資源簡介

7.1.2　弧度制
1.若α＝－2 rad，則角α的終邊在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.（2024·徐州期末）已知扇形的半徑為4 cm，弧長為2 cm，則該扇形的面積為（　　）
A.1 cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
3.與30°角終邊相同的角的集合是（　　）
A.{α｜α＝k·360°＋，k∈Z}
B.{α｜α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C.{α｜α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}
4.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范圍（陰影部分）是（　　）
5.（多選）若一個扇形的半徑變為原來的2倍，而弧長也變為原來的2倍，則（　　）
A.扇形的面積不變
B.扇形的圓心角不變
C.扇形的面積增大到原來的4倍
D.扇形的圓心角增大到原來的2倍
6.（多選）下列表示中正確的是（　　）
A.終邊在x軸上的角的集合是{α｜α＝kπ，k∈Z}
B.終邊在第二象限的角的集合為{α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}
C.終邊在坐標軸上的角的集合是{α｜α＝，k∈Z}
D.終邊在直線y＝x上的角的集合是{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}
7.時針走了一小時，轉過了　　　　弧度.
8.已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，則α，β，γ，θ的大小關系為　　　　　　　　.
9.一段圓弧的長度等于其所在圓的圓內接正方形的邊長，則這段圓弧所對的圓心角為　　　　.
10.已知角α＝1 200°.
（1）將α改寫成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第幾象限角；
（2）在區間[－4π，π]上找出與α終邊相同的角.
11.已知某機械采用齒輪傳動，由主動輪M帶著從動輪N轉動（如圖所示），設主動輪M的直徑為150 mm，從動輪N的直徑為300 mm，若主動輪M順時針旋轉，則從動輪N逆時針旋轉（　　）
A.　　　B. C.　　　D.π
12.若角α與角x＋有相同的終邊，角β與角x－有相同的終邊，那么α與β間的關系為（　　）
A.α＋β＝0
B.α－β＝0
C.α＋β＝2kπ（k∈Z）
D.α－β＝2kπ＋（k∈Z）
13.某學生在手工課上設計制作了一款樹葉形狀的書簽（如圖所示），該書簽的邊緣由兩段圓弧組成，每段圓弧均為其所在圓周的四分之一，這兩段圓弧關于直線AB對稱.若AB＝10 cm，則該書簽的面積為　　　　cm2.
14.已知一扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為R.
（1）若α＝，R＝6 cm，求該扇形的弧長l；
（2）若扇形的周長為12 cm，問當α多大時，該扇形有最大面積？并求出這個最大面積.
15.某公司擬設計一個扇環形狀的花壇（如圖所示），該扇環是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和線段AD，BC圍成的.設圓弧，所在圓的半徑分別為r1，r2（單位：米），圓心角為θ（單位：弧度）.
（1）若θ＝，r1＝3，r2＝6，求花壇的面積；
（2）設計時需要考慮花壇邊緣（實線部分）的裝飾問題，已知直線部分的裝飾費用為60元/米，弧線部分的裝飾費用為90元/米，預算費用總計1 200元，問線段AD的長度為多少時，花壇的面積最大？
7.1.2　弧度制
1.C　α＝－2 rad≈－2×57.3°＝－114.6°為第三象限角.故選C.
2.C　由扇形的面積公式得S＝×2×4＝4 cm2.故選C.
3.D　與30°角終邊相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z，化為弧度制為α＝2kπ＋，k∈Z，故與30°角終邊相同角的集合是{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}，故選D.
4.C　當k為偶數時，集合對應的區域為第一象限內直線y＝x的左上部分（包含邊界）；當k為奇數時，集合對應的區域為第三象限內直線y＝x的右下部分（包含邊界）.
5.BC　∵｜α｜＝，∴當r，l均變為原來的2倍時，｜α｜不變.故B正確；在S＝｜α｜r2中，∵｜α｜不變，半徑r變為原來的2倍時，S變為原來的4倍.故C正確.故選B、C.
6.ABC　A、B顯然正確；對于C，終邊在x軸上的角的集合為{α｜α＝kπ，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，其并集為{α｜α＝，k∈Z}，故C正確；對于D，終邊在y＝x上的角的集合為{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，故D不正確.
