資源簡介

7.3.1　三角函數的周期性
1.函數f（x）＝cos的最小正周期為（　　）
A.2π B.12
C. D.3π
2.函數y＝sin是（　　）
A.周期為π的奇函數 B.周期為π的偶函數
C.周期為2π的奇函數 D.周期為2π的偶函數
3.設函數f（x）（x∈R）滿足f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（x），則函數y＝f（x）的圖象可能是（　　）
4.已知函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，則ω＝（　　）
A.　　　B.π C.2　　　D.2π
5.若函數y＝f（x）是以2為周期的函數，且f（5）＝6，則f（1）＝（　　）
A.1 B.3
C.5 D.6
6.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.因為sin（π－x）＝sin x，所以π是函數y＝sin x的一個周期
B.因為tan（2π＋x）＝tan x，所以2π是函數y＝tan x的一個周期
C.因為cos（0＋x）＝cos x，所以0是函數y＝cos x的一個周期
D.因為cos≠cos x，所以不是函數y＝cos x的一個周期
7.已知函數y＝sin（A＞0）的最小正周期為3π，則函數y＝3cos[（2A－1）x－π]的最小正周期為　　　　.
8.函數y＝tan（k＞0）的最小正周期不大于2，則正整數k的最小值為　　　　.
9.已知f（x）在R上是奇函數，且滿足f（x＋4）＝f（x），當x∈（0，2）時，f（x）＝2sin（x），則f（7）＝　　　　.
10.求下列函數的周期：
（1）f（x）＝2sin，x∈R；
（2）f（x）＝1－2cosx，x∈R.
11.設f（x）是定義域為R，最小正周期為的函數，若f（x）＝則f＝（　　）
A.1 B.
C.0 D.－
12.設f（x）是周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，f（x）＝sin x＋x，則當1＜x＜2時，f（x）＝（　　）
A.sin x＋x B.sin（x－2）＋x－2
C.sin（x＋2）＋x＋2 D.sin（x＋2）＋x－2
13.函數f（x）＝sinx＋cos 3x的最小正周期為　　　　.
14.已知函數y＝f（x）滿足f（x＋2）＝－f（x），且f（1）＝a.
（1）求f（3），f（5）的值；
（2）求f（x）的一個周期，并加以證明.
15.已知函數f（x）＝cos x，求f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）的值.
7.3.1　三角函數的周期性
1.C　因為f（x）＝cos＝cos，所以最小正周期為T＝.
2.D　因為y＝sin＝cos x，所以該函數是周期為2π的偶函數.故選D.
3.B　由f（－x）＝f（x），則f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱.由f（x＋2）＝f（x），則f（x）的周期為2.故選B.
4.C　由題圖可知T＝－＝π，故＝π，ω＝2.故選C.
5.D　∵f（x）的周期為2，∴f（5）＝f（2×2＋1）＝f（1）＝6.
6.BD　根據周期函數的定義容易知道A、C均是錯誤的；對于B，2π是函數y＝tan x的一個周期，故B正確；D顯然正確.故選B、D.
7.π　解析：由題意知2π·A＝3π，∴A＝，∴2A－1＝2.∴y＝3cos[（2A－1）x－π]＝3cos（2x－π）的最小正周期T＝π.
8.7　解析：因為T＝＝≤2，所以k≥2π，又k∈N*，所以正整數k的最小值為7.
9.－2　解析：因為f（x＋4）＝f（x），所以函數的周期是4.因為f（x）在R上是奇函數，且當x∈（0，2）時，f（x）＝2sin（x），所以f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.
10.解：（1）法一　設f（x）的周期為T，
則2sin［（x＋T）＋］＝2sin，即2sin（x＋＋）＝2sin對任意的x均成立.
即2sin＝2sin u，其中u＝x＋.
∵y＝2sin u的周期為2π，∴＝2π，∴T＝4π，
∴f（x）＝2sin的周期為4π.
法二　∵T＝＝4π，∴f（x）＝2sin的周期為4π.
（2）f（x）＝1－2cosx的周期為T＝＝4.
