資源簡介

一、同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式
1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.借助單位圓的對稱性，能利用定義推導出誘導公式（±α，π±α的正弦、余弦、正切）；能運用誘導公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題.
【例1】　（1）已知cos＝，則cos（－x）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
（2）已知sin α＋cos α＝－，則tan α＋＝　　　　；
（3）已知sin（α＋π）＝，且sin αcos α＜0，則＝　　　　.
反思感悟
1.使用同角三角函數(shù)的基本關系式，要注意根據(jù)角的范圍判斷三角函數(shù)值的符號，若正切、正弦、余弦同時出現(xiàn)在問題中，則常用切化弦，有時也可將正弦、余弦轉化為正切進行求解.
2.誘導公式類型多，使用時不要死記公式，要學會“以不變應萬變”，只需注意以下三點：（1）判斷是否能用誘導公式；（2）若能用誘導公式，判斷三角函數(shù)的“名”是否改變；（3）判斷符號是否改變.
二、三角函數(shù)的圖象與性質
1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性.
2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在上的性質（如單調性、最值、圖象與x軸交點等）.
【例2】　（1）（多選）設函數(shù)f（x）＝cos（x＋），則下列結論正確的是（　　）
A.f（x）的一個周期為－2π
B.y＝f（x）的圖象關于直線x＝對稱
C.f（x＋π）的圖象與x軸的一個交點為（，0）
D.f（x）在（，π）上單調遞減
（2）已知函數(shù)f（x）＝sin在區(qū)間[0，a]（其中a＞0）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
反思感悟
關于三角函數(shù)的圖象和性質
（1）熟練掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域、值域、圖象、周期性、單調性等性質；
（2）對于函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）、y＝Acos（ωx＋φ）、y＝Atan（ωx＋φ）的圖象和性質，將ωx＋φ看作整體，利用整體代換思想解題是常用的解題技巧.
三、函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋B
　　掌握函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的“五點法”作圖，圖象的伸縮、平移變換，由圖象能求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的解析式，并進一步研究其性質（值域、單調性、奇偶性、對稱性等）.
【例3】　（1）已知x∈（0，π]，關于x的方程2sin（x＋）＝a有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為　　　　；
（2）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象.
①求f（x）與g（x）的解析式；
②求函數(shù)g（x）的單調遞增區(qū)間；
③求f（x）在［－，）上的值域.
反思感悟
1.由函數(shù)y＝sin x的圖象得到y(tǒng)＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的圖象有兩種途徑：先平移再伸縮；先伸縮再平移，這兩種途徑的區(qū)別是平移的單位長度不同，其余參數(shù)不受影響，若相應變換的函數(shù)名稱不同時，要先用誘導公式轉化為同名的三角函數(shù)，再進行平移或伸縮.
2.已知函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的圖象，確定其解析式的步驟：
（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，B＝；
（2）求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝；
（3）求φ，將圖象上的已知點代入解析式，求解時注意點在上升區(qū)間還是下降區(qū)間.如果已知圖象上有最值點，最好代入最值點求解.
四、三角函數(shù)模型的應用
　　會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，會構建三角函數(shù)模型刻畫事物周期變化的規(guī)律.
【例4】　在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時間相距12 h，低潮時水的深度為8.4 m，高潮時為16 m，一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時，水的深度d（m）與時間t（h）近似滿足關系式d＝Asin（ωt＋φ）＋h（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）.
（1）若從10月10日0：00開始計算時間，求該港口的水深d（m）和時間t（h）之間的函數(shù)關系；
（2）10月10日17：00該港口水深約為多少？（保留一位小數(shù)）
（3）10月10日這一天該港口共有多少時間水深低于10.3 m？
反思感悟
　　三角函數(shù)的實際應用多與最值有關，解決這類問題的一般步驟如下：
（1）審讀題意，合理地選取“角”為自變量，建立三角函數(shù)關系式；
（2）利用題目條件及誘導公式等求函數(shù)解析式，最后通常要整理為y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式；
（3）在符合實際問題意義的情形下求目標式的最值.