7.－　解析：由于時針按順時針方向轉動，形成的角是負角，又由于時針轉動一小時，轉動的角度為－30°，故轉動的弧度數為－.
8.α＜β＜γ＜θ　解析：法一（化為弧度）　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.顯然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ.
法二（化為角度）　β＝＝×＝18°，γ＝1≈57.30°，顯然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ.
9.　解析：如圖，設圓的半徑為R，則正方形邊長為R，∴弧長l＝R，∴α＝＝＝.
10.解：（1）因為α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
所以角α與的終邊相同.
所以角α是第二象限角.
（2）因為與角α終邊相同的角（含角α在內）為2kπ＋，k∈Z，
所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因為k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在區間[－4π，π]上與角α終邊相同的角是－，－，.
11.B　設從動輪N逆時針旋轉θ rad，由題意，知主動輪M與從動輪N轉動的弧長相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故選B.
12.D　因為α＝x＋＋2k1π（k1∈Z），β＝x－＋2k2π（k2∈Z），所以α－β＝＋2（k1－k2）π（k1∈Z，k2∈Z）.因為k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ（k∈Z）.
13.25π－50　解析：由題知每段圓弧均為其所在圓周的四分之一，則每段圓弧所對的圓心角均為，且兩圓弧所在圓的半徑相等，設其為r，則r＝5 cm，所以書簽的面積S＝2×［π×（5）2－×（5）2］＝25π－50（cm2）.
14.解：（1）l＝αR＝×6＝2π（cm），
即扇形的弧長為2π cm.
（2）依題意，得2R＋l＝12，則l＝12－2R，
扇形的面積S＝lR＝（12－2R）R＝－R2＋6R，
所以當R＝3 cm時，扇形面積S有最大值9.
此時弧長l＝6 cm，得α＝＝2，
即當α＝2時，該扇形面積最大，最大面積為9 cm2.
15.解：（1）花壇的面積S＝×62×－×32×＝（平方米）.
（2）弧的長為r1θ米，弧的長為r2θ米，線段AD的長為（r2－r1）米.
由題意知60·2（r2－r1）＋90（r1θ＋r2θ）＝1 200，
即4（r2－r1）＋3θ（r2＋r1）＝40.（*）
則花壇的面積S＝θ－θ＝θ（r2＋r1）（r2－r1）.
由（*）式知，θ（r2＋r1）＝－（r2－r1），
記r2－r1＝x，則0＜x＜10，
所以S＝x＝－（x－5）2＋，x∈（0，10），
當x＝5時，S取得最大值，即AD＝5米時，花壇的面積最大.
1 / 27.1.2　弧度制
新課程標準解讀 核心素養
1.理解1弧度的角的定義，了解弧度制的概念，能進行角度與弧度之間的互化 數學抽象、數學運算
2.體會引入弧度制的必要性 數學抽象
3.理解弧度制下弧長與面積公式 數學運算
　　度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質量可以用千克、磅等不同的單位制.不同的單位制能給解決問題帶來方便.
【問題】　（1）角的度量是否也能用不同的單位制呢？
（2）能否像度量長度那樣，用十進制的實數來度量角的大小呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　度量角的兩種制度
角 度 制 定義 用度作為單位來度量角的單位制
1度的角 1度的角等于周角的　　　，記作1°
弧 度 制 定義 用弧度作為角的單位來度量角的單位制
1弧度的角 長度等于　 　　　的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1 rad（rad可省略不寫）
提醒　不管是以弧度還是以度為單位度量角的大小，都是一個與半徑大小無關的定值.
知識點二　角度與弧度的換算
1.弧度數的計算
2.弧度與角度的換算
【想一想】
在大小不同的圓中，長度為1的弧所對的圓心角相等嗎？
知識點三　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角，則
（1）弧長公式：l＝　　　　；
（2）扇形面積公式：S＝　　　　＝｜α｜r2.
提醒　在應用弧長公式、扇形面積公式時，要注意α的單位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”為單位的，則應先化成“弧度”，再代入計算.
【想一想】
　角度制下的扇形的弧長公式和扇形面積公式是什么？
1.（多選）下列說法中，正確的是（　　）
A.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關
B.1弧度就是1°的圓心角所對的弧
C.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
D.1 rad的角比1°的角要大
2.（1）－π rad化為角度是　　　　；
（2）105°的弧度數是　　　　.
