資源簡介

7.4　三角函數應用
1.簡諧運動y＝2sin的相位與初相位分別是（　?。?br/>A.5x－，　　　　　　 B.5x－，4
C.5x－，－ D.4，
2.在兩個彈簧上各掛一個質量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動.已知它們在時間t（s）時離開平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分別由下列兩式確定：s1＝5sin（2t＋），s2＝5cos（2t－）.則在時間t＝時，s1與s2的大小關系是（　?。?br/>A.s1＞s2 B.s1＜s2
C.s1＝s2 D.不能確定
3.彈簧振子的振幅為2 cm，在6 s內振子通過的路程是32 cm，由此可知該振子振動的（　?。?br/>A.頻率為1.5 Hz B.周期為1.5 s
C.周期為6 s D.頻率為6 Hz
4.為了研究鐘表與三角函數的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針位置P（x，y）.若初始位置為P0（，），當秒針從P0（注：此時t＝0）開始走時，點P的縱坐標y與時間t的函數解析式為（　　）
A.y＝sin（t＋），t∈[0，＋∞）
B.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞）
C.y＝sin（－t＋），t∈[0，＋∞）
D.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞）
5.（多選）如圖所示是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（　?。?br/>A.該質點的運動周期為0.4 s
B.該質點的振幅為5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度最大
D.該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度為零
6.（多選）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），則下列說法正確的是（　?。?br/>A.該函數的最小正周期是16
B.該函數圖象的一條對稱軸是直線x＝14
C.該函數的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14）
D.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27 ℃
7.某人的血壓滿足函數式f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f（t）為血壓（單位：mmHg），t為時間（單位：min），則此人每分鐘心跳的次數為　　　　.
8.一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s（cm）與時間t（s）的函數關系式為s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，當小球擺動的周期是1 s時，線長l＝　　　　cm.
9.如表給出的是某港口在某季節每天幾個時刻的水深關系.
時刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若該港口的水深y（m）和時刻t（0≤t≤24）的關系可用函數y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）近似描述，則該港口在11：00的水深為　　　m.
10.已知某地一天從4點到16點的溫度變化曲線近似滿足函數y＝10sin＋20，x∈[4，16].
（1）求該地區這一段時間內的最大溫差；
（2）若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時間內，該細菌能生存多長時間？
11.已知簡諧運動的振幅是，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則該簡諧運動的頻率和初相位分別是（　?。?br/>A.，　　B.，　　C.，　　D.，
12.（多選）阻尼器是一種以提供運動的阻力達到減振效果的專業工程裝置.如圖，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮樓神器”.由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位：cm）和時間t（單位：s）的函數關系式為s（t）＝3sin（ωt＋φ），其中ω＞0.若該阻尼器模型在擺動過程中連續三次位移為s0（－3＜s0＜3）的時間分別為t1，t2，t3，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝4，則下列是s（t）的單調區間的是（　?。?br/>A.[k，k＋1]（k∈N） B.［k＋，k＋］（k∈N）
C.[k＋1，k＋2]（k∈N） D.［k＋，k＋］（k∈N）
13.據市場調查，某種商品每件的售價按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的模型波動（x為月份），已知3月份價格最高，為8千元，7月份價格最低，為4千元，則f（x）＝　　　　.
14.平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區域的某個觀測點觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位：小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數據的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
（1）根據表中近似數據畫出散點圖.觀察散點圖，從①y＝Asin（ωt＋φ）；②y＝Acos（ωt＋φ）＋b；③y＝－Asin ωt＋b（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的函數解析式；
（2）為保證隊員安全，規定在一天中5～18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據（1）中選擇的函數解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全？
7.4　三角函數應用
1.C　相位是5x－，當x＝0時的相位為初相位，即－.故選C.
2.C　當t＝時，s1＝5sin（2×＋）＝－5，s2＝5cos（2×－）＝－5，∴s1＝s2.
3.B　振幅為2 cm，振子在一個周期內通過的路程為8 cm，易知在6 s內振動了4個周期，所以T＝1.5 s，頻率f＝＝＝（Hz）.故選B.
4.C　由題意可得函數的初相位為，排除B、D，又T＝60且秒針按順時針旋轉，即T＝＝60，所以｜ω｜＝，即ω＝－.
5.BD　由題圖可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8，故A錯誤；最小值為－5，所以振幅為5 cm，故B正確；在0.1 s和0.5 s時，質點到達運動的端點，所以速度為0，故C錯誤，D正確.故選B、D.
6.ABD　由圖象知A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6，∴T＝16，故A正確；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵圖象經過點（14，30），∴30＝10sin＋20，∴sin（·14＋φ）＝1.∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴y＝10sin＋20，0≤x≤24，故B正確，C錯誤；當x＝12時，y＝10sin（ ·12＋）＋20＝10×＋20≈27 ℃，故D正確.故選A、B、D.