11.B　f＝f［×（－3）＋］＝f＝sin＝.故選B.
12.B　當1＜x＜2時，－2＜－x＜－1，則0＜2－x＜1，因為當0＜x＜1時，f（x）＝sin x＋x，所以f（2－x）＝sin（2－x）＋2－x.因為f（x）是周期為2的奇函數，所以f（x）＝－f（－x）＝－f（2－x）＝－sin（2－x）＋x－2＝sin（x－2）＋x－2.
13.6π　解析：由y＝sin的周期T1＝3π，y＝cos 3x的周期T2＝π，T1，T2的最小公倍數為6π，故f（x）的最小正周期為6π.
14.解：（1）令x＝1，則由f（x＋2）＝－f（x），得f（3）＝－f（1）＝－a；
令x＝3，則由f（x＋2）＝－f（x），得f（5）＝－f（3）＝a.
（2）f（x）的一個周期為4.證明如下：
∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）
＝－[－f（x）]＝f（x），
即f（x＋4）＝f（x）.
∴f（x）的一個周期為4.
15.解：由ω＝，得T＝6，因為f（1）＝cos ＝，f（2）＝cos ＝－，f（3）＝cos π＝－1，f（4）＝cos ＝－，f（5）＝cos ＝，f（6）＝cos 2π＝1，
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，即每連續六項的和均為0.
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝－－1＝－1.
1 / 27.3.1　三角函數的周期性
新課程標準解讀 核心素養
1.了解周期函數的概念，會判斷一些簡單的、常見的函數的周期性 數學抽象
2.會求一些簡單三角函數的周期 數學運算
　　人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，月亮圓了又缺，缺了又圓，這一周而復始的自然現象，有唐朝詩人李建樞的詩《詠月》為證：“昨夜圓非今夜圓，卻疑圓處減嬋娟，一年十二度圓缺，能得幾多時少年”，從詩中，我們能領悟到光陰無情、歲月短暫的道理，告誡人們要珍惜時光，努力學習.我們知道，單擺運動、時鐘的圓周運動、四季變化等，都具有周期性變化的規律.
【問題】　從角到角的三角函數值也都有周而復始的現象，你知道這一現象反映的是三角函數的什么性質嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的周期性
1.周期函數：設函數y＝f（x）的定義域為A.如果存在一個　　　　　　　，使得對于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且　　　　　　，那么函數f（x）就叫作周期函數.非零常數T叫作這個函數的周期.
2.最小正周期：對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的　　　　，那么，這個最小的　　　　就叫作f（x）的　　　　　　　　.
3.三角函數的周期性
（1）函數y＝Asin（ωx＋φ）及y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω＞0）的周期為　　　　；
（2）函數y＝Atan（ωx＋φ）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω＞0）的周期為　　　　.
提醒　對周期函數定義的再理解：①并不是每一個函數都是周期函數，若函數具有周期性，則其周期也不一定唯一；②如果T是定義在A上的函數f（x）的一個周期，并且對任意x∈A，都有x＋nT∈A（n∈Z且n≠0），那么nT（n∈Z且n≠0）也是f（x）的周期；③函數的周期性是函數在定義域上的整體性質.若一個函數為周期函數，則只需研究它在一個周期范圍內的性質，就可以知道它的整體性質.
1.下列函數中周期為的是（　　）
A.y＝sin B.y＝sin 2x
C.y＝tan D.y＝cos（－4x）
2.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.y＝｜sin x｜不是周期函數
B.6π不是函數y＝sin x的一個周期
C.周期函數的周期可以有無數多個
D.若函數f（x）的周期為T，則kT，k∈N*也是f（x）的周期
3.設k＞0，若函數f（x）＝sin的最小正周期為，則k＝　　　　.
