資源簡介

章末檢測（七）　三角函數
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.在0到2π范圍內，與角－終邊相同的角是（　　）
A. B.
C. D.
2.sin 600°＋tan 240°＝（　　）
A.－ B.
C.－＋ D.＋
3.下列函數中，最小正周期為π，且圖象關于直線x＝對稱的是（　?。?br/>A.y＝sin（ 2x－） B.y＝sin（ ＋）
C.y＝sin（ 2x＋） D.y＝sin（ 2x－）
4.已知角α的終邊過點（1，2），則＝（　?。?br/>A. B.
C.－2 D.－
5.函數f（x）＝，x∈（－，）的圖象大致是（　　）
6.將函數f（x）＝2sin（ x－）的圖象向右平移φ（ 0≤φ≤）個單位長度得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）為偶函數，則φ＝（　?。?br/>A. B.
C. D.
7.可以用尺規作圖畫出正五角星，作法如下：以任意一點為圓心，以1為半徑畫圓O，在圓O內作互相垂直的直徑AB和CD.取線段OB的中點E，以E為圓心，以EC為半徑作弧，交OA于F.以C為圓心，以CF為半徑在圓O上依次截取相等的圓弧，連接CM，CH，GN，GM，NH，得到如圖所示的正五角星，則圖中扇形OAN的面積為（　?。?br/>A. B.
C. D.
8.方程lg｜x｜＝sin的實數根的個數為（　?。?br/>A.4 B.5
C.6 D.7
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列結論正確的是（　?。?br/>A.－是第三象限角
B.sin 2＞0
C.若角α的終邊上有一點P（－3，4），則cos α＝－
D.若角α為銳角，則角2α為鈍角
10.已知函數f（x）＝2sin＋1，則下列說法正確的是（　?。?br/>A.函數f（x）的圖象關于點對稱
B.函數f（x）圖象的一條對稱軸是x＝－
C.若x∈，則函數f（x）的最小值為＋1
D.若0＜x1＜x2＜π，則f（x1）＜f（x2）
11.古人立桿測日影以定時間，后來逐步形成了正切和余切的概念.余切函數可以用符號表示為f（x）＝cot x，其中cot x＝tan（ －x），則下列關于余切函數的說法正確的是（　?。?br/>A.定義域為{x｜x≠kπ，k∈Z}
B.在區間（ ，π）上單調遞增
C.與正切函數有相同的對稱中心
D.將函數y＝－tan x的圖象向右平移個單位長度可得到函數y＝cot x的圖象
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知cos（45°＋α）＝，則cos（135°－α）＝　　　　.
13.函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞增區間為　　　　.
14.設定義在區間上的函數y＝cos x與y＝tan x的圖象交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數y＝sin x的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知f（x）＝.
（1）化簡函數f（x）；（2）若f（α）＝3，求.
16.（本小題滿分15分）已知函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的部分圖象如圖所示.若將函數f（x）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，則所得圖象為函數g（x）的圖象.
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，2]時，求g（x）的單調遞減區間.
17.（本小題滿分15分）已知函數f（x）＝2sin（ωx＋φ）的最小正周期為π，從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件解答問題：
條件①：f（x）的圖象關于點對稱；
條件②：f（x）的圖象關于直線x＝對稱.
（1）請寫出你選擇的條件，并求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當x∈時，求f（x）的最大值和最小值，并指出相應的x的取值.
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.
18.（本小題滿分17分）如圖，摩天輪的半徑為50 m，圓心O距地面的高度為65 m.已知摩天輪按逆時針方向勻速轉動，每30 min轉動一圈.游客在摩天輪的艙位轉到距離地面最近的位置進艙.
（1）游客進入摩天輪的艙位，開始轉動t min后，他距離地面的高度為h，求h關于t的函數解析式；
（2）已知在距離地面超過40 m的高度，游客可以觀看到游樂場全景，那么在摩天輪轉動一圈的過程中，游客可以觀看到游樂場全景的時間是多少？
19.（本小題滿分17分）已知函數f（x）＝2sin.
（1）求函數f（x）的最小值及f（x）取到最小值時自變量x的集合；
（2）指出函數y＝f（x）的圖象可以由函數y＝sin x的圖象經過哪些變換得到；
（3）當x∈[0，m]時，函數y＝f（x）的值域為[－，2]，求實數m的取值范圍.
