資源簡介

7.1.1　任意角
1.把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角是（　　）
A.120° B.－120°
C.240° D.－240°
2.“α是銳角”是“α是第一象限角”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
3.下面各組角中終邊相同的是（　　）
A.390°，690° B.－330°，750°
C.480°，－420° D.3 000°，－840°
4.（2024·南京十三中期中）－1 000°角的終邊在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（　　）
A.{α｜－45°≤α≤120°}
B.{α｜120°≤α≤315°}
C.{α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
6.（多選）若α是第四象限角，則下列結論正確的是（　　）
A.－α是第一象限角
B.2α是第三象限角或第四象限角
C.180°＋α是第二象限角
D.是第二象限角或第四象限角
7.終邊在x軸上的角的集合可表示為　　　　　.
8.設角α，β滿足－180°＜α＜β＜180°，則α－β的范圍是　　　　.
9.若α滿足180°＜α＜360°，5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，則α＝　　　　.
10.在與530°角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角：
（1）最大的負角；
（2）最小的正角；
（3）－720°到－360°的角.
11.終邊與坐標軸重合的角α的集合是（　　）
A.{α｜α＝k·360°，k∈Z}
B.{α｜α＝90°＋k·180°，k∈Z}
C.{α｜α＝k·180°，k∈Z}
D.{α｜α＝k·90°，k∈Z}
12.（多選）下列條件中，能使α和β的終邊關于y軸對稱的是（　　）
A.α＋β＝180°
B.α＋β＝k·360°＋90°（k∈Z）
C.α＋β＝k·360°（k∈Z）
D.α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）
13.已知角α，β都是銳角，且角α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，角α－β的終邊與670°角的終邊相同，則α＝　　　　，β＝　　　　.
14.已知集合A＝{α｜k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β｜k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}.
（1）在平面直角坐標系中，表示出角α終邊所在區域；
（2）在平面直角坐標系中，表示出角β終邊所在區域；
（3）求A∩B.
15.已知α是第一象限角，β是第二象限角，試確定終邊所在的位置.
7.1.1　任意角
1.D　按順時針方向旋轉形成的角是負角，排除A和C；又由題意知旋轉的角度是240°，排除B.故選D.
2.A　因為α是銳角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°角是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”是“α是第一象限角”的充分不必要條件，故選A.
3.B　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角與750°角的終邊相同.故選B.
4.A　因為－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°角與80°角終邊相同，故終邊在第一象限.故選A.
5.C　陰影部分的角從－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整數倍，即{α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.故選C.
6.ACD　∵α是第四象限角，∴k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z，∴－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，∴－α是第一象限角.故A正確.又k·720°－180°＜2α＜k·720°，k∈Z，∴2α是第三象限角或第四象限角或y軸的負半軸上的角，故B錯誤.∵k·360°＋90°＜180°＋α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴180°＋α是第二象限角，故C正確.∵k·180°－45°＜＜k·180°，k∈Z，當k＝2n，n∈Z時，n·360°－45°＜＜n·360°，為第四象限角；當k＝2n＋1，n∈Z時，n·360°＋135°＜＜n·360°＋180°，為第二象限角，∴是第二象限角或第四象限角，故D正確.故選A、C、D.
7.{α｜α＝k·180°，k∈Z}　解析：由題意，若α的終邊在x軸上，則α＝m·360°，m∈Z或α＝180°＋m·360°，m∈Z，即α＝k·180°，k∈Z，故終邊在x軸上的角的集合可表示成{α｜α＝k·180°，k∈Z}.
8.－360°＜α－β＜0°　解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，則－360°＜α－β＜0°.
9.270°　解析：∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.
10.解：與530°角終邊相同的角的集合為{β｜β＝k·360°＋530°，k∈Z}.
（1）由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大負角為－190°.
（2）由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，
故所求的最小正角為170°.
（3）由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角為－550°.
11.D　終邊在坐標軸上的角為90°的整數倍，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為{α｜α＝k·90°，k∈Z}.
12.AD　假設α，β為0°～180°內的角，如圖所示，因為α，β的終邊關于y軸對稱，所以α＋β＝180°，所以A滿足條件；結合終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）·180°（k∈Z），所以D滿足條件，B、C都不滿足條件.故選A、D.