7.80　解析：因為f（t）＝24sin 160πt＋110，所以T＝＝＝，f＝＝80，所以此人每分鐘心跳的次數為80.
8.　解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.
9.4　解析：由題意得函數y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）的周期為T＝12，解得∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，∴該港口在11：00的水深為y＝2sin π＋5＝4（m）.
10.解：（1）x∈[4，16]，則x－∈.
由函數解析式易知，當x－＝，即x＝14時，函數取得最大值，最大值為30，即最高溫度為30 ℃；
當x－＝－，即x＝6時，函數取得最小值，最小值為10，即最低溫度為10 ℃，所以最大溫差為30－10＝20（℃）.
（2）令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈[4，16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故該細菌在這段時間內能存活－＝（小時）.
11.B　設簡諧運動運動規律的三角函數表達式為y＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）.由題意可知A＝，32＋＝52，則T＝8，ω＝＝，∴y＝sin.由圖象過點得sin φ＝，∴sin φ＝.∵｜φ｜＜，∴φ＝，因此頻率是，初相位為，故選B.
12.AC　因為t1＋t2＝2，t2＋t3＝4，所以T＝t3－t1＝2，ω＝＝π.由t1＋t2＝2，得t＝1是函數圖象的一條對稱軸，則π＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，所以s（t）＝3sin（πt＋k1π－）＝－3cos（πt＋k1π），k1∈Z.由2kπ≤πt＋k1π≤π＋2kπ，k∈Z，解得2k－k1≤t≤1＋2k－k1，k∈Z.又t＞0，則當k1＝k時，s（t）的單調區間是[k，k＋1]（k∈N）；當k1＝k－1時，s（t）的單調區間是[k＋1，k＋2]（k∈N）.故選A、C.
13.2sin＋6　解析：由題意得∴周期T＝2×（7－3）＝8，∴ω＝＝.∴f（x）＝2sin＋6.又f（3）＝8，∴8＝2sin（ ＋φ）＋6.∴sin＝1，結合｜φ｜＜得φ＝－.∴f（x）＝2sin＋6.
14.解：（1）根據表中近似數據畫出散點圖，如圖所示.
　
依題意，選②y＝Acos（ωt＋φ）＋b作為函數模型，
∴A＝＝，b＝＝，T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos＋，
又∵函數圖象過點（3，2.4），
即2.4＝cos＋，
∴cos＝1，∴sin φ＝－1，
又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－，
∴y＝cos＋＝sin t＋（0≤t≤24）.
（2）由（1）知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋（k∈Z），
∴12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z），
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴這一天安排早上5點至7點以及11點至18點組織訓練，才能確保集訓隊員的安全.
3 / 37.4　三角函數應用
新課程標準解讀 核心素養
1.會用三角函數解決簡單的實際問題 數學建模、數學運算
2.體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型 數學建模、數學運算
現實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標的上下浮動，琴弦的振動等.這些都是物體在某一中心位置附近做循環往復的運動.
　　在適當的直角坐標系下，簡諧運動可以用函數y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0描述.描述簡諧運動的物理量如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關.
【問題】　（1）物理學中，這種“物體在某一中心位置附近做循環往復的運動”稱為什么運動？
（2）在適當的坐標系下，簡諧運動可以用什么函數模型表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　簡諧運動
簡諧運動（單擺、彈簧振子等）是一種周期運動，其運動規律可以用三角函數表達為y＝Asin（ωx＋φ），其中，x表示　　　　，y表示相對于　　　　　　的偏離：
（1）A表示物體運動時離開平衡位置的最大距離，稱為　　　　；
（2）往復運動一次所需的時間T＝稱為這個運動的　　　　；
（3）單位時間內往復運動的次數f＝＝稱為運動的　　　??；
（4）ωx＋φ稱為　　　　，x＝0時的相位φ稱為　　　　　.
1.函數y＝sin的周期、振幅、初相位分別是（　?。?br/>A.3π，， B.6π，，
C.3π，3，－ D.6π，3，
2.電流強度I（單位：A）隨時間t（單位：s）變化的關系式是I＝5sin，則當t＝時，電流強度為（　　）
A.1.5 A　 B.2.5 A C.3.5 A　D.4.5 A
3.函數y＝3sin的頻率為　　　　.
題型一 三角函數模型在物理中的應用
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?14頁例1）一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，小球來回擺動時，離開平衡位置的位移s（單位：厘米）與時間t（單位：秒）的函數關系是s＝6sin.