章末復習與總結
【例1】　（1）B　（2）2　（3）－　
解析：（1）cos＝cos［π－（x－）］＝－cos（x－）＝－.故選B.
（2）由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，∴tan α＋＝＋＝＝＝2.
（3）∵sin（α＋π）＝，∴sin α＝－.又∵sin αcos α＜0，∴cos α＞0，cos α＝＝，∴tan α＝－.原式＝＝＝－.
【例2】　（1）ABC　（2）
解析：（1）由三角函數(shù)的周期公式可得T＝＝2π，所以－2π也是f（x）的一個周期，所以A正確；由于三角函數(shù)在對稱軸上取得最值，所以把x＝代入函數(shù)f（x）＝cos（x＋）得，f（）＝cos（＋）＝cos 3π＝－1，所以B正確；令f（x＋π）＝cos（x＋π＋）＝－cos（x＋）＝0，解得其中一個解是x＝，所以C正確；函數(shù)f（x）在區(qū)間（，π）上有增有減，D不正確.
（2）由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.取k＝0，得－≤x≤，則函數(shù)f（x）＝sin的一個增區(qū)間為.因為函數(shù)f（x）＝sin在區(qū)間[0，a]（其中a＞0）上單調遞增，所以0＜a≤.
【例3】　（1）（，2）　
解析：令y1＝2sin（x＋），x∈（0，π]，y2＝a，作出y1的圖象如圖所示.若2sin（x＋）＝a在（0，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則y1與y2的圖象應有兩個不同的交點，所以＜a＜2.
（2）解：①由圖象可知A＝2，＝－＝，
則T＝π，所以ω＝＝＝2，
又圖象過點（，－2），所以－2＝2sin（2×＋φ），可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
因為｜φ｜＜，得φ＝，所以f（x）＝2sin（2x＋），
因為將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，
所以g（x）＝2sin［2（x－）＋］＝2sin（2x－）.
②因為g（x）＝2sin（2x－），
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函數(shù)g（x）的單調遞增區(qū)間為［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
③因為x∈［－，），所以2x＋∈［－，），
所以f（x）∈[－，2）.
【例4】　解：（1）依題意知T＝＝12，故ω＝，易知h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin（t＋φ）＋12.2.
因為當t＝4時，d＝16，所以sin（＋φ）＝1，
又｜φ｜＜，所以φ＝－，
所以d＝3.8sin（t－）＋12.2.
（2）當t＝17時，d＝3.8sin（－）＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5（m）.
故10月10日17：00該港口水深約為15.5 m.
（3）令3.8sin（t－）＋12.2＜10.3，
得sin（t－）＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12，k∈Z，又t∈[0，24].
令k＝0，得t∈（8，12）；令k＝1，得t∈（20，24）.
12－8＋（24－20）＝8（h）.
故10月10日這一天該港口共有8 h水深低于10.3 m.
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章末復習與總結
　　
一、同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式
1. 理解同角三角函數(shù)的基本關系式： sin 2α＋ cos 2α＝1，
＝tan α.
2. 借助單位圓的對稱性，能利用定義推導出誘導公式（ ±α，
π±α的正弦、余弦、正切）；能運用誘導公式解決一些三角函數(shù)
的求值、化簡和證明問題.
【例1】　（1）已知 cos ＝ ，則 cos （ － x ）＝
（　B　）
解析： cos ＝ cos ＝－ cos （ x － ）＝－ .
故選B.
B
（2）已知 sin α＋ cos α＝－ ，則tan α＋ ＝ ；
解析：由已知得1＋2 sin α cos α＝2，∴ sin α cos α＝ ，
∴tan α＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝2.
2　
（3）已知 sin （α＋π）＝ ，且 sin α cos α＜0，則
＝ 　－ 　.
解析：∵ sin （α＋π）＝ ，∴ sin α＝－ .又∵ sin α cos
α＜0，∴ cos α＞0， cos α＝ ＝ ，∴tan α＝
－ .原式＝ ＝ ＝－ .