13.15°　65°　解析：∵角α，β都是銳角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜α－β＜90°.由題意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°.
14.解：（1）角α終邊所在區域如圖①所示.
（2）角β終邊所在區域如圖②所示.
（3）由圖①②知A∩B＝{γ｜k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}.
15.解：由已知得k1·360°＜α＜90°＋k1·360°，k1∈Z，①
90°＋k2·360°＜β＜180°＋k2·360°，k2∈Z. ②
由①＋②得90°＋（k1＋k2）·360°＜α＋β＜270°＋（k1＋k2）·360°（k1，k2∈Z）.
∴45°＋（k1＋k2）·180°＜＜135°＋（k1＋k2）·180°（k1，k2∈Z）.
當k1＋k2＝2m（m∈Z）時，45°＋m·360°＜＜135°＋m·360°.
的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負半軸上；
當k1＋k2＝2m＋1（m∈Z）時，225°＋m·360°＜＜315°＋m·360°.
的終邊在第三象限或第四象限或y軸的非正半軸上.
1 / 27.1.1　任意角
新課程標準解讀 核心素養
1.了解任意角的概念，區分正角、負角與零角 數學抽象
2.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合 數學抽象、數學運算
3.了解象限角的概念 數學抽象
　　我們已經學習過一些角，如銳角、直角、鈍角、平角、周角.但要表示周而復始運動著的點，僅有這些角是不夠的.如跳水運動員翻騰兩周半，體操運動員向前轉體三周，向后轉體兩周等.
【問題】　（1）初中是如何定義角的？
（2）翻騰兩周半是轉了怎樣的一個角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　任意角的概念
1.角的概念
一個角可以看作平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.
2.角的表示
如圖，（1）頂點：射線的端點　　　；
（2）始邊：射線的開始位置　　　；
（3）終邊：射線的終止位置　　　；
（4）記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
3.角的分類
名稱 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點按　　　　方向旋轉所形成的角
負角 一條射線繞其端點按　　　　方向旋轉所形成的角
零角 一條射線　　　　作任何旋轉形成的角
【想一想】
1.始邊與終邊重合的角一定是零角嗎？
2.正角、負角、零角是根據什么區分的？
知識點二　角的加、減法
對于兩個任意角α，β：
（1）角的加法：將角α的終邊旋轉角β（當β是正角時，按逆時針方向旋轉；當β是負角時，按順時針方向旋轉；當β是零角時，不旋轉），這時終邊所對應的角稱為α與β的和，記作　　　　；
（2）相反角：射線OA繞端點O分別按逆時針方向、順時針方向旋轉相同的量所成的兩個角稱為互為相反角，角α的相反角記為　　　；
（3）角的減法：α－β＝　　　　.
知識點三　平面直角坐標系中的任意角
1.象限角：以角的頂點為　　　　　　，角的始邊為　　　　　　　，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.
2.軸線角：如果角的終邊在　　　　　上，稱這個角為軸線角.
3.終邊相同的角：一般地，與角α終邊相同的角的集合為　　　　　　　　　.
提醒　對集合{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}的理解：①角α為任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°與α中間要用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍.
1.下列說法中正確的是（　　）
A.小于90°的角都是銳角
B.經過1小時，時針轉過30°
C.終邊相同的角一定相等
D.－30°角是第四象限角
2.與－300°角終邊相同的角是（　　）
A.－330° B.150°
C.30° D.60°
3.－1 060°角的終邊落在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
題型一 任意角的概念
【例1】　（鏈接教科書第171頁練習6題）下列說法正確的是（　　）
A.三角形的內角必是第一、二象限角
B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C.鈍角比第三象限角小
D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角
通性通法
對角概念推廣理解的三個關鍵點
（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再限于0°～360°，可以是任意大小的角，其值可以無限大，也可以無限小；
（2）在判斷角度時，應時刻抓住“旋轉”二字：①要明確旋轉方向，由旋轉方向確定角的符號；②要明確旋轉量，由旋轉量決定角的大小；
（3）注意角的始邊位置.