章末檢測（七）　三角函數
1.C　與角－終邊相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得與角－終邊相同的角是，故選C.
2.B　sin 600°＝sin（360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－，tan 240°＝tan（180°＋60°）＝tan 60°＝，因此sin 600°＋tan 240°＝.
3.C　∵最小正周期為π，∴ω＝2，又圖象關于直線x＝對稱，∴f （ ）＝±1，故C正確.故選C.
4.A　由題意可得：cos α＝＝，所以＝＝cos α＝.故選A.
5.A　函數f（－x）＝＝－＝－f（x），則函數f（x）是奇函數，排除D；當0＜x＜時，2cos x－1＞0，則f（x）＞0，排除B、C.
6.A　由題意g（x）＝f（x－φ）＝2sin（ x－φ－）＝2cos［－（ x－φ－）］＝2cos（ －x＋φ＋）是偶函數，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又0≤φ≤，所以k＝1，φ＝.故選A.
7.A　如圖，連接OG，OM，OH，則∠CON＝＝72°， 又∠AOC＝90°，所以∠AON＝90°－72°＝18°，化為弧度為 rad，所以扇形OAN的面積為××12＝.故選A.
8.C　由－1≤sin≤1，得－1≤lg｜x｜≤1，即≤｜x｜≤10，方程lg｜x｜＝sin的實數根的個數就是函數y＝lg｜x｜與y＝sin圖象公共點的個數，當x＞0時，兩函數圖象如圖所示，
兩圖象有3個公共點，同理，當x＜0時，兩圖象也有3個公共點，故兩圖象共有6個公共點，從而方程有6個實數根.故選C.
9.BC　選項A中，－＝－2π＋是第二象限角，A錯誤；選項B中，由2 rad終邊位于第二象限，所以sin 2＞0，B正確；選項C中，＝5，所以cos α＝－，C正確；選項D中，α＝30°是銳角，但2α＝60°不是鈍角，D錯誤.故選B、C.
10.BC　A項，令2x－＝kπ（k∈Z）知函數f（x）關于點（k∈Z）對稱，所以A錯誤；B項，令2x－＝＋kπ（k∈Z）知函數f（x）關于x＝＋（k∈Z）對稱，當k＝－1時，x＝－，所以B正確；C項，若x∈，則2x－∈，故函數f（x）的最小值為＋1，所以C正確；D項，當x∈（0，π）時，2x－∈，f（x）不具有單調性，所以D錯誤.故選B、C.
11.ACD　由正切函數的定義域可知－x≠kπ＋，即x≠－kπ（k∈Z），所以余切函數定義域為{x｜x≠kπ，k∈Z}，故A正確；當x∈（ ，π）時，－＜－x＜0，因為t＝－x為減函數，y＝tan t，t∈（ －，0）單調遞增，由復合函數單調性知y＝cot x＝tan（ －x）在區間（ ，π）上單調遞減，故B錯誤；因為y＝tan x的對稱中心為（ ，0）（k∈Z），令－x＝（k∈Z），解得x＝，由k∈Z，可知x＝（n＝1－k∈Z），即f（x）＝cot x的對稱中心為（ ，0）（n∈Z），故余切函數與正切函數有相同的對稱中心，故C正確；y＝－tan x的圖象向右平移個單位長度可得y＝－tan（ x－）＝tan（ －x）＝cot x的圖象，故D正確.故選A、C、D.
12.－　解析：cos（135°－α）＝cos[180°－（45°＋α）]＝－cos（45°＋α）＝－.
13.［2k－，2k－］，k∈Z　解析：由圖象知T＝＝2，∴ω＝π，由五點作圖法得＋φ＝π，即φ＝，∴f（x）＝sin（πx＋），令2kπ－≤πx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2k－≤x≤2k－，k∈Z.∴f（x）的單調遞增區間為［2k－，2k－］，k∈Z.
14.　解析：不妨設P1坐標為（x0，0），則P1P2的長為sin x0.∵y＝cos x與y＝tan x的圖象交于點P，即cos x0＝tan x0，cos x0＝，解得sin x0＝，則線段P1P2的長為.
15.解：（1）f（x）＝＝＝tan x.
（2）因為f（α）＝3，所以tan α＝3，
所以分子分母同除以cos α有＝＝＝1.
