，所以f（x）＝log5｜x｜.
由于函數f（x）＝log5｜x｜滿足對任意的x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝log5｜－x｜＝log5｜x｜＝f（x），
所以函數f（x）＝log5｜x｜是偶函數，它的圖象關于y軸對稱.
當x＞0時，log5｜x｜＝log5x.因此，我們先畫出函數f（x）＝log5x（x＞0）的圖象C1，
再作出C1關于y軸對稱的圖象C2.C1和C2構成函數f（x）＝log5｜x｜的圖象，如圖所示.
由圖象可以知道，函數f（x）＝log5｜x｜的減區間是（－∞，0），增區間是（0，＋∞）.
母題探究
　解：因為a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x）的圖象如圖所示.
由圖象可以知道，函數h（x）＝｜log5x｜的減區間是（0，1），增區間是（1，＋∞）.
跟蹤訓練
1.C　因為函數f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）是偶函數，所以f（x）的圖象關于y軸對稱，當x＞0時，f（x）＝logax＋1是增函數；當x＜0時，f（x）＝loga（－x）＋1是減函數，又因為圖象過（1，1），（－1，1）兩點，結合選項可知C正確.故選C.
2.解：函數y＝｜log2（x＋1）｜的圖象如圖所示.由圖象知，其值域為[0，＋∞），減區間是（－1，0]，增區間是[0，＋∞）.
【例2】　D　因為函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y＝x對稱，f（x）＝（ ）－x＝2x，所以g（x）＝log2x，所以f（2）＋g（4）＝22＋log24＝6.
跟蹤訓練
　B　函數y＝2x的反函數是y＝log2x，即f（x）＝log2x.所以f（f（2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.故選B.
【例3】　解：（1）∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33＝1.
∴函數y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1].
（2）∵f（x）＝log2·log2
＝（log2x－2）·（log2x－1）
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴當log2x＝，即x＝＝2時，f（x）取最小值－；
當log2x＝0，即x＝1時，f（x）取得最大值2，
∴函數f（x）的值域是.
【例4】　解：設t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，
由于t＝（x－1）2－4在（3，＋∞）上單調遞增，在（－∞，－1）上單調遞減，
又y＝lot在定義域內是減函數，
因而函數f（x）＝lo（x2－2x－3）的單調遞增區間為（－∞，－1），單調遞減區間為（3，＋∞）.
跟蹤訓練
1.B　由題意y＝ln t在定義域內是增函數，若要f（x）＝ln（x2－4x＋5）單調遞減，只需t＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1＞0關于x單調遞減，所以函數f（x）＝ln（x2－4x＋5）的減區間為（－∞，2）.故選B.
2.B　由題意得f（x）在[0，1]上單調遞增或單調遞減，∴f（x）的最大值或最小值在端點處取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝.
【例5】　解：（1）由題意知y＝
（2）由題意知1.5＋2log5（x－9）＝5.5，
即log5（x－9）＝2，
所以x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的銷售利潤是34萬元.
跟蹤訓練
　A　由題意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，則當x＝7時，y＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故選A.
隨堂檢測
1.A　函數y＝loga（x－1）的圖象是由y＝logax的圖象向右平移1個單位長度得到的，因為0＜a＜1，所以y＝loga（x－1）在（1，＋∞）上單調遞減，故A圖象符合.故選A.
2.B　由題意得x＝（1＋5‰）y＝1.005y，化為對數函數得y＝log1.005x.
3.　解析：因為y＝log5x與y＝2x＋1均為增函數，故函數f（x）＝log5（2x＋1）是其定義域上的增函數，所以函數f（x）的單調增區間是.
4.　解析：由題意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因為f（x）的圖象過點（，），所以loga＝，所以＝，所以a2＝2，所以a＝（負值舍去）.