【跟蹤訓練】
1.射線OA繞端點O逆時針旋轉120°到達OB位置，由OB位置順時針旋轉270°到達OC位置，則∠AOC＝（　　）
A.150°　 B.－150° C.390°　 D.－390°
2.2024年高考數學考試時間為：6月7日15：00～17：00，時間共2小時.求從考試開始到考試結束分針轉過的角度.
題型二 終邊相同的角
【例2】　（鏈接教科書第170頁例1）在0°到360°的范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：
（1）460°；（2）－315°；（3）－363°14'.
通性通法
終邊相同的角的表示
（1）終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）終邊相同的角相差360°的整數倍；
（3）終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍.
【跟蹤訓練】
1.下列角的終邊與37°角的終邊在同一直線上的是（　　）
A.－37°　　　　　　　B.143°
C.379° D.－143°
2.與－1 560°角終邊相同的角的集合中，最小的正角是　　　　，最大的負角是　　　　.
題型三 象限角、軸線角及區域角的表示
【例3】　（1）（鏈接教科書第170頁例2）已知α與280°角的終邊相同，判斷2α，各是第幾象限角；
（2）寫出滿足下面條件的角的集合：
①終邊落在x軸的正半軸上；
②終邊落在y軸的負半軸上.
（3）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角α的集合：
通性通法
1.給定一個角，判斷它是第幾象限角的思路
判斷角α是第幾象限角的常用方法為將α寫成β＋k·360°（其中k∈Z，β在0°～360°范圍內）的形式，觀察角β的終邊所在的象限即可.
2.nα或所在象限的判斷方法
（1）用不等式表示出角nα或的范圍；
（2）用旋轉的觀點確定角nα或所在象限.
3.表示區域角的三個步驟
（1）先按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；
（2）按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
（3）起始、終止邊界對應的角α，β再加上360°的整數倍，即得區域角集合.
【跟蹤訓練】
1.已知α是第二象限角，則180°－α是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.在直角坐標系中寫出下列角的集合：
（1）終邊在y軸的正半軸上；
（2）終邊在y＝x（x≥0）上.
3.如圖，寫出終邊落在陰影部分的角α的集合.
1.（2024·宿遷期末）下列選項中與角α＝1 680°終邊相同的角是（　　）
A.120° B.－240°
C.－120° D.60°
2.（多選）下列四個角中，屬于第二象限角的是（　　）
A.160° B.480°
C.－960° D.1 530°
3.如圖，寫出終邊落在陰影部分的角α的集合.
7.1.1　任意角
【基礎知識·重落實】
知識點一
2.（1）O　（2）OA　（3）OB　3.逆時針　順時針　沒有
想一想
1.提示：不一定.只有始邊沒有作任何旋轉，始邊與終邊重合的角才是零角.
2.提示：根據組成角的射線是否旋轉及旋轉方向.
知識點二
　（1）α＋β　（2）－α　（3）α＋（－β）
知識點三
1.坐標原點　x軸正半軸　2.坐標軸　
3.{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}
自我診斷
1.D　A中，銳角θ的取值范圍是0°＜θ＜90°，小于90°的角也可以是零角或負角，故A錯誤；B中，經過1小時，時針按順時針方向旋轉30°，時針在旋轉時所形成的角為－30°，故B錯誤；終邊相同的角不一定相等，如30°和390°的終邊相同，故C錯誤；D中，－30°角是第四象限角，故D正確.故選D.
2.D　因為所有與－300°角終邊相同的角都可以表示為α＝k·360°＋（－300°），k∈Z，取k＝1，得α＝60°.故選D.
3.A　因為－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角的終邊落在第一象限.
【典型例題·精研析】
【例1】　B　A.90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正確；B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C.鈍角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故C不正確；D.0°角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D不正確.
跟蹤訓練
1.B　各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°.故選B.
2.解：因為分針轉一圈（即1小時）是－360°，所以從考試開始到考試結束分針轉過了－720°.
【例2】　解：（1）因為460°＝360°＋100°，所以460°的角與100°的角終邊相同，是第二象限角.
（2）因為－315°＝－360°＋45°，所以－315°的角與45°的角終邊相同，是第一象限角.
（3）因為－363°14'＝－2×360°＋356°46'，所以－363°14'的角與356°46'的角終邊相同，是第四象限角.
