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章末檢測(cè)（六）　冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
（時(shí)間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋ā　。?br/>A.（－∞，2） B.（2，＋∞）
C.（2，3）∪（3，＋∞） D.（2，4）∪（4，＋∞）
2.函數(shù)y＝（的值域是（　?。?br/>A.（1，＋∞） B.（0，1]
C.[1，＋∞） D.（0，1）
3.函數(shù)y＝ln（－x2＋2x＋3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。?br/>A.（－1，1） B.（－∞，1）
C.（1，3） D.（1，＋∞）
4.設(shè)a＝（ ，b＝（ ，c＝（ ，則a，b，c的大小關(guān)系是（　?。?br/>A.a＞c＞b B.a＞b＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
5.設(shè)函數(shù)f（x）＝若f（3）＝a，則f（a－2）＝（　?。?br/>A.1 B.2
C. D.
6.設(shè)函數(shù)f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的圖象過點(diǎn)（0，0），其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，2），則a＋b＝（　　）
A.6 B.5
C.4 D.3
7.函數(shù)f（x）＝loga｜x｜＋1（0＜a＜1）的圖象大致為（　　）
8.已知函數(shù)f（x）＝若f（2＋a2）＜f（6a－3），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br/>A.（1，5）
B.（－∞，1）∪（5，＋∞）
C.（2，3）
D.（－∞，2）∪（3，＋∞）
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（　?。?br/>A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝x｜x｜
10.若loga2＜logb2，則下列結(jié)論可能成立的是（　?。?br/>A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1 D.0＜a＜1＜b
11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函數(shù)f（x）＝－，則關(guān)于函數(shù)g（x）＝[f（x）]的敘述中正確的是（　　）
A.g（x）是偶函數(shù)
B.f（x）是奇函數(shù)
C.f（x）在R上是增函數(shù)
D.g（x）的值域是{－1，0，1}
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知函數(shù)y＝ax－2＋3（a＞0且a≠1）過定點(diǎn)P，且P點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（3）＝　　　　.
13.已知函數(shù)f（x）滿足以下三個(gè)條件①f（2）＝－1，②在定義域（0，＋∞）上是減函數(shù)，③f（xy）＝f（x）＋f（y），請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)符合上述三個(gè)條件的函數(shù)f（x）的解析式為　　　　　.
14.已知函數(shù)f（x）＝x＋－2，若不等式f（2x）－k·2x≥0在區(qū)間[－1，1]上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1為偶函數(shù).
（1）求冪函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）－2a·x在[2，4]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f（x）＝＋的定義域?yàn)锳.
（1）求集合A；
（2）若函數(shù)g（x）＝（log2x）2－2log2x－1，且x∈A，求函數(shù)g（x）的最大值、最小值和對(duì)應(yīng)的x值.
17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f（x）＝a｜x＋b｜（a＞0，a≠1，b∈R）.
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，試求a，b應(yīng)滿足的條件.
18.（本小題滿分17分）某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.
當(dāng)t∈（0，14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14，45]時(shí)，曲線是函數(shù)y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時(shí)聽課效果最佳.
（1）試求p＝f（t）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）老師在什么時(shí)段內(nèi)講解核心內(nèi)容能使學(xué)生聽課效果最佳？請(qǐng)說明理由.
19.（本小題滿分17分）定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），如果滿足： x∈D，存在常數(shù)M＞0，使得｜f（x）｜≤M，則稱f（x）是D上的“有界函數(shù)”，其中M稱為f（x）的一個(gè)“上界”.已知函數(shù)f（x）＝1＋a·（）x＋（）x.
（1）若a＝0，g（x）＝f（x）－3，試判斷函數(shù)g（x）在[－1，0]上是否為有界函數(shù)，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，＋∞）上是以7為一個(gè)“上界”的“有界函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
章末檢測(cè)（六）　冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
1.C　根據(jù)題意得解得x＞2且x≠3，故選C.
2.B　易知函數(shù)y＝（是減函數(shù)，∵≥0，∴y≤（）0＝1，又y＞0，∴y∈（0，1]，故選B.
3.A　令－x2＋2x＋3＞0，即x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?，3），由函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的對(duì)稱軸為1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)y＝ln（－x2＋2x＋3）的單調(diào)增區(qū)間（－1，1）.故選A.
4.A　∵函數(shù)y＝（ ）x是減函數(shù)，∴c＞b；又函數(shù)y＝在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故a＞c.故選A.