3 / 3(共54張PPT)
第2課時　
對數函數圖象與性質的綜合應用
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 與對數函數有關的圖象變換
【例1】　（1）（鏈接教科書第155頁例3）畫出函數 y ＝log2（ x ＋
1）與 y ＝log2（ x －1）的圖象，并指出這兩個函數的圖象與函數 y ＝
log2 x 的圖象的關系；
解：由函數 y ＝log2 x 的圖象向左平移1個單位長度得到函數 y ＝log2
（ x ＋1）的圖象，
由函數 y ＝log2 x 的圖象向右平移1個單位長度得到函數 y ＝log2（ x －
1）的圖象，
圖象如圖所示.
（2）（鏈接教科書第156頁例4）已知 f （ x ）＝log a ｜ x ｜（ a ＞0， a
≠1）滿足 f （－5）＝1，試畫出函數 f （ x ）的圖象，并根據圖
象寫出函數 f （ x ）的單調區間.
解：因為 f （－5）＝1，所以log a 5＝1，即 a ＝5，所以 f （ x ）＝log5｜ x ｜.
由于函數 f （ x ）＝log5｜ x ｜滿足對任意的 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有 f （－x ）＝log5｜－ x ｜＝log5｜ x ｜＝ f （ x ），所以函數 f （ x ）＝log5｜ x ｜是偶函數，它的圖象關于 y 軸對稱.
當 x ＞0時，log5｜ x ｜＝log5 x .因此，我們先畫出函數 f （ x ）＝log5 x （ x ＞0）的圖象 C1，
再作出 C1關于 y 軸對稱的圖象 C2. C1和 C2構成函數 f （ x ）＝log5｜ x ｜的圖象，如圖所示.
由圖象可以知道，函數 f （ x ）＝log5｜ x ｜
的減區間是（－∞，0），增區間是（0，
＋∞）.
【母題探究】
（變設問）若本例（2）條件不變，試畫出函數 h （ x ）＝｜log ax ｜的
圖象，并根據圖象寫出函數 h （ x ）的單調區間.
解：因為 a ＝5，所以 h （ x ）＝｜log5 x ｜. h （ x ）的
圖象如圖所示.
由圖象可以知道，函數 h （ x ）＝｜log5 x ｜的減區間
是（0，1），增區間是（1，＋∞）.
通性通法
對數函數圖象的變換方法
（1）有關對數函數圖象的平移也符合“左加右減，上加下減”的
規律；
（2）作 y ＝ f （｜ x ｜）的圖象時，保留 y ＝ f （ x ）（ x ≥0）圖象不
變，當 x ＜0時， y ＝ f （｜ x ｜）的圖象與 y ＝ f （ x ）（ x ＞0）
的圖象關于 y 軸對稱；
（3）作 y ＝｜ f （ x ）｜的圖象時，保留 y ＝ f （ x ）的 x 軸及上方圖象
不變，把 x 軸下方圖象以 x 軸為對稱軸翻折上去即可.
【跟蹤訓練】
1. 函數 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）的圖象大致為（　　）
解析： 　因為函數 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）是偶函
數，所以 f （ x ）的圖象關于 y 軸對稱，當 x ＞0時， f （ x ）＝
log ax ＋1是增函數；當 x ＜0時， f （ x ）＝log a （－ x ）＋1是
減函數，又因為圖象過（1，1），（－1，1）兩點，結合選項
可知C正確.故選C.
2. 畫出函數 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的圖象，并寫出函數的值域及單調
區間.
解：函數 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的圖象如圖所示.由
圖象知，其值域為[0，＋∞），減區間是（－1，
0]，增區間是[0，＋∞）.
題型二 反函數
【例2】　若函數 f （ x ）與 g （ x ）的圖象關于直線 y ＝ x 對稱，函數 f
（ x ）＝（ ）－ x ，則 f （2）＋ g （4）＝（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析： 　因為函數 f （ x ）與 g （ x ）的圖象關于直線 y ＝ x 對稱， f
（ x ）＝（ ）－ x ＝2 x ，所以 g （ x ）＝log2 x ，所以 f （2）＋ g （4）
＝22＋log24＝6.
通性通法
反函數的性質
（1）同底數的指數函數與對數函數互為反函數；
（2）互為反函數的兩個函數的定義域與值域互換；
（3）互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 y ＝ x 對稱.