3.（2024·鹽城阜寧期末）已知扇形的半徑為2，扇形圓心角的弧度數是2，求扇形的弧長、周長與面積.
題型一 弧度與角度的互化
角度1　弧度化為角度
【例1】　（鏈接教科書第173頁例3）把下列各角從弧度化為度：
（1）－；（2）1.4；（3）.
通性通法
弧度化角度的方法
　　弧度化角度時，抓住關系式π rad＝180°，利用1 rad＝進行換算.
角度2　角度化為弧度
【例2】　（鏈接教科書第173頁例4）把下列各角從度化為弧度：
（1）270°；（2）－22°30'；（3）－150°.
通性通法
角度化弧度的方法
　　角度化弧度時，抓住關系式180°＝π rad，利用1°＝ rad進行換算.
提醒　（1）用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫；
（2）用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數.
【跟蹤訓練】
1.把下列弧度化為角度：
（1）＝　　　　；（2）－＝　　　　.
2.把下列角度化為弧度：
（1）－1 500°＝　　　　；
（2）67°30'＝　　　　.
題型二 用弧度制表示角
【例3】　（鏈接教科書第176頁練習5題）將－1 125°寫成α＋2kπ（k∈Z）的形式，其中0≤α＜2π.
（1）判斷它是第幾象限角；
（2）在[－4π，4π]范圍內找出與α終邊相同的角的集合.
通性通法
弧度制下與角α終邊相同的角的表示
　　在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍.
提醒　（1）角度與弧度不能混用；
（2）在任意角范圍內，表示終邊相同的角需加2kπ，k∈Z.
【跟蹤訓練】
1.用弧度制表示與150°角終邊相同的角α的集合為　　　　　　　　.
2.用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內的角θ的集合.
題型三 扇形的弧長及面積公式
【例4】　（鏈接教科書第174頁例5）（1）已知扇形的周長為6 cm，圓心角為1，求該扇形的面積；
（2）已知扇形的周長為10 cm，面積等于4 cm2，求其圓心角的弧度數.
通性通法
關于弧度制下扇形問題的解決方法
（1）三個公式：｜α｜＝，S＝lr，S＝｜α｜r2，要恰當選擇公式，建立未知量、已知量間的關系，通過解方程（組）求值；
（2）弧長、面積的最值：利用圓心角的弧度數、半徑表示出弧長（面積），利用函數知識求最值，一般利用二次函數的最值求解.
【跟蹤訓練】
1.在直徑為20 cm的圓中，的圓心角所對弧的長為　　　　 cm.
2.已知扇形的面積為25，當扇形的圓心角（正角）為多大時，扇形的周長取得最小值？
1.1 920°轉化為弧度數是（　　）
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2.將弧度化成角度為（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知扇形的圓心角為，弧長為π，則扇形的面積為　　　　.
4.已知α＝.
（1）寫出所有與α終邊相同的角；
（2）寫出在（－4π，2π）內與α終邊相同的角.
7.1.2　弧度制
【基礎知識·重落實】
知識點一
　　半徑長
知識點二
1.正數　負數　0　　2.2π　360°　π　180°　　
想一想
　提示：不相等.這是因為長度為1的弧是指弧的長度為1，在大小不同的圓中，由于半徑不同，所以圓心角也不同.
知識點三
　（1）｜α｜r　（2）lr
想一想
　提示：扇形弧長l＝ ，扇形面積公式S＝.（其中，r是扇形所在圓的半徑，n為扇形的圓心角）
自我診斷
1.CD　在A中，用角度制和弧度制度量角都與圓的半徑無關，故A錯誤；在B中，1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角的大小，故B錯誤；在C中，由1°與1弧度的定義，可知C正確；在D中，1 rad≈57.30°＞1°，故D正確.故選C、D.
2.（1）－144°　（2） rad　解析：（1）－π＝－π×＝－144°.
（2）105°＝105× rad＝ rad.