16.解：（1）由圖象可知A＝1，函數最小正周期T＝2×（ －）＝2，∴ω＝＝π，
由f（ ）＝0，得sin（ ＋φ）＝0，則＋φ＝2kπ，k∈Z，
則φ＝2kπ－，k∈Z，結合｜φ｜＜π，可得φ＝－，故f（x）＝sin（ πx－）.
（2）由題意可得g（x）＝sin（ x－），
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得4k＋≤x≤4k＋，k∈Z，
當k＝0時，g（x）的單調遞減區間為［，］，k取其他值時與區間[0，2]無交集，
故當x∈[0，2]時，g（x）的單調遞減區間為［，2］.
17.解：（1）若選①，由題意得，＝π，則ω＝2，
因為函數的圖象關于點對稱，所以2×＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝－＋kπ（k∈Z），
而－＜φ＜，則φ＝，于是f（x）＝2sin（ 2x＋）.
若選②，由題意得，＝π，則ω＝2，
因為函數的圖象關于直線x＝對稱，
所以2×＋φ＝＋kπ（k∈Z），
解得φ＝＋kπ（k∈Z），而－＜φ＜，則φ＝，
于是f（x）＝2sin.
（2）結合（1），因為x∈，所以2x＋∈，
則當2x＋＝－，即x＝－時，f（x）有最小值f ＝2sin＝－，
當2x＋＝，即x＝時，f（x）有最大值f＝2sin＝2.
18.解：（1）如圖以摩天輪的圓心為坐標原點，水平方向為x軸，建立平面直角坐標系.
設游客的位置為點P.
因為摩天輪按逆時針方向勻速轉動，且每30 min轉動一圈，
所以OP在t min內所轉過的角為＝.
因為游客是從摩天輪的最低點進入摩天輪的艙位，
所以，以x軸正半軸為始邊，以OP為終邊的角為－，
因此P點的縱坐標為50sin.
從而游客距離地面的高度h＝50sin＋65＝65－50cos，t≥0.
（2）令h＝65－50cos＞40，得cos＜，
所以2kπ＋＜＜2kπ＋，即30k＋5＜t＜30k＋25，k∈N，
令k＝0，則5＜t＜25.
由于在距離地面超過40 m的高度，游客可以觀看到游樂場全景，
因此，在轉動一圈的過程中，游客可以觀看到游樂場全景的時間為25－5＝20（min）.
19.解：（1）f（x）min＝－2，此時2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，即此時自變量x的集合是.
（2）把函數y＝sin x的圖象向右平移個單位長度，得到函數y＝sin的圖象，再把函數y＝sin（ x－）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得到函數y＝sin（ 2x－）的圖象，最后再把函數y＝sin（ 2x－）的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍，得到函數y＝2sin的圖象.
（3）函數f（x）＝2sin（2x－）的圖象
如圖，因為當x∈[0，m]時，y＝f（x）可以取到最大值2，所以m≥.
又函數y＝f（x）在上單調遞減，f（0）＝－，
故m的最大值為內使函數值為－的值，令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范圍是.
4 / 4(共41張PPT)
章末檢測（七）　
三角函數
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 在0到2π范圍內，與角－ 終邊相同的角是（　?。?br/>解析： 　與角－ 終邊相同的角是2 k π＋ ， k ∈Z，令 k ＝
1，可得與角－ 終邊相同的角是 ，故選C.
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2. sin 600°＋tan 240°＝（　?。?br/>解析： 　 sin 600°＝ sin （360°＋240°）＝ sin 240°＝ sin
（180°＋60°）＝－ sin 60°＝－ ，tan 240°＝tan（180°＋
60°）＝tan 60°＝ ，因此 sin 600°＋tan 240°＝ .
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3. 下列函數中，最小正周期為π，且圖象關于直線 x ＝ 對稱的是
（　　）
解析： 　∵最小正周期為π，∴ω＝2，又圖象關于直線 x ＝ 對
稱，∴ f （ ）＝±1，故C正確.故選C.
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4. 已知角α的終邊過點（1，2），則 ＝
（　?。?br/>C. －2
解析： 　由題意可得： cos α＝ ＝ ，所以
＝ ＝ cos α＝ .故選A.