【跟蹤訓練】
若函數 y ＝ f （ x ）是函數 y ＝2 x 的反函數，則 f （ f （2））＝（　　）
A. 16 B. 0 C. 1 D. 2
解析： 　函數 y ＝2 x 的反函數是 y ＝log2 x ，即 f （ x ）＝log2 x .所以 f
（ f （2））＝ f （log22）＝ f （1）＝log21＝0.故選B.
題型三 對數型函數的性質及應用
角度1　對數型函數的值域（最值）
【例3】　求下列函數的值域：
（1） y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]；
解：∵1≤ x ≤2，∴1≤2 x －1≤3，∴0＝log31≤log3（2 x －1）
≤log33＝1.
∴函數 y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]的值域是[0，1].
（2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）.
解：∵ f （ x ）＝log2 ·log2
＝（log2 x －2）·（log2 x －1）
＝ － ，
又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2，
∴當log2 x ＝ ，即 x ＝ ＝2 時， f （ x ）取最小值－ ；
當log2 x ＝0，即 x ＝1時， f （ x ）取得最大值2，
∴函數 f （ x ）的值域是 .
通性通法
求對數型函數值域（最值）的方法
　　對于形如 y ＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的復合函數，其值域
（最值）的求解步驟如下：
（1）分解成 y ＝log au ， u ＝ f （ x ）兩個函數；
（2）求 f （ x ）的定義域；
（3）求 u 的取值范圍；
（4）利用 y ＝log au 的單調性求解.
角度2　對數型函數的單調性
【例4】　（鏈接教科書第157頁練習3題）求函數 f （ x ）＝lo （ x2
－2 x －3）的單調區間.
解：設 t ＝ x2－2 x －3＞0，得 x ＞3或 x ＜－1，
由于 t ＝（ x －1）2－4在（3，＋∞）上單調遞增，在（－∞，－1）
上單調遞減，
又 y ＝lo t 在定義域內是減函數，
因而函數 f （ x ）＝lo （ x2－2 x －3）的單調遞增區間為（－∞，－
1），單調遞減區間為（3，＋∞）.
通性通法
1. 解決對數型復合函數的單調性問題的關鍵：一是看底數是大于1還
是大于0小于1，當底數未明確給出時，則應對底數進行分類討論；
二是運用復合函數的單調性法則來判斷其單調性；三是要注意其定
義域.
2. 對數型復合函數一般可分為兩類：一類是對數函數為外函數，即 y
＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）型；另一類是對數函數為內函
數，即 y ＝ f （log ax ）（ a ＞0，且 a ≠1）型.
【跟蹤訓練】
1. （2024·泰州期末）函數 f （ x ）＝ln（ x2－4 x ＋5）的減區間為
（　　）
A. （－∞，－1） B. （－∞，2）
C. （2，＋∞） D. （5，＋∞）
解析： 　由題意 y ＝ln t 在定義域內是增函數，若要 f （ x ）＝ln
（ x2－4 x ＋5）單調遞減，只需 t ＝ x2－4 x ＋5＝（ x －2）2＋1＞0
關于 x 單調遞減，所以函數 f （ x ）＝ln（ x2－4 x ＋5）的減區間為
（－∞，2）.故選B.
2. 若函數 f （ x ）＝ ax ＋log a （ x ＋1）在[0，1]上的最大值和最小值
之和為 a ，則 a ＝（　　）
A. B. C. 2 D. 4
解析： 　由題意得 f （ x ）在[0，1]上單調遞增或單調遞減，∴ f
（ x ）的最大值或最小值在端點處取得，即 f （0）＋ f （1）＝ a ，
即1＋ a ＋log a 2＝ a ，∴log a 2＝－1，解得 a ＝ .
題型四 對數函數模型的實際應用
【例5】　（鏈接教科書第164頁復習題8題）某公司制定了一個激勵
銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的
15%進行獎勵；當銷售利潤超過10萬元時，若超出 A 萬元，則超出部
分按2log5（ A ＋1）進行獎勵.記獎金為 y （單位：萬元），銷售利潤
為 x （單位：萬元）.