（1）畫出它在一個周期內的圖象；
（2）回答以下問題：
①小球開始擺動（t＝0）時，離開平衡位置多少厘米？
②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少厘米？
③小球來回擺動一次需要多長時間？
通性通法
處理物理學問題的策略
（1）常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性；
（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
【跟蹤訓練】
1.已知簡諧運動f（x）＝2sin（x＋φ）（｜φ｜＜）的圖象經過點（0，1），則該簡諧運動的最小正周期T和初相位φ分別為　　　　.
2.已知彈簧掛著的小球做上下振動，它離開平衡位置（靜止時的位置）的距離h（cm）與時間t（s）的函數關系式為h＝3sin.
（1）求小球開始振動的位置；
（2）求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的坐標.
題型二 三角函數模型在生活中的應用
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?15頁例2）如圖，游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，從你登上摩天輪的時刻開始計時.請解答下列問題.
（1）求出你與地面的距離y（單位：米）與時間t（單位：分鐘）之間的函數解析式；
（2）當你第四次距離地面60.5米時，用了多長時間？
（3）當你登上摩天輪2分鐘后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，問：你的朋友登上摩天輪多長時間后，你和你的朋友與地面的距離之差最大？并求出最大值.
通性通法
解三角函數應用問題的基本步驟
【跟蹤訓練】
　某地區每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規律，因此第n個月的月平均最高氣溫G（n）可近似地用函數G（n）＝Acos（ωn＋φ）＋k來刻畫，其中正整數n表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整數，ω＞0，φ∈（0，π）.統計發現，該地區每年各個月份的月平均最高氣溫基本相同，1月份的月平均最高氣溫為3 ℃，是一年中月平均最高氣溫最低的月份，隨后逐月遞增，直到7月份達到最高，為33 ℃.
（1）求G（n）的解析式；
（2）某植物在月平均最高氣溫低于13 ℃的環境中才可生存，求一年中該植物在該地區可生存的月份數.
題型三 三角函數模型的擬合
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?17頁習題7題）連云港連島大沙灣海水浴場位于連島中部，沙灘長約1 800米，平均寬約150米，是江蘇省最大的海濱浴場，其沙灘沙質細膩，海水潔凈，水溫適中，也是華東地區屈指可數的健康型海水浴場之一.某“帆板”集訓隊在該海濱區域進行集訓，該海濱區域的海浪高度y（米）隨著時間t（0≤t≤24，單位：時）呈周期性變化，每天各時刻t的浪高數據的平均值如下表：
t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
（1）試在圖中描出所給點；
（2）觀察圖象，從y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt＋φ）中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的解析式；
（3）如果確定在一天內的7時至19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排恰當的訓練時間.
通性通法
處理曲線擬合與預測問題的一般步驟
（1）根據原始數據繪出散點圖；
（2）通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；
（3）根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數解析式；
（4）利用函數解析式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據.
【跟蹤訓練】
　一物體相對于某一固定位置的位移y（cm）和時間t（s）之間的一組對應值如下表所示，求可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系的一個三角函數式.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1.已知f（x）＝2sin，則下列說法錯誤的是（　　）
A.振幅是2
B.初相位是
C.圖象有無數個對稱中心
D.是奇函數
2.如圖所示的是一個單擺，以平衡位置OA為始邊、OB為終邊的角θ（－π＜θ＜π）與時間t（s）滿足函數關系式θ＝sin（2t＋），則當t＝0時角θ的大小及單擺的頻率分別是（　?。?br/>A.， B.2，
C.，π D.2，π
3.如圖表示相對于平均海平面的某海灣的水面高度h（米）在某天0～24時的變化情況，則水面高度h關于時間t的函數關系式為　　　　.
7.4　三角函數應用
【基礎知識·重落實】
知識點
　時間　平衡位置?。?）振幅?。?）周期?。?）頻率?。?）相位　初相位
自我診斷
1.B
2.B　將t＝代入I＝5sin（100πt＋），得I＝2.5，故電流強度為2.5 A.
3.　解析：f＝＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）周期T＝＝1（秒）.列表：
2πt＋ π 2π
t 0 1
6sin 3 6 0 －6 0 3
描點畫圖，如圖所示.
（2）①當t＝0時，s＝6sin＝3，故小球開始擺動（t＝0）時，離開平衡位置3厘米.
②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6厘米.
③小球來回擺動一次需要1秒（即周期）.
跟蹤訓練
1.6，　解析：T＝＝＝6，∵圖象過點（0，1），∴sin φ＝.∵－＜φ＜，∴φ＝.
2.解：（1）令t＝0，得h＝3sin＝，所以開始振動的位置為.
（2）由題意知，當h＝3時，t的最小值為，即所求最高點為；
當h＝－3時，t的最小值為，即所求最低點為.