－ 　
反思感悟
1. 使用同角三角函數(shù)的基本關系式，要注意根據(jù)角的范圍判斷三角函
數(shù)值的符號，若正切、正弦、余弦同時出現(xiàn)在問題中，則常用切化
弦，有時也可將正弦、余弦轉化為正切進行求解.
2. 誘導公式類型多，使用時不要死記公式，要學會“以不變應萬
變”，只需注意以下三點：（1）判斷是否能用誘導公式；（2）若
能用誘導公式，判斷三角函數(shù)的“名”是否改變；（3）判斷符號
是否改變.
二、三角函數(shù)的圖象與性質
1. 能畫出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的圖象，了解三角函數(shù)的周
期性、對稱性與奇偶性.
2. 借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在
上的性質（如單調性、最值、圖象與 x 軸交點等）.
【例2】　（1）（多選）設函數(shù) f （ x ）＝ cos （ x ＋ ），則下列結
論正確的是（　ABC　）
A. f （ x ）的一個周期為－2π
ABC
解析：由三角函數(shù)的周期公式可得 T ＝ ＝2π，所以－2π也是 f （ x ）
的一個周期，所以A正確；由于三角函數(shù)在對稱軸上取得最值，所以
把 x ＝ 代入函數(shù) f （ x ）＝ cos （ x ＋ ）得， f （ ）＝ cos （ ＋
）＝ cos 3π＝－1，所以B正確；令 f （ x ＋π）＝ cos （ x ＋π＋ ）＝
－ cos （ x ＋ ）＝0，解得其中一個解是 x ＝ ，所以C正確；函數(shù) f
（ x ）在區(qū)間（ ，π）上有增有減，D不正確.
（2）已知函數(shù) f （ x ）＝ sin 在區(qū)間[0， a ]（其中 a ＞0）上
單調遞增，則實數(shù) a 的取值范圍是 .
　
解析：由－ ＋2 k π≤2 x ＋ ≤ ＋2 k π， k ∈Z，得－ ＋ k π≤
x ≤ ＋ k π， k ∈Z. 取 k ＝0，得－ ≤ x ≤ ，則函數(shù) f （ x ）
＝ sin 的一個增區(qū)間為 .因為函數(shù) f （ x ）＝
sin 在區(qū)間[0， a ]（其中 a ＞0）上單調遞增，所以0＜ a≤ .
反思感悟
關于三角函數(shù)的圖象和性質
（1）熟練掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域、值域、圖象、周期
性、單調性等性質；
（2）對于函數(shù) y ＝ A sin （ω x ＋φ）、 y ＝ A cos （ω x ＋φ）、 y ＝ A
tan（ω x ＋φ）的圖象和性質，將ω x ＋φ看作整體，利用整體代
換思想解題是常用的解題技巧.
三、函數(shù) y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B
　　掌握函數(shù) y ＝ A sin （ω x ＋φ）的圖象的“五點法”作圖，圖象的
伸縮、平移變換，由圖象能求函數(shù) y ＝ A sin （ω x ＋φ）的解析式，并
進一步研究其性質（值域、單調性、奇偶性、對稱性等）.
【例3】　（1）已知 x ∈（0，π]，關于 x 的方程2 sin （ x ＋ ）＝ a 有
兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù) a 的取值范圍為 ；
解析：令 y1＝2 sin （ x ＋ ）， x ∈（0，π]， y2＝
a ，作出 y1的圖象如圖所示.若2 sin （ x ＋ ）＝ a 在
（0，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則 y1與 y2的圖象應
有兩個不同的交點，所以 ＜ a ＜2.
（ ，2）　
（2）已知函數(shù) f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（其中 A ＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）的部分圖象如圖所示，將函數(shù) f （ x ）的圖象向右平移 個
單位長度，得到函數(shù) g （ x ）的圖象.
①求 f （ x ）與 g （ x ）的解析式；
②求函數(shù) g （ x ）的單調遞增區(qū)間；
③求 f （ x ）在［－ ， ）上的值域.