跟蹤訓練
1.D　與37°角的終邊在同一直線上的角可表示為k·180°＋37°，k∈Z，當k＝－1時，37°－180°＝－143°.
2.240°　－120°　解析：因為－1 560°＝－120°＋（－4）×360°，即－1 560°角與－120°角的終邊相同，所以與－1 560°角終邊相同的角的集合是{β｜β＝－120°＋k·360°，k∈Z}，所以最小的正角為240°，最大的負角為－120°.
【例3】　解：（1）因為α＝280°＋k·360°，k∈Z，
所以2α＝560°＋2k·360°＝200°＋（2k＋1）·360°，k∈Z，
故2α為第三象限角.
＝140°＋k·180°，k∈Z，
①當k＝2n（n∈Z）時，＝140°＋n·360°（n∈Z），即是第二象限角；
②當k＝2n＋1（n∈Z）時，＝320°＋n·360°（n∈Z），即是第四象限角.
綜上所述，是第二象限角或第四象限角.
（2）①終邊落在x軸正半軸上的角的集合為{α｜α＝k·360°，k∈Z}.
②終邊落在y軸負半軸上的角的集合為{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}.
（3）先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，得
①{α｜30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}.
②{α｜－210°＋k·360°＜α＜30°＋k·360°，k∈Z}.
跟蹤訓練
1.A　由α是第二象限角得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z）.∴－（180°＋k·360°）＜－α＜－（90°＋k·360°）（k∈Z）.180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°）（k∈Z），即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°（k∈Z），∴180°－α為第一象限角.故選A.
2.解：（1）在0°～360°范圍內，終邊在y軸的正半軸上的角有一個90°.故終邊落在y軸的正半軸上的角的集合為{α｜α＝k·360°＋90°，k∈Z}.
（2）在0°～360°范圍內，終邊在y＝x（x≥0）上的角有一個45°.故終邊在y＝x（x≥0）上的角的集合為{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}.
3.解：30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α｜α＝30°＋k·180°，k∈Z}，180°－75°＝105°，105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α｜α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內的角α的取值范圍為{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.
隨堂檢測
1.C　與α＝1 680°終邊相同的角為β＝1 680°＋k·360°，k∈Z，當k＝－5時，β＝1 680°－360°×5＝－120°，C選項符合要求，經過檢驗，其他選項不符合要求.故選C.
2.ABC　160°角是第二象限角；480°＝120°＋360°，故480°角是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°，故－960°角是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°，故1 530°角不是第二象限角.故選A、B、C.
3.解：由圖形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}.
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7.1.1　任意角
新課程標準解讀 核心素養
1.了解任意角的概念，區分正角、負角與零角 數學抽象
2.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相
同的角所組成的集合 數學抽象、數
學運算
3.了解象限角的概念 數學抽象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　我們已經學習過一些角，如銳角、直角、鈍角、平角、周角.但
要表示周而復始運動著的點，僅有這些角是不夠的.如跳水運動員翻
騰兩周半，體操運動員向前轉體三周，向后轉體兩周等.
【問題】　（1）初中是如何定義角的？
（2）翻騰兩周半是轉了怎樣的一個角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　任意角的概念
1. 角的概念
一個角可以看作平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另
一個位置所形成的圖形.
2. 角的表示
如圖，（1）頂點：射線的端點 ；
（2）始邊：射線的開始位置 ；
（3）終邊：射線的終止位置 ；
（4）記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠
AOB ”.
O 　
OA 　
OB 　
3. 角的分類
名稱 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點按 方向旋轉所形成的角
負角 一條射線繞其端點按 方向旋轉所形成的角
零角 一條射線 作任何旋轉形成的角
逆時針　
順時針　
沒有　
【想一想】
1. 始邊與終邊重合的角一定是零角嗎？
提示：不一定.只有始邊沒有作任何旋轉，始邊與終邊重合的角才
是零角.
2. 正角、負角、零角是根據什么區分的？
提示：根據組成角的射線是否旋轉及旋轉方向.
知識點二　角的加、減法
對于兩個任意角α，β：
（1）角的加法：將角α的終邊旋轉角β（當β是正角時，按逆時針
方向旋轉；當β是負角時，按順時針方向旋轉；當β是零角
時，不旋轉），這時終邊所對應的角稱為α與β的和，記
作 ；
（2）相反角：射線 OA 繞端點 O 分別按逆時針方向、順時針方向旋轉
相同的量所成的兩個角稱為互為相反角，角α的相反角記
為 ；
（3）角的減法：α－β＝ .