【例2】　解：（1）如圖，建立直角坐標系，設y＝Asin（ωx＋φ）＋B，
由摩天輪的半徑為40米，其中心O距離地面40.5米，∴A＝40，B＝40.5，
又摩天輪每轉一圈需要12分鐘，∴T＝12，∴ω＝，
又從最低處登上摩天輪，∴φ＝－，
故所求的函數解析式為y＝40sin（t－）＋40.5＝－40cost＋40.5（t≥0）.
（2）令y＝40.5－40cost＝60.5，
得cost＝－，
∴t＝π＋2kπ，k∈Z或t＝π＋2kπ，k∈Z，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20（分鐘）.
（3）與地面的距離之差最大，此時你必須在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再過2分鐘后，你恰好在你的朋友的正上方；再過半個周期時，恰相反，故過（6k＋2）（k∈N）分鐘后，你和你的朋友與地面的距離之差最大，最大值為40米.
跟蹤訓練
　解：（1）因為1月份的月平均最高氣溫最低，7月份的月平均最高氣溫最高，
所以最小正周期T＝2×（7－1）＝12，
所以ω＝＝，所以cos（＋φ）＝－1，cos（＋φ）＝1.
因為φ∈（0，π），所以φ＝.
因為1月份的月平均最高氣溫為3 ℃，7月份的月平均最高氣溫為33 ℃，所以－A＋k＝3，A＋k＝33，所以A＝15，k＝18.
所以G（n）的解析式為G（n）＝15cos（n＋）＋18，n∈[1，12]，n為正整數.
（2）因為G（n）＝15cos（n＋）＋18，n∈[1，12]，n為正整數，
所以G（n）在區間[1，7]上單調遞增，在區間[7，12]上單調遞減.
因為某植物在月平均最高氣溫低于13 ℃的環境中才可生存，且G（3）＝15cos（＋）＋18＝10.5，G（4）＝15cos（＋）＋18＝18，
所以該植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又G（10）＝G（4）＝18，G（11）＝G（3）＝10.5，
所以該植物在11月份、12月份也可生存.
即一年中該植物在該地區可生存的月份數是5.
【例3】　解：（1）描出所給點如圖所示.
（2）由（1）知選擇y＝Asin（ωt＋φ）＋b作為函數模型較合適.
令A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.
由圖知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sint＋1（0≤t≤24）.
（3）由y＝0.4sint＋1≥0.8，則sint≥－，
則－＋2kπ≤≤＋2kπ（k∈Z），
即12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z），
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再結合題意可知，應安排在11時到19時訓練較恰當.
跟蹤訓練
　解：設y＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），則從表中數據可以得到A＝4，ω＝＝＝，
又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin（t－），即y＝－4cos t.
隨堂檢測
1.D
2.A　當t＝0時，θ＝sin ＝，由函數解析式易知單擺的周期為＝π，故單擺的頻率為.
3.h＝－6sint（0≤t≤24）
解析：設h＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），由圖象知A＝6，T＝12，∴＝12，得ω＝＝.點（6，0）為“五點法”作圖中的“第一點”，故×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴h＝6sin＝－6sint（0≤t≤24）.
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7.4　三角函數應用
新課程標準解讀 核心素養
1.會用三角函數解決簡單的實際問題 數學建模、數
學運算
2.體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的
數學模型 數學建模、數
學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
現實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中
浮標的上下浮動，琴弦的振動等.這些都是物體在某一中心位置附近
做循環往復的運動.
在適當的直角坐標系下，簡諧運動可以用函數 y ＝ A sin （ω x ＋
φ）， A ＞0，ω＞0描述.描述簡諧運動的物理量如振幅、周期和頻率
等都與這個解析式中的常數有關.
【問題】?。?）物理學中，這種“物體在某一中心位置附近做循環
往復的運動”稱為什么運動？
（2）在適當的坐標系下，簡諧運動可以用什么函數模型表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　簡諧運動
簡諧運動（單擺、彈簧振子等）是一種周期運動，其運動規律可以用
三角函數表達為 y ＝ A sin （ω x ＋φ），其中， x 表示 ， y 表
示相對于 的偏離：
（1） A 表示物體運動時離開平衡位置的最大距離，稱為 ；
（2）往復運動一次所需的時間 T ＝ 稱為這個運動的 ；
（3）單位時間內往復運動的次數 f ＝ ＝ 稱為運動的 ；
（4）ω x ＋φ稱為 ， x ＝0時的相位φ稱為 .
時間　
平衡位置　
振幅　
周期　
頻率　
相位　
初相位　
1. 函數 y ＝ sin 的周期、振幅、初相位分別是（　?。?br/>2. 電流強度 I （單位：A）隨時間 t （單位：s）變化的關系式是 I ＝5
sin ，則當 t ＝ 時，電流強度為（　?。?br/>A. 1.5 A B. 2.5 A
C. 3.5 A D. 4.5 A
解析： 　將 t ＝ 代入 I ＝5 sin ，得 I ＝2.5，故電流
強度為2.5 A.