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5. 函數 f （ x ）＝ ， x ∈（－ ， ）的圖象大致是（　　）
解析： 　函數 f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），則
函數 f （ x ）是奇函數，排除D；當0＜ x ＜ 時，2 cos x －1＞0，則
f （ x ）＞0，排除B、C.
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6. 將函數 f （ x ）＝2 sin （ x － ）的圖象向右平移φ（ 0≤φ≤ ）個
單位長度得到函數 g （ x ）的圖象，若函數 g （ x ）為偶函數，則φ
＝（　　）
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解析： 　由題意 g （ x ）＝ f （ x －φ）＝2 sin （ x －φ－ ）＝2
cos ［ －（ x －φ－ ）］＝2 cos （ － x ＋φ＋ ）是偶函數，所
以φ＋ ＝ k π， k ∈Z，解得φ＝ k π－ ， k ∈Z，又0≤φ≤ ，所
以 k ＝1，φ＝ .故選A.
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7. 可以用尺規作圖畫出正五角星，作法如下：以任意一點為圓心，以
1為半徑畫圓 O ，在圓 O 內作互相垂直的直徑 AB 和 CD . 取線段 OB
的中點 E ，以 E 為圓心，以 EC 為半徑作弧，交 OA 于 F . 以 C 為圓
心，以 CF 為半徑在圓 O 上依次截取相等的圓弧，連接 CM ， CH ，
GN ， GM ， NH ，得到如圖所示的正五角星，則圖中扇形 OAN 的
面積為（　?。?br/>1
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解析： 　如圖，連接 OG ， OM ， OH ，則∠
CON ＝ ＝72°， 又∠ AOC ＝90°，所以∠
AON ＝90°－72°＝18°，化為弧度為 rad，所
以扇形 OAN 的面積為 × ×12＝ .故選A.
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8. 方程lg｜ x ｜＝ sin 的實數根的個數為（　?。?br/>A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析： 　由－1≤ sin ≤1，得－1≤lg｜ x ｜≤1，即
≤｜ x ｜≤10，方程lg｜ x ｜＝ sin 的實數根的個數就是函數
y ＝lg｜ x ｜與 y ＝ sin 圖象公共點的個數，當 x ＞0時，兩函
數圖象如圖所示，
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兩圖象有3個公共點，同理，當 x ＜0時，兩圖象也有3個公共點，
故兩圖象共有6個公共點，從而方程有6個實數根.故選C.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列結論正確的是（　?。?br/>B. sin 2＞0
D. 若角α為銳角，則角2α為鈍角
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解析： 　選項A中，－ ＝－2π＋ 是第二象限角，A錯誤；
選項B中，由2 rad終邊位于第二象限，所以 sin 2＞0，B正確；選項
C中， ＝5，所以 cos α＝－ ，C正確；選項D中，
α＝30°是銳角，但2α＝60°不是鈍角，D錯誤.故選B、C.
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10. 已知函數 f （ x ）＝2 sin ＋1，則下列說法正確的是
（　?。?br/>D. 若0＜ x1＜ x2＜π，則 f （ x1）＜ f （ x2）
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解析： 　A項，令2 x － ＝ k π（ k ∈Z）知函數 f （ x ）關于點
（ k ∈Z）對稱，所以A錯誤；B項，令2 x － ＝ ＋
k π（ k ∈Z）知函數 f （ x ）關于 x ＝ ＋ （ k ∈Z）對稱，當 k
＝－1時， x ＝－ ，所以B正確；C項，若 x ∈ ，則2 x －
∈ ，故函數 f （ x ）的最小值為 ＋1，所以C正確；D
項，當 x ∈（0，π）時，2 x － ∈ ， f （ x ）不具有單
調性，所以D錯誤.故選B、C.