α＋β　
－α　
α＋（－β）　
知識點三　平面直角坐標系中的任意角
1. 象限角：以角的頂點為 ，角的始邊為
，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除端點外）在第幾
象限，就說這個角是第幾象限角.
2. 軸線角：如果角的終邊在 上，稱這個角為軸線角.
3. 終邊相同的角：一般地，與角α終邊相同的角的集合為
.
坐標原點　
x 軸正半
軸　
坐標軸　
{β｜β
＝ k ·360°＋α， k ∈Z}　
提醒　對集合{β｜β＝ k ·360°＋α， k ∈Z}的理解：①角α為任
意角，“ k ∈Z”不能省略；② k ·360°與α中間要用“＋”連接，
k ·360°－α可理解成 k ·360°＋（－α）；③相等的角的終邊一定
相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有無數個，它們
相差360°的整數倍.
1. 下列說法中正確的是（　　）
A. 小于90°的角都是銳角
B. 經過1小時，時針轉過30°
C. 終邊相同的角一定相等
D. －30°角是第四象限角
解析： 　A中，銳角θ的取值范圍是0°＜θ＜90°，小于90°的
角也可以是零角或負角，故A錯誤；B中，經過1小時，時針按順時
針方向旋轉30°，時針在旋轉時所形成的角為－30°，故B錯誤；
終邊相同的角不一定相等，如30°和390°的終邊相同，故C錯
誤；D中，－30°角是第四象限角，故D正確.故選D.
2. 與－300°角終邊相同的角是（　　）
A. －330° B. 150°
C. 30° D. 60°
解析： 　因為所有與－300°角終邊相同的角都可以表示為α＝
k ·360°＋（－300°）， k ∈Z，取 k ＝1，得α＝60°.故選D.
3. －1 060°角的終邊落在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因為－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角
的終邊落在第一象限.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 任意角的概念
【例1】　（鏈接教科書第171頁練習6題）下列說法正確的是
（　　）
A. 三角形的內角必是第一、二象限角
B. 始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C. 鈍角比第三象限角小
D. 小于180°的角是鈍角、直角或銳角
解析： 　A. 90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A
不正確；B. 始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C. 鈍
角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故C不正確；D. 0°
角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D不正確.
通性通法
對角概念推廣理解的三個關鍵點
（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再限于0°～360°，可以是任
意大小的角，其值可以無限大，也可以無限小；
（2）在判斷角度時，應時刻抓住“旋轉”二字：①要明確旋轉方
向，由旋轉方向確定角的符號；②要明確旋轉量，由旋轉量決
定角的大小；
（3）注意角的始邊位置.
【跟蹤訓練】
1. 射線 OA 繞端點 O 逆時針旋轉120°到達 OB 位置，由 OB 位置順時
針旋轉270°到達 OC 位置，則∠ AOC ＝（　　）
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
解析： 　各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和.所以120°＋（－
270°）＝－150°.故選B.
2. 2024年高考數學考試時間為：6月7日15：00～17：00，時間共2小
時.求從考試開始到考試結束分針轉過的角度.
解：因為分針轉一圈（即1小時）是－360°，所以從考試開始到考
試結束分針轉過了－720°.
題型二 終邊相同的角
【例2】　（鏈接教科書第170頁例1）在0°到360°的范圍內，找出
與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：
（1）460°；
解：因為460°＝360°＋100°，所以460°的角與100°的角終
邊相同，是第二象限角.
（2）－315°；
解：因為－315°＝－360°＋45°，所以－315°的角與45°的
角終邊相同，是第一象限角.
（3）－363°14'.
解：因為－363°14'＝－2×360°＋356°46'，所以－363°14'
的角與356°46'的角終邊相同，是第四象限角.
通性通法
終邊相同的角的表示
（1）終邊相同的角都可以表示成α＋ k ·360°（ k ∈Z）的形式；
（2）終邊相同的角相差360°的整數倍；
（3）終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍.