題型一 周期函數的概念
【例1】　下列命題正確的是（　　）
A.存在函數f（x）定義域中的某個自變量x0，使f（x0＋T）＝f（x0），則f（x）為周期函數
B.存在常數T，使得對f（x）定義域內任意x，都滿足f（x＋T）＝f（x），則f（x）為周期函數
C.周期函數可能沒有最小正周期
D.周期函數的周期是唯一的
通性通法
理解周期函數概念應注意的3點
（1）周期函數的定義是對定義域中的每一個值來說的，如果只有個別的x值滿足f（x＋T）＝f（x），那么T不能稱為f（x）的周期；
（2）存在一個常數T，且T≠0，若T為f（x）的一個周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是該函數的周期；
（3）不是所有的函數都是周期函數，也不是所有的周期函數都有最小正周期.
【跟蹤訓練】
　已知函數f（x）是定義在R上的周期為4的奇函數，且f（－3）＝－3，求f（99）的值.
題型二 周期函數在實際問題中的應用
【例2】　（鏈接教科書第195頁例1）已知作周期性單擺運動的小球相對靜止位置的位移x（單位：cm）與時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示.
（1）求該函數的周期；
（2）從O點算起，到曲線上的哪一點表示完成了一次往復運動？若從A點算起呢？
（3）求t＝11 s時，單擺小球相對于靜止位置的位移.
通性通法
　　根據函數關系對應的圖象，首先確定函數的周期，然后再利用周期解決問題.周期函數圖象上任意橫坐標差為kT（k∈Z且k≠0）的兩點對應的縱坐標相等.
【跟蹤訓練】已知彈簧振子對平衡位置的位移x（單位：cm）與時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示.
（1）求該函數的周期；
（2）求當t＝25.5 s時彈簧振子對平衡位置的位移.
題型三 求三角函數的周期
【例3】　（鏈接教科書第195頁例2）（1）求函數f（x）＝sin 2x的周期；
（2）求下列函數的最小正周期：
①f（x）＝cos（2x＋）；②f（x）＝｜sin x｜.
通性通法
求三角函數的周期的方法
（1）定義法：緊扣周期函數的定義，尋求對任意實數x都滿足f（x＋T）＝f（x）的非零常數T.該方法主要適用于抽象函數；
（2）公式法：對形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A≠0）的函數，可利用T＝來求；形如y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0）的函數，可利用T＝來求；
（3）圖象法：可畫出函數的圖象，借助于圖象判斷函數的周期，特別是對于含絕對值的函數一般采用此法.
【跟蹤訓練】
（多選）下列函數中，最小正周期為2π的是（　　）
A.y＝cos｜x｜ B.y＝cos（－2x）
C.y＝sin D.y＝tan
1.函數f（x）＝sin的最小正周期為（　　）
A.6π B.3π
C.2π D.π
2.周期函數y＝f（x）的圖象如圖，則函數f（x）的最小正周期為（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知函數f（x）＝2cos（ωx＋）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為10π，則ω＝（　　）
A. B.
C.5 D.4
7.3.1　三角函數的周期性
【基礎知識·重落實】
知識點
1.非零的常數T　f（x＋T）＝f（x）
2.正數　正數　最小正周期　3.（1）　（2）
自我診斷
1.D　A中，y＝sin的周期是4π；B中，y＝sin 2x的周期是π；C中，y＝tan的周期是2π ；D中，y＝cos（－4x）＝cos 4x的周期是.故選D.
2.CD　對于A，y＝｜sin x｜是周期函數，故A錯誤；對于B，6π是函數y＝sin x的一個周期，故B錯誤；函數的周期不唯一，任何T的非零整數倍都是函數的周期，故C正確；對于D，利用周期函數的定義，f（x）＝f（x＋T）＝f（x＋2T）＝…＝f（x＋kT）（k∈N*），故D正確.故選C、D.
3.3　解析：T＝＝，∴k＝3.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　由周期函數的定義，可知f（x＋T）＝f（x）對定義域內的任意一個x都成立，且T≠0，故A、B不正確；如常數函數f（x）＝1，x∈R，顯然是周期函數，但它沒有最小正周期，故C正確；若T為函數f（x）的周期，則f（x＋2T）＝f（（x＋T）＋T）＝f（x＋T）＝f（x），所以2T也是周期，故D不正確.