3. 函數 y ＝3 sin 的頻率為 　 　.
解析： f ＝ ＝ ＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 三角函數模型在物理中的應用
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?14頁例1）一根細線的一端固定，另一端
懸掛一個小球，小球來回擺動時，離開平衡位置的位移 s （單位：厘
米）與時間 t （單位：秒）的函數關系是 s ＝6 sin .
（1）畫出它在一個周期內的圖象；
解：周期 T ＝ ＝1（秒）.列表：
π 2π
t 0 1
3 6 0 －6 0 3
描點畫圖，如圖所示.
（2）回答以下問題：
①小球開始擺動（ t ＝0）時，離開平衡位置多少厘米？
②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少厘米？
③小球來回擺動一次需要多長時間？
解：①當 t ＝0時， s ＝6 sin ＝3，故小球開始擺動（ t ＝0）
時，離開平衡位置3厘米.
②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6厘米.
③小球來回擺動一次需要1秒（即周期）.
通性通法
處理物理學問題的策略
（1）常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同
的特點是具有周期性；
（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概
念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
【跟蹤訓練】
1. 已知簡諧運動 f （ x ）＝2 sin 的圖象經過點
（0，1），則該簡諧運動的最小正周期 T 和初相位φ分別為 .
解析： T ＝ ＝ ＝6，∵圖象過點（0，1），∴ sin φ＝ .∵－
＜φ＜ ，∴φ＝ .
6， 　
2. 已知彈簧掛著的小球做上下振動，它離開平衡位置（靜止時的位
置）的距離 h （cm）與時間 t （s）的函數關系式為 h ＝3 sin .
（1）求小球開始振動的位置；
解：令 t ＝0，得 h ＝3 sin ＝ ，所以開始振動的位置為
.
（2）求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的坐標.
解：由題意知，當 h ＝3時， t 的最小值為 ，即所求最高點為
；
當 h ＝－3時， t 的最小值為 ，即所求最低點為 .
題型二 三角函數模型在生活中的應用
【例2】　（鏈接教科書第215頁例2）如圖，游樂場中的摩天輪勻速
旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心 O 距離地面40.5米，半徑40米.
如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而
變化，從你登上摩天輪的時刻開始計時.請解答下列問題.
（1）求出你與地面的距離 y （單位：米）與時間 t （單位：分鐘）之
間的函數解析式；
解：如圖，建立直角坐標系，設 y ＝ A sin
（ω x ＋φ）＋ B ，
由摩天輪的半徑為40米，其中心 O 距離地面
40.5米，∴ A ＝40， B ＝40.5，
又摩天輪每轉一圈需要12分鐘，∴ T ＝12，
∴ω＝ ，又從最低處登上摩天輪，∴φ＝－ ，
故所求的函數解析式為 y ＝40 sin （ t － ）＋40.5＝－40 cos t ＋40.5（ t ≥0）.
（2）當你第四次距離地面60.5米時，用了多長時間？
解：令 y ＝40.5－40 cos t ＝60.5，
得 cos t ＝－ ，
∴ t ＝ π＋2 k π， k ∈Z或 t ＝ π＋2 k π， k ∈Z，
解得 t ＝4＋12 k ， k ∈Z或 t ＝8＋12 k ， k ∈Z，
又∵ t ≥0，故第四次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20（分
鐘）.
（3）當你登上摩天輪2分鐘后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天
輪，問：你的朋友登上摩天輪多長時間后，你和你的朋友與地
面的距離之差最大？并求出最大值.
解：與地面的距離之差最大，此時你必須在你的朋友的正上
方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再過2分鐘后，你
恰好在你的朋友的正上方；再過半個周期時，恰相反，故過（6
k ＋2）（ k ∈N）分鐘后，你和你的朋友與地面的距離之差最
大，最大值為40米.
通性通法
解三角函數應用問題的基本步驟
【跟蹤訓練】
　某地區每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規律，因
此第 n 個月的月平均最高氣溫 G （ n ）可近似地用函數 G （ n ）＝ A
cos （ω n ＋φ）＋ k 來刻畫，其中正整數 n 表示月份且 n ∈[1，12]，例
如 n ＝1表示1月份， A 和 k 是正整數，ω＞0，φ∈（0，π）.統計發
現，該地區每年各個月份的月平均最高氣溫基本相同，1月份的月平
均最高氣溫為3 ℃，是一年中月平均最高氣溫最低的月份，隨后逐月
遞增，直到7月份達到最高，為33 ℃.
（1）求 G （ n ）的解析式；
解：因為1月份的月平均最高氣溫最低，7月份的月平均最高氣
溫最高，
所以最小正周期 T ＝2×（7－1）＝12，
所以ω＝ ＝ ，所以 cos （ ＋φ）＝－1， cos （ ＋φ）＝1.