【跟蹤訓練】
1. 下列角的終邊與37°角的終邊在同一直線上的是（　　）
A. －37° B. 143°
C. 379° D. －143°
解析： 　與37°角的終邊在同一直線上的角可表示為 k ·180°＋
37°， k ∈Z，當 k ＝－1時，37°－180°＝－143°.
2. 與－1 560°角終邊相同的角的集合中，最小的正角是 ，最
大的負角是 .
解析：因為－1 560°＝－120°＋（－4）×360°，即－1 560°角
與－120°角的終邊相同，所以與－1 560°角終邊相同的角的集合
是{β｜β＝－120°＋ k ·360°， k ∈Z}，所以最小的正角為
240°，最大的負角為－120°.
240°　
－120°　
題型三 象限角、軸線角及區域角的表示
【例3】　（1）（鏈接教科書第170頁例2）已知α與280°角的終邊
相同，判斷2α， 各是第幾象限角；
解：因為α＝280°＋ k ·360°， k ∈Z，
所以2α＝560°＋2 k ·360°＝200°＋（2 k ＋1）·360°， k ∈Z，
故2α為第三象限角. ＝140°＋ k ·180°， k ∈Z，
①當 k ＝2 n （ n ∈Z）時， ＝140°＋ n ·360°（ n ∈Z），即 是第二
象限角；
②當 k ＝2 n ＋1（ n ∈Z）時， ＝320°＋ n ·360°（ n ∈Z），即 是
第四象限角.
綜上所述， 是第二象限角或第四象限角.
解：①終邊落在 x 軸正半軸上的角的集合為{α｜α＝ k ·360°，
k ∈Z}.
②終邊落在 y 軸負半軸上的角的集合為{α｜α＝270°＋
k ·360°， k ∈Z}.
（2）寫出滿足下面條件的角的集合：
①終邊落在 x 軸的正半軸上；
②終邊落在 y 軸的負半軸上.
解：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，得
①{α｜30°＋ k ·360°≤α≤150°＋ k ·360°， k ∈Z}.
②{α｜－210°＋ k ·360°＜α＜30°＋ k ·360°， k ∈Z}.
（3）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角α的集合：
通性通法
1. 給定一個角，判斷它是第幾象限角的思路
判斷角α是第幾象限角的常用方法為將α寫成β＋ k ·360°（其中
k ∈Z，β在0°～360°范圍內）的形式，觀察角β的終邊所在的
象限即可.
2. n α或 所在象限的判斷方法
（1）用不等式表示出角 n α或 的范圍；
（2）用旋轉的觀點確定角 n α或 所在象限.
3. 表示區域角的三個步驟
（1）先按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；
（2）按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°
范圍內的角α和β，寫出最簡區間{ x ｜α＜ x ＜β}，其中β
－α＜360°；
（3）起始、終止邊界對應的角α，β再加上360°的整數倍，即得
區域角集合.
【跟蹤訓練】
1. 已知α是第二象限角，則180°－α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 　由α是第二象限角得，90°＋ k ·360°＜α＜180°＋
k ·360°（ k ∈Z）.∴－（180°＋ k ·360°）＜－α＜－（90°＋
k ·360°）（ k ∈Z）.180°－（180°＋ k ·360°）＜180°－α＜
180°－（90°＋ k ·360°）（ k ∈Z），即－ k ·360°＜180°－α
＜90°－ k ·360°（ k ∈Z），∴180°－α為第一象限角.故選A.
2. 在直角坐標系中寫出下列角的集合：
（1）終邊在 y 軸的正半軸上；
解： 在0°～360°范圍內，終邊在 y 軸的正半軸上的角
有一個90°.故終邊落在 y 軸的正半軸上的角的集合為{α｜
α＝ k ·360°＋90°， k ∈Z}.
（2）終邊在 y ＝ x （ x ≥0）上.
解： 在0°～360°范圍內，終邊在 y ＝ x （ x ≥0）上的
角有一個45°.故終邊在 y ＝ x （ x ≥0）上的角的集合為
{α｜α＝ k ·360°＋45°， k ∈Z}.
3. 如圖，寫出終邊落在陰影部分的角α的集合.