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11. 古人立桿測日影以定時間，后來逐步形成了正切和余切的概念.余
切函數可以用符號表示為 f （ x ）＝cot x ，其中cot x ＝tan（ －
x ），則下列關于余切函數的說法正確的是（　?。?br/>A. 定義域為{ x ｜ x ≠ k π， k ∈Z}
C. 與正切函數有相同的對稱中心
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解析： 　由正切函數的定義域可知 － x ≠ k π＋ ，即 x ≠－
k π（ k ∈Z），所以余切函數定義域為{ x ｜ x ≠ k π， k ∈Z}，故A
正確；當 x ∈（ ，π）時，－ ＜ － x ＜0，因為 t ＝ － x 為減
函數， y ＝tan t ， t ∈（ － ，0）單調遞增，由復合函數單調性知
y ＝cot x ＝tan（ － x ）在區間（ ，π）上單調遞減，故B錯誤；
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因為 y ＝tan x 的對稱中心為（ ，0）（ k ∈Z），令 － x ＝ （ k
∈Z），解得 x ＝ ，由 k ∈Z，可知 x ＝ （ n ＝1－ k ∈Z），
即 f （ x ）＝cot x 的對稱中心為（ ，0）（ n ∈Z），故余切函數與正
切函數有相同的對稱中心，故C正確； y ＝－tan x 的圖象向右平移 個
單位長度可得 y ＝－tan（ x － ）＝tan（ － x ）＝cot x 的圖象，故D
正確.故選A、C、D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知 cos （45°＋α）＝ ，則 cos （135°－α）＝ ?。? 　.
解析： cos （135°－α）＝ cos [180°－（45°＋α）]＝－ cos
（45°＋α）＝－ .
－ 　
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13. 函數 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如
圖所示，則 f （ x ）的單調遞增區間為
.
［2 k － ，2 k － ］， k
∈Z　
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解析：由圖象知 T ＝ ＝2，∴ω＝π，由五點作圖法得 ＋φ
＝π，即φ＝ ，∴ f （ x ）＝ sin （π x ＋ ），令2 k π－ ≤π x ＋
≤2 k π＋ ， k ∈Z，解得2 k － ≤ x ≤2 k － ， k ∈Z. ∴ f
（ x ）的單調遞增區間為［2 k － ，2 k － ］， k ∈Z.
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14. 設定義在區間 上的函數 y ＝ cos x 與 y ＝tan x 的圖象交于點
P ，過點 P 作 x 軸的垂線，垂足為 P1，直線 PP1與函數 y ＝ sin x 的
圖象交于點 P2，則線段 P1 P2的長為 .
解析：不妨設 P1坐標為（ x0，0），則 P1 P2的長為 sin x0.∵ y ＝
cos x 與 y ＝tan x 的圖象交于點 P ，即 cos x0＝tan x0， cos x0＝
，解得 sin x0＝ ，則線段 P1 P2的長為 .
　
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）
已知 f （ x ）＝ .
（1）化簡函數 f （ x ）；
解： f （ x ）＝ ＝
＝tan x .
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（2）若 f （α）＝3，求 .
解： 因為 f （α）＝3，所以tan α＝3，
所以 分子分母同除以 cos α有 ＝
＝ ＝1.
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16. （本小題滿分15分）已知函數 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞
0，ω＞0，｜φ｜＜π）的部分圖象如圖所示.若將函數 f （ x ）的圖
象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，則所得圖象為
函數 g （ x ）的圖象.
（1）求 f （ x ）的解析式；
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解： 由圖象可知 A ＝1，函數最小正
周期 T ＝2×（ － ）＝2，∴ω＝ ＝π，
由 f （ ）＝0，得 sin （ ＋φ）＝0，則
＋φ＝2 k π， k ∈Z，
則φ＝2 k π－ ， k ∈Z，結合｜φ｜＜π，可
得φ＝－ ，故 f （ x ）＝ sin （ π x － ）.
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（2）當 x ∈[0，2]時，求 g （ x ）的單調遞減區間.
解： 由題意可得 g （ x ）＝ sin （ x － ），
令2 k π＋ ≤ x － ≤2 k π＋ ， k ∈Z，解
得4 k ＋ ≤ x ≤4 k ＋ ， k ∈Z，
當 k ＝0時， g （ x ）的單調遞減區間為［ ， ］， k 取其
他值時與區間[0，2]無交集，
故當 x ∈[0，2]時， g （ x ）的單調遞減區間為［ ，2］.
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17. （本小題滿分15分）已知函數 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）
的最小正周期為π，從下列兩個條件中選擇一個作
為已知條件解答問題：
條件①： f （ x ）的圖象關于點 對稱；
條件②： f （ x ）的圖象關于直線 x ＝ 對稱.