3.解：由已知得，扇形的半徑R＝2，圓心角的弧度數α＝2，則扇形的弧長為l＝αR＝4，扇形的周長為l＋2R＝αR＋2R＝8，扇形的面積S＝lR＝×4×2＝4.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）－ rad＝－×＝－108°.
（2）1.4 rad＝1.4×≈1.4×57.30°＝80.22°.
（3） rad＝×＝140°.
【例2】　解：（1）270°＝270× rad＝ rad.
（2）－22°30'＝－22.5°＝－22.5× rad＝－ rad.
（3）－150°＝－150× rad＝－ rad.
跟蹤訓練
1.（1）690°　（2）－390°　解析：（1）＝×＝690°.
（2）－＝－×＝－390°.
2.（1）－　（2）　解析：（1）－1 500°＝－1 500×＝－.
（2）67°30'＝67.5°＝67.5×＝.
【例3】　解：（1）－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.
因為＜＜2π，所以是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.
（2）依題意與α終邊相同的角為＋2kπ，k∈Z，
由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，知k＝－2，－1，0，1，
所以所求角的集合為{－，－，，}.
跟蹤訓練
1.　解析：150°＝150×＝，故與150°角終邊相同的角的集合為.
2.解：終邊落在射線OA上的角為θ＝k·360°＋135°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.
終邊落在射線OB上的角為θ＝k·360°－30°，k∈Z，即θ＝2kπ－，k∈Z，
故終邊落在陰影部分的角θ的集合為θ｜2kπ－≤θ≤2kπ＋，k∈Z.
【例4】　解：（1）設扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，由圓心角為1 rad，依據弧長公式可得l＝r，從而扇形的周長為l＋2r＝3r＝6，解得r＝2，則l＝2.
故扇形的面積S＝rl＝×2×2＝2（cm2）.
（2）設圓心角弧度數為α（0＜α＜2π），弧長為l，半徑為r，則有解得或
當時，α＝＝8＞2π，不符合題意，舍去；
當時，α＝＝.
綜上，圓心角的弧度數為.
跟蹤訓練
1.π　解析：由弧長公式l＝｜α｜R可得，弧長為×＝（cm）.
2.解：設扇形的半徑為r，弧長為l，周長為y，則y＝l＋2r.
由題意知lr＝25，則l＝，
∴y＝＋2r≥2＝20，當且僅當＝2r，即r＝5時，y取得最小值，最小值為20，此時l＝10，圓心角α＝＝2.
即當扇形的圓心角為2時，扇形的周長取得最小值.
隨堂檢測
1.D　1 920°＝1 920×＝.
2.C　 rad＝×＝120°.故選C.
3.2π　解析：由扇形的圓心角α＝，弧長l＝π，得扇形的半徑r＝＝4，則扇形的面積S＝lr＝×π×4＝2π.
4.解：（1）所有與α終邊相同的角可表示為θ｜θ＝2kπ＋，k∈Z.
（2）在（－4π，2π）內與α終邊相同的角有－，－，.
4 / 4(共64張PPT)
7.1.2　弧度制
新課程標準解讀 核心素養
1.理解1弧度的角的定義，了解弧度制的概念，能進
行角度與弧度之間的互化 數學抽象、數
學運算
2.體會引入弧度制的必要性 數學抽象
3.理解弧度制下弧長與面積公式 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質量可以用
千克、磅等不同的單位制.不同的單位制能給解決問題帶來方便.
【問題】　（1）角的度量是否也能用不同的單位制呢？
（2）能否像度量長度那樣，用十進制的實數來度量角的大小呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　度量角的兩種制度
角
度 制 定義 用度作為單位來度量角的單位制
1度的
角 1度的角等于周角的 ，記作1°
弧
度 制 定義 用弧度作為角的單位來度量角的單位制
1弧度
的角 長度等于 的弧所對的圓心角叫作1弧度的
角，記作1 rad（rad可省略不寫）
　
半徑長　
提醒　不管是以弧度還是以度為單位度量角的大小，都是一個與半徑
大小無關的定值.
知識點二　角度與弧度的換算
1. 弧度數的計算
2. 弧度與角度的換算
【想一想】
在大小不同的圓中，長度為1的弧所對的圓心角相等嗎？
提示：不相等.這是因為長度為1的弧是指弧的長度為1，在大小不同
的圓中，由于半徑不同，所以圓心角也不同.