5.C　由題意f（3）＝log23＝a，因log23－2＝log23－log24＜0，所以f（a－2）＝f（log23－2）＝＝×2－2＝.故選C.
6.C　函數(shù)f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的圖象過點(diǎn)（0，0），其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，2），則即解得則a＋b＝4.
7.A　由函數(shù)f（x）的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.設(shè)g（x）＝loga｜x｜，先畫出x＞0時(shí)，g（x）的圖象，然后根據(jù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱畫出x＜0時(shí)g（x）的圖象，最后由函數(shù)g（x）的圖象向上整體平移一個(gè)單位即得f（x）的圖象，結(jié)合圖象知選A.
8.B　當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝2－x＝（ ）x，所以f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝－log2x，所以f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減；又2－1＞－log21，所以f（x）在R上是減函數(shù).因?yàn)閒（2＋a2）＜f（6a－3），所以2＋a2＞6a－3，即a2－6a＋5＞0，解得a＞5或a＜1.故選B.
9.AD　A中，y＝x3＋x為奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，與題意相符；B中，y＝log2x為非奇非偶函數(shù)，與題意不符；C中，y＝2x2－3為偶函數(shù)，與題意不符；D中，y＝x｜x｜是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x2在（0，＋∞）單調(diào)遞增，與題意相符.
10.BCD　若loga2與logb2同號(hào)，則由loga2＜logb2得log2b＜log2a，∴b＜a.當(dāng)loga2與logb2同為正時(shí)，1＜b＜a，故C正確；當(dāng)loga2與logb2同為負(fù)時(shí)，0＜b＜a＜1，故B正確；若loga2＜0＜logb2，則0＜a＜1，且b＞1，∴D正確.
11.BC　∵g（1）＝[f（1）]＝［－］＝0，g（－1）＝[f（－1）]＝［－］＝－1，∴g（－1）≠g（1），則g（x）不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；∵f（x）＝－的定義域?yàn)镽，f（－x）＋f（x）＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，∴f（x）為奇函數(shù)，故B正確；∵f（x）＝－＝－＝－，又y＝2x在R上是增函數(shù)，∴f（x）＝－在R上是增函數(shù)，故C正確；∵2x＞0，∴1＋2x＞1，則0＜＜1，可得－＜－＜.即－＜f（x）＜，∴g（x）＝[f（x）]∈{－1，0}，故D錯(cuò)誤.
12.9　解析：由y＝ax－2＋3知：函數(shù)過定點(diǎn)（2，4），設(shè)f（x）＝xn，則2n＝4，即n＝2，∴f（x）＝x2，故f（3）＝9.
13.f（x）＝lox（答案不唯一）　解析：由f（xy）＝f（x）＋f（y）可考慮對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）＝logax，又因?yàn)閒（x）在定義域（0，＋∞）上是減函數(shù)，所以f（x）＝logax的底數(shù)a∈（0，1），又因?yàn)閒（2）＝－1，所以a＝，所以f（x）＝lox.
14.（－∞，0]　解析：由f（x）＝x＋－2，所以f（2x）－k·2x≥0可化為1＋（）2－≥k.令t＝，則k≤t2－2t＋1，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈［，2］，所以k≤（t2－2t＋1）min＝0，即k的取值范圍是（－∞，0].
15.解：（1）依題意有：m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則m＝1，所以f（x）＝x2.
（2）g（x）＝x2－2a·x，對(duì)稱軸為x＝－＝，
又g（x）在[2，4]上單調(diào)，所以≤2或≥4，所以a≤2或a≥3.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－∞，2]∪[4，＋∞）.
16.解：（1）要使f（x）有意義，需滿足所以所以≤x≤4，所以集合A＝x｜≤x≤4.
（2）設(shè)t＝log2x，因?yàn)閤∈［，4］，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因?yàn)閥＝t2－2t－1＝（t－1）2－2的對(duì)稱軸為t＝1∈[－1，2]，
所以當(dāng)t＝1時(shí)，y有最小值－2，
當(dāng)t＝－1時(shí)，y有最大值2.
綜上可得，當(dāng)x＝2時(shí)，g（x）的最小值為－2，
當(dāng)x＝時(shí)，g（x）的最大值為2.
17.解：（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以對(duì)任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x），
即a｜x＋b｜＝，｜x＋b｜＝｜－x＋b｜，解得b＝0.
（2）記h（x）＝｜x＋b｜＝
①當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，
即h（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，所以－b≤2，b≥－2；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，即h（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞減，但h（x）在區(qū)間[－b，＋∞）上單調(diào)遞增，故不存在a，b，使f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增.