跟蹤訓練
　解：T＝4，f（99）＝f（24×4＋3）＝f（3）＝－f（－3）＝3.
【例2】　解：（1）從圖象可以看出，該函數的周期是0.4 s.
（2）若從O點算起，到曲線上的D點表示完成了一次往復運動；若從A點算起，則到曲線上的E點表示完成了一次往復運動.
（3）設x＝f（t），∵函數f（t）的周期為0.4 s，
∴f（11）＝f（0.4×27＋0.2）＝f（0.2）＝0.
∴當t＝11 s時，單擺小球相對于靜止位置的位移是0 cm.
跟蹤訓練
　解：（1）由函數圖象可知，該函數的周期T＝4.5－0.5＝4（s）.
（2）設x＝f（t），∵函數f（t）的周期為4 s，
∴f（25.5）＝f（6×4＋1.5）＝f（1.5）＝－3.
∴當t＝25.5 s時，彈簧振子對平衡位置的位移為－3 cm.
【例3】　解：（1）設f（x）的周期為T，則f（x＋T）＝f（x），
即sin[2（x＋T）]＝sin 2x對任意實數x都成立，
也就是sin（u＋2T）＝sin u對任意實數u都成立，其中u＝2x.
由y＝sin u的周期為2π，可知使得sin（u＋2T）＝sin u對任意實數u都成立的2T的最小正值為2π，∴2T＝2π，即T＝π，
∴f（x）＝sin 2x的周期為π.
（2）①法一（定義法）　∵f（x）＝cos（2x＋）＝cos（2x＋＋2π）＝cos［2（x＋π）＋］＝f（x＋π），即f（x＋π）＝f（x），
∴函數f（x）＝cos的最小正周期T＝π.
法二（公式法）　∵f（x）＝cos（2x＋），∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函數f（x）＝cos的最小正周期T＝π.
②利用周期函數的定義，
∵f（x＋π）＝｜sin（x＋π）｜＝｜－sin x｜＝｜sin x｜＝f（x）.
∴f（x）＝｜sin x｜的周期為π.
跟蹤訓練
　AC　對于A，y＝cos｜x｜＝cos x，周期為2π；對于B，y＝cos（－2x）的周期為π；對于C，y＝sin的周期為2π；對于D，y＝tan周期為π.故選A、C.
隨堂檢測
1.A　T＝＝6π.故選A.
2.B　由圖象知，函數f（x）的最小正周期T＝2.
3.A　∵f（x）的最小正周期為，∴＝10π，∴ω＝.
3 / 3(共50張PPT)
7.3.1　
三角函數的周期性
新課程標準解讀 核心素養
1.了解周期函數的概念，會判斷一些簡單的、常見
的函數的周期性 數學抽象
2.會求一些簡單三角函數的周期 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，月亮圓了又缺，缺了又圓，這一
周而復始的自然現象，有唐朝詩人李建樞的詩《詠月》為證：“昨夜
圓非今夜圓，卻疑圓處減嬋娟，一年十二度圓缺，能得幾多時少
年”，從詩中，我們能領悟到光陰無情、歲月短暫的道理，告誡人們
要珍惜時光，努力學習.我們知道，單擺運動、時鐘的圓周運動、四
季變化等，都具有周期性變化的規律.
【問題】　從角到角的三角函數值也都有周而復始的現象，你知道這
一現象反映的是三角函數的什么性質嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的周期性
1. 周期函數：設函數 y ＝ f （ x ）的定義域為 A . 如果存在一個
，使得對于任意的 x ∈ A ，都有 x ＋ T ∈ A ，并且
，那么函數 f （ x ）就叫作周期函數.非零常數 T
叫作這個函數的周期.
2. 最小正周期：對于一個周期函數 f （ x ），如果在它所有的周期中
存在一個最小的 ，那么，這個最小的 就叫作 f
（ x ）的 .
非零
的常數 T 　
f （ x
＋ T ）＝ f （ x ）　
正數　
正數　
最小正周期　

　
（2）函數 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ為常數，且 A ≠0，
ω＞0）的周期為 .