知識點三　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為 r ，弧長為 l ，α為其圓心角，則
（1）弧長公式： l ＝ ；
（2）扇形面積公式： S ＝ 　 lr 　＝ ｜α｜ r2.
提醒　在應用弧長公式、扇形面積公式時，要注意α的單位是
“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”為單位的，則
應先化成“弧度”，再代入計算.
｜α｜ r 　
lr 　
【想一想】
　角度制下的扇形的弧長公式和扇形面積公式是什么？
提示：扇形弧長 l ＝ ，扇形面積公式 S ＝ .（其中， r 是扇形所
在圓的半徑， n 為扇形的圓心角）
1. （多選）下列說法中，正確的是（　　）
A. 用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關
B. 1弧度就是1°的圓心角所對的弧
C. 1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的
D. 1 rad的角比1°的角要大
解析： 　在A中，用角度制和弧度制度量角都與圓的半徑無
關，故A錯誤；在B中，1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角的
大小，故B錯誤；在C中，由1°與1弧度的定義，可知C正確；在D
中，1 rad≈57.30°＞1°，故D正確.故選C、D.
2. （1）－ π rad化為角度是 ；
解析： － π＝－ π× ＝－144°.
（2）105°的弧度數是 .
解析： 105°＝105× rad＝ rad.
－144°　
rad　
3. （2024·鹽城阜寧期末）已知扇形的半徑為2，扇形圓心角的弧度數
是2，求扇形的弧長、周長與面積.
解：由已知得，扇形的半徑 R ＝2，圓心角的弧度數α＝2，則扇形
的弧長為 l ＝α R ＝4，扇形的周長為 l ＋2 R ＝α R ＋2 R ＝8，扇形
的面積 S ＝ lR ＝ ×4×2＝4.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 弧度與角度的互化
【例1】　（鏈接教科書第173頁例3）把下列各角從弧度化為度：
（1）－ ；
解：－ rad＝－ × ＝－108°.
角度1　弧度化為角度
（2）1.4；
解：1.4 rad＝1.4× ≈1.4×57.30°＝80.22°.
（3） .
解： rad＝ × ＝140°.
通性通法
弧度化角度的方法
　　弧度化角度時，抓住關系式π rad＝180°，利用1 rad＝ 進行
換算.
角度2　角度化為弧度
【例2】　（鏈接教科書第173頁例4）把下列各角從度化為弧度：
（1）270°；
解：270°＝270× rad＝ rad.
（2）－22°30'；
解：－22°30'＝－22.5°＝－22.5× rad＝－ rad.
（3）－150°.
解：－150°＝－150× rad＝－ rad.
通性通法
角度化弧度的方法
　　角度化弧度時，抓住關系式180°＝π rad，利用1°＝ rad進行
換算.
提醒　（1）用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可
以省略不寫；
（2）用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，
如無特別要求，不必把π寫成小數.
【跟蹤訓練】
1. 把下列弧度化為角度：
（1） ＝ ；
解析： ＝ × ＝690°.
（2）－ ＝ .
解析：－ ＝－ × ＝－390°.
690°　
－390°　
2. 把下列角度化為弧度：
（1）－1 500°＝ ；
解析：－1 500°＝－1 500× ＝－ .
（2）67°30'＝ .
解析：67°30'＝67.5°＝67.5× ＝ .
－ 　
　
題型二 用弧度制表示角
【例3】　（鏈接教科書第176頁練習5題）將－1 125°寫成α＋2 k π
（ k ∈Z）的形式，其中0≤α＜2π.
（1）判斷它是第幾象限角；
解：－1 125°＝－1 125× ＝－ ＝－8π＋ .
因為 ＜ ＜2π，所以 是第四象限角，所以－1 125°是第四
象限角.
（2）在[－4π，4π]范圍內找出與α終邊相同的角的集合.
解：依題意與α終邊相同的角為 ＋2 k π， k ∈Z，
由－4π≤ ＋2 k π≤4π， k ∈Z，知 k ＝－2，－1，0，1，
所以所求角的集合為{－ ，－ ， ， }.
通性通法
弧度制下與角α終邊相同的角的表示
　　在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β｜β＝2 k π＋
α， k ∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍.