（1）寫出獎金 y 關于銷售利潤 x 的解析式；
解：由題意知 y ＝
（2）如果業務員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少
萬元？
解：由題意知1.5＋2log5（ x －9）＝5.5，
即log5（ x －9）＝2，
所以 x －9＝52，解得 x ＝34.
所以老江的銷售利潤是34萬元.
通性通法
對數函數應用題的解題思路
（1）依題意，找出或建立對數增長型數學模型；
（2）依實際情況確定解析式中的參數；
（3）依題設及對數函數知識解決數學問題；
（4）得出結論.
【跟蹤訓練】
某種動物的數量 y （單位：只）與時間 x （單位：年）的函數關系式
為 y ＝ a log2（ x ＋1），若這種動物第1年有100只，則第7年它們的數
量為（　　）
A. 300只 B. 400只
C. 500只 D. 600只
解析： 　由題意，知100＝ a log2（1＋1），得 a ＝100，則當 x ＝7
時， y ＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故選A.
1. 函數 y ＝log a （ x －1）（0＜ a ＜1）的圖象可能是（　　）
解析： 　函數 y ＝log a （ x －1）的圖象是由 y ＝log ax 的圖象向右
平移1個單位長度得到的，因為0＜ a ＜1，所以 y ＝log a （ x －1）在
（1，＋∞）上單調遞減，故A圖象符合.故選A.
2. “每天進步一點點”可以用數學知識來詮釋，假如你今天的數學水
平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經過 y 天之后，你的
數學水平 x 與 y 之間的函數關系式是（　　）
A. y ＝log1.05 x B. y ＝log1.005 x
C. y ＝log0.95 x D. y ＝log0.995 x
解析： 　由題意得 x ＝（1＋5‰） y ＝1.005 y ，化為對數函數得 y
＝log1.005 x .
3. 函數 f （ x ）＝log5（2 x ＋1）的單調增區間是 .
解析：因為 y ＝log5 x 與 y ＝2 x ＋1均為增函數，故函數 f （ x ）＝
log5（2 x ＋1）是其定義域上的增函數，所以函數 f （ x ）的單調增
區間是 .
　
4. 若函數 y ＝ f （ x ）是函數 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函數，其
圖象經過點（ ， ），則 a ＝ 　 　.
解析：由題意得 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1， x ＞0），因為 f
（ x ）的圖象過點（ ， ），所以log a ＝ ，所以 ＝ ，
所以 a2＝2，所以 a ＝ （負值舍去）.
　
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知函數 y ＝ ax 與 y ＝log ax ，其中 a ＞0且 a ≠1，下列說法錯誤的
是（　　）
A. 兩者的圖象關于直線 y ＝ x 對稱
B. 前者的定義域、值域分別是后者的值域、定義域
C. 兩函數在各自的定義域內增減性相同
D. y ＝ ax 的圖象經過平行移動可得到 y ＝log ax 的圖象
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由于 a ＞0且 a ≠1，函數 y ＝ ax 與 y ＝log ax 互為反函數，
因此其圖象關于直線 y ＝ x 對稱，前者的定義域和值域分別是后者
的值域和定義域，兩函數在各自的定義域內增減性相同，故A、
B、C正確，D錯誤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知函數 f （ x ）＝3lo x 的定義域為[3，9]，則函數 f （ x ）的值
域是（　　）
A. （－∞，－6] B. [－6，－3]
C. [－3，0） D. （0，＋∞）
解析： 　∵ y ＝lo x 在（0，＋∞）上是減函數，∴當3≤ x ≤9
時，lo 9≤lo x ≤lo 3，即－2≤lo x ≤－1，∴－6≤3lo x
≤－3，∴函數 f （ x ）的值域是[－6，－3].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 函數 f （ x ）＝log a [（ a －1） x ＋1]在定義域上（　　）
A. 是增函數 B. 是減函數
C. 先增后減 D. 先減后增
解析： 　當 a ＞1時， y ＝log at 和 t ＝（ a －1） x ＋1都是增函數，
所以 f （ x ）是增函數；當0＜ a ＜1時， y ＝log at 和 t ＝（ a －1） x