提醒　對周期函數定義的再理解：①并不是每一個函數都是
周期函數，若函數具有周期性，則其周期也不一定唯一；②
如果 T 是定義在 A 上的函數 f （ x ）的一個周期，并且對任意 x
∈ A ，都有 x ＋ nT ∈ A （ n ∈Z且 n ≠0），那么 nT （ n ∈Z且
n ≠0）也是 f （ x ）的周期；③函數的周期性是函數在定義域
上的整體性質.若一個函數為周期函數，則只需研究它在一個
周期范圍內的性質，就可以知道它的整體性質.
　
1. 下列函數中周期為 的是（　　）
B. y ＝ sin 2 x
D. y ＝ cos （－4 x ）
解析： 　A中， y ＝ sin 的周期是4π；B中， y ＝ sin 2 x 的周期是
π；C中， y ＝tan 的周期是2π ；D中， y ＝ cos （－4 x ）＝ cos 4 x
的周期是 .故選D.
2. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. y ＝｜ sin x ｜不是周期函數
B. 6π不是函數 y ＝ sin x 的一個周期
C. 周期函數的周期可以有無數多個
D. 若函數 f （ x ）的周期為 T ，則 kT ， k ∈N*也是 f （ x ）的周期
解析： 　對于A， y ＝｜ sin x ｜是周期函數，故A錯誤；對于
B，6π是函數 y ＝ sin x 的一個周期，故B錯誤；函數的周期不唯
一，任何 T 的非零整數倍都是函數的周期，故C正確；對于D，利
用周期函數的定義， f （ x ）＝ f （ x ＋ T ）＝ f （ x ＋2 T ）＝…＝ f
（ x ＋ kT ）（ k ∈N*），故D正確.故選C、D.
3. 設 k ＞0，若函數 f （ x ）＝ sin 的最小正周期為 ，則 k
＝ .
解析： T ＝ ＝ ，∴ k ＝3.
3
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 周期函數的概念
【例1】　下列命題正確的是（　　）
A. 存在函數 f （ x ）定義域中的某個自變量 x0，使 f （ x0＋ T ）＝ f
（ x0），則 f （ x ）為周期函數
B. 存在常數 T ，使得對 f （ x ）定義域內任意 x ，都滿足 f （ x ＋ T ）＝
f （ x ），則 f （ x ）為周期函數
C. 周期函數可能沒有最小正周期
D. 周期函數的周期是唯一的
解析： 　由周期函數的定義，可知 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ）對定義域內
的任意一個 x 都成立，且 T ≠0，故A、B不正確；如常數函數 f （ x ）
＝1， x ∈R，顯然是周期函數，但它沒有最小正周期，故C正確；若 T
為函數 f （ x ）的周期，則 f （ x ＋2 T ）＝ f （（ x ＋ T ）＋ T ）＝ f （ x
＋ T ）＝ f （ x ），所以2 T 也是周期，故D不正確.
通性通法
理解周期函數概念應注意的3點
（1）周期函數的定義是對定義域中的每一個值來說的，如果只有個
別的 x 值滿足 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ），那么 T 不能稱為 f （ x ）的
周期；
（2）存在一個常數 T ，且 T ≠0，若 T 為 f （ x ）的一個周期，則 kT
（ k ∈Z，且 k ≠0）也是該函數的周期；
（3）不是所有的函數都是周期函數，也不是所有的周期函數都有最
小正周期.
【跟蹤訓練】
　已知函數 f （ x ）是定義在R上的周期為4的奇函數，且 f （－3）＝
－3，求 f （99）的值.
解： T ＝4， f （99）＝ f （24×4＋3）＝ f （3）＝－ f （－3）＝3.
題型二 周期函數在實際問題中的應用
【例2】　（鏈接教科書第195頁例1）已知作周期性單擺運動的小球
相對靜止位置的位移 x （單位：cm）與時間 t （單位：s）之間的函數
關系如圖所示.