提醒　（1）角度與弧度不能混用；
（2）在任意角范圍內，表示終邊相同的角需加2 k π， k ∈Z.
【跟蹤訓練】
1. 用弧度制表示與150°角終邊相同的角α的集合為 .
解析：150°＝150× ＝ ，故與150°角終邊相同的角的集合
為 .
2. 用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內
的角θ的集合.
解：終邊落在射線 OA 上的角為θ＝ k ·360°＋135°， k ∈Z，即θ
＝ ＋2 k π， k ∈Z.
終邊落在射線 OB 上的角為θ＝ k ·360°－30°， k ∈Z，即θ＝2 k
π－ ， k ∈Z，
故終邊落在陰影部分的角θ的集合為 θ｜2 k π－ ≤θ≤2 k π＋
， k ∈Z .
題型三 扇形的弧長及面積公式
【例4】　（鏈接教科書第174頁例5）（1）已知扇形的周長為6 cm，
圓心角為1，求該扇形的面積；
解：設扇形的半徑為 r cm，弧長為 l cm，由圓心角為1 rad，依據
弧長公式可得 l ＝ r ，從而扇形的周長為 l ＋2 r ＝3 r ＝6，解得 r
＝2，則 l ＝2.
故扇形的面積 S ＝ rl ＝ ×2×2＝2（cm2）.
（2）已知扇形的周長為10 cm，面積等于4 cm2，求其圓心角的弧
度數.
解：設圓心角弧度數為α（0＜α＜2π），弧長為 l ，半徑為 r ，
則有解得或
當時，α＝ ＝8＞2π，不符合題意，舍去；
當時，α＝ ＝ .
綜上，圓心角的弧度數為 .
通性通法
關于弧度制下扇形問題的解決方法
（1）三個公式：｜α｜＝ ， S ＝ lr ， S ＝ ｜α｜ r2，要恰當
選擇公式，建立未知量、已知量間的關系，通過解方程
（組）求值；
（2）弧長、面積的最值：利用圓心角的弧度數、半徑表示出弧長
（面積），利用函數知識求最值，一般利用二次函數的最值
求解.
【跟蹤訓練】
1. 在直徑為20 cm的圓中， 的圓心角所對弧的長為 　 π　 cm.
解析：由弧長公式 l ＝｜α｜ R 可得，弧長為 × ＝ （cm）.
π　
2. 已知扇形的面積為25，當扇形的圓心角（正角）為多大時，扇形的
周長取得最小值？
解：設扇形的半徑為 r ，弧長為 l ，周長為 y ，則 y ＝ l ＋2 r .
由題意知 lr ＝25，則 l ＝ ，
∴ y ＝ ＋2 r ≥2 ＝20，當且僅當 ＝2 r ，即 r ＝5時， y 取
得最小值，最小值為20，此時 l ＝10，圓心角α＝ ＝2.
即當扇形的圓心角為2時，扇形的周長取得最小值.
1.1 920°轉化為弧度數是（　　）
A. B. C. D.
解析： 　1 920°＝1 920× ＝ .
2. 將 弧度化成角度為（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　 rad＝ × ＝120°.故選C.
3. 已知扇形的圓心角為 ，弧長為π，則扇形的面積為 　　.
解析：由扇形的圓心角α＝ ，弧長 l ＝π，得扇形的半徑 r ＝ ＝
4，則扇形的面積 S ＝ lr ＝ ×π×4＝2π.
2π
4. 已知α＝ .
（1）寫出所有與α終邊相同的角；
解： 所有與α終邊相同的角可表示為 θ｜θ＝2 k π＋
， k ∈Z .
（2）寫出在（－4π，2π）內與α終邊相同的角.
解： 在（－4π，2π）內與α終邊相同的角有－ ，－
， .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若α＝－2 rad，則角α的終邊在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　α＝－2 rad≈－2×57.3°＝－114.6°為第三象限角.故
選C.
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2. （2024·徐州期末）已知扇形的半徑為4 cm，弧長為2 cm，則該扇
形的面積為（　　）
A. 1 cm2 B. 2 cm2
C. 4 cm2 D. 8 cm2
解析： 　由扇形的面積公式得 S ＝ ×2×4＝4 cm2.故選C.