＋1都是減函數，所以 f （ x ）是增函數.故選A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 如圖為函數 y ＝ m ＋log nx 的圖象，其中 m ， n 為常數，則下列結論
正確的是（　　）
A. m ＜0， n ＞1
B. m ＞0， n ＞1
C. m ＞0，0＜ n ＜1
D. m ＜0，0＜ n ＜1
解析： 根據圖象可知，函數 y ＝ m ＋log nx （ m ， n 是常數）是
減函數，所以0＜ n ＜1；又當 x ＝1時， y ＜0，即 y ＝ m ＋log n 1＝ m
＜0.故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多選）函數 y ＝ f （ x ）是函數 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的反函
數，則下列結論正確的是（　　）
A. f （ x2）＝2 f （ x ）
B. f （2 x ）＝ f （ x ）＋ f （2）
C. f ＝ f （ x ）－ f （2）
D. f （2 x ）＝2 f （ x ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　因為函數 y ＝ f （ x ）是函數 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）
的反函數，所以 f （ x ）＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）.所以 f （ x2）＝
log ax2＝2log ax ＝2 f （ x ）， f （2 x ）＝log a （2 x ）＝log a 2＋log ax
＝ f （ x ）＋ f （2）， f ＝log a （ x ）＝log ax －log a 2＝ f （ x ）
－ f （2）.所以選項A、B、C正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多選）已知 a ＞0，且 a ≠1，則函數 y ＝ a－ x 與 y ＝log a （－ x ）
的圖象可能是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　當 a ＞1時， y ＝ a－ x 是減函數，圖象恒過點（0，
1）， y ＝log a （－ x ）是減函數，定義域為（－∞，0），圖象
恒過點（－1，0），C選項符合題意；當0＜ a ＜1時， y ＝ a－ x
是增函數，圖象恒過點（0，1）， y ＝log a （－ x ）是增函數，
定義域為（－∞，0），圖象恒過點（－1，0），D選項符合題
意.故選C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 函數 f （ x ）＝｜lo x ｜的單調遞增區間是 .
解析： f （ x ）的圖象如圖所示，由圖象可知單調遞增區間為[1，
＋∞）.
[1，＋∞）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 設 a ＞1，函數 f （ x ）＝log ax 在區間[ a ，2 a ]上的最大值與最小值
之差為 ，則 a ＝ .
解析：∵ a ＞1，∴ f （ x ）＝log ax 在[ a ，2 a ]上單調遞增，∴log a
（2 a ）－log aa ＝ ，即log a 2＝ ，∴ ＝2， a ＝4.
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產地產卵.研究鮭魚的科學家
發現鮭魚的游速可以表示為函數 v ＝ log3 ，單位是m/s，其中 O
表示魚的耗氧量的單位數.當一條魚的耗氧量是2 700個單位時，它
的游速是 m/s；一條魚靜止時耗氧量的單位數為 .
解析：當 O ＝2 700時， v ＝ log3 ＝ log3 ＝ log327＝
（m/s）.一條魚靜止時， v ＝0，則 log3 ＝0，所以 ＝1，所
以 O ＝100.
　
100　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 設函數 f （ x ）＝lg （ a ∈R），且 f （1）＝0.
（1）求 a 的值；
解： 函數 f （ x ）＝lg （ a ∈R），且 f （1）＝0，
則 f （1）＝lg ＝0.則 ＝1，解得 a ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）判斷 f （ x ）在區間（0，＋∞）上的單調性，并用單調性的
定義證明.
解： f （ x ）＝lg 在區間（0，＋∞）上單調遞減.