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（1）請寫出你選擇的條件，并求 f （ x ）的解析式；
解： 若選①，由題意得， ＝π，則ω＝2，
因為函數的圖象關于點 對稱，所以2× ＋φ＝ k π（ k
∈Z），
解得φ＝－ ＋ k π（ k ∈Z），
而－ ＜φ＜ ，則φ＝ ，于是 f （ x ）＝2 sin （ 2 x ＋ ）.
若選②，由題意得， ＝π，則ω＝2，
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因為函數的圖象關于直線 x ＝ 對稱，
所以2× ＋φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），
解得φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），而－ ＜φ＜ ，則φ＝ ，
于是 f （ x ）＝2 sin .
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解： 結合（1），因為 x ∈ ，所以2 x ＋ ∈
，
則當2 x ＋ ＝－ ，即 x ＝－ 時， f （ x ）有最小值 f
＝2 sin ＝－ ，
當2 x ＋ ＝ ，即 x ＝ 時， f （ x ）有最大值 f ＝2 sin
＝2.
（2）在（1）的條件下，當 x ∈ 時，求 f （ x ）的最大值
和最小值，并指出相應的 x 的取值.
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.
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18. （本小題滿分17分）如圖，摩天輪的半徑為
50 m，圓心 O 距地面的高度為65 m.已知摩
天輪按逆時針方向勻速轉動，每30 min轉動
一圈.游客在摩天輪的艙位轉到距離地面最
近的位置進艙.
（1）游客進入摩天輪的艙位，開始轉動 t min后，他距離地面的
高度為 h ，求 h 關于 t 的函數解析式；
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解： 如圖以摩天輪的圓心為坐
標原點，水平方向為 x 軸，建立平面
直角坐標系.
設游客的位置為點 P .
因為摩天輪按逆時針方向勻速轉動，
且每30 min轉動一圈，
所以 OP 在 t min內所轉過的角為 ＝ .
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因為游客是從摩天輪的最低點進入摩天輪的艙位，
所以，以 x 軸正半軸為始邊，以 OP 為終邊的角為 － ，
因此 P 點的縱坐標為50 sin .
從而游客距離地面的高度 h ＝50 sin
＋65＝65－50 cos ， t ≥0.
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（2）已知在距離地面超過40 m的高度，游客可以觀看到游樂場全
景，那么在摩天輪轉動一圈的過程中，游客可以觀看到游樂
場全景的時間是多少？
解：令 h ＝65－50 cos ＞40，得 cos ＜ ，
所以2 k π＋ ＜ ＜2 k π＋ ，即30 k
＋5＜ t ＜30 k ＋25， k ∈N，
令 k ＝0，則5＜ t ＜25.
由于在距離地面超過40 m的高度，游客可以觀看到游樂場全景，
因此，在轉動一圈的過程中，游客可以觀看到游樂場全景的
時間為25－5＝20（min）.
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19. （本小題滿分17分）已知函數 f （ x ）＝2 sin .
（1）求函數 f （ x ）的最小值及 f （ x ）取到最小值時自變量 x 的
集合；
解： f （ x ）min＝－2，此時2 x － ＝2 k π－ ， k ∈Z，
即 x ＝ k π－ ， k ∈Z，即此時自變量 x 的集合是
.
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（2）指出函數 y ＝ f （ x ）的圖象可以由函數 y ＝ sin x 的圖象經過
哪些變換得到；
解： 把函數 y ＝ sin x 的圖象向右平移 個單位長度，得
到函數 y ＝ sin 的圖象，再把函數 y ＝ sin （ x － ）
的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的 倍，得
到函數 y ＝ sin （ 2 x － ）的圖象，最后再把函數 y ＝ sin
（ 2 x － ）的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原
來的2倍，得到函數 y ＝2 sin 的圖象.
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（3）當 x ∈[0， m ]時，函數 y ＝ f （ x ）的值域為[－ ，2]，求
實數 m 的取值范圍.
解： 函數 f （ x ）＝2 sin （2 x － ）的圖象
如圖，因為當 x ∈[0， m ]時， y ＝ f
（ x ）可以取到最大值2，所以 m ≥ .
又函數 y ＝ f （ x ）在 上單調
遞減， f （0）＝－ ，
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故 m 的最大值為 內使函數值為－ 的值，令2 sin
＝－ ，得 x ＝ ，
所以 m 的取值范圍是 .
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