所以f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增時(shí)，a，b應(yīng)滿足的條件為a＞1且b≥－2.
18.解：（1）由題意知，當(dāng)t∈（0，14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（12，82），且曲線過點(diǎn)（14，81），則可得f（t）＝－（t－12）2＋82，t∈（0，14]，
又當(dāng)t∈[14，45]時(shí)，曲線是函數(shù)y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）圖象的一部分，且曲線過點(diǎn)（14，81），則易得a＝，
則f（t）＝lo（t－5）＋83，t∈[14，45].
則p＝f（t）＝
（2）由題意知，注意力指數(shù)p大于80時(shí)聽課效果最佳，
當(dāng)t∈（0，14]時(shí)，令f（t）＝－（t－12）2＋82＞80，
解得12－2＜t≤14.
當(dāng)t∈[14，45]時(shí)，令f（t）＝lo（t－5）＋83＞80，
解得14≤t＜32.
綜上可得，12－2＜t＜32.
故老師在（12－2，32）這一時(shí)間段內(nèi)講解核心內(nèi)容，學(xué)生聽課效果最佳.
19.解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝（）x＋1，
又x∈[－1，0]，所以（）x∈[1，4]，
于是g（x）＝（）x－2∈[－1，2]，
所以｜g（x）｜≤2，g（x）是“有界函數(shù)”，2為它的一個(gè)“上界”.
（2）｜f（x）｜＝｜1＋a·（）x＋（）x｜≤7對(duì)x∈[0，＋∞）恒成立.
令（）x＝t，t∈（0，1]，則h（t）＝t2＋at＋1，
于是｜h（t）｜＝｜t2＋at＋1｜≤7對(duì)t∈（0，1]恒成立，
即－7≤t2＋at＋1≤7對(duì)t∈（0，1]恒成立，
即－t－≤a≤－t＋對(duì)t∈（0，1]恒成立，
即（－t－）max≤a≤（－t＋）min，
而（－t－）max＝－9，（－t＋）min＝5，
所以－9≤a≤5.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－9，5].
2 / 3(共34張PPT)
章末檢測(cè)（六）　
冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
（時(shí)間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 函數(shù) y ＝ 的定義域?yàn)椋ā　。?br/>A. （－∞，2）
B. （2，＋∞）
C. （2，3）∪（3，＋∞）
D. （2，4）∪（4，＋∞）
解析： 　根據(jù)題意得解得 x ＞2且 x ≠3，故
選C.
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2. 函數(shù) y ＝（ 的值域是（　　）
A. （1，＋∞） B. （0，1]
C. [1，＋∞） D. （0，1）
解析： 　易知函數(shù) y ＝（ 是減函數(shù)，∵ ≥0，∴ y
≤（ ）0＝1，又 y ＞0，∴ y ∈（0，1]，故選B.
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3. 函數(shù) y ＝ln（－ x2＋2 x ＋3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）
A. （－1，1） B. （－∞，1）
C. （1，3） D. （1，＋∞）
解析： 　令－ x2＋2 x ＋3＞0，即 x2－2 x －3＜0，解得－1＜ x ＜
3，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?，3），由函數(shù) y ＝－ x2＋2 x ＋3的對(duì)
稱軸為1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù) y ＝ln（－
x2＋2 x ＋3）的單調(diào)增區(qū)間（－1，1）.故選A.
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4. 設(shè) a ＝（ ， b ＝（ ， c ＝（ ，則 a ， b ， c 的大小關(guān)
系是（　　）
A. a ＞ c ＞ b B. a ＞ b ＞ c
C. c ＞ a ＞ b D. b ＞ c ＞ a
解析： 　∵函數(shù) y ＝（ ） x 是減函數(shù)，∴ c ＞ b ；又函數(shù) y ＝ 在
（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故 a ＞ c .故選A.
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5. 設(shè)函數(shù) f （ x ）＝若 f （3）＝ a ，則 f （ a －2）＝
（　?。?br/>A. 1 B. 2 C. D.
解析： 　由題意 f （3）＝log23＝ a ，因log23－2＝log23－log24＜
0，所以 f （ a －2）＝ f （log23－2）＝ ＝ ×2－2＝ .
故選C.
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6. 設(shè)函數(shù) f （ x ）＝log a （ x ＋ b ）（ a ＞0，且 a ≠1）的圖象過點(diǎn)
（0，0），其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，2），則 a ＋ b ＝（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
解析： 　函數(shù) f （ x ）＝log a （ x ＋ b ）（ a ＞0，且 a ≠1）的圖象
過點(diǎn)（0，0），其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，2），則
即解得則 a ＋ b ＝4.