因為φ∈（0，π），所以φ＝ .
因為1月份的月平均最高氣溫為3 ℃，7月份的月平均最高氣溫為
33 ℃，所以－ A ＋ k ＝3， A ＋ k ＝33，所以 A ＝15， k ＝18.
所以 G （ n ）的解析式為 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n 為正整數.
（2）某植物在月平均最高氣溫低于13 ℃的環境中才可生存，求一年
中該植物在該地區可生存的月份數.
解：因為 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n
為正整數，
所以 G （ n ）在區間[1，7]上單調遞增，在區間[7，12]上單調
遞減.
因為某植物在月平均最高氣溫低于13 ℃的環境中才可生存，且
G （3）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝10.5， G （4）＝15 cos
（ ＋ ）＋18＝18，
所以該植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又 G （10）＝ G （4）＝18， G （11）＝ G （3）＝10.5，
所以該植物在11月份、12月份也可生存.
即一年中該植物在該地區可生存的月份數是5.
題型三 三角函數模型的擬合
【例3】　（鏈接教科書第217頁習題7題）連云港連島大沙灣海水浴
場位于連島中部，沙灘長約1 800米，平均寬約150米，是江蘇省最大
的海濱浴場，其沙灘沙質細膩，海水潔凈，水溫適中，也是華東地區
屈指可數的健康型海水浴場之一.某“帆板”集訓隊在該海濱區域進
行集訓，該海濱區域的海浪高度 y （米）隨著時間 t （0≤ t ≤24，單
位：時）呈周期性變化，每天各時刻 t 的浪高數據的平均值如下表：
t （時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
（1）試在圖中描出所給點；
解：描出所給點如圖所示.
解：由（1）知選擇 y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b 作為函數模型
較合適.
令 A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.
由圖知， A ＝0.4， b ＝1， T ＝12，所以ω＝ ＝ .
把 t ＝0， y ＝1代入 y ＝0.4 sin ＋1，得φ＝0.
故所求擬合模型的解析式為 y ＝0.4 sin t ＋1（0≤ t ≤24）.
（2）觀察圖象，從 y ＝ at ＋ b ， y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b ， y ＝ A cos
（ω t ＋φ）中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的解
析式；
（3）如果確定在一天內的7時至19時之間，當浪高不低于0.8米時才
進行訓練，試安排恰當的訓練時間.
解：由 y ＝0.4 sin t ＋1≥0.8，則 sin t ≥－ ，
則－ ＋2 k π≤ ≤ ＋2 k π（ k ∈Z），
即12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z），
注意到 t ∈[0，24]，所以0≤ t ≤7，或11≤ t ≤19，或23≤ t
≤24.
再結合題意可知，應安排在11時到19時訓練較恰當.
通性通法
處理曲線擬合與預測問題的一般步驟
（1）根據原始數據繪出散點圖；
（2）通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合
直線或擬合曲線；
（3）根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數解析式；
（4）利用函數解析式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便
為決策和管理提供依據.
【跟蹤訓練】
　一物體相對于某一固定位置的位移 y （cm）和時間 t （s）之間的一
組對應值如下表所示，求可近似地描述該物體的位置 y 和時間 t 之間的
關系的一個三角函數式.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解：設 y ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），則從表中數據可以得
到 A ＝4，ω＝ ＝ ＝ ，
又由4 sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取φ＝－ ，故 y ＝4 sin （ t －
），即 y ＝－4 cos t .
1. 已知 f （ x ）＝2 sin ，則下列說法錯誤的是（　　）
A. 振幅是2
C. 圖象有無數個對稱中心 D. 是奇函數
2. 如圖所示的是一個單擺，以平衡位置 OA 為始邊、 OB 為終邊的角
θ（－π＜θ＜π）與時間 t （s）滿足函數關系式θ＝ sin （2 t ＋
），則當 t ＝0時角θ的大小及單擺的頻率分別是（　?。?br/>D. 2，π
解析： 　當 t ＝0時，θ＝ sin ＝ ，由函數解析式易知單擺的周
期為 ＝π，故單擺的頻率為 .

h ＝
－6 sin t （0≤ t ≤24）　
解析：設 h ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），由圖象知 A ＝6，
T ＝12，∴ ＝12，得ω＝ ＝ .點（6，0）為“五點法”作圖中
的“第一點”，故 ×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴ h ＝6 sin
＝－6 sin t （0≤ t ≤24）.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 簡諧運動 y ＝2 sin 的相位與初相位分別是（　　）
解析： 　相位是5 x － ，當 x ＝0時的相位為初相位，即－ .
故選C.