解：30°角的終邊所在直線上的角的集合為 S1＝{α｜α＝30°＋
k ·180°， k ∈Z}，180°－75°＝105°，105°角的終邊所在直線
上的角的集合為 S2＝{α｜α＝105°＋ k ·180°， k ∈Z}，因此，
終邊在圖中陰影部分內的角α的取值范圍為{α｜30°＋
k ·180°≤α＜105°＋ k ·180°， k ∈Z}.
1. （2024·宿遷期末）下列選項中與角α＝1 680°終邊相同的角是
（　　）
A. 120° B. －240°
C. －120° D. 60°
解析： 　與α＝1 680°終邊相同的角為β＝1 680°＋ k ·360°，
k ∈Z，當 k ＝－5時，β＝1 680°－360°×5＝－120°，C選項符
合要求，經過檢驗，其他選項不符合要求.故選C.
2. （多選）下列四個角中，屬于第二象限角的是（　　）
A. 160° B. 480°
C. －960° D. 1 530°
解析： 　160°角是第二象限角；480°＝120°＋360°，故
480°角是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°，故－960°
角是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°，故1 530°角不是第
二象限角.故選A、B、C.
3. 如圖，寫出終邊落在陰影部分的角α的集合.
解：由圖形可知，角α的集合是{α｜ k ·360°＋45°＜α＜
k ·360°＋150°， k ∈Z}.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角是
（　　）
A. 120° B. －120°
C. 240° D. －240°
解析： 按順時針方向旋轉形成的角是負角，排除A和C；又由
題意知旋轉的角度是240°，排除B. 故選D.
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2. “α是銳角”是“α是第一象限角”的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
解析： 　因為α是銳角能推出α是第一象限角，但是反之不成
立，例如400°角是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”
是“α是第一象限角”的充分不必要條件，故選A.
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3. 下面各組角中終邊相同的是（　　）
A. 390°，690° B. －330°，750°
C. 480°，－420° D. 3 000°，－840°
解析： 　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°角與750°角的終邊相同.故選B.
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4. （2024·南京十三中期中）－1 000°角的終邊在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因為－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°角
與80°角終邊相同，故終邊在第一象限.故選A.
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5. 如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（　　）
A. {α｜－45°≤α≤120°}
B. {α｜120°≤α≤315°}
C. {α｜ k ·360°－45°≤α≤ k ·360°＋120°， k ∈Z}
D. {α｜ k ·360°＋120°≤α≤ k ·360°＋315°， k
∈Z}
解析： 　陰影部分的角從－45°到90°＋30°＝120°，再加上
360°的整數倍，即{α｜ k ·360°－45°≤α≤ k ·360°＋120°， k
∈Z}.故選C.
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6. （多選）若α是第四象限角，則下列結論正確的是（　　）
A. －α是第一象限角
B. 2α是第三象限角或第四象限角
C. 180°＋α是第二象限角
D. 是第二象限角或第四象限角
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解析： 　∵α是第四象限角，∴ k ·360°－90°＜α＜
k ·360°， k ∈Z，∴－ k ·360°＜－α＜－ k ·360°＋90°， k ∈Z，
∴－α是第一象限角.故A正確.又 k ·720°－180°＜2α＜
k ·720°， k ∈Z，∴2α是第三象限角或第四象限角或 y 軸的負半軸
上的角，故B錯誤.∵ k ·360°＋90°＜180°＋α＜ k ·360°＋
180°， k ∈Z.
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∴180°＋α是第二象限角，故C正確.∵ k ·180°－45°＜ ＜
k ·180°， k ∈Z，當 k ＝2 n ， n ∈Z時， n ·360°－45°＜ ＜ n ·360°，
為第四象限角；當 k ＝2 n ＋1， n ∈Z時， n ·360°＋135°＜ ＜
n ·360°＋180°， 為第二象限角，∴ 是第二象限角或第四象限角，
故D正確.故選A、C、D.
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7. 終邊在 x 軸上的角的集合可表示為 .
解析：由題意，若α的終邊在 x 軸上，則α＝ m ·360°， m ∈Z或α
＝180°＋ m ·360°， m ∈Z，即α＝ k ·180°， k ∈Z，故終邊在 x
軸上的角的集合可表示成{α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}.
{α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}　
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8. 設角α，β滿足－180°＜α＜β＜180°，則α－β的范圍是
.