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7. 函數(shù) f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（0＜ a ＜1）的圖象大致為（　　）
解析： 　由函數(shù) f （ x ）的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)
于 y 軸對(duì)稱.設(shè) g （ x ）＝log a ｜ x ｜，先畫出 x ＞0時(shí)， g （ x ）的圖
象，然后根據(jù) g （ x ）的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱畫出 x ＜0時(shí) g （ x ）的圖
象，最后由函數(shù) g （ x ）的圖象向上整體平移一個(gè)單位即得 f （ x ）
的圖象，結(jié)合圖象知選A.
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8. 已知函數(shù) f （ x ）＝若 f （2＋ a2）＜ f （6 a －
3），則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（　　）
A. （1，5） B. （－∞，1）∪（5，＋∞）
C. （2，3） D. （－∞，2）∪（3，＋∞）
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解析： 　當(dāng) x ＜1時(shí)， f （ x ）＝2－ x ＝（ ） x ，所以 f （ x ）在
（－∞，1）上單調(diào)遞減；當(dāng) x ≥1時(shí)， f （ x ）＝－log2 x ，所以 f
（ x ）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減；又2－1＞－log21，所以 f （ x ）在
R上是減函數(shù).因?yàn)?f （2＋ a2）＜ f （6 a －3），所以2＋ a2＞6 a －
3，即 a2－6 a ＋5＞0，解得 a ＞5或 a ＜1.故選B.
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二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選
對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（　?。?br/>A. y ＝ x3＋ x B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x2－3 D. y ＝ x ｜ x ｜
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解析： 　A中， y ＝ x3＋ x 為奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞
增，與題意相符；B中， y ＝log2 x 為非奇非偶函數(shù)，與題意不符；
C中， y ＝2 x2－3為偶函數(shù)，與題意不符；D中， y ＝ x ｜ x ｜是奇
函數(shù)，且當(dāng) x ＞0時(shí)， y ＝ x2在（0，＋∞）單調(diào)遞增，與題意相符.
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10. 若log a 2＜log b 2，則下列結(jié)論可能成立的是（　?。?br/>A. 0＜ a ＜ b ＜1 B. 0＜ b ＜ a ＜1
C. a ＞ b ＞1 D. 0＜ a ＜1＜ b
解析： 　若log a 2與log b 2同號(hào)，則由log a 2＜log b 2得log2 b ＜
log2 a ，∴ b ＜ a .當(dāng)log a 2與log b 2同為正時(shí)，1＜ b ＜ a ，故C正
確；當(dāng)log a 2與log b 2同為負(fù)時(shí)，0＜ b ＜ a ＜1，故B正確；若log a 2
＜0＜log b 2，則0＜ a ＜1，且 b ＞1，∴D正確.
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11. 高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王
子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其
名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè) x ∈R，用[ x ]表示不超過 x 的最
大整數(shù)，則 y ＝[ x ]稱為高斯函數(shù)，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]
＝2.已知函數(shù) f （ x ）＝ － ，則關(guān)于函數(shù) g （ x ）＝[ f
（ x ）]的敘述中正確的是（　?。?br/>A. g （ x ）是偶函數(shù) B. f （ x ）是奇函數(shù)
C. f （ x ）在R上是增函數(shù) D. g （ x ）的值域是{－1，0，1}
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解析： 　∵ g （1）＝[ f （1）]＝［ － ］＝0， g （－1）
＝[ f （－1）]＝［ － ］＝－1，∴ g （－1）≠ g （1），則
g （ x ）不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；∵ f （ x ）＝ － 的定義域?yàn)?br/>R， f （－ x ）＋ f （ x ）＝ ＋ －1＝ ＋ －
1＝ －1＝0，∴ f （ x ）為奇函數(shù)，故B正確；
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∵ f （ x ）＝ － ＝ － ＝ － ，又 y ＝2 x 在R上是增函
數(shù)，∴ f （ x ）＝ － 在R上是增函數(shù)，故C正確；∵2 x ＞0，∴1＋
2 x ＞1，則0＜ ＜1，可得－ ＜ － ＜ .即－ ＜ f （ x ）＜ ，
∴ g （ x ）＝[ f （ x ）]∈{－1，0}，故D錯(cuò)誤.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知函數(shù) y ＝ ax－2＋3（ a ＞0且 a ≠1）過定點(diǎn) P ，且 P 點(diǎn)在冪函數(shù)
f （ x ）的圖象上，則 f （3）＝ .