解：①由圖象可知 A ＝2， ＝ － ＝ ，
則 T ＝π，所以ω＝ ＝ ＝2，
又圖象過點（ ，－2），所以－2＝2 sin （2× ＋φ），可得
＋φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，所以φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，
因為｜φ｜＜ ，得φ＝ ，所以 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋ ），
因為將函數(shù) f （ x ）的圖象向右平移 個單位長度，得到函數(shù) g
（ x ）的圖象，
所以 g （ x ）＝2 sin ［2（ x － ）＋ ］＝2 sin （2 x － ）.
②因為 g （ x ）＝2 sin （2 x － ），
由2 k π－ ≤2 x － ≤2 k π＋ ， k ∈Z，得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ ，
k ∈Z，
所以函數(shù) g （ x ）的單調遞增區(qū)間為［ k π－ ， k π＋ ］， k
∈Z.
③因為 x ∈［－ ， ），所以2 x ＋ ∈［－ ， ），
所以 f （ x ）∈[－ ，2）.
反思感悟
1. 由函數(shù) y ＝ sin x 的圖象得到 y ＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0）的圖
象有兩種途徑：先平移再伸縮；先伸縮再平移，這兩種途徑的
區(qū)別是平移的單位長度不同，其余參數(shù)不受影響，若相應變換
的函數(shù)名稱不同時，要先用誘導公式轉化為同名的三角函數(shù)，
再進行平移或伸縮.
2. 已知函數(shù) y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （ A ＞0，ω＞0）的圖象，確定
其解析式的步驟：
（1）求 A ， B ，確定函數(shù)的最大值 M 和最小值 m ，則 A ＝ ， B
＝ ；
（2）求ω，確定函數(shù)的周期 T ，則ω＝ ；
（3）求φ，將圖象上的已知點代入解析式，求解時注意點在上升區(qū)
間還是下降區(qū)間.如果已知圖象上有最值點，最好代入最值點
求解.
四、三角函數(shù)模型的應用
　　會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，會構建三角函數(shù)模型刻畫事
物周期變化的規(guī)律.
【例4】　在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時間相距12 h，低潮時水
的深度為8.4 m，高潮時為16 m，一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每
天漲潮落潮時，水的深度 d （m）與時間 t （h）近似滿足關系式 d ＝ A
sin （ω t ＋φ）＋ h （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）.
（1）若從10月10日0：00開始計算時間，求該港口的水深 d （m）和
時間 t （h）之間的函數(shù)關系；
解：依題意知 T ＝ ＝12，故ω＝ ，易知 h ＝ ＝12.2， A
＝16－12.2＝3.8，
所以 d ＝3.8 sin （ t ＋φ）＋12.2.
因為當 t ＝4時， d ＝16，
所以 sin （ ＋φ）＝1，
又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，
所以 d ＝3.8 sin （ t － ）＋12.2.
（2）10月10日17：00該港口水深約為多少？（保留一位小數(shù)）
解：當 t ＝17時， d ＝3.8 sin （ － ）＋12.2＝3.8 sin ＋
12.2≈15.5（m）.
故10月10日17：00該港口水深約為15.5 m.
（3）10月10日這一天該港口共有多少時間水深低于10.3 m？
解：令3.8 sin （ t － ）＋12.2＜10.3，
得 sin （ t － ）＜－ ，
因此2 k π＋ ＜ t － ＜2 k π＋ ， k ∈Z，
所以12 k ＋8＜ t ＜12 k ＋12， k ∈Z，又 t ∈[0，24].
令 k ＝0，得 t ∈（8，12）；
令 k ＝1，得 t ∈（20，24）.
12－8＋（24－20）＝8（h）.
故10月10日這一天該港口共有8 h水深低于10.3 m.
反思感悟
　　三角函數(shù)的實際應用多與最值有關，解決這類問題的一般步
驟如下：
（1）審讀題意，合理地選取“角”為自變量，建立三角函數(shù)關系
式；
（2）利用題目條件及誘導公式等求函數(shù)解析式，最后通常要整理為 y
＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B 的形式；
（3）在符合實際問題意義的情形下求目標式的最值.
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