證明：設0＜ x1＜ x2， f （ x1）－ f （ x2）＝lg －lg ＝
lg ＝lg（ x2＋1）－lg（ x1＋1），
因為0＜ x1＜ x2，所以lg（ x2＋1）＞lg（ x1＋1），所以 f
（ x1）－ f （ x2）＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2），即函數 f （ x ）在（0，＋∞）上單調
遞減.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 函數 f （ x ）＝lg（｜ x ｜－1）的大致圖象是（　　）
解析： 　由 f （ x ）的定義域為（－∞，－1）∪（1，＋∞），
且 f （－ x ）＝lg（｜－ x ｜－1）＝lg（｜ x ｜－1）＝ f （ x ），得
f （ x ）是偶函數，由此知C、D錯誤.又當 x ＞1時， f （ x ）＝lg
（ x －1）在（1，＋∞）上單調遞增，所以B正確.故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多選）設偶函數 f （ x ）＝log a ｜ x － b ｜在（－∞，0）上單調
遞增，則下列說法正確的是（　　）
A. f （ a ＋1）＞ f （ b ＋2）
B. f （ a ＋1）＜ f （ b ＋2）
C. f （1）＝0
D. f （1）＞0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由于函數 f （ x ）＝log a ｜ x － b ｜是偶函數，所
以 b ＝0，又函數 f （ x ）在（－∞，0）上單調遞增，所以 f
（ x ）在（0，＋∞）上單調遞減，則0＜ a ＜1，所以有1＜ a
＋1＜2.因為 f （ a ＋1）＝log a ｜ a ＋1｜， f （ b ＋2）＝log a
2，所以 f （ a ＋1）＞ f （ b ＋2）.又 f （ x ）＝log a ｜ x ｜，
所以 f （1）＝0.故選A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為2， BC 平行于 x 軸，頂點 A ， B
和 C 分別在函數 y1＝3log ax ， y2＝2log ax 和 y ＝log ax （ a ＞1）的圖
象上，則實數 a ＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：設 B （ x ，2log ax ），∵ BC 平行于 x 軸，∴ C （x'，2log
ax ），即log a x'＝2log ax ，∴x'＝ x2，∴正方形 ABCD 的邊長 BC ＝
x2－ x ＝2，解得 x ＝2.由已知得 AB 垂直于 x 軸，∴ A （ x ，3log
ax ），正方形 ABCD 的邊長 AB ＝3log ax －2log ax ＝log ax ＝2，即
log a 2＝2，∴ a ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知函數 y ＝ f （ x ）的圖象與 g （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1）的
圖象關于 x 軸對稱，且 g （ x ）的圖象過點（9，2）.
（1）求函數 f （ x ）的解析式；
解： 因為 g （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1）的圖象過點
（9，2），
所以log a 9＝2，解得 a ＝3，所以 g （ x ）＝log3 x .
又因為函數 y ＝ f （ x ）的圖象與 g （ x ）＝log3 x 的圖象關于
x 軸對稱，所以 f （ x ）＝lo x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若 f （3 x －1）＞ f （－ x ＋5），求 x 的取值范圍.
解： 因為 f （3 x －1）＞ f （－ x ＋5），
即lo （3 x －1）＞lo （－ x ＋5），
則解得 ＜ x ＜ ，
所以 x 的取值范圍為 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知函數 f （ x ）＝lg[（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1].
（1）若 f （ x ）的定義域為R，求實數 a 的取值范圍；
解： 函數 f （ x ）＝lg[（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1]的定義域為R，
即（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1＞0在R上恒成立.
當 a2－1＝0時，得 a ＝1或 a ＝－1.
當 a ＝1時，顯然2 x ＋1＞0在R上不能恒成立，故舍去；當 a ＝－1時，1＞0恒成立.
當 a2－1≠0，即 a ≠±1時，
則解得 a ＞ 或 a
＜－1.
綜上可得，實數 a 的取值范圍是（－∞，－1]∪ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若 f （ x ）的值域為R，求實數 a 的取值范圍.
解： 設 u （ x ）＝（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1.
因為 f （ x ）的值域為R，所以 u （ x ）＝（ a2－1） x2＋（ a
＋1） x ＋1的函數值要取遍所有的正數，
即（0，＋∞）是 u （ x ）值域的子集.
當 a2－1＝0時，得 a ＝1或 a ＝－1.
當 a ＝1時，符合題意；當 a ＝－1時，不符合題意.
當 a ≠±1時，函數 u （ x ）為二次函數，
即函數 u （ x ）＝（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1的圖象與 x 軸
有交點且開口向上，
則解得1＜ a ≤ .
綜上可知，實數 a 的取值范圍是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