（1）求該函數的周期；
解：從圖象可以看出，該函數的周期是0.4 s.
（2）從 O 點算起，到曲線上的哪一點表示完成了一次往復運動？若
從 A 點算起呢？
解：若從 O 點算起，到曲線上的 D 點表示完成了一次往復運
動；若從 A 點算起，則到曲線上的 E 點表示完成了一次往復
運動.
（3）求 t ＝11 s時，單擺小球相對于靜止位置的位移.
解：設 x ＝ f （ t ），∵函數 f （ t ）的周期為0.4 s，
∴ f （11）＝ f （0.4×27＋0.2）＝ f （0.2）＝0.
∴當 t ＝11 s時，單擺小球相對于靜止位置的位移是0 cm.
通性通法
　　根據函數關系對應的圖象，首先確定函數的周期，然后再利用周
期解決問題.周期函數圖象上任意橫坐標差為 kT （ k ∈Z且 k ≠0）的
兩點對應的縱坐標相等.
【跟蹤訓練】
已知彈簧振子對平衡位置的位移 x （單位：cm）與時間 t （單位：s）
之間的函數關系如圖所示.
（1）求該函數的周期；
解：由函數圖象可知，該函數的周期 T ＝4.5－0.5＝4（s）.
（2）求當 t ＝25.5 s時彈簧振子對平衡位置的位移.
解：設 x ＝ f （ t ），∵函數 f （ t ）的周期為4 s，
∴ f （25.5）＝ f （6×4＋1.5）＝ f （1.5）＝－3.
∴當 t ＝25.5 s時，彈簧振子對平衡位置的位移為－3 cm.
題型三 求三角函數的周期
【例3】　（鏈接教科書第195頁例2）（1）求函數 f （ x ）＝ sin 2 x 的
周期；
解：設 f （ x ）的周期為 T ，則 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ），
即 sin [2（ x ＋ T ）]＝ sin 2 x 對任意實數 x 都成立，
也就是 sin （ u ＋2 T ）＝ sin u 對任意實數 u 都成立，其中 u ＝2 x .
由 y ＝ sin u 的周期為2π，可知使得 sin （ u ＋2 T ）＝ sin u 對任意實數
u 都成立的2 T 的最小正值為2π，∴2 T ＝2π，即 T ＝π，
∴ f （ x ）＝ sin 2 x 的周期為π.
① f （ x ）＝ cos （2 x ＋ ）；
② f （ x ）＝｜ sin x ｜.
（2）求下列函數的最小正周期：
解：①法一（定義法）　∵ f （ x ）＝ cos （2 x ＋ ）＝ cos （2
x ＋ ＋2π）＝ cos ［2（ x ＋π）＋ ］＝ f （ x ＋π），即 f （ x ＋
π）＝ f （ x ），
∴函數 f （ x ）＝ cos 的最小正周期 T ＝π.
法二（公式法）　∵ f （ x ）＝ cos ，∴ω＝2.
又 T ＝ ＝ ＝π.
∴函數 f （ x ）＝ cos 的最小正周期 T ＝π.
②利用周期函數的定義，
∵ f （ x ＋π）＝｜ sin （ x ＋π）｜＝｜－ sin x ｜＝｜ sin x ｜＝ f
（ x ）.
∴ f （ x ）＝｜ sin x ｜的周期為π.
通性通法
求三角函數的周期的方法
（1）定義法：緊扣周期函數的定義，尋求對任意實數 x 都滿足 f （ x
＋ T ）＝ f （ x ）的非零常數 T . 該方法主要適用于抽象函數；
（2）公式法：對形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（ A
≠0）的函數，可利用 T ＝ 來求；形如 y ＝ A tan（ω x ＋
φ）（ A ≠0）的函數，可利用 T ＝ 來求；
（3）圖象法：可畫出函數的圖象，借助于圖象判斷函數的周期，特
別是對于含絕對值的函數一般采用此法.