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2. 在兩個彈簧上各掛一個質量分別為 M1和 M2的小球，它們做上下自
由振動.已知它們在時間 t （s）時離開平衡位置的位移 s1（cm）和
s2（cm）分別由下列兩式確定： s1＝5 sin （2 t ＋ ）， s2＝5 cos
（2 t － ）.則在時間 t ＝ 時， s1與 s2的大小關系是（　　）
A. s1＞ s2 B. s1＜ s2
C. s1＝ s2 D. 不能確定
解析： 　當 t ＝ 時， s1＝5 sin （2× ＋ ）＝－5， s2＝5 cos
（2× － ）＝－5，∴ s1＝ s2.
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3. 彈簧振子的振幅為2 cm，在6 s內振子通過的路程是32 cm，由此可
知該振子振動的（　?。?br/>A. 頻率為1.5 Hz B. 周期為1.5 s
C. 周期為6 s D. 頻率為6 Hz
解析： 　振幅為2 cm，振子在一個周期內通過的路程為8 cm，易
知在6 s內振動了4個周期，所以 T ＝1.5 s，頻率 f ＝ ＝ ＝
（Hz）.故選B.
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4. 為了研究鐘表與三角函數的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針
位置 P （ x ， y ）.若初始位置為 P0（ ， ），當秒針從 P0（注：
此時 t ＝0）開始走時，點 P 的縱坐標 y 與時間 t 的函數解析式為
（　　）
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解析： 　由題意可得函數的初相位為 ，排除B、D，又 T ＝60且
秒針按順時針旋轉，即 T ＝ ＝60，所以｜ω｜＝ ，即ω＝
－ .
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5. （多選）如圖所示是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的
是（　　）
A. 該質點的運動周期為0.4 s
B. 該質點的振幅為5 cm
C. 該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度最大
D. 該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度為零
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解析： 　由題圖可知， ＝0.7－0.3＝0.4，所以 T ＝0.8，故A
錯誤；最小值為－5，所以振幅為5 cm，故B正確；在0.1 s和0.5 s
時，質點到達運動的端點，所以速度為0，故C錯誤，D正確.故選
B、D.
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6. （多選）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地
滿足函數 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （ A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π），則
下列說法正確的是（　?。?br/>A. 該函數的最小正周期是16
B. 該函數圖象的一條對稱軸是直線 x ＝14
D. 該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27 ℃
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解析： 　由圖象知 A ＋ B ＝30，－ A ＋ B ＝10，∴ A ＝10， B
＝20.∵ ＝14－6，∴ T ＝16，故A正確；∵ T ＝ ，∴ω＝ ，
∴ y ＝10 sin ＋20.∵圖象經過點（14，30），∴30＝10
sin ＋20，∴ sin ＝1.∵0＜φ＜π，∴φ＝
，∴ y ＝10 sin ＋20，0≤ x ≤24，故B正確，C錯誤；
當 x ＝12時， y ＝10 sin （ ·12＋ ）＋20＝10× ＋20≈27 ℃，故D
正確.故選A、B、D.
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7. 某人的血壓滿足函數式 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，其中 f （ t ）為
血壓（單位：mmHg）， t 為時間（單位：min），則此人每分鐘心
跳的次數為 .
解析：因為 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，所以 T ＝ ＝ ＝ ，
f ＝ ＝80，所以此人每分鐘心跳的次數為80.
80　
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8. 一根長 l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離
開平衡位置的位移 s （cm）與時間 t （s）的函數關系式為 s ＝3 cos
（ t ＋ ），其中 g 是重力加速度，當小球擺動的周期是1 s時，
線長 l ＝ cm.
解析：由已知得 ＝1，所以 ＝2π， ＝4π2， l ＝ .
　
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9. 如表給出的是某港口在某季節每天幾個時刻的水深關系.
時刻 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深
（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若該港口的水深 y （m）和時刻 t （0≤ t ≤24）的關系可用函數 y ＝
A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）近似描述，則該港口在
11：00的水深為 m.
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解析：由題意得函數 y ＝ A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）
的周期為 T ＝12，解得∴ω＝ ＝ ，∴ y ＝
2 sin t ＋5，∴該港口在11：00的水深為 y ＝2 sin π＋5＝4（m）.
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10. 已知某地一天從4點到16點的溫度變化曲線近似滿足函數 y ＝10
sin ＋20， x ∈[4，16].
（1）求該地區這一段時間內的最大溫差；
解： x ∈[4，16]，則 x － ∈ .
由函數解析式易知，當 x － ＝ ，即 x ＝14時，函數取得
最大值，最大值為30，即最高溫度為30 ℃；
當 x － ＝－ ，即 x ＝6時，函數取得最小值，最小值為
10，即最低溫度為10 ℃，所以最大溫差為30－10＝20（℃）.