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3. 與30°角終邊相同的角的集合是（　　）
A. {α｜α＝ k ·360°＋ ， k ∈Z}
B. {α｜α＝2 k π＋30°， k ∈Z}
C. {α｜α＝2 k ·360°＋30°， k ∈Z}
D. {α｜α＝2 k π＋ ， k ∈Z}
解析： 　與30°角終邊相同的角α＝ k ·360°＋30°， k ∈Z，化
為弧度制為α＝2 k π＋ ， k ∈Z，故與30°角終邊相同角的集合是
{α｜α＝2 k π＋ ， k ∈Z}，故選D.
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4. 集合{α｜ k π＋ ≤α≤ k π＋ ， k ∈Z}中角所表示的范圍（陰影
部分）是（　　）
解析： 　當 k 為偶數時，集合對應的區域為第一象限內直線 y ＝ x
的左上部分（包含邊界）；當 k 為奇數時，集合對應的區域為第三
象限內直線 y ＝ x 的右下部分（包含邊界）.
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5. （多選）若一個扇形的半徑變為原來的2倍，而弧長也變為原來的2
倍，則（　　）
A. 扇形的面積不變
B. 扇形的圓心角不變
C. 扇形的面積增大到原來的4倍
D. 扇形的圓心角增大到原來的2倍
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解析： 　∵｜α｜＝ ，∴當 r ， l 均變為原來的2倍時，｜α｜
不變.故B正確；在 S ＝ ｜α｜ r2中，∵｜α｜不變，半徑 r 變為
原來的2倍時， S 變為原來的4倍.故C正確.故選B、C.
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6. （多選）下列表示中正確的是（　　）
A. 終邊在 x 軸上的角的集合是{α｜α＝ k π， k ∈Z}
B. 終邊在第二象限的角的集合為{α｜ ＋2 k π＜α＜π＋2 k π， k
∈Z}
C. 終邊在坐標軸上的角的集合是{α｜α＝ ， k ∈Z}
D. 終邊在直線 y ＝ x 上的角的集合是{α｜α＝ ＋2 k π， k ∈Z}
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解析： 　A、B顯然正確；對于C，終邊在 x 軸上的角的集
合為{α｜α＝ k π， k ∈Z}，終邊在 y 軸上的角的集合為{α｜
α＝ ＋ k π， k ∈Z}，其并集為{α｜α＝ ， k ∈Z}，故C正
確；對于D，終邊在 y ＝ x 上的角的集合為{α｜α＝ ＋ k π， k
∈Z}，故D不正確.
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7. 時針走了一小時，轉過了 弧度.
解析：由于時針按順時針方向轉動，形成的角是負角，又由于時針
轉動一小時，轉動的角度為－30°，故轉動的弧度數為－ .
－ 　
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8. 已知α＝15°，β＝ ，γ＝1，θ＝105°，則α，β，γ，θ
的大小關系為 .
解析：法一（化為弧度）　α＝15°＝15× ＝ ，θ＝
105°＝105× ＝ .顯然 ＜ ＜1＜ ，故α＜β＜γ
＜θ.
法二（化為角度）　β＝ ＝ × ＝18°，γ＝
1≈57.30°，顯然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜
γ＜θ.
α＜β＜γ＜θ　
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9. 一段圓弧的長度等于其所在圓的圓內接正方形的邊長，則這段圓弧
所對的圓心角為 .
解析：如圖，設圓的半徑為 R ，則正方形邊長為
R ，∴弧長 l ＝ R ，∴α＝ ＝ ＝ .
　
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10. 已知角α＝1 200°.
（1）將α改寫成β＋2 k π（ k ∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出
α是第幾象限角；
解： 因為α＝1 200°＝1 200× ＝ ＝3×2π＋
，
所以角α與 的終邊相同.
所以角α是第二象限角.
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（2）在區間[－4π，π]上找出與α終邊相同的角.
解： 因為與角α終邊相同的角（含角α在內）為2 k π
＋ ， k ∈Z，
所以由－4π≤2 k π＋ ≤π，得－ ≤ k ≤ .
因為 k ∈Z，所以 k ＝－2或 k ＝－1或 k ＝0.