【跟蹤訓練】
（多選）下列函數中，最小正周期為2π的是（　　）
A. y ＝ cos ｜ x ｜ B. y ＝ cos （－2 x ）
解析：AC　對于A， y ＝ cos ｜ x ｜＝ cos x ，周期為2π；對于B， y ＝
cos （－2 x ）的周期為π；對于C， y ＝ sin 的周期為2π；對于
D， y ＝tan 周期為π.故選A、C.
1. 函數 f （ x ）＝ sin 的最小正周期為（　　）
A. 6π B. 3π
C. 2π D. π
解析： 　 T ＝ ＝6π.故選A.
2. 周期函數 y ＝ f （ x ）的圖象如圖，則函數 f （ x ）的最小正周期為
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　由圖象知，函數 f （ x ）的最小正周期 T ＝2.
3. 已知函數 f （ x ）＝2 cos （ω x ＋ ）（其中ω＞0， x ∈R）的最小
正周期為10π，則ω＝（　　）
C. 5 D. 4
解析： 　∵ f （ x ）的最小正周期為 ，∴ ＝10π，∴ω＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 函數 f （ x ）＝ cos 的最小正周期為（　　）
A. 2π B. 12 D. 3π
解析： 　因為 f （ x ）＝ cos ＝ cos ，所以最小
正周期為 T ＝ .
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2. 函數 y ＝ sin 是（　　）
A. 周期為π的奇函數 B. 周期為π的偶函數
C. 周期為2π的奇函數 D. 周期為2π的偶函數
解析： 　因為 y ＝ sin ＝ cos x ，所以該函數是周期為2π的
偶函數.故選D.
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3. 設函數 f （ x ）（ x ∈R）滿足 f （－ x ）＝ f （ x ）， f （ x ＋2）＝ f
（ x ），則函數 y ＝ f （ x ）的圖象可能是（　　）
解析： 　由 f （－ x ）＝ f （ x ），則 f （ x ）是偶函數，圖象關于 y
軸對稱.由 f （ x ＋2）＝ f （ x ），則 f （ x ）的周期為2.故選B.
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4. 已知函數 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
的部分圖象如圖所示，則ω＝（　　）
B. π
C. 2 D. 2π
解析： 　由題圖可知 T ＝ － ＝π，故 ＝π，ω＝2.故選C.
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5. 若函數 y ＝ f （ x ）是以2為周期的函數，且 f （5）＝6，則 f （1）＝
（　　）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 6
解析： 　∵ f （ x ）的周期為2，∴ f （5）＝ f （2×2＋1）＝ f
（1）＝6.
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6. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 因為 sin （π－ x ）＝ sin x ，所以π是函數 y ＝ sin x 的一個周期
B. 因為tan（2π＋ x ）＝tan x ，所以2π是函數 y ＝tan x 的一個周期
C. 因為 cos （0＋ x ）＝ cos x ，所以0是函數 y ＝ cos x 的一個周期
解析： 　根據周期函數的定義容易知道A、C均是錯誤的；
對于B，2π是函數 y ＝tan x 的一個周期，故B正確；D顯然正確.
故選B、D.
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7. 已知函數 y ＝ sin （ A ＞0）的最小正周期為3π，則函數 y ＝3
cos [（2 A －1） x －π]的最小正周期為 .
解析：由題意知2π· A ＝3π，∴ A ＝ ，∴2 A －1＝2.∴ y ＝3 cos
[（2 A －1） x －π]＝3 cos （2 x －π）的最小正周期 T ＝π.
π　
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8. 函數 y ＝tan （ k ＞0）的最小正周期不大于2，則正整數 k
的最小值為 .
解析：因為 T ＝ ＝ ≤2，所以 k ≥2π，又 k ∈N*，所以正整數 k
的最小值為7.
7　
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9. 已知 f （ x ）在R上是奇函數，且滿足 f （ x ＋4）＝ f （ x ），當 x ∈
（0，2）時， f （ x ）＝2 sin （ x ），則 f （7）＝ .