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（2）若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時
間內，該細菌能生存多長時間？
解： 令10 sin ＋20＝15，
可得 sin ＝－ ，而 x ∈[4，16]，
所以 x ＝ .
令10 sin ＋20＝25，
可得 sin ＝ ，
而 x ∈[4，16]，所以 x ＝ .
故該細菌在這段時間內能存活 － ＝ （小時）.
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11. 已知簡諧運動的振幅是 ，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是
5，且過點 ，則該簡諧運動的頻率和初相位分別是（　?。?br/>1
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解析： 　設簡諧運動運動規律的三角函數表達式為 y ＝ A sin （ω
x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）.由題意可知 A ＝ ，32＋
＝52，則 T ＝8，ω＝ ＝ ，∴ y ＝ sin .由圖象過
點 得 sin φ＝ ，∴ sin φ＝ .∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，因
此頻率是 ，初相位為 ，故選B.
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12. （多選）阻尼器是一種以提供運動的阻力達到減振效果的專業工
程裝置.如圖，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被
稱為“鎮樓神器”.由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程
可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移 s （單位：cm）和時
間 t （單位：s）的函數關系式為 s （ t ）＝3 sin （ω t ＋φ），其中
ω＞0.若該阻尼器模型在擺動過程中連續三次位移為 s0（－3＜ s0
＜3）的時間分別為 t1， t2， t3，且 t1＋ t2＝2， t2＋ t3＝4，則下列
是 s （ t ）的單調區間的是（　?。?br/>A. [ k ， k ＋1]（ k ∈N）
C. [ k ＋1， k ＋2]（ k ∈N）
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解析： 　因為 t1＋ t2＝2， t2＋ t3＝4，所以 T ＝ t3－ t1＝2，
ω＝ ＝π.由 t1＋ t2＝2，得 t ＝1是函數圖象的一條對稱軸，
則π＋φ＝ k1π＋ ， k1∈Z，即φ＝ k1π－ ， k1∈Z，所以 s
（ t ）＝3 sin （π t ＋ k1π－ ）＝－3 cos （π t ＋ k1π），
k1∈Z. 由2 k π≤π t ＋ k1π≤π＋2 k π， k ∈Z，解得2 k － k1≤ t
≤1＋2 k － k1， k ∈Z. 又 t ＞0，則當 k1＝ k 時， s （ t ）的單
調區間是[ k ， k ＋1]（ k ∈N）；當 k1＝ k －1時， s （ t ）的
單調區間是[ k ＋1， k ＋2]（ k ∈N）.故選A、C.
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13. 據市場調查，某種商品每件的售價按月呈 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋
φ）＋ B 的模型波動（ x 為月份），已知
3月份價格最高，為8千元，7月份價格最低，為4千元，則 f （ x ）
＝ .
2 sin ＋6　
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解析：由題意得∴周期 T ＝2×（7－3）
＝8，∴ω＝ ＝ .∴ f （ x ）＝2 sin ＋6.又 f （3）＝8，
∴8＝2 sin （ ＋φ）＋6.∴ sin ＝1，結合｜φ｜＜ 得φ
＝－ .∴ f （ x ）＝2 sin ＋6.
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14. 平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行
集訓，海濱區域的某個觀測點觀測到該處水深 y （米）是隨著一
天的時間 t （0≤ t ≤24，單位：小時）呈周期性變化，某天各時
刻 t 的水深數據的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
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（1）根據表中近似數據畫出散點圖.觀察散點圖，從① y ＝ A sin
（ω t ＋φ）；② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b ；③ y ＝－ A sin ω t
＋ b （ A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中選擇一個合適的函數模
型，并求出該擬合模型的函數解析式；
解： 根據表中近似數據畫出散點圖，如圖所示.
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依題意，選② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b 作為函數模型，
∴ A ＝ ＝ ， b ＝ ＝ ， T ＝12，
∴ω＝ ＝ ，
∴ y ＝ cos ＋ ，
又∵函數圖象過點（3，2.4），
即2.4＝ cos ＋ ，
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∴ cos ＝1，∴ sin φ＝－1，
又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ ，
∴ y ＝ cos ＋ ＝ sin t ＋ （0≤ t ≤24）.
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（2）為保證隊員安全，規定在一天中5～18時且水深不低于1.05
米的時候進行訓練，根據（1）中選擇的函數解析式，試
問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊
員的安全？
解： 由（1）知， y ＝ sin t ＋ ，
令 y ≥1.05，即 sin t ＋ ≥1.05，
∴ sin t ≥－ ，
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∴2 k π－ ≤ t ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
∴12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z），
又∵5≤ t ≤18，
∴5≤ t ≤7或11≤ t ≤18，
∴這一天安排早上5點至7點以及11點至18點組織訓練，才能確保集訓
隊員的安全.
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