解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－
360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，則－360°
＜α－β＜0°.
－
360°＜α－β＜0°　
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9. 若α滿足180°＜α＜360°，5α與α有相同的始邊，且又有相同
的終邊，則α＝ .
解析：∵5α＝α＋ k ·360°， k ∈Z，∴α＝ k ·90°， k ∈Z. 又
∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.
270°　
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10. 在與530°角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角：
（1）最大的負角；
（1）由－360°＜ k ·360°＋530°＜0°且 k ∈Z，可得 k ＝
－2，故所求的最大負角為－190°.
解：與530°角終邊相同的角的集合為{β｜β＝ k ·360°＋
530°， k ∈Z}.
（2）最小的正角；
解：由0°＜ k ·360°＋530°＜360°且 k ∈Z，可得 k
＝－1，
故所求的最小正角為170°.
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（3）－720°到－360°的角.
解：由－720°≤ k ·360°＋530°≤－360°且 k ∈Z，可得
k ＝－3，故所求的角為－550°.
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11. 終邊與坐標軸重合的角α的集合是（　　）
A. {α｜α＝ k ·360°， k ∈Z}
B. {α｜α＝90°＋ k ·180°， k ∈Z}
C. {α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}
D. {α｜α＝ k ·90°， k ∈Z}
解析： 　終邊在坐標軸上的角為90°的整數倍，所以終邊與坐
標軸重合的角的集合為{α｜α＝ k ·90°， k ∈Z}.
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12. （多選）下列條件中，能使α和β的終邊關于 y 軸對稱的是
（　　）
A. α＋β＝180°
B. α＋β＝ k ·360°＋90°（ k ∈Z）
C. α＋β＝ k ·360°（ k ∈Z）
D. α＋β＝（2 k ＋1）·180°（ k ∈Z）
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解析： 　假設α，β為0°～180°內的角，如
圖所示，因為α，β的終邊關于 y 軸對稱，所以α
＋β＝180°，所以A滿足條件；結合終邊相同的
角的概念，可得α＋β＝ k ·360°＋180°＝（2 k
＋1）·180°（ k ∈Z），所以D滿足條件，B、C都
不滿足條件.故選A、D.
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13. 已知角α，β都是銳角，且角α＋β的終邊與－280°角的終邊相
同，角α－β的終邊與670°角的終邊相同，則α＝ ，β
＝ .
解析：∵角α，β都是銳角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜
α－β＜90°.由題意可知，α＋β＝－280°＋ k1·360°，
k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋ k2·360°，
k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°.
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14. 已知集合 A ＝{α｜ k ·180°＋45°＜α＜ k ·180°＋60°， k
∈Z}，集合 B ＝{β｜ k ·360°－55°＜β＜ k ·360°＋55°， k
∈Z}.
（1）在平面直角坐標系中，表示出角α終邊所在區域；
解： 角α終邊所在區域如圖①所示.
（2）在平面直角坐標系中，表示出角β終邊所在區域；
解： 角β終邊所在區
域如圖②所示.
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（3）求 A ∩ B .
解： 由圖①②知 A ∩ B ＝{γ｜ k ·360°＋45°＜γ＜
k ·360°＋55°， k ∈Z}.
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15. 已知α是第一象限角，β是第二象限角，試確定 終邊所在的
位置.
解：由已知得 k1·360°＜α＜90°＋ k1·360°， k1∈Z，　①
90°＋ k2·360°＜β＜180°＋ k2·360°， k2∈Z. 　②
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由①＋②得90°＋（ k1＋ k2）·360°＜α＋β＜270°＋（ k1＋
k2）·360°（ k1， k2∈Z）.
∴45°＋（ k1＋ k2）·180°＜ ＜135°＋（ k1＋ k2）·180°
（ k1， k2∈Z）.
當 k1＋ k2＝2 m （ m ∈Z）時，45°＋ m ·360°＜ ＜135°＋
m ·360°.
的終邊在第一象限或第二象限或 y 軸的非負半軸上；
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當 k1＋ k2＝2 m ＋1（ m ∈Z）時，225°＋ m ·360°＜ ＜315°
＋ m ·360°.
的終邊在第三象限或第四象限或 y 軸的非正半軸上.
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