解析：因為 f （ x ＋4）＝ f （ x ），所以函數的周期是4.因為 f
（ x ）在R上是奇函數，且當 x ∈（0，2）時， f （ x ）＝2 sin （
x ），所以 f （7）＝ f （7－8）＝ f （－1）＝－ f （1）＝－2.
－2　
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10. 求下列函數的周期：
（1） f （ x ）＝2 sin ， x ∈R；
解： 法一　設 f （ x ）的周期為 T ，
則2 sin ［ （ x ＋ T ）＋ ］＝2 sin ，即2 sin （ x
＋ ＋ ）＝2 sin 對任意的 x 均成立.
即2 sin ＝2 sin u ，其中 u ＝ x ＋ .
∵ y ＝2 sin u 的周期為2π，∴ ＝2π，∴ T ＝4π，
∴ f （ x ）＝2 sin 的周期為4π.
法二　∵ T ＝ ＝4π，∴ f （ x ）＝2 sin 的周期為4π.
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（2） f （ x ）＝1－2 cos x ， x ∈R.
解： f （ x ）＝1－2 cos x 的周期為 T ＝ ＝4.
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11. 設 f （ x ）是定義域為R，最小正周期為 的函數，若 f （ x ）＝
則 f ＝（　　）
A. 1 C. 0
解析： 　 f ＝ f ［ ×（－3）＋ ］＝ f ＝ sin ＝
.故選B.
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12. 設 f （ x ）是周期為2的奇函數，當0＜ x ＜1時， f （ x ）＝ sin x ＋
x ，則當1＜ x ＜2時， f （ x ）＝（　　）
A. sin x ＋ x B. sin （ x －2）＋ x －2
C. sin （ x ＋2）＋ x ＋2 D. sin （ x ＋2）＋ x －2
解析： 　當1＜ x ＜2時，－2＜－ x ＜－1，則0＜2－ x ＜1，因為
當0＜ x ＜1時， f （ x ）＝ sin x ＋ x ，所以 f （2－ x ）＝ sin （2－
x ）＋2－ x .因為 f （ x ）是周期為2的奇函數，所以 f （ x ）＝－ f
（－ x ）＝－ f （2－ x ）＝－ sin （2－ x ）＋ x －2＝ sin （ x －2）
＋ x －2.
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13. 函數 f （ x ）＝ sin x ＋ cos 3 x 的最小正周期為 .
解析：由 y ＝ sin 的周期 T1＝3π， y ＝ cos 3 x 的周期 T2＝ π，
T1， T2的最小公倍數為6π，故 f （ x ）的最小正周期為6π.
6π　
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14. 已知函數 y ＝ f （ x ）滿足 f （ x ＋2）＝－ f （ x ），且 f （1）＝ a .
（1）求 f （3）， f （5）的值；
解： 令 x ＝1，則由 f （ x ＋2）＝－ f （ x ），得 f （3）
＝－ f （1）＝－ a ；
令 x ＝3，則由 f （ x ＋2）＝－ f （ x ），得 f （5）＝－ f
（3）＝ a .
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（2）求 f （ x ）的一個周期，并加以證明.
解： f （ x ）的一個周期為4.證明如下：
∵ f （ x ＋2）＝－ f （ x ），
∴ f （ x ＋4）＝ f [（ x ＋2）＋2]＝－ f （ x ＋2）
＝－[－ f （ x ）]＝ f （ x ），
即 f （ x ＋4）＝ f （ x ）.
∴ f （ x ）的一個周期為4.
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15. 已知函數 f （ x ）＝ cos x ，求 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋ f
（2 025）的值.
解：由ω＝ ，得 T ＝6，因為 f （1）＝ cos ＝ ， f （2）＝ cos
＝－ ， f （3）＝ cos π＝－1， f （4）＝ cos ＝－ ， f （5）＝
cos ＝ ， f （6）＝ cos 2π＝1，
所以 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋ f （4）＋ f （5）＋ f （6）＝0，
即每連續六項的和均為0.
所以 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋ f （2 025）＝ f （2 023）＋ f
（2 024）＋ f （2 025）＝ f （1）＋ f （2）＋ f （3）＝ － －1＝－1.
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