解析：由 y ＝ ax－2＋3知：函數(shù)過定點(diǎn)（2，4），設(shè) f （ x ）＝ xn ，
則2 n ＝4，即 n ＝2，∴ f （ x ）＝ x2，故 f （3）＝9.
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13. 已知函數(shù) f （ x ）滿足以下三個(gè)條件① f （2）＝－1，②在定義域
（0，＋∞）上是減函數(shù)，③ f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），請(qǐng)寫
出一個(gè)同時(shí)符合上述三個(gè)條件的函數(shù) f （ x ）的解析式為
.
解析：由 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）可考慮對(duì)數(shù)函數(shù) f （ x ）＝
log ax ，又因?yàn)?f （ x ）在定義域（0，＋∞）上是減函數(shù)，所以 f
（ x ）＝log ax 的底數(shù) a ∈（0，1），又因?yàn)?f （2）＝－1，所以 a
＝ ，所以 f （ x ）＝lo x .
f （ x ）
＝lo x （答案不唯一）　
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14. 已知函數(shù) f （ x ）＝ x ＋ －2，若不等式 f （2 x ）－ k ·2 x ≥0在區(qū)間
[－1，1]上恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 .
解析：由 f （ x ）＝ x ＋ －2，所以 f （2 x ）－ k ·2 x ≥0可化為1＋
（ ）2－ ≥ k .令 t ＝ ，則 k ≤ t2－2 t ＋1，因?yàn)?x ∈[－1，
1]，所以 t ∈［ ，2］，所以 k ≤（ t2－2 t ＋1）min＝0，即 k 的取
值范圍是（－∞，0].
（－∞，0]　
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知冪函數(shù) f （ x ）＝（ m2－3 m ＋3） xm＋1為
偶函數(shù).
（1）求冪函數(shù) f （ x ）的解析式；
解： 依題意有： m2－3 m ＋3＝1，解得 m ＝1或 m
＝2，
又函數(shù) f （ x ）為偶函數(shù)，則 m ＝1，所以 f （ x ）＝ x2.
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（2）若函數(shù) g （ x ）＝ f （ x ）－2 a · x 在[2，4]上單調(diào)，求實(shí)數(shù) a
的取值范圍.
解： g （ x ）＝ x2－2 a · x ，對(duì)稱軸為 x ＝－ ＝ ，
又 g （ x ）在[2，4]上單調(diào)，所以 ≤2或 ≥4，所以 a ≤2
或 a ≥3.
故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（－∞，2]∪[4，＋∞）.
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16. （本小題滿分15分）已知函數(shù) f （ x ）＝ ＋
的定義域?yàn)?A .
（1）求集合 A ；
解： 要使 f （ x ）有意義，需滿足所以
所以 ≤ x ≤4，
所以集合 A ＝ x ｜ ≤ x ≤4 .
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（2）若函數(shù) g （ x ）＝（log2 x ）2－2log2 x －1，且 x ∈ A ，求函數(shù)
g （ x ）的最大值、最小值和對(duì)應(yīng)的 x 值.
解： 設(shè) t ＝log2 x ，因?yàn)?x ∈［ ，4］，所以 t ∈[－1，2]，
所以 y ＝ t2－2 t －1， t ∈[－1，2].
因?yàn)?y ＝ t2－2 t －1＝（ t －1）2－2的對(duì)稱軸為 t ＝1∈[－1，2]，
所以當(dāng) t ＝1時(shí)， y 有最小值－2，當(dāng) t ＝－1時(shí)， y 有最大值2.
綜上可得，當(dāng) x ＝2時(shí)， g （ x ）的最小值為－2，
當(dāng) x ＝ 時(shí)， g （ x ）的最大值為2.
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17. （本小題滿分15分）已知函數(shù) f （ x ）＝ a｜ x＋ b｜（ a ＞0， a ≠1，
b ∈R）.
（1）若 f （ x ）為偶函數(shù)，求 b 的值；
解： 因?yàn)?f （ x ）為偶函數(shù)，
所以對(duì)任意的 x ∈R，都有 f （－ x ）＝ f （ x ），
即 a｜ x＋ b｜＝ ，｜ x ＋ b ｜＝｜－ x ＋ b ｜，解得
b ＝0.
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（2）若 f （ x ）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，試求 a ， b 應(yīng)滿足
的條件.