故在區間[－4π，π]上與角α終邊相同的角是－ ，－
， .
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11. 已知某機械采用齒輪傳動，由主動輪 M 帶著從動輪 N 轉動（如圖
所示），設主動輪 M 的直徑為150 mm，從動輪 N 的直徑為300
mm，若主動輪 M 順時針旋轉 ，則從動輪 N 逆時針旋轉（　　）
A. B.
解析： 　設從動輪 N 逆時針旋轉θ rad，
由題意，知主動輪 M 與從動輪 N 轉動的弧長相等，所以 × ＝ ×θ，解得θ＝ ，故選B.
C. D. π
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12. 若角α與角 x ＋ 有相同的終邊，角β與角 x － 有相同的終邊，
那么α與β間的關系為（　　）
A. α＋β＝0
B. α－β＝0
C. α＋β＝2 k π（ k ∈Z）
D. α－β＝2 k π＋ （ k ∈Z）
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解析： 　因為α＝ x ＋ ＋2 k1π（ k1∈Z），β＝ x － ＋2 k2π
（ k2∈Z），所以α－β＝ ＋2（ k1－ k2）π（ k1∈Z， k2∈Z）.
因為 k1∈Z， k2∈Z，所以 k1－ k2∈Z. 所以α－β＝ ＋2 k π（ k
∈Z）.
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13. 某學生在手工課上設計制作了一款樹葉形狀的書簽（如圖所
示），該書簽的邊緣由兩段圓弧組成，每段圓弧均為其所在圓周
的四分之一，這兩段圓弧關于直線 AB 對稱.若 AB ＝10 cm，則該
書簽的面積為 cm2.
25π－50　
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解析：由題知每段圓弧均為其所在圓周的四分之一，則每段圓弧
所對的圓心角均為 ，且兩圓弧所在圓的半徑相等，設其為 r ，則
r ＝5 cm，所以書簽的面積 S ＝2×
＝25π－50（cm2）.
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14. 已知一扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為 R .
（1）若α＝ ， R ＝6 cm，求該扇形的弧長 l ；
解： l ＝α R ＝ ×6＝2π（cm），
即扇形的弧長為2π cm.
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（2）若扇形的周長為12 cm，問當α多大時，該扇形有最大面
積？并求出這個最大面積.
解： 依題意，得2 R ＋ l ＝12，則 l ＝12－2 R ，
扇形的面積 S ＝ lR ＝ （12－2 R ） R ＝－ R2＋6 R ，
所以當 R ＝3 cm時，扇形面積 S 有最大值9.
此時弧長 l ＝6 cm，得α＝ ＝2，
即當α＝2時，該扇形面積最大，最大面積為9 cm2.
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15. 某公司擬設計一個扇環形狀的花壇（如圖所示），該扇環是由以
點 O 為圓心的兩個同心圓弧和線段 AD ， BC 圍成的.設圓弧 ，
所在圓的半徑分別為 r1， r2（單位：米），圓心角為θ（單
位：弧度）.
（1）若θ＝ ， r1＝3， r2＝6，求花壇的面積；
解： 花壇的面積 S ＝ ×62× －
×32× ＝ （平方米）.
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（2）設計時需要考慮花壇邊緣（實線部分）的裝飾問題，已知直
線部分的裝飾費用為60元/米，弧線部分的裝飾費用為90元/
米，預算費用總計1 200元，問線段 AD 的長度為多少時，花
壇的面積最大？
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解： 弧 的長為 r1θ米，弧 的長
為 r2θ米，線段 AD 的長為（ r2－ r1）米.
由題意知60·2（ r2－ r1）＋90（ r1θ＋
r2θ）＝1 200，
即4（ r2－ r1）＋3θ（ r2＋ r1）＝40.　
（*）
則花壇的面積 S ＝ θ－ θ＝ θ
（ r2＋ r1）（ r2－ r1）.
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由（*）式知，θ（ r2＋ r1）＝ － （ r2－ r1），
記 r2－ r1＝ x ，則0＜ x ＜10，
所以 S ＝ x ＝－ （ x －5）2＋ ， x ∈（0，
10），
當 x ＝5時， S 取得最大值，即 AD ＝5米時，花壇的面積最
大.
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