解： 記 h （ x ）＝｜ x ＋ b ｜＝
①當(dāng) a ＞1時(shí)， f （ x ）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，
即 h （ x ）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，所以－ b ≤2， b≥－2；
②當(dāng)0＜ a ＜1時(shí)， f （ x ）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，即
h （ x ）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞減，但 h （ x ）在區(qū)間
[－ b ，＋∞）上單調(diào)遞增，故不存在 a ， b ，使 f （ x ）在區(qū)
間[2，＋∞）上單調(diào)遞增.
所以 f （ x ）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增時(shí)， a ， b 應(yīng)滿足
的條件為 a ＞1且 b ≥－2.
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18. （本小題滿分17分）某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課
注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù) p 與聽課時(shí)間 t 之
間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.
當(dāng) t ∈（0，14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng) t ∈[14，
45]時(shí)，曲線是函數(shù) y ＝log a （ t －5）＋83（ a ＞0且 a ≠1）圖象的
一部分.根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù) p 大于80時(shí)聽課效果最佳.
（1）試求 p ＝ f （ t ）的函數(shù)關(guān)系式；
解： 由題意知，當(dāng) t ∈（0，14]時(shí)，
曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，曲線的頂
點(diǎn)坐標(biāo)為（12，82），且曲線過點(diǎn)（14，81），
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則可得 f （ t ）＝－ （ t －12）2＋82， t ∈（0，14]，
又當(dāng) t ∈[14，45]時(shí)，曲線是函數(shù) y ＝log a （ t －5）＋83（ a ＞0且 a ≠1）圖象的一部分，且曲線過點(diǎn)（14，81），則易得 a ＝ ，
則 f （ t ）＝lo （ t －5）＋83， t ∈[14，45].
則 p ＝ f （ t ）＝
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（2）老師在什么時(shí)段內(nèi)講解核心內(nèi)容能使學(xué)生聽課效果最佳？請(qǐng)
說明理由.
解： 由題意知，注意力指數(shù) p 大于80
時(shí)聽課效果最佳，
當(dāng) t ∈（0，14]時(shí)，令 f （ t ）＝－ （ t －
12）2＋82＞80，
解得12－2 ＜ t ≤14.
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當(dāng) t ∈[14，45]時(shí)，令 f （ t ）＝lo （ t －5）＋83＞80，
解得14≤ t ＜32.
綜上可得，12－2 ＜ t ＜32.
故老師在（12－2 ，32）這一時(shí)間段內(nèi)講解核心內(nèi)容，學(xué)
生聽課效果最佳.
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19. （本小題滿分17分）定義在區(qū)間 D 上的函數(shù) f （ x ），如果滿足：
x ∈ D ，存在常數(shù) M ＞0，使得｜ f （ x ）｜≤ M ，則稱 f （ x ）是
D 上的“有界函數(shù)”，其中 M 稱為 f （ x ）的一個(gè)“上界”.已知
函數(shù) f （ x ）＝1＋ a ·（ ） x ＋（ ） x .
（1）若 a ＝0， g （ x ）＝ f （ x ）－3，試判斷函數(shù) g （ x ）在[－
1，0]上是否為有界函數(shù)，說明理由；
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解： 當(dāng) a ＝0時(shí)， f （ x ）＝（ ） x ＋1，
又 x ∈[－1，0]，所以（ ） x ∈[1，4]，
于是 g （ x ）＝（ ） x －2∈[－1，2]，
所以｜ g （ x ）｜≤2， g （ x ）是“有界函數(shù)”，2為它的一
個(gè)“上界”.
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（2）若函數(shù) f （ x ）在[0，＋∞）上是以7為一個(gè)“上界”的“有
界函數(shù)”，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
解： ｜ f （ x ）｜＝｜1＋ a ·（ ） x ＋（ ） x ｜≤7
對(duì) x ∈[0，＋∞）恒成立.
令（ ） x ＝ t ， t ∈（0，1]，則 h （ t ）＝ t2＋ at ＋1，
于是｜ h （ t ）｜＝｜ t2＋ at ＋1｜≤7對(duì) t ∈（0，1]恒成
立，
即－7≤ t2＋ at ＋1≤7對(duì) t ∈（0，1]恒成立，
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即－ t － ≤ a ≤－ t ＋ 對(duì) t ∈（0，1]恒成立，
即（－ t － ）max≤ a ≤（－ t ＋ ）min，
而（－ t － ）max＝－9，（－ t ＋ ）min＝5，
所以－9≤ a ≤5.
故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為[－9，5].
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